Soluzione di righe di matrice. Matematica per teiere Matrici e le principali sopra di esse. Operazione di trasposizione della matrice

L'aiuto metodico danese ti aiuterà a imparare a vincere proprio con le matrici: addizione (rimozione) di matrici, trasposizione di matrici, moltiplicazione di matrici, significato della matrice pivot. Tutti i materiali delle deposizioni sono in forme semplici e accessibili, sono realizzati allo stesso modo, in un tale grado, una persona impreparata può imparare a lavorare con le matrici. Per l'autocontrollo e l'autoverifica, puoi utilizzare il calcolatore a matrice >>> gratuitamente.

Cerco di minimizzare le sottoclausole teoriche, se puoi spiegare “con le dita” quei termini non scientifici. Amanti della teoria del terreno, siate gentili, non fate critiche, il nostro compito è impara come imparare a usare le matrici.

Per una preparazione superficiale all'argomento (chi "brucia") - un corso intensivo in pdf Matrix, vyznachnik quella sala!

La matrice è una tabella rettangolare, che sia elementi. Nello yakost elementi possiamo guardare i numeri, cioè le matrici dei numeri. ELEMENTO- Tse termin. Il termine va ricordato, i vini sono spesso scarabocchiati, non vikoristav per questa visione in grassetto.

Designazione: le matrici suonano in grandi lettere latine

Culo: Diamo un'occhiata alla matrice due per tre:

Questa matrice è composta da sei elementi:

Tutti i numeri (elementi) nel mezzo della matrice possono essere trovati da soli, quindi non puoi trovare nulla al riguardo:

È solo una tabella (insieme) di numeri!

Quindi siamo a casa non riordinare numero, che non è menzionato nelle spiegazioni. Il numero della skin ha il suo punto di decomposizione ed è impossibile mescolarli!

Si guarda la matrice, ha due righe:

e tre pilastri:

STANDARD: se parliamo dell'espansione della matrice, allora sulla pannocchia indicare il numero di righe, quindi - il numero di colonne. A poco a poco, hanno risolto la matrice "due per tre" con i pennelli.

Se il numero di righe e colonne della matrice è zbіgaєtsya, viene chiamata la matrice quadrato, Per esempio: - matrice tre per tre.

Come in una matrice una riga o una riga, anche tali matrici sono chiamate vettori.

Conosciamo davvero le matrici dalle scuole, prendiamo ad esempio un punto con coordinate "iks" e "iplayer": . Infatti, le coordinate del punto sono scritte in una matrice uno per due. Prima del discorso, l'asse per te è un esempio, perché l'ordine dei numeri può essere significativo: i - tse due punti diversi del piano.

Ora andiamo avanti senza intoppi al matrimonio fai da te da matrici:

1) Diya persha. La colpa del meno dalla matrice (introduzione del meno nella matrice).

Passiamo alla nostra matrice . Come hai ricordato cantilenante, la mia matrice ha troppi numeri negativi. È ancora più scomodo con l'aspetto dello scribacchino dei piccoli con la matrice, la scrittura senza maniglie delle note negative, quella sembra proprio brutta nel design.

Diamo la colpa al meno per le intermatrici, cambiando il segno dell'elemento SKIN della matrice:

A zero, come sapete, il segno non cambia, zero - vino e zero in Africa.

culo Zvorotny: . Guardo con condiscendenza.

Introduciamo un meno alla matrice, cambiando il segno dell'elemento SKIN della matrice:

Bene, asse, veyshlo riccamente comprensivo. Io, naygolovnіshe, sarà PIÙ FACILE battere la matrice. Perché è così matematico prikmeta delle persone: più svantaggi, più truffatori e perdoni.

2) Dia amico. Moltiplicare una matrice per un numero.

Culo:

È semplice, per moltiplicare la matrice per un numero, è necessario pelle moltiplica l'elemento della matrice per numero intero. In a questo particolare tipo- Trio.

Un altro culo marrone:

– moltiplicazione di matrici per drib

Sul retro della testa, guardiamo quelli che sono robiti NON RICHIESTO:

L'aggiunta di più soldi alla matrice NON È RICHIESTA, in primo luogo, è più facile piegare più lontano dalla matrice, in un modo diverso, è più facile verificare nuovamente la soluzione da parte del vikladach (in particolare, yakscho - Requisizione residua).

Tim di più, NON RICHIESTO dilità dell'elemento pelle della matrice di meno sim:

Tre statistiche Matematica per manichini o perché altro, lo ricordiamo frazioni decimali con cui tutti gli altri matematici cercano di essere unici.

Una cosa bagan robiti nella tua applicazione - tse aggiungi un meno alla matrice:

E da Yakby TUTTO gli elementi della matrice sono stati divisi per 7 senza eccessi, Quindi puoi (e devi!) Boulo b podіlit.

Culo:

In quale direzione posso i NECESSARIO moltiplica tutti gli elementi della matrice per , in modo che tutti i numeri della matrice siano divisi per 2 senza eccessi.

Nota: in teoria matematica avanzata non c'è scolaro che capisca "podіl". Invece della frase "non aggiungere a questo" puoi sempre dire "moltiplica per di più". Tobto podіl - tse okremia vpadok plurale.

3) Diya terzo. Trasposizione di matrice.

Per trasporre la matrice, è necessario scrivere righe nelle colonne della matrice trasposta.

Culo:

Trasporre una matrice

C'è solo una riga qui e, secondo la regola, è necessario annotarla nella colonna:

è la matrice trasposta.

La matrice trasposta è indicata da un indice in apice o da un tratto di un'anguilla destrorsa.

Coprire il sedere:

Trasporre una matrice

Sul retro, riscriviamo la prima riga al primo passaggio:

Riscriviamo un'altra riga in un'altra riga:

І, nareshti, riscrivi la terza riga al terzo stovpets:

Pronto. Apparentemente, trasporre significa ruotare la matrice lateralmente.

4) Diya quarto. Matrice somma (al dettaglio)..

La somma delle matrici diya è imbarazzante.
NON TUTTE LE MATRICI POSSONO ESSERE PIEGATE. Per le matrici pieghevoli vykonannya (vіdnіmannya), è necessario che la puzza delle bocce sia la stessa PER ROZMIROM.

Ad esempio, se viene fornita una matrice "due per due", puoi solo aggiungerla alla matrice "due per due" e in qualsiasi altro modo!

Culo:

Piega le matrici і

Per piegare le matrici, è necessario piegare i loro elementi richiesti:

Per matrici diverse, la regola è simile, è necessario conoscere la differenza tra i diversi elementi.

Culo:

Conoscere la differenza delle matrici ,

E come puoi rendere questo culo più semplice, per non perderti? Non esitate ad aggiungere i meno, per i quali aggiungeremo un meno alla matrice:

Nota: in teoria, non esiste una comprensione della matematica da scuola superiore. Invece della frase "qualunque cosa vedi" puoi sempre dire "per aggiungere un numero negativo". Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok piegato.

5) Diya p'yata. Riproduzione di matrici.

Quali matrici si possono moltiplicare?

In modo che la matrice possa essere moltiplicata per la matrice secondo necessità, in modo che il numero di colonne nella matrice sia uguale al numero di righe nella matrice.

Culo:
Puoi moltiplicare una matrice per una matrice?

Ancora una volta, puoi moltiplicare queste matrici.

E dalla stessa matrice, riordina le missioni, quindi in questo modo la moltiplicazione è già impossibile!

Otzhe, vikonati plurale è impossibile:

Non capita spesso che i compiti vengano ingannati con l'inganno, se uno studente è incoraggiato a moltiplicare matrici, la cui moltiplicazione è ovviamente impossibile.

La diapositiva indica che un certo numero di variabili può moltiplicare le matrici, così, così.
Ad esempio, per le matrici, posso essere moltiplicato, quindi ho moltiplicato

La matrice rettangolare dell'espansione mxn è la somma di mxn numeri, disposti in una tabella rettangolare, per vendicare righe di m e n colonne. Scriveremo її a vista

altrimenti, guardando A = (a i j) (i = ; j = ), i numeri a i j sono chiamati elementi її; il primo indice punta al numero di riga, l'altro - al numero di riga. A \u003d (a i j) e B \u003d (b i j) della stessa dimensione sono chiamati uguali, poiché gli elementi sono uguali a coppie, quindi si trovano negli stessi punti, quindi A \u003d B, quindi a i j \u003d b i j.

Una matrice piegata da una riga o da una colonna è chiamata vettore riga o colonna. I vettori Stow e i vettori di riga sono semplicemente chiamati vettori.

Una matrice che ha un numero viene mappata su quel numero. A rozmіru mxn, tutti gli elementi uguali a zero, sono chiamati zero e sono assegnati tramite 0. Gli elementi con gli stessi indici sono chiamati elementi della diagonale della testa. Se il numero di righe è uguale al numero di dormienti, allora m = n, la matrice è chiamata ordine quadrato n. Le matrici quadrate, che hanno zero o più elementi della diagonale della testa, sono dette diagonali e si scrivono come segue:

Se tutti gli elementi a i i sommano diagonalmente a 1, allora si dice singolo e si indica con la lettera E:

Una matrice quadrata si chiama tricot, perché tutti gli elementi che stanno più in alto (o più in basso) della diagonale della testa, sono uguali a zero. Una trasposizione è chiamata tale trasformazione, quando righe e colonne vengono modificate di posti nel risparmio dei loro numeri. È indicato dall'icona di trasposizione T in alto.

Poiché in (4.1) possiamo riordinare le righe con le colonne, prendiamo

come se fosse stato trasposto da A. Zokrem, quando si traspone vector-stovptsya, appariranno row-vector e navpacki.

Sottocomponente E il numero b è chiamato matrice, i cui elementi provengono dai secondi elementi di A per moltiplicare il numero b: b A = (b a i j).

La somma A = (a i j) e B = (b i j) di una dimensione è chiamata C = (c i j) della stessa dimensione, i cui elementi sono assegnati alla formula c i j = a i j + b i j .

Dobutok AB è associato all'ammissione, quindi il numero di colonne A è uguale al numero di righe U.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , assegnato all'ordine assegnato AB, chiamato C = (c i k), gli elementi sono assegnati a tale regola:

c io k = un io 1 b 1 k + un io 2 b 2 k +... + un io m b m k = un io s b s k . (4.2)

Altrimenti sembrerebbe che l'elemento della creazione AB sia assegnato nel seguente ordine: l'elemento della i-esima riga e della k-esima colonna è la somma più bella degli elementi creativi della i-esima riga A su gli elementi dipendenti della k-esima colonna B.

culo 2.1. Conoscere doboot AB i .

Soluzione. Maggio: A rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, quindi dobutok AB \u003d C іsnuє і elementi С uguale

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

e tvr BA non è vero.

culo 2.2. La tabella indica il numero di singoli prodotti che quotidianamente vengono prelevati dai caseifici 1 e 2 ai punti vendita M 1, M 2 e M 3, inoltre la consegna di un singolo prodotto dal caseificio skin al punto vendita M 1 costa 50 denari. uno, al negozio M 2 - 70 e M 3 - 130 den. uno. Pіdrakhuvat schodennі trasporta l'impianto di conceria vitrati.

latticini

Soluzione. Significativamente attraverso una matrice, dataci per la comprensione, e attraverso
B - una matrice che caratterizza la variabilità di consegna di un singolo prodotto del punto vendita, tobto,

La matrice di Todo vitrato sulla matima trasportata sembrava:

Inoltre, il primo impianto di vetrate ha attualmente un prezzo di 4.750 gross. uno, l'altro - 3680 den.

culo 2.3. L'attività di cucito prepara cappotti invernali, cappotti per la mezza stagione e impermeabili. Il rilascio previsto per un decennio è caratterizzato dal vettore X = (10, 15, 23). Vykorivuyutsya tessuti chotirioh tipi T1, T2, T3, T4. Nella tabella, le norme dei tessuti vitrati (metri) per la vibrazione della pelle. Il vettore С = (40, 35, 24, 16) indica la variabilità del metro del tessuto del tipo di pelle e il vettore P = (5, 3, 2, 2) - la varianza del metro trasportato del tessuto di tipo dermico.

	Tessuti Vitrata

cappotto invernale
Cappotto mezza stagione

Algebra lineare

Matrici

matrice rozmіru m x n - tse tabella di numeri rettilinea, per vendicare m righe e n stoptsіv. I numeri che compongono una matrice sono detti elementi di matrice.

Le matrici sono designate da grandi lettere latine e gli elementi - dalle stesse lettere minuscole con indicizzazione di ferretto.

Ad esempio, osserviamo la matrice A di 2 x 3 dimensioni:

Questa matrice ha due righe (m = 2) e tre righe (n = 3), cioè. vinto è composto da sei elementi a ij de i - numero di riga, j - numero di riga. Con questo, il valore è da 1 a 2 e il valore di uno è fino a tre (registrato). Zokrema, un 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; un 23 = 5.

Si chiamano matrici A e B della stessa dimensione (m x n). pari, in modo che la puzza sia elemento per elemento zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij per , allora. per ogni i e j (puoi scrivere "i, j").

matrice di righe- la stessa matrice che viene piegata da una riga, e matrice-timbro- Matrice Tse piegata da uno stovptsya.

Per esempio, è una matrice di righe e .

matrice quadrata all'n-esimo ordine - la matrice, fino a una riga fino al numero di colonne e fino a n.

Ad esempio, una matrice quadrata di ordine diverso.

Diagonale elementi della matrice – elementi target, per i quali il numero di riga è uguale al numero di colonna (a ij, i = j). Gli elementi Qi soddisfano diagonale principale matrici. Al calcio anteriore, la diagonale principale è composta da elementi a 11 = 3 e a 22 = 5.

Matrice diagonale- Questa è una matrice quadrata, in cui tutti gli elementi fuori diagonale sono uguali a zero. Per esempio, - Matrice diagonale del terzo ordine. In tal caso, tutti gli elementi diagonali sono uguali a uno, viene chiamata la matrice solitario(I suoni sono indicati dalla lettera E). Per esempio, - Matrice sola del terzo ordine.

La matrice è chiamata zero in modo che tutti gli elementi її siano uguali a zero.

Si chiama la matrice quadrata lavorato a maglia quindi tutti gli elementi sotto (o sopra) la diagonale della testa sono uguali a zero. Per esempio, - Matrice Tricut del terzo ordine.

Operazioni sulle matrici

Sulle matrici possono essere eseguite le seguenti operazioni:

1. Moltiplicare una matrice per un numero. La matrice aggiuntiva per il numero l è la matrice B = lА, i cui elementi sono b ij = la ij per ogni i i j.

Ad esempio, yakscho, allora .

2. Aggiunta di matrici. La somma di due matrici A і della stessa dimensione m x n è chiamata matrice C \u003d A + B, i cui elementi sono ij \u003d a ij + b ij per "i, j.

Ad esempio, come poi

È significativo che attraverso l'operazione frontale sia possibile matrice visiva stessa misura: differenza A-B\u003d A + (-1) * art.

3. Riproduzione di matrici. La matrice aggiuntiva A espansa m x n alla matrice espansa n x p è chiamata tale matrice C, il cui elemento skin s ij integra la somma degli elementi della i-esima riga della matrice A sugli elementi visibili della j-esima colonna della matrice, tobto. .

Ad esempio, come

, quindi l'espansione della creazione della matrice sarà 2 x 3 e cerca la madre:

In questo modo, la matrice A è chiamata matrice ristretta.

Sulla base dell'operazione di moltiplicazione per matrici quadrate, l'operazione collegamenti ai piedi. Il ramo positivo A m (m > 1) della matrice quadrata A è detto m matrici aggiuntive pari ad A, tobto.

Diciamo che l'addizione (sostituzione) e la moltiplicazione di matrici non sono destinate a due matrici, ma solo al canto del più, che piace, nella sua stessa misura. Per znakhodzhennya sumi chi rіznitі matrici їх rozmіr obov'yazkovo può essere lo stesso. Per la creazione di matrici, il numero di colonne nella prima può essere aumentato del numero di righe nell'altra (tali matrici sono chiamate pleasezhenimi).

Diamo un'occhiata ai poteri delle operazioni osservate, analoghi ai poteri delle operazioni sui numeri.

1) Legge commutativa (spostante) di piegatura:

A + B = B + A

2) Legge pieghevole associativa (felice):

(LA + B) + C = LA + (LA + C)

3) Legge distributiva (diffusione) della moltiplicazione come piegare:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(LA + B) C = AC + BC

5) Legge associativa (felice) della moltiplicazione:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

È supportato che la legge mobile della moltiplicazione per le matrici non cambia nella direzione opposta, cioè. AB ¹ BA. Inoltre, dalla base AB, la base BA non è necessariamente pronunciata (le matrici possono non essere accettabili, e anche gli stessi dobut non vengono assegnati, come nel caso del calcio indotto, alla pluralità di matrici). Ale navіt yakscho offesa, fallo, puzza ruggito raznі.

In un buon modo, la legge commutativa può aggiungere una matrice quadrata A a una singola matrice dello stesso ordine, inoltre, questo si somma ad A (moltiplicare per una singola matrice qui è simile a moltiplicare per uno quando si moltiplicano i numeri):

AE = EA = A

Vero,

Aggiungiamo un'altra molteplicità di matrici alle moltiplicazioni di numeri. È possibile aggiungere più numeri a zero o meno, se si desidera che uno di essi sia uguale a zero. È impossibile dire di matrici, tobto. ulteriori matrici diverse da zero possono essere aggiunte a zero matrici. Per esempio,

Diamo un'occhiata alle operazioni sulle matrici.

4. Trasposizione di matriceє operazione di transizione dalla matrice A all'espansione m x n alla matrice A T all'espansione n x m, nelle stesse righe e colonne sono state commemorate da spazi:

La potenza dell'operazione di trasposizione:

1) Abbiamo scelto quanto segue, in modo che la matrice possa essere trasposta a due, passeremo alla matrice di output: (AT) T = A.

2) Il moltiplicatore costante può essere imputato al segno di trasposizione: (lА) T = lА T .

3) Trasposizione di matrici addizionali moltiplicate in modo distributivo: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

Matrici

Per la matrice quadrata della pelle A, immettere il numero |A| vyznachnik. Innodi yoga è indicato con la lettera D.

Tse є importante in cima ai compiti pratici bassi. Significativamente lo yoga attraverso il metodo del calcolo.

Per una matrice del primo ordine її il singolo elemento |А| = D1 = a11.

Per una matrice di ordine diverso її, un numero è chiamato significante, poiché è calcolato secondo la formula |А| \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Per una matrice A del terzo ordine її il numero è chiamato significante, poiché è calcolato secondo la formula

Rappresenta la somma dell'algebra, che consiste in 6 addizioni, nella cui pelle entra esattamente un elemento dalla riga della pelle e dalla matrice della matrice della pelle. Per memorizzare la formula del vyznachnik, è consuetudine accelerare la cosiddetta regola dei trucchi o la regola di Sarrus (Fig. 6.1).

Sul piccolo 6.1 viene mostrato lo schema del male, come scegliere gli elementi per le addizioni con un segno più, - la puzza è perebuvayut sulla diagonale della testa e nella parte superiore dei trikutnik a femorale uguale e metterli in parallelo. Lo schema di zlіva vikoristovuєtsya per dodankіv zі segno "meno"; su di esso viene preso il deputato della testa diagonale cosiddetta di lato.

I leader di ordini superiori sono calcolati in modo ricorsivo, tobto. successore di quarto ordine tramite successore di terzo ordine, successore di quinto ordine tramite successore di quarto ordine, ecc. Per descrivere il metodo è necessario introdurre il concetto di minore di quell'elemento algebrico complementare della matrice (è molto significativo che il metodo stesso, che si vedrà più avanti, è adatto al terzo e all'altro ordine).

Minore M ij elemento a ij matrice di n-esimo ordine è detto iniziale della matrice di (n-1)-esimo ordine, tratto dalla matrice A e corrispondenza della i riga i della j-esima colonna.

La matrice cutanea dell'n-esimo ordine è n2 minore nell'(n-1)-esimo ordine.

Addizioni algebriche Una matrice ij elemento ij dell'n-esimo ordine è chiamata yogo minor, prendendo zі segno (-1) (i + j) :

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, che è la somma dei numeri nella riga e nella colonna della coppia, і A ij \u003d -M ij, che non è accoppiato.

Ad esempio, come , poi ; e così via.

Metodo di calcolo del capitale polygaє nell'offensiva: il significante della matrice quadrata è più avanzato della somma delle creazioni degli elementi in qualsiasi ordine (stovptsya) sulle loro aggiunte all'algebra:

(disposizione secondo i-esimo elemento righe; );

(Il layout per gli elementi della j-esima colonna;).

Per esempio,

È significativo che all'inizio lo schema primordiale della matrice tricot sia più avanzato degli elementi della diagonale della testa.

Formuliamo i principali poteri dei magistrati.

1. Se c'è una riga o se la matrice è composta solo da zeri, l'arbitro è uguale a 0 (segue il metodo di rozrahunka).

2. Se moltiplichi tutti gli elementi di una sorta di riga (stowptsya) della matrice per lo stesso numero, lo stesso numero viene moltiplicato per il numero intero).

Nota: per il segno del significante, puoi incolpare il moltiplicatore caldo della riga stessa (per il segno della matrice, per il cui segno puoi incolpare il moltiplicatore caldo degli elementi). Per esempio, , .

3. Quando la matrice її viene trasposta, il significante non cambia: | A T | = | A | (La prova non verrà eseguita).

4. Quando si riordinano gli spazi di due righe (stowptsiv) della matrice, l'arbitro cambia il segno del prolege.

Per confermare il valore della pannocchia, è accettabile riordinare due righe consecutive della matrice: i-esima e (i + 1)-esima. Per matrice rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj io tiro, e per la nuova matrice (con righe riorganizzate) - di (i + 1) - th (come in niy è la stessa, quindi si sposta elemento per elemento). Quindi, quando l'altro segno è espanso, la pelle integra la matima algebrica con il segno del prolege, quindi (-1) sarà ridotto non ai gradini (i + j), ma ai gradini (i + 1 + j), e in un'altra formula, le formule non verranno aggiunte. In questo modo il segno del primate si trasforma in protile.

Ora è accettabile che non i campi siano riorganizzati, ma altre due righe, ad esempio i-esimo e (i + t)-esimo. Tale permutazione è possibile come un successivo spostamento della i-esima riga di t righe in basso e la (i + t)-esima riga - di (t-1) righe in alto. Per chi cambia il segno del primate (t + t - 1) = 2t - 1 il numero di volte, cioè. numero di volte non accoppiato. Otzhe, lascia che le viti cambino il resto.

Un mirroring simile può essere modificato per stovptsiv.

5. Se la matrice deve sostituire due righe identiche (stowptsya), la successiva è uguale a 0.

È vero, se le stesse righe (stovptsі) vengono riorganizzate dalle missioni, quella matrice stessa verrà portata via dagli stessi incaricati. Dall'altro lato, dietro le vene yakistyu anteriori, puoi cambiare il simbolo, tobto. D = -D D = 0.

6. Poiché gli elementi di due righe (stowptsіv) della matrice sono proporzionali, il numero uno è uguale a 0.

Questo potere si basa sulla potenza in avanti di quel vino per il grillo del moltiplicatore della testa (se il vino per il grillo del coefficiente di proporzione nella matrice sarà le stesse righe di abo stovpts e, di conseguenza, il coefficiente sarà essere moltiplicato per zero).

7. La somma degli elementi creativi di qualsiasi riga (stowptsya) della matrice sull'aggiunta algebrica degli elementi della riga successiva (stowptsya) della stessa matrice sarà sempre 0: per i ¹ j.

Per portare potenza basta sostituire la j-esima riga della matrice A con la i-esima riga. Ci saranno due righe uguali nella matrice abbreviata, a cui l'arbitro successivo è uguale a 0. Dall'altro lato, può essere calcolato dagli elementi della j-esima riga: .

8. L'indice della matrice non cambia, solo agli elementi della riga o alla matrice, sommare gli elementi della riga successiva (stow), moltiplicati per lo stesso numero.

Bene, lasciami aggiungere agli elementi della i-esima riga j-esimo elemento righe moltiplicate per l. Si vedranno elementi Todi della nuova i-esima fila
(a ik + la jk , "k). Calcoliamo il segno della nuova disposizione della matrice dopo gli elementi della i-esima riga (è significativo che le addizioni algebriche degli elementi її non cambino quando cambiano):

Abbiamo portato via che questo primate non assomiglia al primate della matrice esterna.

9. Matrici dobutku significative più costose dobutku їх vyznachnіv: | AB | = | A | * |U| (La prova non verrà eseguita).

Hanno esaminato più autorità dei vyznachnik e dei vicoristi per motivi di perdono del loro calcolo. Zzvichay namagayutsya perevorit matrice in una tale forma, shchob be-yaky stovpets o una fila di vendetta yaknabіlshe zero. È facile conoscere il prossimo arbitro per la disposizione della prima fila o dell'altra.

matrice di inversione

Viene chiamata la matrice A-1 reversibile in base al rapporto con la matrice quadrata A, anche se la matrice è moltiplicata per la matrice A, è destrorsa, quindi ne esce l'unica matrice: A -1 * A = A * A -1 = E.

Ne consegue che la matrice inversa è una matrice quadrata dello stesso ordine della matrice A.

Si può vedere che la comprensione della matrice pivot è simile alla comprensione del numero pivot (il numero intero, quando moltiplicato per un dato numero dà uno: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

I numeri di baffi, crim zero, possono avvolgere i numeri.

Per conoscere la potenza, qual è la matrice quadrata della dichiarazione, è necessario conoscere l'arbitro. Se la matrice è uguale a zero, viene chiamata tale matrice virogeno, o specialmente.

Necessario abbastanza mente La base della matrice sierica: la matrice sierica è la stessa e solo se non viene utilizzata la matrice non virogenetica.

Porteremo il bisogno. Sia la matrice la matrice inversa A -1, allora. LA -1 * LA \u003d E. Todi | LA -1 * LA | = | A -1 | * |A| = | E | = 1. Più tardi,
|A| ¹0.

Portiamo la sufficienza. Per portarlo in primo piano, è necessario descrivere semplicemente il metodo di calcolo della matrice sierica, che può sempre essere fatto per la matrice non vergine.

Otzhe, andiamo | A | ¹ 0. Trasporre la matrice A. Per l'elemento skin А Т venire(Reciprocamente, alleato):.

Conosciamo la realtà della matrice ricevuta e dell'output. Porta via . In questo ordine, la matrice è diagonale. Sulla diagonale della testa її ci sono i segni della matrice di output e le linee degli elementi sono zeri:

Allo stesso modo, puoi mostrarlo.

Se dividi tutti gli elementi della matrice in |A|, toglierai la singola matrice E.

Un tale grado , poi. .

Portiamo l'unità della matrice pivot. Diciamo che la matrice inversa principale per A, il valore predefinito è A -1 . Significativamente її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

L'unità ha portato.

Inoltre, l'algoritmo per il calcolo della matrice pivot è composto dai passaggi successivi:

1. Conoscere l'arbitro della matrice | A | . Yakscho |A| = 0, allora la matrice A è un virogeno e non è possibile conoscere la matrice inversa. Yakscho |A| ¹ 0, quindi vai all'uncinetto a gradini.

2. Favorire la trasposizione della matrice AT.

3. Conoscere gli elementi complementari algebrici della matrice trasposta e indurre la matrice data.

4. Calcolare la matrice avvolta dividendo la matrice ricevuta in |A|.

5. È possibile invertire la correttezza del calcolo della matrice pivot in modo corretto al punto: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Conosciamo il numero uno della matrice dietro la regola dei trucchi:

Saltiamo la riscrittura.

Puoi portare al potere le seguenti matrici:

1) | A-1 | = 1 / | A |

2) (LA -1) -1 = LA

3) (LA m) -1 = (LA -1) m

4) (AB) -1 = SI -1 * LA -1

5) (LA -1) T \u003d (AT) -1

Grado di matrice

Ordine k-esimo minore ad una matrice di m x n dimensioni, per nominare il significante di una matrice quadrata di k-esimo ordine, come si ricava dalla matrice A per far corrispondere se vi sono righe e colonne.

È importante notare che l'ordine del minore non supera quello più piccolo, tobto. k £ min (m; n). Ad esempio, dalle matrici A 5x3 è possibile rimuovere le sottomatrici quadrate del primo, dell'altro e del terzo ordine (è possibile espandere gli ordini minori).

rango nome delle matrici trovare l'ordine sotto forma di zeri nei minori della matrice (indicare suonato A, o r(A)).

Oh!

1) il rango della matrice è selezionato dalla s più piccola її razmiriv, tobto.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 e quindi, se la matrice è zero (tutti gli elementi della matrice uguali a zero), allora. r(A) = 0 A = 0;

3) per una matrice quadrata dell'n-esimo ordine, r(A) = n e quindi, se la matrice A è non virogenea, allora. r(A) = n | | ¹0.

Infatti, per chi è sufficiente calcolare più di uno di questi minori (quello che è stato tolto alla resurrezione della terza colonna (perché ci sarà una terza colonna zero nel resht, e a ciò si aggiungerà il fetore a zero).

Dietro la regola del tricot = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

I frammenti di tutti i minori del terzo ordine sono zero, r(A) £ 2. I frammenti hanno un minore diverso da zero di un ordine diverso, ad esempio,

È ovvio che il vikoristani da noi accettato (uno sguardo ai vari minori) non è adatto al rango superiore nelle tendenze più complesse con grande lavoro. Suona il segno del rango degli atti di trasformazione vittoriosi della matrice, come chiamano elementare:

uno). V_dkidannya zero righe (stovpts_v).

2). Riproduzione di tutti gli elementi di una riga o di una matrice per numero, senza contare lo zero.

3). Modifica dell'ordine delle righe (stovptsiv) della matrice.

quattro). Un'aggiunta all'elemento skin di una riga (stovptsya) degli elementi della seconda riga (stovptsya), moltiplicata per un numero.

5). Trasporre.

Poiché la matrice A è presa dalle matrici B mediante trasformazioni elementari, queste matrici sono chiamate equivalente indico A~B.

Teorema. Le trasformazioni elementari della matrice non cambiano il rango.

La dimostrazione del teorema è evidente dalla dominanza della matrice. Infatti, nel caso di queste trasformazioni, le matrici quadrate vengono salvate o moltiplicate per un numero diverso da zero. Attraverso la guerra, il più grande ordine degli zeri iniziali dei minori della matrice esterna viene lasciato da solo, cioè. її il grado non viene modificato.

Per l'aiuto delle trasformazioni elementari, la matrice viene portata al cosiddetto aspetto graduale (rielaborato su matrice di passi), poi. Si presume che la matrice equivalente sotto la diagonale della testa avesse solo zero elementi e la diagonale della testa avesse elementi diversi da zero:

Il rango della matrice della frequenza del passo è uguale a r, gli oscillatori dei valori incrociati da essa, a partire da (r + 1)esimo e lontano, è possibile prendere l'ordine r-esimo matrice trivaluta, l'arbitro, che sarà in forma di zero, gli oscillatori saranno di ordine diverso da zero, diverso da zero):

culo. Trova il rango di una matrice

uno). Se un 11 \u003d 0 (come nel nostro caso), quindi riorganizzando le righe e stovptsіv è possibile ottenere un 11 ¹ 0. Qui ricordiamo la 1a e la 2a riga della matrice:

2). Sono le 11 adesso? 0. Trasformazioni elementari Dob'єmosja, shchob shta elementіv al primo stovptsi doіvnyuvali zero. L'altra riga ha 21 = 0. La terza riga ha 31 = -4. Sob (-4) in piedi 0, aggiungendo alla terza riga la prima riga, moltiplicazioni per 2 (tobto per (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Allo stesso modo, alla quarta riga, aggiungi la prima riga (moltiplicazioni per uno, quindi per (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). Nella matrice sottrattiva a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, quindi puoi riorganizzare nuovamente le righe). Assicuriamoci che le diagonali sotto l'altro lato siano zero. Per la 3a e 4a riga, aggiungi un'altra riga, moltiplicazioni per -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

quattro). Nella matrice abbreviata, le due righe rimanenti sono zero e їх può essere eliminato:

La matrice del passaggio è stata rimossa, che è piegata in due file. Inoltre, r(A) = 2.

Tse comprensione, scho zagalnyu є tutte le possibili operazioni, yakі viroblyayutsya con matrici. Matrice matematica - tabella degli elementi. A proposito di un tale tavolo, de m Rowkіv ta n stoptsіv, sembra che la matrice possa essere rozmirnіst m sul n.

L'aspetto luminoso della matrice:

Per matrice di soluzioneè necessario capire qual è la matrice e conoscere i parametri principali. Gli elementi principali della matrice:

Testa diagonale, che è composta da elementi un 11, un 22 ..... un mn.
Diagonale laterale, che è composto da elementi a 1n, a 2n-1 …..a m1.

Principali tipi di matrice:

Quadrato - tale matrice, de numero di righe = numero di colonne ( m=n).
Zero - tutti gli elementi della matrice = 0.
Matrice trasposta - matrice In, yak bula otrimana dalla matrice esterna UN con un percorso, sostituire le file sui pilastri.
Da solo: tutti gli elementi della testa diagonale = 1, linea = 0.
Una matrice inversa è una matrice, quando moltiplicata per una matrice inversa, dà come risultato una singola matrice.

La matrice può essere simmetrica sia per la testa che per le diagonali laterali. Tobto, yakscho un 12 = un 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... un m-1n = un mn-1 quindi la matrice è simmetrica lungo la diagonale principale. Più che matrici quadrate possono essere simmetriche.

Metodi di matrici di rozvyazannya.

Mayzhe tutto metodo di trasformazione delle matrici mentire al famoso її vyznachnik n esimo ordine e più di loro da fare ingombrante. Per conoscere il primate del 2° e 3° ordine, ci sono altri modi più razionali.

Znakhodzhennya vyznachnikі nel 2° ordine.

Per il calcolo della matrice MA 2° ordine, per la creazione di elementi nella diagonale di testa è necessario aggiungere ulteriori elementi nella diagonale laterale:

Metodi di conoscenza del 3° ordine.

Di seguito le regole per la conoscenza del 3° ordine.

La regola del trikutnik è stata semplificata, come una metodi della matrice di ciliegie, può essere rappresentato come segue:

In altre parole, la ricezione degli elementi dal primo arbitro, come se fossero diritti, si assume con il segno "+"; proprio così, per il 2o impiegato - le creazioni più importanti sono prese con il segno "-", quindi per un tale schema:

In risolvere le matrici con la regola di Sarrus, destrorso, in direzione del firmatario, somma le prime 2 colonne e crea gli elementi più importanti sulla diagonale di testa e sulle diagonali, come l'i-esima parallela, prendi il 3 con il segno "+"; ma crea due elementi di diagonali laterali e diagonali, come paralleli, con il segno "-":

Razkladannya vyznachnik in ordine di numero di matrici stovptsyu pіd hour vіrіshennya.

Il vyznachnik è una migliore somma di creazioni degli elementi di una riga del vyznachnik sui loro addendum di algebra. Chiama per scegliere quella riga/stovpets, in un modo che sia zero. Una riga o una riga, in base alla quale viene eseguito il layout, verrà designata come una freccia.

Portando il primate a uno sguardo tricot sull'ora delle matrici di ciliegio.

In matrice di soluzione Con l'aiuto di portare il primate a un aspetto tricot, esercitati in questo modo: con l'aiuto delle più semplici trasformazioni sulle file di canti, il primate diventa un aspetto tricot e lo stesso significato, apparentemente al potere del primate, elementi dobutku , come stare sulla diagonale della testa.

Teorema di Laplace per la perfezione delle matrici.

Vedendo le matrici dietro il teorema di Laplace, è necessario conoscere il teorema stesso senza vie di mezzo. Teorema di Laplace: Andiamo Δ - tse vyznachnik n esimo ordine. Vibiraemo nel nuovo be-yakі K rowkiv (abo stovptsiv), per la mente K≤ n - 1. Tale tempo ha una somma di opere K esimo ordine, cosa vendicare gli eletti K righe (stowptsyah), sulle loro aggiunte algebriche al vyznachnik.

matrice Virishennya.

Sequenza per soluzione della matrice sierica:

Comprendi che viene data una matrice quadrata. In tempi di parere negativo, diventa chiaro che la matrice salivare non può esserlo.
Calcolo delle addizioni all'algebra.
Creiamo una matrice alleata (reciprocamente, vieni). C.
Aggiunta di una matrice inversa con addizioni all'algebra: tutti gli elementi della matrice data C dilimo sulla matrice della pannocchia. La matrice della somma parziale sarà una matrice pivot definita in modo casuale.
Controlliamo il robot vikonan: moltiplichiamo la matrice del codice postale e la matrice della matrice, il risultato può essere un'unica matrice.

Matrici dei sistemi Virishennya.

Per soluzioni per sistemi matriciali Il metodo più comune è il metodo di Gauss.

Il metodo di Gauss è il modo standard per derivare sistemi di allineamenti lineari di algebra (SLAE) e vin polygaє in quanto, in sequenza, vengono attivate le modifiche, quindi, per ulteriori modifiche elementari, il sistema di allineamenti viene portato all'equivalente (dietro il numero) conosce l'elemento skin del sistema.

Metodo Gausє lo strumento più universale e migliore per risolvere le matrici. Proprio come il sistema ha una soluzione impersonale, o il sistema non è riepilogativo, allora è impossibile violare la regola di Cramer e il metodo delle matrici.

Il metodo di trasferimento di Gauss è anche diretto (riducendo la matrice espansa a un aspetto a gradini, in modo che gli zeri vengano rimossi sotto la diagonale della testa) e inverso (gli zeri vengono rimossi sopra la diagonale della testa della matrice espansa). La direzione diretta è il metodo di Gauss, il contrario - il metodo di Gauss-Jordan. Il metodo Gauss-Jordan è simile al metodo Gauss, fatta eccezione per la sequenza delle modifiche.

Appuntamento 1. Matrice A al mondom n viene chiamata una tabella rettangolare con m righe e n colonne, che viene sommata con numeri o altre variabili matematiche (ranghi di elementi di matrice), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, o

Appuntamento 2. Due matrici
і
sono chiamati della stessa dimensione pari, che vengono ordinati elemento per elemento, cioè. =, io = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Per matrici aggiuntive, è facile annotare gli atti dei depositi economici, ad esempio le tabelle di distribuzione delle risorse secondo gli atti dell'economia.

Appuntamento 3. Pertanto, il numero di righe nella matrice è zbіgaєtsya da її stovptsіv, quindi. m = n, allora viene chiamata la matrice ordine quadraton, e sotto una luce diversa rettilineo.

Appuntamento 4. Transizione dalla matrice A alla matrice A t, in cui righe e colonne sono state commemorate dai luoghi dell'ordine di salvataggio, sono chiamate trasposizione matrici.

Vedi la matrice: quadrato (dimensione 33) -
,

rettilineo (misura 25) -
,

diagonale -
, separare -
, zero -
,

matrice-riga -
, matrici-stowpet -.

Appuntamento 5. Gli elementi di una matrice quadrata di ordine n con gli stessi indici sono chiamati elementi della diagonale della testa, cioè. ce elementi:
.

Appuntamento 6. Gli elementi di una matrice quadrata di ordine n sono detti elementi di una diagonale laterale, poiché i loro indici sono n + 1, cioè. Elementi: .

1.2. Operazioni sulle matrici.

1 0 . sumoyu due matrici
і
la stessa dimensione è detta matrice С = (з ij), i cui elementi sono uguali a ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… ,n).

La potenza del funzionamento delle matrici pieghevoli.

Per essere-yakah matrici A,B,C uno rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (commutatività),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (associatività).

2 0 . Tvorom matrici
per numero  chiamata matrice
della stessa dimensione di i è la matrice A, inoltre b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

La potenza dell'operazione di moltiplicare una matrice per un numero.

(А) = ()А (associatività moltiplicatore);

(А+В) = А+В (distributività della molteplicità di matrici pieghevoli casualmente);

(+)А = А+А (distributività della moltiplicazione di numeri piegati casualmente).

Appuntamento 7. Combinazione lineare di matrici
і
la stessa dimensione è chiamata nella forma A + B, de  e  - numeri sufficienti.

3 0 . Dobutcom A  Matrici Un vіdpovіdno razmіrіv mn і nk è chiamato matrice 3 expіrum mk, tale che l'elemento z ij è la somma degli elementi creativi nella i-esima riga della matrice A nella j-esima colonna della matrice B, tobto. h ij = un io 1 b 1 j + un io 2 b 2 j + ... + un ik b kj .

Solo in questo caso si utilizza Dobutok AB, in quanto il numero di colonne della matrice A varia con il numero di righe della matrice.

La potenza dell'operazione di moltiplicazione delle matrici:

(АВ)С = А(ВС) (associatività);

(А+В)С = АС+ВС (distributività di matrici pieghevoli casualmente);

А(В+С) = АВ+АС (distributività di matrici pieghevoli casualmente);

АВВА (non commutativo).

Appuntamento 8. Le matrici A e B, per le quali AB = BA, sono dette pendolari o pendolari.

La riproduzione di una matrice quadrata, indipendentemente dall'ordine su una singola matrice diversa, non cambia la matrice.

Appuntamento 9. Trasformazioni elementari le matrici sono chiamate tali operazioni:

Sostituzione di due righe (stovptsiv) con le missioni.

Riproduzione dell'elemento skin di una riga (stovptsya) per un numero, diverso da zero.

Aggiunta agli elementi di una riga (stowptsya) degli elementi della seconda riga della riga successiva (stowptsya).

Appuntamento 10. Matrix, otrimana da matrici E per l'aiuto di trasformazioni elementari è chiamato equivalente(firmato BA).

culo 1.1. Conoscere la combinazione lineare delle matrici 2A-3B, come

,
.

,
,

culo 1.2. Conosci la matrice di doboot
, piace

Soluzione: il numero di colonne nella prima matrice viene modificato dal numero di righe in un'altra matrice, quindi viene utilizzata la matrice aggiuntiva. Di conseguenza, prendiamo una nuova matrice
, de

Di conseguenza, prendiamo
.

Lezione 2. Incaricati. Calcolo del vyznachniki in un altro, terzo ordine. Il potere degli incaricatinesimo ordine.