Egy másik elégséges jele az extrémum megalapozásának. A függvények növekedése, változása intervallumokon, szélsőségeken. Elég a szélsőség jele

A függvény szélsőpontja a funkciómegjelölési terület azon pontja, amelyben a függvény értéke a minimum vagy maximum értékre van állítva. A függvény értékeit ezeken a pontokon a függvény szélsőértékének (minimum és maximum) nevezzük.

Időpont egyeztetés. Krapka x1 a hozzárendelt funkció területei f(x) nak, nek hívják a maximális funkció pontja még akkor is, ha a függvény értéke ezen a ponton nagyobb, mint a függvény értéke a hozzá közeli pontokban, jobb- és balkezesen terjedve benne (az egyenetlenségek elkerülése végett f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maximális.

Időpont egyeztetés. Krapka x2 a hozzárendelt funkció területei f(x) nak, nek hívják a függvény minimális pontja annak ellenére, hogy a függvény értéke ezen a ponton kisebb, mint a függvény értéke a közeli pontokban, a közepén lévő jobbkezes és gonosz (ez f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Mindenkinek úgy tűnik, hogy a funkció a ponton lehet x2 minimális.

Pontozzuk x1 - a maximális funkció pontja f(x). Todi az intervallumban ig x1 funkció növekszik Ez hasonlít a nullánál nagyobb függvényekhez ( f "(x) > 0 ), és az azt követő intervallumban x1 a függvény megváltozik, most, és hasonló funkciókat nullánál kisebb ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Az is lehet, hogy a lényeg x2 - mutasson a függvény minimumára f(x). Todi az intervallumban ig x2 a függvény megváltozik, és a hasonló függvény kisebb, mint nulla ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 a függvény növekszik, és a hasonló függvény nagyobb nullánál ( f "(x) > 0). Akinek az elméje ugyanaz x2 A Pokhіdna függvények egyenlőek nullával vagy sem.

Fermat tétele. Micsoda pont x0 - a függvény szélsőpontja f(x), akkor az n-edik pontban a függvény hasonló a nullához ( f "(x) = 0) vagy sem.

Időpont egyeztetés. Meghívjuk azokat a pontokat, amelyeknek hasonló függvényei nullával egyenlőek vagy nem kritikus pontok .

példa 1. Nézzük a függvényt.

Azon a ponton x= 0 x= 0 a kritikus pont. Azonban ahogy a függvény grafikonján is látszik, a teljes kinevezési területen növekedés tapasztalható, ez a lényeg x= 0 nem a függvény szélső értéke.

Ilyen módon gondoljon azokra, amelyek a nulla eléréséig érdemesek egy függvényre, vagy nem szükségesek, vagy a szükséges szélsőséges elmékre, vagy nem elégségesek, rámutathat a függvények szilánkjaira és egyéb alkalmazásaira, egyes esetekben az elme becsapható, vagy egy szélsőség funkciója. Tom anyának elegendő jelre van szüksége, amely lehetővé teszi, hogy megítélje, chi є az extrémum egy adott kritikus pontjában és maga a yaky - maximális chi minimum.

Tétel (az első elegendő jele a függvény szélsőértéke alapjának). kritikus pont x0 f(x) úgy, hogy ezen a ponton áthaladva a függvény az előjelet változtatja, sőt, ha az előjel „plusz”-ról „mínuszra” változik, akkor a maximum pontot, ha pedig „mínusz”-ról „pluszra”, akkor a minimum pont.

Milyen közel van a lényeg x0 , bal- és jobbkezes benne, ha előjelet vesz, akkor azt jelenti, hogy a függvény vagy megváltozik, vagy csak a pont közelében nő x0 . Milyen irányban a ponton x0 nincs extrémum.

Otzhe, szükség szerint pontokat rendelni a függvény szélsőértékéhez :

1. Találja meg a megfelelő funkciót.
2. Állítsa egyenlőnek nullával, és rendeljen hozzá kritikus pontokat.
3. Gondolatok chi papírok jelölik a kritikus pontokat a numerikus tengelyen, és jelölik egy hasonló függvény előjeleit kivonva az intervallumokat. Ha az előjel "pluszról" mínuszra változik, akkor a kritikus pont a maximum pont, ha pedig "mínuszról" "pluszra", akkor a minimum pont.
4. Számítsa ki a függvény értékét a szélsőpontokban!

fenék 2. Ismerje az extrémum függvényeket .

Megoldás. A következő funkciókat ismerjük:

A kritikus pontok megismeréséhez egyenlő nullával:

.

Tehát, ha az "ix" bármely értékénél a szalaghirdetés nem egyenlő nullával, akkor a szám nullával egyenlő:

Vegyünk egy kritikus pontot x= 3. Az ellenkező előjele a pont által határolt intervallumokban szignifikáns:

a mínusz inkonzisztencia intervallumában 3 - mínusz jelig, így a függvény megváltozik,

a 3-tól a plusz inkonzisztenciákig - pluszjel, így a függvény növekszik.

Tobto, pont x= 3 pont minimum.

Ismerjük a függvény értékét a minimum pontban:

Ebben a sorrendben található a függvény szélsőpontja: (3; 0), ráadásul ez a minimumpont.

Tétel (a másik elég jele a függvény szélsőértéke alapjának). kritikus pont x0 є a függvény szélsőpontja f(x); f ""(x) ≠ 0); f ""(x) > 0 ), akkor a pont a maximum, fordítva pedig kisebb, mint nulla ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Megjegyzés 1. Mi van a ponton x0 forduljon nullára és az elsőre, a másik pedig halott, akkor ezen a ponton nem lehet egy extrémum megnyilvánulását más elégséges jel alapján megítélni. Szükséges, hogy ezt a fajta hangulatot felgyorsítsa a funkció szélsőjének első elégséges jele.

Tisztelet 2. A függvény szélsőértékének egy másik elégséges jele nem elegendő, és még akkor sem, ha az első nem jó a stacionárius pontban (nincs más út). Az is szükséges, hogy ezt a fajta attitűdöt felgyorsítsa a funkció szélsőjének első elégséges jele.

A függvény szélsőségeinek lokális jellege

Nyilvánvaló, hogy a függvény szélsőértéke lokális jellegű lehet - a függvény legtöbb és legkevesebb értékének értéke megegyezik a legközelebbi értékkel.

Tegyük fel, hogy egy nap megnézi a keresetét az esküvő idején. Ha a fűből 45 000 rubelt, a negyedévből 42 000 rubelt, a vörösből 39 000 rubelt keresett, akkor a fűbevétel a kereseti függvény maximuma a legközelebbi értékek tekintetében. Sárgából 71 000 rubelt, tavasztól 75 000 rubelt, lombhullásból 74 000 rubelt keresett az ale, tehát ugyanaz a jövedelem - a minimumjövedelem függvény a legközelebbi értékekkel egyenlő. Könnyedén bachitozhat úgy, hogy a tavaszi fű-cseresznye maximális átlagértéke kisebb, mint a tavaszi-zsovtnya-levélhullás minimális értéke.

Ha zagalneno beszélünk, időközben a függvény a szélsőségek szóródásának anyja lehet, sőt, úgy tűnhet, hogy a függvény minimuma nagyobb, mint a maximum. Tehát az ábrázolt függvényhez egy kicsit többet, .

Tehát nem kell azt gondolni, hogy a függvény maximuma és minimuma látszólag a legnagyobb és a legkisebb érték az összes látható részen. A maximum ponton a függvény a legkisebb értékkel rendelkezik ezen értékek tartományában, ha minden pontban lehetséges, hogy elérje a maximumhoz közeli pontot, a minimum pontnál pedig a legkisebb értéket a ezen értékek tartománya, ha közel van a minimum ponthoz.

Ezért tisztázható, hogy jobban megértsük a függvény szélsőpontját, és a minimum pontjait a lokális minimum pontjainak, a maximum pontjait pedig a lokális maximum pontjainak nevezzük.

A Shukaemo extrém funkciók egyszerre

3. példa.

Megoldás. A funkció az egész számsoron megszakítás nélkül van hozzárendelve. Її pokhіdna іsnuє az egész számegyenesen is. Tom be ehhez a bizonyos típushoz kritikus pontok є kevesebb ti, jak, tobto. , csillagok, hogy . A kritikus pontokat és a hozzárendelt funkció teljes területét három monotonitási intervallumra osztva: . Viberemo a bőrükben az egyik vezérlőpontnál, és a második pontnál ismerjük a következő előjelét.

Egy intervallumhoz egy vezérlőpont lehet: ismert. Ha egy pontot veszünk az intervallumban, akkor kivonjuk, és ha az intervallumban egy pontot veszünk, akkor megtehetjük. Valamint i intervallumokban és intervallumokban . Zgіdno az extrémum első elégséges jelével, azon a ponton nincs szélső (a szilánkok nagyobb valószínűséggel veszik fel az előjelet az intervallumban), és a pontokban a függvény lehet minimális (a szilánkok kevésbé vannak áthaladva a következőn pont, a jelet mínuszról pluszra változtatva). Ismerjük a függvény releváns értékeit: , a . Az intervallumban a függvény megváltozik, a tüskék ebben az intervallumban, és az intervallumok nőnek, a tüskék ezen az intervallumon.

A jövőbeli grafika tisztázásához ismerjük a jóga vonalának pontjait a koordinátatengelyekkel. Ha egyenlőt veszünk, melynek gyöke i , akkor a függvény grafikonjának két pontja (0; 0) és (4; 0) található. Vikoristovuyuchi minden otrimani vіdomosti, budєmo menetrend (div. on the cob butt).

A rozrachunkah-val történő önellenőrzéshez felgyorsíthatja online hasonló kalkulátor .

fenék 4. Ismerje a függvény szélsőségeit, és előidézze az ütemezést.

A függvény hatóköre az egész számegyenes, kivéve a pontokat, tobto. .

A gyors nyomon követés érdekében felgyorsíthatja, hogy a gőzfürdő funkciója, szilánkok . Ezért az ütemezés szimmetrikus a tengelyre Jaj hogy a követés csak az intervallumra használható.

Tudjuk, hogy megyek és a funkció kritikus pontjai:

1) ;

2) ,

De ha a függvény ismeri a különbséget ebben a pontban, akkor nem lehet szélsőpont.

ilyen módon, funkció be van állítva két kritikus pont: i . Vrahovoyuchi funkciók párosítása, perevirim a szélsőség másik elégséges jele csak egy pont. Akiért ismerünk egy barátot, meghalok і jelentős її jel itt: otrimaєmo. Mivel i , akkor є a függvény minimális pontja, amelynél .

A funkció ütemezésével kapcsolatos további információkhoz a kijelölt terület határain a viselkedést követni kell:

(itt a szimbólum az edzést jelzi x jobbkezes nullára ráadásul x elárasztja a pozitívum; hasonlóképpen gyakorlatot jelent x nullára dühös, ráadásul x elárasztják a negatívok). Ilyen rangban, yakscho, akkor. Dali, tudjuk

,

tobto. mint az.

A töréspont a gráffüggvény tengelyeivel nem lehet. Kicsi - a csutka fenekén.

A rozrachunkah-val történő önellenőrzéshez felgyorsíthatja online hasonló kalkulátor .

Prodovzhuєmo shukati extrém funkciók egyszerre

8. példa. Ismerje az extrémum függvényeket.

Megoldás. Ismerjük a hozzárendelt funkció hatókörét. Tehát ha az idegesség győzni tud, akkor megszállottak vagyunk.

Ismerjük meg az első pokhіdnu függvényeket.

duje fontos információ a függvény viselkedéséről, növekedési és hanyatlási időszakokat idéz elő. Їхнє perebuvannya є a folyamat része nyomon követési funkciók és prompt grafika. Addig is külön tisztelet övezi azokat a szélsőséges pontokat, amelyekben növekedésről hanyatlásra, vagy növekedésről növekedésre váltás történik. a függvény legnagyobb és legkisebb értékének értéke az aktuális intervallumon.

Ebben a cikkben meg kell határozni, meg kell fogalmazni a függvény változásának egy intervallumon belüli növekedésének elégséges jelét és elegendő okot egy szélsőséghez, ennek a feladatnak az alkalmazásával az egész elméletet tökéletesítjük.

Navigáció az oldalon.

A függvény növekedése és változása az intervallumon.

Kijelölt növekedési funkció.

Az y=f(x) függvény növekszik az X intervallumon, valamint bármely i-re nerіvnіst vykonuetsya. Ellenkező esetben úgy tűnik - az argumentum nagyobb értéke nagyobb, mint a függvény értéke.

Kijelölt csillapítási funkció.

Az y=f(x) függvény X intervallummal változik, mint bármely i esetén nerіvnіst . Ellenkező esetben úgy tűnik - az argumentum nagyobb értékét a függvény kisebb értéke adja.

MEGJEGYZÉS: mivel a függvény hozzá van rendelve és megszakítás nélkül a növekedési vagy hanyatlási intervallumokban (a; b), akkor x = a і x = b esetén a qi pontok szerepelnek a növekedési vagy csökkenési intervallumban. Ne becsülje túl az X intervallum növekedési és csökkenési függvényének célját.

Például az alapvető elemi függvények hatványaiból tudjuk, hogy az y=sinx hozzá van rendelve, és nem szakítja meg az argumentum összes effektív értéke. Ezért az intervallumokon a szinuszfüggvény növekedéséből megerősíthetjük a szinuszfüggvény növekedését az intervallumon.

Krapki extrémum, extrémum függvények.

Nevezze meg a pontot maximális pont függvények y=f(x) , tehát minden x a környéken tisztességes. A függvény értékét a maximum pontban hívjuk funkció maximumértem.

Nevezze meg a pontot minimum pont függvények y=f(x) , tehát minden x a környéken tisztességes. A függvény értékét a minimum pontjában hívjuk minimális funkcióértem.

A pont perifériája alatt értse az intervallumot , de - Fejezz be egy kis pozitív számot.

A minimum és maximum pontokat nevezzük szélsőséges pontok, és a függvény értékét, amely a szélsőpontoknak felel meg, meghívjuk funkció szélsőségei.

Ne keverje össze az extrém funkciókat a legnagyobb funkcióval legalacsonyabb érték funkciókat.

Az első kicsinél a felső függvény legnagyobb értékét a függvény maximumpontjában és a következő maximumon éri el, a másikon pedig az x = pontban éri el a függvény legnagyobb értékét. b, de nem a maximum pontján.

Elég ahhoz, hogy megértsük a megváltozott funkció növekedését.

A megváltozott funkció növekedésének elegendő elméje (jele) alapján a megváltozott funkció növekedésének hiányosságai vannak.

A képlet tengelye a függvény növekedésének és változásának jele az intervallumon:

• ha egy hasonló y=f(x) függvény pozitív bármely x-re az X intervallumon belül, akkor a függvény növekszik X-en;
• Ha egy hasonló y=f(x) függvény negatív, ha x az X intervallumon belül van, akkor a függvény X -re változik.

Ebben a sorrendben a növekedés növekedésének és a funkció változásának jelzéséhez szükséges:

Az algoritmus magyarázatához vessünk egy pillantást a közbenső növekedés és a függvény változás ismeretére vonatkozó példára.

csikk.

Ismerje meg a növekedés és a funkciók változásának hiányosságait.

Megoldás.

Az első termésnél szükséges ismerje a funkció hatókörét. A viraz fenekénél, a bannermannél nullára fordulhat, később,.

Térjünk át az ismert függvényre:

Abból a célból, promіzhkіv zrostannya, hogy zmenshennya funktії elegendő jel vyrishuєmo nerіvієmі і a kinevezési területen. Gyorsan használja az intervallum módszert. A napló egyetlen gyöke є x = 2, a znamennik pedig nullára fordul x = 0-nál. A Qi-pontok felosztják a hozzárendelt intervallum területét, néhány más funkciónál a jelet veszik. Jelentősen qi pontok a számegyenesen. A pluszok és mínuszok mentálisan jelentős intervallumok, amelyekre pozitív és negatív. Az alsó nyilak sematikusan mutatják a függvény növekedését vagy változását egy adott intervallumon.

ilyen módon, і .

Azon a ponton x=2 a függvény hozzá van rendelve és megszakítás nélküli, ehhez a її-t hozzá kell adni a növekedési és a csökkenési intervallumhoz. Az x=0 pontban a függvény nincs hozzárendelve, így ez a pont nem szerepel a viccelődő intervallumokban.

Rajzoljuk a függvény grafikonját, hogy eredményt kapjunk belőle.

Javaslat:

A függvény ekkor növekszik , változik a (0; 2] intervallumon).

Elegendő szem előtt tartani a funkció szélsőértékét.

A függvény maximumának és minimumának ismeretében meg lehet koristuvatisya, hogy a három közül az egyik szélsőség jele-e, nyilván, hiszen a függvény kielégíti az elmét. A legszélesebb és legkényelmesebb ezek közül az első.

A persha elegendő Umov szélsőségéhez.

Legyen az y=f(x) függvény a pont közelében differenciált, de magában a pontban megszakítás nélkül.

Más szavakkal:

A függvény szélsőpontjának első jele utáni szélsőpont megtalálásának algoritmusa.

• Ismerjük a hozzárendelt funkció hatókörét.
• Ismerjük a hozzárendelt terület funkcióit.
• A számtárcsázás szignifikánsan nullái, a kijelölt terület megfelelő pontjának szalagcímének nullái, amelyekben nincs lehetséges szélsőséges pontok, qi pontokon áthaladva lehetséges az előjel megváltoztatása).
• A Qi pontok felosztják a promyzhki funkciójára kijelölt területet, egyesek számára jobb, ha a jelet veszik. Egy hasonló bőrintervallum előjeleit láthatjuk (például egy hasonló függvény értékének kiszámítása egy jól felvett intervallum bármely pontjában).
• Kijelöljük azokat a pontokat, amelyekben a funkció megszakítás nélkül működik, és jakon áthaladva megváltoztatja az előjelet - bűz extrémum pontokat.

Túl gazdag szavak, szebben nézve a kilka a szélsőértékre alkalmazta a jelentőségteljes pontokat és a függvény szélsőpontjait az első segítségül elég az eszed a függvény szélső értéke.

csikk.

Ismerje az extrémum függvényeket.

Megoldás.

A működési terület mind személytelen napszámok, Krim x = 2 .

Tudjuk, hogy megyek:

A є számláló nullai pontjai x = -1 і x = 5 znamennik nullára fordulnak x = 2-nél. Jelentős számú pont a numerikus tengelyen

Hasonló bőrintervallumra utaló jelek láthatók, amelyekkel egy hasonló bőrintervallum értékét számítjuk ki például az x=-2, x=0, x=3 és x=6 pontokban.

Az intervallumon is pozitív (plusz jel kerül a kicsire a cim intervallum fölé). Hasonlóképpen

Egy másik intervallumra mínuszt, egy harmadik intervallumra mínuszt, negyed fölé pluszt teszünk.

Elveszett pontok kiválasztása, amelyeknél a funkció megszakítás nélkül működik, és її pokhіdna változás jel. Tse i є szélsőséges pontok.

Azon a ponton x=-1 a függvény megszakítás nélküli és fokozatosan változtatja az előjelet pluszról mínuszra, majd az első jel után a szélsőértékig x=-1 a maximum pont, a második a függvény maximuma .

Azon a ponton x=5 a függvény megszakítás nélküli és a mínusz előjelét fokozatosan pluszra változtatja, ekkor x=-1 a minimum pontja, ami a függvény minimumát jelenti .

Grafikus illusztrációk.

Javaslat:

FORDÍTOTT TISZTELET: az első előjel elegendő a véglethez, magának a pontnak a differenciális funkcióját nem befolyásolja.

csikk.

Keresse meg a szélsőségpontokat és az extrém függvényeket .

Megoldás.

A függvény hatóköre minden személytelen valós szám. Maga a függvény a nézetbe írható:

A következő funkciókat ismerjük:

Azon a ponton x=0 nem lehetséges, az egyoldalú inters-értékek szilánkjai nem érhetik el a nullát, ha az argumentum eltúlzott:

Ugyanebben az órában a kimeneti függvény megszakítás nélkül működik az x=0 pontban (oszt. felosztás a funkció nyomon követése a folytonosság érdekében):

Ismerjük az érv jelentését, amely alatt érdemes nullára fordulni:

Szignifikánsan minden pont a számegyenesen és lényegesen alacsonyabb előjel a bőrintervallumokon. Amire ki lehet számítani a relatív értékét a bőrintervallum bizonyos pontjain, pl x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Tobto,

Ebben a sorrendben az extrémum első jele után a minimum pontjai , a maximumra mutat є .

A minimális függvények kiszámítása

A függvény maximumainak kiszámítása

Grafikus illusztrációk.

Javaslat:

.

Egy másik jele a függvény szélsőértékének.

Akárcsak a bachete, egy függvény szélsőértékének jeléhez hasonlóra lesz szükség, legalábbis pontokban eltérő sorrendben.

Az extrémum első elégséges jele a kritikus ponton keresztüli átmenet első jó órájának előjelének változásának javításával fogalmazódik meg. Az extrémum egy másik jeléről lásd alább a 6.4. §-t.

Tétel (a szélsőség első jele) : Yakschox 0 - A függvény kritikus pontjay=f(x) és a pont valódi közelébenx 0 , áthaladva rajta zlіva jobbra, pokhіdna változtassa a jelet a meghosszabbításra, majdx 0 є szélsőséges pont. Sőt, mivel az ellenkező jele „+”-ról „-”-ra változik, akkorx 0 a maximális pont, ésf(x 0 ) a függvény maximuma, és hasonló, ha a „-” jelet „+”-ra változtatjuk, akkorx 0 a minimum pont, ésf(x 0 ) - Minimális funkció.

Extrém viseletnek tűnik helyi(Misceviy) jellege és a kritikus pont egy kis peremének érzékenysége.

A szélsőpontok és a tágulási pontok felosztják a monotonitási intervallum hozzárendelt függvényének területét.

6.3. példa. Például a 6.1. tudtuk a kritikus pontokat x 1 =0 і x 2 =2.

Természetesen, ami igaz ezeken a pontokon, az a függvény y=2x 3 -6x 2 +1 extrémum. Képzeld el a її pokhіdnu-ban
jelentése x, vett zliva és jobbkezes a ponton x 1 =0 a külterületek közelében tartózkodni, pl. x=-1і x = 1. vett. Oskіlki pokhіdna változtassa meg a jelet „+”-ról „-”-ra, majd x 1 =0 - mutasson a függvény maximumára és maximumára
. Most két értéket veszünk x = 1 i x = 3 egy másik kritikus pont közeléből x 2 =2 . Ezt már bebizonyították
, a
. Oskіlki pokhіdna módosítsa a jelet „-”-ról „+”-ra, majd x 2 =2 - A minimum pont. És legalább a funkciókat
.

A függvény legnagyobb és legkisebb értékének ismerete a szél megszakítása nélkül
ki kell számítani a її értékeket a tekercselés minden kritikus pontján és típusában, hogy a bv a legtöbbet és a legkevesebbet válassza.

6.3. Duzzanat és zsugorodás jelei a függvény grafikonján. Kink pontok

A differenciált függvény grafikonját únopuklimaz intervallumban, mint a borok a roztashovaniya alacsonyabb, hogy ez volt-e a dotichnu abban az intervallumban;lehajol (lemerül)yakscho vіn raztashovaniya vshee be-yakої dotichї az intervallumon.

6.3.1. A grafika duzzadásának és zsugorodásának szükséges és elégséges jelei

a) Szükséges jelek

Mi a funkció ütemezésey=f(x) tumor az intervallumon(a, b) , akkor a barát jó
milyen időközönként; ütemtervkéntmegfélemlítés a(a, b) , akkor
a(a, b) .

P st ütemezési funkció y=f(x) tumor (a, b) (6.3a ábra). Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh duzzadt görbe zlіva jobbra, її kut rosszul változik (
), ugyanakkor a pont végső együtthatója változik, ami azt jelenti, hogy az első alkalommal változik
a (a, b) . Az Ale azonban hasonló az elsőhöz, mivel hasonló a recesszív függvényhez, de lehet negatív is, tobto
a (a, b) .

Mi a funkció ütemezése megfélemlítés a (a, b) , Hogy, mirkuyuchi hasonlóan, Bachimo, hogy amikor kovácsol egy dotic vzdovzh görbe (ábra. 6.3b) vágott beteges dotic növekedést (
); És még ha úgy is néz ki, mint egy növekvő függvény, pozitív is lehet, tehát
a (a, b) .

b ) Elegendő jel

Mint a funkció miatty=f(x) minden pont azonos intervallumú lesz
, akkor a függvény grafikonjamegfélemlítés milyen időközönként, de hogyan
, akkortumor .

"Rule Doshu" : Annak érdekében, hogy emlékezzen egy másik pokhіdnoї pov'yazuvati z duzzadt jelére, és melyikre a grafikon görbe ívéből, javasoljuk, hogy emlékezzen: plusz víz görbe holdaknál "mínusz víz" - domború holdakban (6.4. ábra).

Krapka grafika megszakítás nélküli funkció, amelyben a dudor a chi navpak dudorává változik, az úgynevezettcsavarpont .

Tétel (elegendő az inflexiós pont előjeléhez).

Yakscho azon a ponton funkció
dvіchі megkülönbözteti, hogy a barát tsіy pontban hasonlít nullához vagy sem, és még akkor is, ha áthalad a ponton jóbarát
változtassa meg a jelet, majd a pontot є inflexiós pont. A töréspont koordinátái
.

A pontokat, egyes barátok számára nullára fordulhat vagy sem, másfajta kritikus pontoknak nevezik.

6.4. példa. Ismerje az inflexiós pontokat, és jelölje a görbe duzzadási és benyomódási intervallumait
(Gaus-görbe).

R megoldás. Pershu tudjuk, hogy pokhіdnі barátja:
,. Egy barát jó neked . Egyenlő nullával és virishima otrimane egyenlő
, de
is
, csillagok
,
- Másfajta kritikus pontok. Újabb jó óra előjelének megfordítása a kritikus pont átlépéséhez
. Yakscho
például,
, akkor
, de
például,
, akkor
Tobto barátja változtassa meg a jelet. Otzhe,
- a töréspont abszcissza, її koordináták
. Paritásfüggvényeken keresztül
, foltos
, szimmetrikus pont
, tezh egy inflexiós pont lesz.

Tétel (az első elegendő az Umov-féle szélsőséghez). Legyen a függvény a ponton megszakítás nélküli, de ha az óra átmegy a ponton, akkor az előjel megváltozik. Todi - extrémum pont: a maximum, ami azt jelenti, hogy a jel "+"-ról "-"-ra változik, és minimumra, ami "-"-ről "+"-ra változik.

Hoz. Gyere velem.

Lagrange tételéhez , de .Todі yakshcho, akkor; ahhoz , otzhe, , vagy . Hát akkor; ahhoz , otzhe, vagy .

Otzhe hozott, scho minden közeli ponton, tobto. a függvény maximális pontja.

A minimumponttétel bizonyítása hasonló módon történik. A tétel kész.

Amint az óra átmegy a ponton, nem változtatja meg az előjelet, akkor a pont nem extrémum.

Tétel (Umov extrémumához egy barát is elegendő). Legyen a pontnak hasonló függvénye, ami differenciáló, 0 (), a másik pedig hasonló a nulla ponthoz () és megszakítás nélküli a pont aktív környezetében. Todi - extrémum pont; melyik ponton a minimum, és melyik ponton a maximum.

Algoritmus szélsőséges függvény felismeréséhez az első elégséges ok után a szélsőség megoldásához.

1. Ismerje meg a trükköt.

2. Jelölje ki a függvény kritikus pontjait!

3. Kövesse a bal- és jobbkezes jelét a bőrkritikus pontban és a visnovo növekedését a szélsőségek megnyilvánulásáról.

4. Ismerje a függvény szélső értékeit.

Algoritmus az extrémum függvény felismerésére egy másik elégséges ok segítségével a szélsőség megszüntetésére.

1. Ismerje meg a trükköt.

2. Ismerje meg a barátját, pokhіdnu.

3. Ismerd meg a pontokat, yakikh.

4. Ezeken a pontokon jelöljön ki egy jelet.

5. Zrobiti vysnovok a szélsőségek természetéről.

6. Ismerje a függvény szélső értékeit.

csikk. Megnézi . Tudjuk . Daly, i for . Dolіdzhuєmo kritikus pontok az első elégséges elmeszélsőség segítségére. Talán, minek én at , én at . Az i pontoknál jobb a jelüket megváltoztatni: a „+”-nál „-”-ra, a „-”-nél pedig „+”-ra. A Tse azt jelenti, hogy a pontfüggvénynek van maximuma, a pontnak pedig minimuma; . A kiegyenlítéshez egy újabb elegendő elme és szélsőség segítségével kell elérnünk a kritikus pontot. Tudjuk, hogy egy barát meghal. May: , és a tse azt jelenti, hogy a pontnak van maximuma, a pontnak pedig minimuma.

Egy függvény gráfjának aszimptotikájának megértése. Vízszintes, gyenge és vertikális aszimptotika. alkalmaz.

Időpont egyeztetés. p align="justify"> A függvény grafikonjának aszimptotáját egyenesnek nevezzük, amely lehetővé teszi, hogy a ponttól az egyenes középpontja felé haladjunk a nulláig, ha a grafikon pontja nincs messze a grafikontól. koordináták csutka.

Különböztessünk függőleges (6.6. ábra a), vízszintes (6.6. b ábra) és lengés (6.6. c. ábra) aszimptotákat.

ábrán. 6.6a látható függőleges aszimptota.

A 6.6b ábrán - vízszintes aszimptota.

ábrán. 6,6 V - aszimptota.

1. tétel. A függőleges aszimptoták pontjain (például ) a függvény ismeri a különbséget, az egyenesek és a pontok jobb oldali módja között:

2. tétel. Legyen a funkció a nagy befejezésére és a végső határok megállapítására kijelölve

І .

Akkor ez egyenes, a függvény grafikonjának kopott aszimptotája.

3. tétel. Legyen a függvény kijelölve nagy dosit és іsnuє függvények között. Ekkor az egyenes a függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája.

Vízszintes aszimptota є rossz aszimptótának nevezzük, ha . Ehhez igaz, hogy egy egyenesben a görbének van vízszintes aszimptotája, de abban az egyenesben nincs balszerencse és balszerencse.

csikk. Ismerje a függvény grafikonjának aszimptotikáját.

Megoldás. A ponton a függvény nincs hozzárendelve, a ponton bal és jobbkezes függvények között tudunk:

; .

Ezenkívül függőleges aszimptota.

A funkciók nyomon követésének és ütemezésének ösztönzésének fő sémája. csikk.

A követési funkció általános sémája hogy prompt її grafika.

1. Ismerje meg a célterületet.

2. Kövesse a paritás - unparitás függvényt.

3. Ismerje a tágulási pont függőleges aszimptotikáját (pl. є).

4. Kövesse nyomon a függvény viselkedését inkonzisztenciában; ismerje a vízszintes és beteges aszimptotákat (például є).

5. Határozza meg a függvény monotonságának szélsőértékeit és intervallumait!

6. Keresse meg a grafikon i koordinátatengelyű egyenesének pontjait, amint az egy sematikus diagramhoz szükséges, a további pontok ismeretéhez!

7. Sematikusan hívja fel a menetrendet.

Részletes séma nyomon követési funkciók amelyek ösztönzik a grafikát .

1. Ismerje meg a célterületet .

a. Yakshcho є znamennik, vin bűnös a zratatisya 0-ban.

b. A páros szakasz gyökének részgyöke lehet nem negatív (több mint chi egyenlő nullával).

c. A szublogaritmikus viráz pozitív lehet.

2. Kövesse a paritás - unparitás függvényt.

a. Yakscho , akkor a függvény párosítva lesz.

b. Yakshcho , akkor a függvény nincs párosítva.

c. Yakshcho nem vikonano nem, nem , akkor a globális nézet függvénye.

3. Ismerje a tágulási pont függőleges aszimptotikáját (pl. є).

a. A függőleges aszimptota kevésbé hangsúlyos lehet a hozzárendelt funkció interrégióin.

b. Yakscho (vagy ), akkor a gráf aszimptota függőleges.

4. Kövesse a függvény viselkedését inkonzisztenciában; ismerje a vízszintes és beteges aszimptotákat (például є).

a. Yakscho, akkor a gráf aszimptotája vízszintes.

b. Jakscso i akkor az egyenes a gráf törékeny aszimptotája.

c. Ami az a, b) pontban megjelölt határokat illeti, csak egyoldalú túlzással az inkonzisztenciáig (vagy ), akkor az aszimptotika egyoldalú lesz: bal oldali -val és jobboldali -val.

5. Keresse meg a függvény monotonitás szélsőségeit és intervallumait.

a. Ismerje pokhidnu.

b. Ismerje meg a kritikus pontokat (ti pontok, de chi de nemaє).

c. A numerikus tengelyen jelölje ki a kijelölt területet és її kritikus pontot.

d. A numerikus intervallumok tartalmának bőrén jelölje meg a következő jelét.

e. Visnovok hasonló kutatásainak jelei szerint azoknál a típusoknál a szélsőségek megnyilvánulásáról.

f. Ismerje meg a szélsőséges értékeket.

g. A bajuszok menetelő növekedésének jelei szerint a növekedésről és a változásról.

6. Ismerni a grafikon i koordinátatengelyű egyenesének pontjait, ahogy az egy sematikus diagramhoz szükséges, a további pontokat ismerni.

a. Schob, hogy ismerje a grafikon vonalának pontjait a vіssyu-tól, el kell választani a vonalat. Pontok , de zero , a z vyssyu gráf vonalának pontjai lesznek .

b. A grafikon vonalának pontja felülről látható. Vaughn іsnuє, ez kevésbé olyan, mint egy pont a kijelölt funkció területére való belépéshez.

8. Sematikusan hívja fel a menetrendet.

a. Indukálja a koordinátarendszert és az aszimptotákat.

b. Jelölje meg a szélsőséges pontokat.

c. Adja meg a grafikon töréspontjait a koordinátatengelyekkel.

d. Sematikusan indukáljuk a gráfot úgy, hogy a kijelölt pontokon áthaladva az aszimptotákhoz közelítve.

csikk. Kövesse a függvényt, és sematikusan indukálja a її grafikont.

2. - a vad elme funkciója.

3. Oskіlki i , majd egyenes vonalak є függőleges aszimptoták; pontok і є pontozott. , amikor ne lépjen be a hozzárendelt funkció területére