Lava la perpendicolarità di due rette nello spazio. Linee parallele, segni e menti di linee parallele. Cammina dal punto alla linea retta

KUT tra appartamenti

Diamo un'occhiata a due compiti dei piani α 1 e α 2 allo stesso modo:

Pid cutom tra due appartamenti, è comprensibile uno dei kutіv bifronte, composto da questi appartamenti. Ovviamente, ciò che taglia tra i vettori normali e i piani 1 e 2 è di più . Tom . Perché і , poi

culo. Designare un taglio tra gli appartamenti X+2y-3z+4=0 e 2 X+3y+z+8=0.

Lava il parallelismo di due piani.

Due piani α 1 e α 2 sono paralleli tra loro e solo tra loro, se sono vettori normali e paralleli, e anche .

Inoltre, due piani sono paralleli a uno allo stesso e meno allo stesso, se i coefficienti per le coordinate corrispondenti sono proporzionali:

Lavare la perpendicolarità dei piani.

Era chiaro che due piani sono perpendicolari e uguali, se sono vettori normali e anche perpendicolari.

In modo tale,

applicare.

DIRETTAMENTE NELLO SPAZIO.

VECTORNE RIVNYANNYA DIRETTAMENTE.

LIVELLAMENTO PARAMETRICO DIRETTO

La posizione della retta nello spazio dipende completamente dai dati forniti, poiché ci sono її punti fissi M 1 i vettore, parallelo alla retta.

Viene chiamato il vettore, retta parallela diretto il vettore è dritto.

Otzhe, ciao l passare per un punto M 1 (X 1 , y 1 , z 1), che giace su una retta parallela al vettore.

Diamo un'occhiata a un certo punto M(x, y, z) su una linea retta. Dal piccolo lo puoi vedere .

Vettori e kolіnearnі, quindi c'è un tale numero t, sho , de moltiplicatore t puoi scoprire se si tratta di un valore numerico nel maggese nella posizione del punto M su una linea retta. Moltiplicatore t chiamato parametro. Assegnazione del punto raggio-vettore M 1 ta M evidentemente attraverso i, otrimuemo. Si chiama Tse uguale vettore linee rette. Mostra il valore del parametro alla pelle t cambia il vettore raggio del punto di deac M, che giacciono su una linea retta.

Annotiamo l'ordine del modulo delle coordinate. Con rispetto, sho, e stelle

Si chiamano Otrimani uguali parametrico dritto.

Quando si modifica il parametro t cambiano le coordinate X, yі z ho screziato M muoversi in linea retta.

CANONICA RIVNYANNYA DIRETTA

Avanti M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punto che giace su una linea retta l, і - Її vettore diretto. Lo porterò dritto al punto pieno M(x, y, z) guardo il vettore

Era chiaro che i vettori e collineari, per cui le rispettive coordinate possono essere proporzionali,

– canonico linee rette.

Rispetto 1. Rispettosamente, l'allineamento canonico della retta può essere sottratto a quelli parametrici attivando il parametro t. Vero, da parametrico uguale è necessario o .

culo. Scrivi linee rette aspetto parametrico.

In modo significativo , stelle X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Lascia che la retta sia perpendicolare a uno degli assi delle coordinate, ad esempio l'asse Bue. Quindi un vettore diretto di rette di perpendicolari Bue, otzhe, m=0. Otzhe, equalizzazione parametrica del look forward diretto

Compreso il parametro di equalizzazione t, Porta via direttamente dalla vista

Prote e allo stesso tempo scriviamo formalmente le uguaglianze canoniche dello yak diretto . In questo ordine, se c'è zero nel banner di una delle frazioni, significa che la retta è perpendicolare all'asse della doppia coordinata.

Allo stesso modo, canonico è uguale la retta è perpendicolare agli assi Bueі Ahia o parallelo all'asse Oz.

applicare.

ZAHALNI RIVNYANNYA DIRECT, REVERSIONE DELLA LINEA YAK DI DUE PIANI

Attraverso la pelle direttamente nello spazio aperto per passare un'area impersonale. Che si tratti di due di loro, intrecciandosi, significano nello spazio. Otzhe, se ci sono due bemolle uguali, che si guardano insieme, sono uguali alle rette.

Vzagali essere come due piani paralleli, impostato da ardente uguale

designare una linea retta. Qi uguali sono chiamati gelosia selvaggia dritto.

applicare.

Prompt dritto, impostato dai colleghi

Per incoraggiare la diretta basta sapere se ci sono її punti. Il modo più semplice è scegliere i punti di incrocio della retta con i piani delle coordinate. Ad esempio, un punto di incrocio con un piano xOy prendiamo le cose in chiaro, vvazhuchi z= 0:

Sistema Virishivshi tsyu, sappiamo il punto M 1 (1;2;0).

Allo stesso modo, rispettosamente y= 0 xOz:

Dai livelli superiori della retta, puoi passare ai livelli її canonici o parametrici. Per chi è necessario conoscere un punto M 1 su una retta e un vettore diretto è una retta.

Coordinate del punto M 1 viene preso dal centro del sistema di equalizzazione, dopo aver premuto una delle coordinate a un valore sufficiente. Per la questione di un vettore diretto, rispettosamente, il vettore deve essere perpendicolare ad entrambi i vettori normali. і . A quello per il vettore diretto l Puoi prendere abbigliamento vettoriale vettori normali:

culo. Guida dritto in avanti allo sguardo canonico.

Troviamo un punto che giace su una retta. Per cui scegliamo solo una delle coordinate, ad esempio, y= 0 e dividere il sistema di equalizzazione:

I vettori normali dei piani, che definiscono una retta, determinano le coordinate. Pertanto, il vettore diretto sarà diretto

. Otzhe, l: .

KUT MIZH DRITTO

Kutom tra rette nello spazio chiameremo se è data una delle kutivs sommarie, formate da due rette, tracciate per un certo punto in parallelo.

Lascia che lo spazio imposti due rette:

È ovvio che kut tra їх rette può essere preso come kut tra їх vettori diretti i . Quindi yak, quindi prendiamo la formula per il coseno kuta tra i vettori

Partizione V *. Equazione di rette e appartamenti vicino allo spazio aperto.

§ 70. Si pensi al parallelismo e alla perpendicolarità di due rette.

Rette con vettori diretti un і b :

a) paralleli uguali e meno uguali, se i vettori un і b collineare;

b) perpendicolare allo stesso e minore allo stesso, se i vettori un і b perpendicolare, quindi se un b = 0.

Occorre tener conto della necessaria e sufficiente comprensione del parallelismo e della perpendicolarità di due rette, data dalle uguaglianze canoniche.

Per quello, dritto

le bocce sono parallele, necessarie e sufficienti, perché la mente vinca

Avere un vipadku, come alcuni dei numeri b 1 , b 2 , b 3 torna a zero, allora è colpevole riportare a zero l'altro numero un 1 , un 2 , un 3 .

Per la perpendicolarità delle rette, è necessario e sufficiente, affinché la mente

un 1 b 1 + un 2 b 2 + un 3 b 3 = 0. (2)

Compito 1. Tra le coppie di rette che avanzano, le scommesse sono parallele o perpendicolari alle rette:

a) Vettori diretti un = (2; 4; -13) e b = (3; 5; 2) ovviamente non collineare. Otzhe, non direttamente parallelo. Rivisitiamo la perpendicolarità della mente

un 1 b 1 + un 2 b 2 + un 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Retta perpendicolare.

b) Il vettore diretto dell'altra retta può essere coordinato b = (3; 2; 4). Per un vettore diretto, posso prima prendere un complemento vettoriale di vettori normali
n 1 = (2; -3; 0) e n 2 \u003d (4; -2; -2) piani, come impostare qiu dritto:

Umov (1) vince, frammenti 6/3 = 4/2 = 8/4. Direttamente parallelo.

c) Vettore diretto delle coordinate maє della prima retta un = (2; 3; 1). È facile portare un'altra linea retta fino a un aspetto canonico.

Otzhe, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

vettori un і b non parallelo. La puzza non è perpendicolare, i frammenti

un 1 b 1 + un 2 b 2 + un 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

I dati sono diritti, non paralleli e non perpendicolari.

Compito 2. Conoscere l'allineamento della retta per passare per il punto M 0 (2; -3; 4) perpendicolare alla retta

Articolo di Tsya sulle rette parallele e sulle rette parallele. La designazione delle linee parallele sul piano e vicino allo spazio aperto viene data sul retro, viene introdotta la designazione e vengono applicate illustrazioni grafiche di linee parallele. Davano segni e comprendevano il parallelismo delle rette. Visnovka mostra soluzioni di compiti caratteristici per dimostrare il parallelismo delle linee, nonché incarichi di tali uguaglianze di una linea retta di un sistema di coordinate rettangolare su un piano e in uno spazio banale.

Navigazione a lato.

Ponti principali diretti paralleli.

Appuntamento.

Si chiamano due rette sul piano parallelo perché non puzzi hotspot.

Appuntamento.

Sono chiamate due linee rette nello spazio trivi-mondano parallelo come la puzza di sdraiarsi in un appartamento e non dormire sui puntini.

Rispettare che l'avvertimento "che la puzza giace sullo stesso piano" alle linee parallele designate nello spazio aperto è ancora più importante. Spieghiamo questo momento: due sono dritti in uno spazio trivi-mondano, in modo che non abbiano punti dormienti e non giacciono sullo stesso piano, non paralleli, ma incrociati.

Mettiamo alcuni esempi di rette parallele. I bordi protilezhnі del foglio zoshita giacciono su linee rette parallele. Dritto, dietro il quale il piano della parete della cabina incrocia il piano della stele e dei sottofondi, che sono paralleli. Puoi anche vedere come le rette parallele sono su un piano di parità.

Per la definizione di rette parallele viene utilizzato il simbolo "". Poiché le rette aeb sono parallele, puoi scrivere a b breve.

Mostra rispetto: poiché le rette aeb sono parallele, puoi dire che la retta a è parallela alla retta b e puoi dire che la retta b è parallela alla retta a.

Solidamente fermo, come se giocasse l'importante ruolo di alcune rette parallele sul piano: per un punto che non giace sulla retta data, passa una retta, parallela alla retta data. Questa affermazione è accettata come un fatto (non può essere dimostrata sulla base degli assiomi della planometria), e si chiama assioma delle rette parallele.

Per uno spazio in uno spazio vale il seguente teorema: per un punto nello spazio, che non giace su una retta data, passare una retta parallela a quella data. Il teorema di Tsya può essere facilmente aiutato dall'introduzione degli assiomi delle rette parallele (її puoi conoscere la tua dimostrazione dal manuale di geometria 10-11, che è indicato nell'articolo nell'elenco dei riferimenti).

Parallelismo delle rette - segni di quel parallelismo mentale.

Segno di rette parallele C'è abbastanza intelligenza per il parallelismo delle rette, così che una tale mentalità, che garantisce il parallelismo delle rette. In altre parole, vykonannya tsієї pensa abbastanza per accertare il fatto delle linee parallele.

Inoltre, è necessario stabilire le menti necessarie e sufficienti del parallelismo delle rette sul piano e nello spazio banale.

È comprensibile cambiare la frase “che è necessario un sufficiente parallelismo mentale delle rette”.

Con un sufficiente parallelismo mentale delle rette, abbiamo già risolto. E che cos'è? mente necessaria parallelismo di rette? Dietro il nome "necessario" si è capito che la mente vikonnannya tsієї è necessaria per il parallelismo delle linee. In altre parole, se il parallelismo delle rette non è necessario, le rette non sono parallele. In modo tale, necessario che abbastanza parallelismo mentale di rette- Tse mente, vykonannya come è necessario, quindi è sufficiente per il parallelismo delle linee rette. Cioè, da un lato c'è un segno di parallelismo di linee rette, dall'altro lato - integrità, come se si potessero vedere linee parallele.

Il primo passo è formulare il necessario parallelismo delle rette, sufficiente alla mente per indovinare un po' di segni aggiuntivi.

Retta- Tse è dritto, come se incrociamo la pelle in due linee rette.

Al momento del ritiro, due sichny utvoryuyuyutsya dritti sono incombusti. Per il formulario mente necessario e sufficiente il parallelismo delle rette prende il destino del cosiddetto a testa in giù sdraiato, sdraiatoі kuti unilaterale. Mostrali sulla poltrona.

Teorema.

Come due rette sul piano di intersezione del sichny, allora per il loro parallelismo è necessario e sufficiente, affinché i tagli fossero incrociati, giacessero, fossero uguali, oppure i tagli fossero uguali, o la somma di uno- i tagli laterali erano di 180 gradi.

Mostriamo un'illustrazione grafica del necessario e sufficiente parallelismo mentale delle linee rette su un piano.

Puoi trovare prove del parallelismo delle linee rette dagli assistenti di geometria per 7-9 classi.

Rispettosamente, puoi vincere nello spazio banale: il sudiciume, in modo che le due linee rette si trovino sullo stesso piano.

Introduciamo alcuni altri teoremi, che sono spesso contestati per dimostrare il parallelismo delle rette.

Teorema.

Se due linee sull'aereo sono parallele alla terza linea, il fetore è parallelo. La prova che i segni sono evidenti dagli assiomi delle rette parallele.

È analogo al parallelismo delle linee rette della mente nello spazio banale.

Teorema.

Come due rette nello spazio parallelo alla terza retta, tutte le puzze sono parallele. Prova che i segni si vedono alle lezioni di geometria nel grado 10.

Illustriamo il suono del teorema.

Introduciamo un altro teorema, che ci permette di portare il parallelismo delle rette sul piano.

Teorema.

Come due rette su un piano perpendicolare alla terza retta, sono parallele.

Esiste un teorema simile per le linee nello spazio.

Teorema.

Come due rette in una distesa insignificante, perpendicolari a un piano, il fetore è parallelo.

Incredibilmente piccoli, yakі vіdpovіdat zim teoremi.

Tutte le formulazioni del teorema, i segni e le menti sufficienti necessarie si prestano miracolosamente a dimostrare il parallelismo delle rette con i metodi della geometria. Quindi, per portare il parallelismo di due compiti di rette, è necessario mostrare che sono parallele alla terza retta, oppure mostrare l'allineamento dei tagli, mentire, e così via. Compiti simili anonimi vengono violati durante la prima ora di lezione di geometria in una scuola secondaria sconosciuta. Tuttavia, va notato che nei rich vipad è facile utilizzare il metodo delle coordinate per dimostrare il parallelismo delle linee sul piano o nello spazio banale. Formuliamo la necessaria comprensione sufficiente del parallelismo delle linee, come compito per un sistema di coordinate rettangolari.

Parallelismo di linee in un sistema di coordinate rettangolari.

In questo paragrafo vengono formulate le statistiche necessario e sufficiente per comprendere il parallelismo delle rette in un sistema di coordinate rettilineo, è incolto sotto forma di rіvnyan, che indica le sue linee rette, e inoltre indurremo segnalazioni di rozvyazki di compiti caratteristici.

Ricordiamo il parallelismo di due rette sul piano del sistema di coordinate rettangolare Oxy . Alla base dello yoga dimostrare di mentire designazione del vettore diretto della rettaі il vettore normale della retta sull'appartamento.

Teorema.

Per il parallelismo di due rette non incidenti sul piano, è necessario e sufficiente che i vettori diretti di queste rette siano collineari, o i vettori normali di queste rette siano collineari, o il vettore diretto di una retta di perpendicolari alla normale vettore dell'altra linea.

Ovviamente il parallelismo mentale di due rette sul piano può essere ridotto a (vettori diretti di rette o vettori normali di rette) oa (vettore diretto di una retta del vettore normale dell'altra retta). In questo ordine, come i - vettori diretti di linee a і b e і - i vettori normali delle rette aeb sono corretti, allora è necessario che vi sia sufficiente parallelismo mentale delle rette aeb si deve scrivere come , o , oppure de t è un numero reale. Le coordinate delle rette e (o) i vettori normali delle rette aeb hanno la loro propria linea di vista dietro le rette date delle rette.

Zokrema, come una linea retta a nel sistema di coordinate rettangolari Oxy sul piano retta mente , e la retta b - quindi i vettori normali delle linee rette tsikh possono essere coordinate in vіdpovіdno, e il parallelismo delle linee di Um a e b sarà scritto come .

Yakshcho dirige un vіdpovіdaє allineamento di rette con un coefficiente di taglio mente, e la linea b-, allora i vettori normali di queste linee possono avere coordinate i, e il parallelismo mentale di queste linee in futuro lo vedrò . Inoltre, sebbene le linee sul piano di un sistema di coordinate rettangolare siano parallele e possano essere impostate uguali alle linee con i coefficienti apicali, i coefficienti apicali delle linee saranno uguali. Prima di tutto: sebbene le rette, che non si piegano, su un piano in un sistema di coordinate rettangolari possano essere impostate da rette con coefficienti di spigolo uguali, tali rette sono parallele.

Come la retta a e la retta b in un sistema di coordinate rettilinee allineamento canonico delle rette sul piano mente і , o allineamento parametrico di una retta su un piano mente і ovviamente, i vettori diretti di queste rette possono essere coordinate i , e il parallelismo mentale delle rette aeb si scrive come .

Diamo un'occhiata a una serie di applicazioni.

culo.

Chi rette parallele і?

Soluzione.

Riscriviamo allineamento delle rette agli avvolgimenti alla vista di una retta selvaggia: . Ora puoi vedere che scho è un normale vettore di linee rette e il vettore normale è una retta. I vettori Qi non sono collineari, perché non esistono numero di data t , per cui l'uguaglianza è corretta ( ). Pertanto, non è necessario superare la necessità di un sufficiente parallelismo mentale delle rette sul piano, i compiti delle rette non sono paralleli a questo.

Suggerimento:

No, non direttamente parallelo.

culo.

Sono dritti e paralleli?

Soluzione.

Navigabile canonicamente uguale da diritto a uguale diritto dal coefficiente di taglio: . È ovvio che l'equalizzazione delle linee rette e le stesse (in compiti diversi, le linee rette saranno evitate) e i coefficienti kutovі di diretti uguali, inoltre, le linee rette sono parallele.