Ismerje meg a szám legfontosabb funkcióját. A régió néhány változásának legfontosabb és legkevésbé fontos funkciói. Sok változás funkciói

Kijelölés 1.11 Legyen két váltó funkciója beállítva z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 ) - a terület belső pontja D .

Yakscho be D egy ilyen környék UM 0 foltok M 0 , amely minden pontra vonatkozik

majd egy folt M 0 helyi maximumpontnak nevezzük. És a jelentése z(M 0 ) - helyi maximum.

És ami az összes pontot illeti

majd egy folt M 0 függvény lokális minimumának pontjának nevezzük z(x,y) . És a jelentése z(M 0 ) - Helyi minimum.

A lokális maximumot és a lokális minimumot a függvény lokális szélsőértékének nevezzük z(x,y) . ábrán. 1.4 elmagyarázva geometrikus zmist helyi maximum: M 0 - mutasson a maximumra, arra, ami a felszínen van z = z(x, y) egyértelmű pont C 0 hogy más okból jobban tudja C (Amelyiknek maximális a helye).

Tisztelettel, pontok vannak a felületen (pl. Nál nél ), ha többet tud C 0 , ale qi pontok (például Nál nél ) nem є "bírói" ponttal C 0 .

Zocrema, pont Nál nél megerősíti a globális maximum megértését:

Hasonlóképpen meghatározzuk a globális minimumot:

A globális maximumok és minimumok ismeretét az 1.10. bekezdés tárgyalja.

1.3. tétel (szükséges szélsőség).

Legyen beállítva a függvény z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 D - Helyi szélsőpont.

Mid van z" x і z" y , akkor

A geometriai megerősítés "nyilvánvaló". Mi a következő lépés C 0 (1.4. ábra) pontszerűen sík terület rajzolásához, ott "természetesen" vízszintesen, azaz a motorháztető alatt halad 0° tengelyhez Ó i tengelyhez OU .

Ugyanez vonatkozik a privát rokonok geometriai változására is (1.3. ábra):

amit hozni kellett.

Kinevezés 1.12.

Mi a következő lépés M 0 gondoljunk (1.41), akkor a függvény stacionárius pontjának nevezzük z (x, y) .

1.4. Tétel (elegendő elme a szélsőséghez).

Hadd kérdezzem meg z = z (x, y), (x, y) D , mivel a pont környékén ettől eltérő sorrendű zártkörű rendezvények is lehetnek M 0 (x 0 ,y 0 ) D . És miért M 0 - Állópont Számoljunk:

A Vicorist tétel bizonyítása azokkal (Taylor-féle változószám függvénye és a másodfokú alakok elmélete), amelyet egyetlen segítő sem vesz figyelembe.

fenék 1.13.

Ugrás a végletekig:

1. Ismerjük a rendszert megszakító stacionárius pontokat (1.41):

így találtunk néhány stacionárius pontot. 2.

Az 1.4. Tétel után a pontoknak minimumuk van. És miért

pontban az 1.4 Tétel szerint

Maximális. És miért

10. § Két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értéke zárt területen

1.5. Tétel Engedjük el egy zárt tartomány közelébe D funkció be van állítva z = z(x, y) , amely megszakítás nélkül lehet elsőrendű magánutak. Kordon G régiók D є shmatkovo sima (ez a shmatkіv "sima dotik" görbékből vagy egyenes vonalakból hajtva). Todi a régióban D funkció z(x,y) elérje a legnagyobbat M és a legkevésbé m érték.

Megerősítés nélkül.

Terjesztheti a megrovás következő tervét M і m . 1. Székek leszünk, láthatjuk a régió kordonjának minden részét D és ismerjük a kordon összes "kutovі" pontját. 2. Ismerjük a stacionárius pontokat középen D . 3. A kordonokból a bőr stacioner pontjai ismertek. 4. Számítsa ki az összes álló- és csúcspontot, majd válassza ki a legtöbbet M és a legkevésbé m jelentése.

1.14-es eset Tudjon meg többet M és a legkevésbé m függvény értéke z = 4x2-2xy+y2-8x zárt terület közelében D , körülírva: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Mozgassuk át a területet D (1.5. ábra) a lakáson Ohu .

Kutoví pontok: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Kordon G régiók D három részből áll:

2. Ismerjük a stacionárius pontokat a régió közepén D :

3. Állópontok kordonokon l 1 ,l 2 ,l 3 :

4. Hat értéket számolunk:

Hat érték elhagyása közül válassza ki a legtöbbet és a legkevesebbet.

1.5. Tétel Engedjük el egy zárt tartomány közelébe D funkció be van állítva z = z(x, y) , amely megszakítás nélkül lehet elsőrendű magánutak. Kordon G régiók D є shmatkovo sima (ez a shmatkіv "sima dotik" görbékből vagy egyenes vonalakból hajtva). Todi a régióban D funkció z (x, y) elérje a legnagyobbat M és a legkevésbé m érték.

Megerősítés nélkül.

Terjesztheti a megrovás következő tervét M і m .
1. Székek leszünk, láthatjuk a régió kordonjának minden részét D és ismerjük a kordon összes "kutovі" pontját.
2. Ismerjük a stacionárius pontokat középen D .
3. A kordonokból a bőr stacioner pontjai ismertek.
4. Számítsa ki az összes álló- és csúcspontot, majd válassza ki a legtöbbet M és a legkevésbé m jelentése.

1.14-es eset Tudjon meg többet M és a legkevésbé m függvény értéke z = 4x2-2xy+y2-8x zárt terület közelében D , körülírva: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Mozgassuk át a területet D (1.5. ábra) a lakáson Ohu .

Kutoví pontok: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Kordon G régiók D három részből áll:

2. Ismerjük a stacionárius pontokat a régió közepén D :

3. Állópontok kordonokon l 1 , l 2 , l 3 :

4. Hat értéket számolunk:

Alkalmaz

példa 1.

Ez a funkció minden változó értéknél hozzá van rendelve x і y , húzza be a koordinátákat, a de znamennik nullára fordul.

Gazdag tag x2+y2 megszakítás nélküli usudi, és ezért i megszakítás nélküli függvény négyzetgyöke.

Drib mindenhol zavartalan lesz, Krím pont, de banner nullára. Ez a vizsgált függvény a teljes koordinátasíkon megszakítás nélküli Ohu , beleértve a koordinátákat is.

fenék 2.

A biztonság érdekében kövesse a funkciót z=tg (x, y) . Értéktangens és megszakítás nélkül mindenki számára végső jelentések argumentum, krimi érték, egyenlő a páratlan magnitúdószámmal π /2 , akkor. pontokat is beleértve, de

Bőrrögzítéssel "k" Az (1.11) egyenlet hiperbolát jelöl. Ezért a є függvény megszakítás nélküli funkció x és y beleértve a görbéken fekvő pontokat (1.11).

3. példa.

Ismerje a privát kültéri funkciókat u=z-xy , z > 0 .

fenék 4.

Mutasd meg, mi a funkció

elégedett az azonossággal:

– ez az egyenlőség minden pontra érvényes M(x; y; z) krém pont M 0 (a; b; c) .

Nézzük meg két független változó z=f(x,y) függvényét és telepítsük a privát változók geometriai helyettesítését z" x = f" x (x, y) і z" y = f" y (x, y) .

Akinek az esze egyenlő z=f (x, y) є a felület kiegyenlítése (1.3. ábra). Laposban tartott y = konst . A pererizі tsієї felületes felületeken z=f (x, y) vide deyka vonal l 1 peretina, vzdovzh, hogy a változás kisebb, mint a méret x і z .

Privát utazás z" x (її geometriai eltolás középső vyplyaє z általunk ismert geometriai értelme egy változó hasonló függvényének) numerikusan jobb a kuta tangensénél α betegesen, a tengelyre kiterjesztve Ó , shodo L1 a görbére l 1 , scho a felszín közelébe menni z=f (x, y) lakás y = konst azon a ponton M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

A retinán és a felszínen z=f (x, y) lakás x = konst széles vonalú peretina l 2 , vzdovzh, hogy a változás kisebb, mint a nagyságrend nál nél і z . Todi privát szórakozás z" y számszerűen felülmúlja a kuta tangensét β nahilu a tengelyre való kiterjesztéssel OU , shodo L2 a megadott sorra l 2 peretina pontokban M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

5. példa

Milyen kutvoruє іz vіssyu Ó dotichna a sorhoz:

azon a ponton M(2,4,5) ?

Vikoristovuєmo geometriai cseréje magán csere a csere x (gyorsan nál nél ):

6. példa.

Zgidno (1,31):

7. példa.

Vvayayuchi, scho egyenlő

implicit módon definiál egy függvényt

tudni z" x , z" y .

Emiatt (1.37) bizonyítékra van szükségünk.

8. példa.

Ugrás a végletekig:

1. Ismerjük a rendszert megszakító stacionárius pontokat (1.41):

így találtunk néhány stacionárius pontot.
2.

Az 1.4. Tétel után a pontoknak minimumuk van.

És miért

4. Hat értéket számolunk:

Hat érték elhagyása közül válassza ki a legtöbbet és a legkevesebbet.

Az irodalom listája:

ü Belko I. V., Kuzmich K. K. Remek matematika közgazdászoknak I. félév: Expressz tanfolyam. - M.: Új ismeretek, 2002. - 140 p.

ü Gusak A. A. Matematikai elemzésés differenciálbeállítás. - Minszk: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusak A. A. Vishcha matematika. Rovatkalauz egyetemistáknak 2 kötetben. - Mn., 1998. - 544 p. (1 köt.), 448 p. (2 tonna).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Matematika közgazdászoknak: Kézikönyv egyetemeknek / Szerk. prof. N. Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 p.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. ÉN. hogy be. Vishcha matematika. Zagalniy tanfolyam: Pidruchnik / Zag. szerk. S. A. Samal. - Mn.: Vish. iskola, 2000. - 351 p.

Egyre kevesebb értelme

A zárt területtel körülvett funkció a legnagyobb és legkisebb értékét akár állópontokon, akár a határterületen elhelyezkedő pontokon éri el.

A függvény legnagyobb és legkisebb értékének meghatározásához szükséges:

1. Keresse meg a stacionárius pontokat, amelyek ennek a régiónak a közepén helyezkednek el, és számítsa ki a függvény értékeit számukra.

2. Ismerje meg a régióközi funkció legnagyobb (legkisebb) értékét.

3. Egyenlítse ki a függvény összes negatív értékét: ennek a galériának a függvény legnagyobb (kisebb) és lesz a legnagyobb (legkisebb) értéke.

fenék 2. Keresse meg a függvény legnagyobb (legkisebb) értékét: y .

Megoldás.

a pont álló; .

2 . A zárt terület határa a gyűrű, de.

Az interrégió funkciója egyetlen változás függvényévé válik: , de . Ismerjük a legfontosabb és legkevésbé fontos funkciókat.

x = 0 esetén; (0,-3) és (0,3) kritikus pontok.

Számítsa ki a függvény értékét a koszorú végein!

3 . Porivnyuyuchi mizh magát otrimuemo,

Az A és B pontokban.

A C és D pontokban.

3. példa. Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a zárt területen az egyenetlenség alapján:

Megoldás. A є trikutnik területet a і koordinátatengelyeket egy x + y = 1 egyenessel fogjuk körülvenni.

1. A régió közepén álló helyeket ismerünk:

; ; y = -1/8; x = 1/8.

Stacionárius pont nem tartozik ehhez a területhez, így a benne lévő z értéke nem kerül kiszámításra.

2 .Doslіdzhuєmo funkció a kordonon. A határ szilánkjai három dіlyankiból vannak kialakítva, amelyeket három különböző egyenlőség jellemez, doslіdzhuєmo funkciója a bőr dіlantsі okremo:

a) div 0A: y=0- egyenlő 0A, akkor ; egyenlőből világos, hogy a függvény 0A-val növekszik 0-ról 1-re. Átlag .

b) a 0B távolságon: x = 0 - a 0B távolság, akkor; -6y + 1 = 0; - Kritikus pont.

ban ben) a közvetlen x + y = 1-hez: y = 1-x, akkor vesszük a függvényt

A z függvény értékét a B(0,1) pontban számítjuk ki.

3 .Perіvnyuyuchi számok otrimuemo, scho

Az AB egyenesre.

A B pontban.

Teszt az önkontroll tudásért.

egy . Funkció extrémum – ce

a) її pokhіdnі elsőrendű

b) її egyenlő

c) її menetrend

d) її maximum és minimum

2. A függvény szélsőpontja a lehető legtöbbet elérheti:

a) csak azokon a pontokon, amelyek a kijelölt terület közepén helyezkednek el, ebben az esetben az elsőrendű magánértékek nagyobbak nullánál

b) csak azokon a pontokon, amelyek a kijelölt terület közepén helyezkednek el, ebben az esetben az elsőrendű magánértékek nullánál kisebbek

c) csak azokon a pontokon, amelyek a kijelölt terület közepén vannak, ebben az esetben az elsőrendű magánértékek nem egyenlők nullával

d) csak azokon a pontokon, amelyek a kijelölt terület közepén helyezkednek el, ebben az esetben az elsőrendű privát hasonlóságok nullával egyenlőek

3. Zárt területen megszakítás nélkül működő, legmagasabb és legalacsonyabb értékét elérő funkció:

a) álló pontokon

b) akár helyhez kötött, akár a régióközi pontokon

c) a régióközi pontokon

d) minden ponton

4. Stacionárius pontok annak függvényében, hogy hány változót nevezünk pontnak:

a) néhány u

b) némelyikük privát elsőrendű különbsége nagyobb, mint nulla

c) némelyiküknél az elsőrendű privát változtatások nullával egyenlőek

d) némelyiküknél az elsőrendű magánjellegű magatartások kisebbek, mint nulla

Az y = f (x) függvényt megszakítja a szél. Úgy tűnik, egy ilyen funkció eléri a legnagyobbat. hogy felvételi. érték. Ezt a függvényt az ablak belső pontján, vagy az ablak határán, tobto vehetjük fel. at = a vagy = b. Mint egy pont, amely egy adott függvény kritikus pontjainak közepét követi.

A függvény legnagyobb és legkisebb értékének értékszabályát a következőképpen vesszük fel:

1) határozza meg a függvény kritikus pontjait az (a, b) intervallumon;

2) kiszámítja a függvény értékeit a talált kritikus pontokon;

3) számítsa ki a kintsyah vіdrіzka, tobto függvény értékét. az x=a és x=b pontokban;

4) a függvény számított értékeinek átlaga a legtöbb és a legkevesebb kiválasztása.

Tisztelet:

1. Ha az y = f (x) függvénynek egynél több kritikus pontja van vdrіzku-nként, és є a maximum (minimum) pontot nyerte el, akkor ezen a ponton a függvény a legnagyobb (legkisebb) értéket kapja.

2. Mivel az y=f(x) függvénynek nincsenek kritikus pontjai, ez azt jelenti, hogy a függvény monoton módon növekszik és csökken az új függvényre. Ezenkívül a függvény a maximális értékét (M) a löket egyik végére, a legkisebb (m) értékét a másikra viszi.

60. Komplex számok. Formula de Moivre.
összetett szám név viraz mind z = x + iy, de x és y - dіysnі számok, és én - úgy hívják. nyilvánvaló magány. Ha x=0, akkor a 0+iy=iy szám rangsorol. mutassuk meg szám szerint; bár y=0, az x+i0=x szám az aktuális x számra van leképezve, de ez azt jelenti, hogy az összes függvény személytelen R. számok yavl. a személytelen Z usikh sokasága alatt komplex számok, akkor. . Szám x név a tizedes rész z, . Két і komplex számot egyenlőnek (z1=z2) nevezünk párosnak és csak egyszer, ha egyenlő rész és egyenlő rész egyenlő: x1=x2, y1=y2. Zocrema, a Z=x+iy komplex szám nulla, majd ha x=y=0. A „nagyobb” és a „kisebb” fogalmak komplex számokra nem kerülnek bevezetésre. Két z \u003d x + iy і komplex számot, amelyeket csak az explicit rész előjele vesz figyelembe, kapottnak nevezünk.

Komplex számok geometriai ábrázolása.

Egy z = x + iy komplex szám ábrázolható-e az Oxy sík M(x,y) pontjával úgy, hogy x=Re z, y=Im z. Először is, a koordinátasík M(x;y) bőrpontja használható a z = x + iy komplex szám képeként. Azt a területet, ahol a komplex számok megjelennek, komplex területnek nevezzük, mert z = x + 0i = x valós számokat kell hazudnia. Minden ordinátát explicit csúcsnak nevezünk, mivel rajta vannak a z = 0 + iy látszólagos komplex számok. A Z=x+iy komplex szám beszúrható az r=OM=(x,y) segédsugárvektor mögé. Az r vektor hosszát, amely a z komplex számot reprezentálja, e szám modulusának nevezzük, és a | z | vagy r. Rozmir kuta mizh poklade. Közvetlenül a valós tengelyen a komplex számot jelentő r vektort a komplex szám argumentumának nevezzük, amelyet Arg z vagy jelöl. A Z = 0 komplex szám argumentum nincs hozzárendelve. A komplex szám argumentuma - az érték gazdagon szignifikáns és pontossággal mérhető a dodanku, de arg z -ig - az argumentum fő értéke, akkor a () szóközbe helyezve. - (Néha az argumentum fejértékeként vegye azt az értéket, amelynek tartalmaznia kell a rést (0; )).

Ha a z számot z=x+iy alakban írjuk fel, azt a komplex szám algebrai alakjának nevezzük.

Dії komplex számok felett

Függelék. Két z1=x1+iy1 és z2=x2+iy2 komplex szám összege egy komplex szám, amely egyenlő: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). A komplex számok összeadása megváltoztathatja és megváltoztathatja a hatványt: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vidnіmannya. Vіdnіmannya vyznaєtsya jak dіya, zvorotne dodavannya. A z1 és z2 komplex számok különbségét olyan z komplex számnak nevezzük, amely z2-hez hozzáadva a z1 számot adja, azaz. z = z1-z2, tehát z + z2 = z1. A z1=x1+iy1, z2=x2+iy2-hez hasonlóan könnyen kivehető z ebből a hozzárendelésből: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). többes szám. A z1=x1+iy1 és z2=x2+iy2 komplex számok komplementere egy olyan komplex szám, amely egyenlő z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Zvіdsi, zokrema, i vyplyaє: . Mint a trigonometrikus alakhoz tartozó feladatok száma: .

A komplex számok szorzásakor a moduljaik megszorozódnak, és az argumentumok összeadódnak. De Moivre formula(valamint є n szorzók és ugyanaz bűzlik): .

2020 végére a NASA expedíciót indít a Marsra. Szállítsa az űreszközt a Marsra egy elektronikus hordozóval, amelyen az expedíció összes regisztrált résztvevőjének neve szerepel.

A szavazásban résztvevők regisztrációja. Vegye el jegyét a Marsra az áldásokért.

Lájkold ezt a bejegyzést, ha megoldottad a problémádat, vagy egyszerűen méltó vagy hozzád, oszd meg erődet barátaiddal a közösségi hálózatokon.

Ezen kódopciók egyikét másolja és illessze be weboldala kódjába, a címkék közé і vagy csak a címke után . A MathJax első verziója mögött egy kisebb és kevésbé ragacsos oldalt részesítenek előnyben. A Natomist egy másik lehetőség automatikusan kiválasztja és frissíti a MathJax legújabb verzióját. Ha beírja az első kódot, azt rendszeresen frissíteni kell. Ha más kódot szúrsz be, akkor az oldalak jobban érdekelni fognak, így nem kell folyamatosan követned a MathJax frissítéseit.

Engedélyezze a MathJaxot a legegyszerűbb módon a Bloggerben vagy a WordPressben: adjon hozzá egy widgetet a webhely fizetési paneljéhez, a harmadik fél JavaScript-kódjának beszúrási helyeit, másolja az első vagy egy másik lehetőséget a fent bemutatott elköteleződési kódba, és méretezze át a widgetet közelebb a a sablon tetején (beszéd előtt nincs szükségünk új nyelvre), a MathJax szkriptek aszinkron módon kerülnek meghívásra). Mindtől. Most ellenőrizze a MathML, LaTeX és ASCIIMathML szintaxisát, és készen áll a matematikai képletek beszúrására webhelye weboldalaira.

Chergovy az Új Szikla előtt... fagyos az idő, azok a snizhinkik a shibtsen... Minden arra késztetett, hogy újra írjak... fraktálokról, és azokról, akik ismerik a Wolfram Alfát. Іz thogo meghajtó є tsіkava stattya, in yakіy є fenék kétdimenziós fraktálszerkezetek. Azonnal a világ láthatja a triviális fraktálok összehajtogatott csikkeit.

A fraktál vizuálisan megnyilvánulhat (leírható), mint egy geometriai alak vagy egy test (a levegőben dereng, ami szintén személytelen, ehhez a bizonyos típushoz, személytelen pont), azok a részletek, amelyek ilyen formát alkotnak, mint maga az alak. A Tobto tse önhasonló szerkezet, a részletekre úgy tekintve, mintha kinagyítva lenne, éppen azt a formát utánozza, amelyik nincs nagyításban. Hasonlóképpen egy vizuálisan markáns geometrikus alakzatban (nem fraktálban), kisebb részletekkel, mintha egyszerű formát lehetne készíteni, egy alacsonyabb figura látható. Például, amikor befejezi az ellipszis nagy részét, úgy néz ki, mint egy egyenes fa. A fraktálok esetében ez nem így van: mindenféle javításhoz ugyanazt a hajtogatási formát ismételjük meg, mintha bőrjavítással, ismételjük meg újra és újra.

Benoit Mandelbrot, a fraktálok tudományának megalapítója Fraktálok és rejtély a tudomány nevében című cikkében ezt írta: formális forma. Vagyis ha a fraktál egy részét az egész erejéig megnagyobbítjuk, akkor egészben, vagy pontosan, esetleg enyhe deformációval lesz látható.