Közvetlenül ismerje egy pont ortogonális vetületének koordinátáit. Pont vetítése egy egyenesre Egy pont vetületének koordinátái egy egyenesre. Pont vetítése egy egyenesre - elmélet, alkalmazza azt a megoldást

A Tsya cikk egy pont egyenes vonalon való vetületének megértésével foglalkozik (minden). Mi damo yomát nevezték ki a vikoristannya kicsinek, amit elmagyarázok; Vivchimo módszer egy pont vetületének koordinátáinak egy egyenesre (sík vagy triviális térre) való hozzárendelésére; Próbáljuk ki.

A "Pont vetítése egy síkon, koordináták" című cikkben arra voltunk kíváncsiak, hogy az ábra tervezését a merőleges vagy az ortogonális tervezés fogalma alatt kell-e érteni.

Minden geometriai alakzat pontokba van hajtva; Ezért ahhoz, hogy egy ábrát egyenesre tudjunk vetíteni, figyelembe kell venni egy pont egyenesre vetítésének képességét.

Időpont 1

Pont vetítése egy egyenesre- tse vagy maga a pont, ahogyan az adott egyenesen kell feküdnie, vagy az adott egyenesen lévő pontból kiesett merőleges alapja.

Nézzük meg az alábbiakban a kicsiket: a H 1 pont az M 1 pont vetületeként szolgál az a egyenesre, az egyenesen fekvő M 2 pont pedig önmagára vonatkozó vetület.

A megjelölés inkább a felszínen és a trivimer térben található vipadkára vonatkozik.

Ahhoz, hogy az M 1 pont vetületét a síkon az a egyenesre vegyük, húzzunk egy b egyenest, amely egy adott M 1 i ponton áthaladva merőleges az a egyenesre. Ebben a sorrendben az a és b egyenesek metszéspontja az M 1 pontnak az a egyenesre való vetülete lesz.

Egy triviális térben egy pont egyenesre vetítését szolgálja majd az a egyenes keresztvonalának pontja és az α sík, amely az a egyenesre merőlegesen megy át az M 1 ponton.

Egy pont vetületének koordinátáinak értéke egy egyenesre

Nézzük meg a láncokat a sík és a triviális kiterjedés tájképein.

Adja meg nekünk az O x y téglalap alakú koordinátarendszer feladatát, M1 (x1, y1) pont i egyenes a. Ismerni kell az M1 pont vetületének koordinátáit az a egyenesre.

A megadott M 1 (x 1, y 1) ponton haladjunk át az a egyenesre merőleges b egyenesen. A töréspont H1-ként van jelölve. A H 1 pont az M 1 pont vetületi pontja lesz az a egyenesen.

A leírásból meg lehet fogalmazni egy olyan algoritmust, amely lehetővé teszi az M 1 (x 1 y 1) pont vetületének koordinátáit az a egyenesen:

Egyenes vonalak összehajtása (mivel nincs megadva). A zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya fő rivnyán a lakáson;

Jegyezze fel a b egyenes beállítását (az M 1 ponton való áthaladáshoz és az a egyenesre merőlegesen). Itt kiegészül az egyenes igazításáról szóló cikk, hogy egy adott ponton áthaladjon az adott egyenesre merőlegesen;

Nyilvánvaló, hogy a vetítés koordinátáit az a és b egyenesek keresztezési pontjának koordinátáinak vesszük. És ehhez bevált az egyenlőségrendszer, olyan raktárak, mint - az a és b egyenesek kiegyenlítése.

fenék 1

Az O x y síkon az adott M 1 (1, 0) pont az a egyenes (magasabb igazítás - 3 x + y + 7 = 0). Meg kell adni az M1 pont vetületének koordinátáit az a egyenesre.

Megoldás

Az egyenes által adott igazítás, amely az algoritmus szerint a b egyenes beállításának legrövidebb rekordjához megy. A b egyenes merőleges az a egyenesre, ezért az a egyenes normálvektora a b egyenes egyenes vektora. Ekkor a b egyenesek közvetlen vektora így írható fel b → = (3, 1). Írjuk fel a b egyenes kanonikus igazítását, de be kell állítani az M 1 pont koordinátáit is a b egyenesen való áthaladáshoz:

A végső vágás az a és b egyenesek keresztpontjának koordinátáit mutatja. Menjünk tovább kanonikus rivnyan közvetlen b-t zagalnyra її egyenlő:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Készítsünk kiegyenlítési rendszert az a és b egyenesek felső kiegyenlítéseiből

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 ( - 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Nos, levettük az M 1 (1, 0) pont vetületének koordinátáit a 3 x + y + 7 = 0 egyenesre: (- 2 , - 1) .

Javaslat: (- 2 , - 1) .

A jelentést felülvizsgálják, ha szükséges megadni a vetítés koordinátáit beállított pont koordinátaegyeneseken és a velük párhuzamos egyeneseken.

Legyenek a megadott O x і O y koordináta egyenesek, valamint az M 1 (x 1, y 1) pont. Rájöttem, hogy egy adott pont y = 0 alakú O x koordinátájára egy (x 1, 0) koordinátájú pont lesz. Tehát az adott pont vetülete az O y egyenes koordinátán a 0, y 1 koordináta lesz.

Be-yaku egészen egyenes, a tengellyel párhuzamos abszcissza, lehet rosszul fogalmazni vad féltékeny B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B, és egyenesen, párhuzamosan az y tengellyel - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Ekkor az M 1 (x 1, y 1) pont vetületei az y \u003d - C B i x \u003d - CA egyenesen x 1 koordinátájú pontokká válnak - C B i - CA A, y 1.

fenék 2

Vegyük az M 1 (7, - 5) pont vetületének koordinátáit az O y koordinátaegyenesre, és az O y 2 y - 3 = 0 egyenessel párhuzamos egyenesre is.

Megoldás

Írjuk fel az adott pont vetületének koordinátáit az O y egyenesre: (0 - 5) .

Írjuk fel a 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 egyenes igazítását. Világossá válik, hogy az adott pont vetülete az y = 3 2 egyenesre a 7 3 2 koordinátamátrixszal.

Javaslat:(0 , - 5 ) és 7 , 3 2 .

Legyen a triviális térnek O x y z derékszögű koordinátarendszere, M 1 (x 1 , y 1 , z 1) pontja és a egyenese. Ismerjük az M1 pont vetületének koordinátáit az a egyenesre.

Hagyjuk az α síkot átmenni az M1 i ponton merőlegesen az a egyenesre. Egy adott pont a egyenes vetülete az a egyenes pontjává és α síkjává válik. Ennek alapján bevezetünk egy algoritmust az M 1 pont (x 1, y 1, z 1) a egyenesre vetületének koordinátáinak értékére:

Felírjuk az a egyenes igazítását (mivel nincs megadva). A feladat megértéséhez meg kell ismerkednie ezzel a cikkel az egyenes vonalak térbeli igazításáról;

Tárolhatjuk a laposságot?

Ismerjük az M 1 (x 1, y 1, z 1) pont vetületének koordinátáit az a egyenesre - ott lesznek az α egyenes keresztvonal pontjának és az α síkjának koordinátái. (Segítségként - „A sík egyenesének keresztvonalának pontjának koordinátái” című cikk).

fenék 3

Adott egy O x y z derékszögű koordinátarendszer, i in nіy - М 1 pont (0, 1, - 1) i egyenes a . Az a egyenes megfelel a kanonikus igazításnak: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Határozza meg az M1 pont vetületének koordinátáit az a egyenesre!

Megoldás

Vykoristovuёmo vkazyvshee algoritmus. Rivnyannya egyenes, az első lépést kihagyja az algoritmus. Írjuk fel az α terület igazítását. Amire a terület normálvektorának koordinátái jelentősek. Az a egyenes adott kanonikus igazításaiból láthatjuk az egyenes egyenes vektorának koordinátáit: (3, - 4, 1), amely az α terület normálvektora lesz, merőleges az egyenesre a. Todi n → = (3, - 4, 1) az α terület normálvektora. Ebben a sorrendben az α matime síkja egyenlőnek tűnt:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Most már ismerjük az egyenes és az α sík keresztezési pontjának koordinátáit, aminek két módja van:

1. A kanonikus igazítás feladatai lehetővé teszik két, egymást átfedő sík igazítását, amelyek az a egyenest jelentik:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Ismerni a 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 egyenes és a 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0 síkok keresztvonalának pontjait

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

Nál nél ehhez a bizonyos típushoz vikoristovuєmo Cramer módszere, de lehet zasosuvat, hogy ruchny-e:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ 0-78 = 0

Ily módon egy adott pont vetülete az a egyenesre egy pont, amelynek koordinátái (1, 2, 0)

1. A kanonikus igazítások feladatai alapján könnyen felírható az egyenes paraméteres térbeli igazítása:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Képzeljük el a sík szintjén, amely 3 x - 4 y + z + 5 = 0-nak tekinthető x , y і z їх kifejezés helyett a paraméteren keresztül:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Számítsuk ki az a egyenes keresztezési pontjának és az a egyenes paraméteres igazításai mögötti α síknak a koordinátáit λ = 1-nél:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Így egy adott pont egy egyenesre való vetületének koordinátái (1, 2, 0) vannak.

Javaslat: (1 , 2 , 0)

Lényeges, hogy az M 1 (x 1, y 1, z 1) pont vetületei az O x , O y és O z koordinátaegyenesekre olyan pontok lesznek, amelyek koordinátái (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) és (0 , 0 , z 1) érvényes.

Hogyan emlékezett a szövegben szereplő elnézésre, legyen kedves, nézze meg és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket

segítsen valaki másnak online számológép ismerheti egy pont vetületét az egyenesre. Reméljük, hogy magyarázatokkal együtt beszámolhatunk a megoldásról. Egy pont egyenesre vetületének kiszámításához állítsa be a távolságot (2- úgy néz ki, mint egy egyenes a síkon, 3- úgy néz ki, mint egy egyenes a térben), adja meg a pont koordinátáit. az igazítás elemét a mezőbe, és nyomja meg a „Verishity” gombot.

×

Előleg

Törli az összes szobát?

Bezárás Törlés

Útmutató az adatok megadásához. A számok egész számként (alkalmazandó: 487, 5, -7623 vékony), tizedes számként (pl. 67., 102,54 vékony) vagy törtként kerülnek beírásra. A törtet a / b, de a і b (b> 0) tsіlі vagy tízes számok. 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 hígan alkalmazzuk.

Pont vetítése egy egyenesre - elmélet, alkalmazza azt a megoldást

Nézzük a feladatot a két- és háromvilági kiterjedéseken.

1. Legyen pont adott a kétvilágos térnek M 0 (x 0 , y 0) i egyenes L:

Algoritmus egy pont egyenesre vetítésére Lígy bosszút állni:

• közvetlenül kéri L 1 áthaladni a ponton M 0 i merőleges az egyenesre L,
• ismeri az egyenesek fesztávját Lі L 1 (pont M 1)

Egyenes vonal a ponton való áthaladáshoz M 0 (x 0 , y 0) így nézhet ki:

Vіdkrієmo meghajol

(5)

Tegyük fel az értéket xі y 4-nél):

de x 1 =mt"+x", y 1 =pt"+y".

Példa 1. Ismerje meg egy pont vetületét M 0 (1, 3) egyenes

Tobto. m=4, p=5. Az egyenes (6) igazításából jól látszik, hogy átmegy a ponton M" (x", y")=(2, −3)(ami könnyen megváltoztatható - a (6) érték behelyettesítése 0=0 azonosságot vesz fel), akkor. x"=2, y"=-3. Tegyük fel az értéket m, p, x 0 , y 0 ,x", y" 5"-nél):

2. Adjunk pontot a trivi-világi térnek M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i egyenes L:

Egy pont egyenesre vetítésének jelentése Lígy bosszút állni:

• ösztönözze a lakást α , hogy áthaladjon a ponton M 0 i merőleges az egyenesre L,
• ismeri a retina területét α én egyenesen L(folt M 1)

A sík síksága a ponton való áthaladáshoz M 0 (x 0 , y 0 , z 0) így nézhet ki:

Vіdkrієmo meghajol

Tegyük fel az értéket xі y kb 9):

Egy pont egyenes vonalra vetítése könnyen elvégezhető, és az elmúlt néhány műveletnél a nulla közelséget a pont egy pont egyenes vonalra vetítéseként számítják ki. Nézzük meg a közös feladat ennyi szempontját.

Hadd menjen egyenesen

én speciel. Fontos, hogy a w egyenesek vektora meglehetősen hosszú lehet. Az egyenes átmegy azon a ponton, ahol a t paraméter egyenlő nullával, és a w vektor lehet egyenes. Ismerni kell egy pont vetületét az egyenesre. Csak egy megoldás létezik. Indukálunk egy vektort egy egyenes pontjából egy pontba, és egy kiszámíthatóan skaláris merev vektort és egy w egyenes vektorát. ábrán. 4.5.1, amely a w egyenesek közvetlen vektorát mutatja, adott pont. Ha ezt a skaláris kiterjesztést elosztjuk a w vektor hosszával, akkor a vektor egyenesre vetítésének hosszát kivesszük.

Rizs. 4.5.1. Pont vetítése egy egyenesre

Ha a skaláris kiterjesztést elosztjuk a w vektor négyzetével, akkor a vektor vetületét az egyenesre vesszük a w vektor kiterjesztésének egységeiben, így a t paramétert a pont vetületére vesszük az egyenes vonal.

Így egy egyenes pontjának vetületi paramétere és a vetítés sugárvektora ; képletekkel számolj

(4.5.3)

Ha a w vektor hossza egyenlő 1-gyel, akkor (4.5.2) nem kell meredek lejtőn kivonni a pontból a görbe vetületébe, hanem a vektor hosszának számítjuk. A pont és a її vetület távolságát egy egyenesen nem a pont vetületének kiszámításával, hanem a képlet felgyorsításával számíthatja ki

Okremі esik.

Egy pont analitikai görbékre való vetítése numerikus módszerek ismerete nélkül is ismert. Például ahhoz, hogy ismerjük a pont vetületét a végső vágáson, le kell fordítani a vetítés alatt álló pontot a végvágás koordinátarendszerébe, ki kell vetíteni a pontot a végvágás síkjára, és ismerni kell a az adott pont kétdimenziós vetületének paramétere.

Zagalny vpadok.

Legyen szükséges egy görbe vonalon lévő pont összes vetületének ismerete.

(4.5.5)

A cél az, hogy bosszút álljunk egy ismeretlen értéken - a t paraméteren. Mint már elhangzott, ennek a feladatnak a teljesítése két szakaszra oszlott. Az első szakaszban a görbe pont vetületeiben a paraméterek nulla közelítését jelöljük, a másik szakaszban pedig ismerjük a görbe azon paramétereinek pontos értékét, amelyek hozzárendelik az adott pont vetületeit. a görbén a z egyenesre