Mátrix soros megoldás. Matematika teáskannákhoz Mátrixok és a felettük lévő főbbek. Mátrix transzponálási művelet

A dán módszeres segítség segít megtanulni nyerni dії mátrixokkal: mátrixok összeadása (eltávolítása), mátrixok transzponálása, mátrixok szorzása, a pivot mátrix jelentősége. A lerakások minden anyaga egyszerű és hozzáférhető formában, ugyanúgy készül, ilyen rangban egy felkészületlen is megtanulhatja a mátrixokkal való munkát. Önellenőrzésre és önellenőrzésre a mátrixkalkulátor >>> költségmentesen használható.

Igyekszem minimalizálni az elméleti almondatokat, ha „ujjra” tudod magyarázni azokat a nem tudományos kifejezéseket. A földelmélet szerelmesei legyetek kedvesek, ne kritizáljatok, a mi feladatunk megtanulják, hogyan kell megtanulni a mátrixok használatát.

A témára való felületes felkészüléshez (ki "ég") - intenzív pdf-tanfolyam Mátrix, vyznachnik, hogy hall!

A mátrix egy téglalap alakú asztal, legyen az elemeket. A yakostban elemeket nézhetjük a számokat, vagyis a számmátrixokat. ELEM- Tse termin. A kifejezést meg kell jegyezni, a borokat gyakran firkálják, én nem vikoristav ezt a látomást félkövér betűkkel.

Kijelölés: mátrixok nagy latin betűkkel hangzanak

Csikk: Vessünk egy pillantást a két-három mátrixra:

Ez a mátrix hatból áll elemeket:

A mátrix közepén lévő összes számot (elemet) Ön is megtalálja, így nem talál róla semmit:

Ez csak egy számtáblázat (halmaz)!

Szóval itthon vagyunk ne rendezd át szám, amely a magyarázatokban nem szerepel. A bőrszámnak megvan a maga rothadási helye, és lehetetlen megkeverni őket!

A mátrixot megnézzük, két sora van:

és három pillér:

ALAPÉRTELMEZETT: ha a mátrix bővítéséről beszélünk, akkor a csutkán adja meg a sorok számát, majd - az oszlopok számát. Apránként ecsettel rendezték a „kettő-három” mátrixot.

Ha a mátrix sorainak és oszlopainak száma zbіgaєtsya, akkor a mátrix ún. négyzet, például: - háromszor három mátrix.

Mint egy soros vagy egysoros mátrixban, az ilyen mátrixokat is hívják vektorok.

Valóban ismerjük a mátrixokat az iskolákból, nézzünk meg például egy „iks” és „iplayer” koordinátájú pontot: . Valójában a pont koordinátái egy-kettő mátrixba vannak írva. A beszéd előtt a tengely egy példa arra, hogy miért lehet jelentős a számsorrend: i - a sík két különböző pontja.

Most pedig folytassuk gond nélkül az esküvőt barkácsolj mátrixokból:

1) Diya persha. A mínusz hibája a mátrixból (a mínusz bevezetése a mátrixba).

Térjünk rá a mátrixunkra . Ahogy énekelve emlékszel, a mátrixomban túl sok negatív szám van. A különböző mátrixosok firkászának pillantásával még kényelmetlenebb, praktikus a mínuszokat leírni, az csak csúnyán néz ki a dizájnban.

Az intermátrixok mínuszát hibáztatjuk, megváltoztatva a mátrix SKIN elemének előjelét:

A nullánál, mint tudod, a jel nem változik, nulla - bor és nulla Afrikában.

Zvorotny fenék: . lekezelően nézek.

Bevezetünk egy mínuszt a mátrixba, megváltoztatva a mátrix SKIN elemének előjelét:

Hát tengely, gazdagon szimpatikus veyshlo. Én, naygolovnіshe, KÖNNYEBB lesz legyőzni a mátrixot. Mert olyan matematikai emberek prikmeta: minél több mínusz - annál több csaló és kegyelem.

2) Dia barátom. Egy mátrix szorzása egy számmal.

Csikk:

Egyszerű, meg kell szorozni a mátrixot egy számmal Bőr szorozzuk meg a mátrix elemet ezzel egész szám. Nál nél ehhez a bizonyos típushoz- Hármasban.

Még egy barna popsi:

– mátrixszorzás drib-el

A tarkón azokat nézzük, akik robiti NEM SZÜKSÉGES:

A mátrixnál a drib bevezetése NEM KÖTELEZŐ, először is könnyebb a mátrixtól távolabb hajtogatni, más módon pedig leegyszerűsíti a megoldás újraellenőrzését a vikladach (különösen a yakscho) - Maradék igénylés).

Tim több, NEM SZÜKSÉGES a mátrix bőrelemének érzékenysége mínusz sіm-mel:

Három statisztika Matematika a dumáknak, vagy miért más, erre emlékszünk tizedes törtek akivel az összes többi matematikus igyekszik egyedi lenni.

Egy dolog bagan robiti az alkalmazásban - tse adjon egy mínuszt a mátrixhoz:

És yakby-ból ÖSSZES A mátrixelemeket elosztottuk 7-tel felesleg nélkül, Akkor lehet (és kell is!) Boulo b podіlit.

Csikk:

Melyik irányba tudok SZÜKSÉGES szorozzuk meg a mátrix összes elemét -vel, így a mátrix összes számát elosztjuk 2-vel felesleg nélkül.

Megjegyzés: elméletileg haladó matematika nincs olyan iskolás, aki megérti a „podіl”-t. A "ne adj ehhez" kifejezés helyett mindig azt mondhatod, hogy "szorozd többel". Tobto podіl - tse okremia vpadok többes szám.

3) Diya harmadik. Mátrix transzpozíció.

A mátrix transzponálásához sorokat kell írni a transzponált mátrix oszlopaiba.

Csikk:

Transzponáljon egy mátrixot

Itt csak egy sor van, és a szabály szerint fel kell írni az oszlopba:

a transzponált mátrix.

A transzponált mátrixot egy felső index vagy egy jobbkezes angolna ütése jelzi.

Takaró fenék:

Transzponáljon egy mátrixot

A hátoldalon az első lépésben átírjuk az első sort:

Írjunk át egy sort egy másik sorba:

І, nareshti, írja át a harmadik sort a harmadik tűzhelynél:

Kész. Nagyjából úgy tűnik, a transzponálás a mátrix oldalra forgatását jelenti.

4) Diya negyedik. Összeg (kiskereskedelmi) mátrix.

A diya mátrixok összege kínos.
NEM MINDEN MÁTRIX HAJTHATÓ BE. A vykonannya hajtogatási (vіdnіmannya) mátrixok esetében szükséges, hogy a golyócskák bűze azonos legyen ROZMIROM esetében.

Például, ha egy „kettő-kettő” mátrixot adunk meg, akkor csak a „kettő-kettő” mátrixhoz adhatja hozzá és bármilyen más módon!

Csikk:

Hajtsa össze a mátrixokat і

A mátrixok hajtogatásához össze kell hajtani a szükséges elemeiket:

A különböző mátrixok esetében a szabály hasonló, tudni kell a különböző elemek közötti különbséget.

Csikk:

Ismerje meg a mátrixok különbségét ,

És hogyan lehet ezt a fenekét egyszerűbbé tenni, hogy ne vesszen el? Ne habozzon hozzáadni a mínuszokat, amelyekhez mínuszt adunk a mátrixhoz:

Megjegyzés: elméletileg nem létezik olyan, hogy középiskolai matematikai ismeretek. A "bármit lát" kifejezés helyett mindig azt mondhatja, hogy "negatív szám hozzáadása". Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok összehajtva.

5) Diya p'yata. Mátrixok sokszorosítása.

Milyen mátrixokat lehet szorozni?

Hogy a mátrixot szükség szerint meg lehessen szorozni a mátrixszal, úgy, hogy a mátrixban lévő oszlopok száma egyenlő legyen a mátrixban lévő sorok számával.

Csikk:
Meg lehet szorozni egy mátrixot mátrixszal?

Ismét meg lehet szorozni ezeket a mátrixokat.

És ugyanabból a mátrixból rendezd át a küldetéseket, akkor így már lehetetlen a szorzás!

Otzhe, vikonati többes szám lehetetlen:

Nem olyan gyakran trükköznek ki a feladatokat trükközésből, ha a tanulót olyan mátrixok szorzására ösztönzik, amelyek szorzása nyilvánvalóan lehetetlen.

Dia jelzi, hogy számos változó képes mátrixokat і így, і úgy szorozni.
Például mátrixok esetén az i-t meg lehet szorozni, tehát i szorozni

Az mxn kiterjesztésű téglalapmátrix az mxn számok összege, amelyek egy téglalap alakú táblázatban vannak elrendezve, annak érdekében, hogy megbosszuljuk az m és n oszlopos sorokat. Látásra felírjuk a її-t

egyébként, ha A = (a i j) (i = ; j = ), akkor az a i j számokat її elemeknek nevezzük; az első index a sorszámra mutat, a másik - a sorszámra. Az azonos méretű A \u003d (a i j) és B \u003d (b i j) egyenlőnek nevezzük, mivel az elemek párban egyenlőek, tehát ugyanazokon a helyeken állnak, majd A \u003d B, tehát a i j \u003d b i j.

Az egy sorból vagy egy oszlopból hajtogatott mátrixot sor- vagy oszlopvektornak nevezzük. A raktárvektorokat és a sorvektorokat egyszerűen vektoroknak nevezzük.

Egy számmal rendelkező mátrix ehhez a számhoz van leképezve. A rozmіru mxn, minden nullával egyenlő elemet nullának nevezünk, és 0-n keresztül vannak hozzárendelve. Az azonos indexű elemeket a fejátló elemeinek nevezzük. Ha a sorok száma megegyezik a talpfák számával, akkor m = n, akkor a mátrixot n négyzetes sorrendnek nevezzük. Azokat a négyzetes mátrixokat, amelyeknek a fejátló nulla vagy több eleme van, átlósnak nevezzük, és a következőképpen írjuk őket:

Ha az összes a i i elem átlósan 1-et ad, akkor egyszeresnek nevezzük, és E betűvel jelöljük:

A négyzetes mátrixot trikónak nevezik, mert minden olyan elem, amely magasabb (vagy alacsonyabb), mint a fej átlója, egyenlő nullával. Az átültetést olyan transzformációnak nevezzük, amikor a sorokat és az oszlopokat a számok megtakarításában helyek váltják fel. Ezt a felül található T transzponálási ikon jelzi.

Mivel a (4.1)-ben átrendezhetjük a sorokat oszlopokkal, akkor vesszük

mintha A. Zokrem transzponálta volna, a vektor-stovptsya transzponálásakor megjelenik a sorvektor és a navpacki.

Alösszetevő És a b számot mátrixnak nevezzük, melynek elemei A második elemeiből származnak a b szám szorzásához: b A = (b a i j).

Az egyik dimenzió A = (a i j) és B = (b i j) összegét azonos dimenziójú C = (c i j)-nek nevezzük, melynek elemeit a c i j = a i j + b i j képlethez rendeljük.

A Dobutok AB a felvételihez kapcsolódik, így az A oszlopok száma megegyezik az U sorok számával.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i =, j =, k =, az AB hozzárendelt sorrendhez rendelve, C = (c i k) néven, az elemeket ilyen szabályhoz rendeljük:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k. (4.2)

Egyébként úgy tűnik, hogy az AB létrehozás eleme a következő sorrendben van hozzárendelve: az i-edik sor és a k-adik oszlop eleme az i-edik A sor kreatív elemeinek legszebb összege. a k-edik B oszlop függő elemei.

fenék 2.1. Ismerje meg a doboot AB i -t.

Megoldás. Május: A rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, majd dobutok AB \u003d C іsnuє і elemek С egyenlő

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10.

és a tvir BA nem igaz.

fenék 2.2. A táblázat azt mutatja, hogy az 1. és 2. tejüzemben naponta hány egyedi terméket visznek be az M 1, M 2 és M 3 üzletekbe, továbbá egyetlen termék szállítása a bőrtejüből az M 1 üzletbe 50 den. az egyik, a boltba M 2 - 70, és M 3 - 130 den. egy. Pіdrakhuvat schodennі szállítási vitrati bőrgyár.

tejtermék

Megoldás. Jelentősen egy mátrixon keresztül, amelyet megértésre kaptunk, és azon keresztül
B - egy mátrix, amely az üzlet egyetlen termékének, a tobto-nak a szállításának változékonyságát jellemzi,

Todo mátrix vitrát a szállított matimán így nézett ki:

Szintén az első ólomüveg üzem ára jelenleg 4750 grosz. az egyik, a másik - 3680 den.

fenék 2.3. A varroda télikabátokat, félszezonos kabátokat és esőkabátokat készít. Az egy évtizedre tervezett kibocsátást az X = (10, 15, 23) vektor jellemzi. Vykorivuyutsya szövetek chotirioh típusú T1, T2, T3, T4. A táblázatban a szövetvitrati normák (méter) a bőr vibrációjára. A С = (40, 35, 24, 16) vektor a bőrtípusú szövet mérőszámának változékonyságát, a P = (5, 3, 2, 2) vektor pedig a bőr transzportált mérőjének varianciáját jelzi. dermális típusú szövet.

	Vitrata szövetek

télikabát
Félszezonos kabát

Lineáris algebra

Mátrixok

mátrix rozmіru m x n - tse egyenes vonalú számtáblázat, m sor és n stoptsіv bosszújára. A mátrixot alkotó számokat mátrixelemeknek nevezzük.

A mátrixokat nagy latin betűkkel, az elemeket pedig ugyanazokkal a kis betűkkel jelöljük, aládrót indexeléssel.

Nézzük például a 2 x 3 méretű A mátrixot:

Ennek a mátrixnak két sora (m = 2) és három sora (n = 3) van, azaz. A won hat elemből áll: ij de i - sorszám, j - sorszám. Ezzel az érték 1-től 2-ig, az egy értéke pedig legfeljebb három (rögzítve). Zokrema, a 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Az azonos méretű (m x n) A és B mátrixokat nevezzük egyenlő, hogy a bűz elemről-elemre zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij esetén, akkor. bármely i-re és j-re (írhat "i, j"-t).

sormátrix- ugyanaz a mátrix, amelyet egy sorból hajtogatnak, és mátrix-bélyegző- Tse mátrix, amely hajtogatott egy stovptsya.

Például, egy sormátrix, és .

négyzetmátrix n-edik sorrendig - a mátrix, egy sorig az oszlopok számáig és n-ig.

Például egy eltérő sorrendű négyzetmátrix.

Átlós mátrixelemek – célelemek, amelyeknél a sorszám megegyezik az oszlopszámmal (a ij, i = j). Qi elemek kielégítik főátló mátrixok. Az elülső fenéknél a főátlót a 11 = 3 és a 22 = 5 elemek alkotják.

Átlós mátrix- Ez egy négyzetes mátrix, amelyben minden átlón kívüli elem nulla. Például, - Harmadrendű átlós mátrix. Ha igen, minden átlós elem egyenlő eggyel, akkor a mátrixot hívják magányos(A hangokat E betű jelöli). Például, - Harmadik rendű egyedüli mátrix.

A mátrix az ún nulla hogy minden її elem egyenlő legyen nullával.

A négyzetmátrixot ún kötött tehát a fejátló alatt (vagy felett) lévő összes elem nullával egyenlő. Például, - Harmadrendű tricut mátrix.

Műveletek mátrixokon

A mátrixokon a következő műveletek hajthatók végre:

1. Egy mátrix szorzása egy számmal. Az l szám kiegészítő mátrixa a B = lА mátrix, melynek elemei b ij = la ij bármely i i j esetén.

Például yakscho, akkor .

2. Mátrixok összeadása. Két azonos m x n méretű A і mátrix összegét C \u003d A + B mátrixnak nevezzük, amelynek elemei ij \u003d a ij + b ij az "i, j"-re.

Például tetszik akkor

Lényeges, hogy a frontális működés révén lehetséges vizuális mátrix ugyanaz a méret: A-B különbség\u003d A + (-1) * Art.

3. Mátrixok sokszorosítása. Az n x p kiterjesztett mátrixra kiterjesztett A további m x n mátrixot olyan C mátrixnak nevezzük, amelynek s ij bőreleme kiegészíti az A mátrix i-edik sorának elemeinek összegét a j-edik látható elemein. mátrix oszlopa, tobto. .

Például tetszik

, akkor a mátrix-alkotás kiterjesztése 2 x 3 lesz, és vigyázz az anyára:

Ily módon az A mátrixot szűkített mátrixnak nevezzük.

A négyzetmátrixokra vonatkozó szorzási művelet alapján a művelet linkek a lábnál. Az A négyzetmátrix pozitív A m (m > 1) fokát további m mátrixnak nevezzük, amely egyenlő A-val, tobto.

Tegyük fel, hogy a mátrixok összeadása (helyettesítése) és szorzása nem két mátrixra vonatkozik, hanem csak a legtöbb éneklésére, ami a maga mértékében tetszik. A znakhodzhennya sumi chi rіznitі mátrixokhoz їх rozmіr obov'yazkovo ugyanaz lehet. Mátrixok létrehozásához az első oszlopok számát növelhetjük a másikban lévő sorok számával (az ilyen mátrixokat ún. kérlek zsenimi).

Nézzük meg a vizsgált műveletek hatványait, hasonlóan a számokra vonatkozó műveletek hatványaihoz.

1) A hajtás kommutatív (eltolódási) törvénye:

A + B = B + A

2) Asszociatív (boldog) hajtogatási törvény:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) A szorzás eloszlási (szpred) törvénye, hogyan hajtsunk:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) A szorzás asszociatív (boldog) törvénye:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Megállapítható, hogy a mátrixok szorzásának eltolási törvénye nem változik az ellenkező irányba, azaz. AB ¹ BA. Sőt, az AB bázisból nem feltétlenül ejtik ki a BA bázist (a mátrixok nem biztos, hogy elfogadhatók, és még ugyanazok a dobutok sincsenek hozzárendelve, mint az indukált butt, a mátrixok sokasága esetén). Ale navіt yakscho sértődj, csináld, büdös ordít raznі.

Jó értelemben a kommutatív törvény egyetlen, azonos rendű mátrixhoz hozzáadhat egy A négyzetmátrixot, ráadásul ez összeadja A-t (az egyetlen mátrixszal való szorzás itt hasonló a számok szorzásakor eggyel való szorzáshoz):

AE = EA = A

Igaz,

A számok szorzataihoz adunk még egy mátrixszorzatot. Több szám is hozzáadható nullához, vagy ennél kevesebb is, ha azt szeretné, hogy az egyik nullával egyenlő legyen. A mátrixokról, tobtoról nem lehet mondani. a nulla mátrixokhoz további nem nulla mátrixok adhatók. Például,

Vessünk egy pillantást a mátrixokkal végzett műveletekre.

4. Mátrix transzpozícióє átmenet művelet az A mátrixról az m x n bővítésre az A T mátrixra az n x m kiterjesztésre, ugyanazon sorokban és oszlopokban szóközökkel emlékeztek:

Az átültetési művelet ereje:

1) A következőt választottuk, hogy a mátrixot kettőre lehessen transzponálni, majd a kimeneti mátrixra térünk át: (AT) T = A.

2) A konstans szorzó okolható a transzpozíciós jelért: (lА) T = lА T .

3) Distributívan szorzott járulékos mátrixok transzponálása: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T.

Mátrixok

Az A bőr négyzetmátrixhoz írja be az |A| számot vyznachnik. Az Innodi jógát D betű jelöli.

Tse є fontos a tetején az alacsony gyakorlati feladatokat. Jelentősen jóga a számítási módszerrel.

Egy elsőrendű mátrix esetén її az egyetlen elem |А| = D1 = a11.

Eltérő sorrendű її mátrix esetén egy számot jelzőnek nevezünk, mivel az |А| \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Egy harmadrendű її A mátrix esetén a számot jelzőnek nevezzük, mivel a képlet után számítjuk

Az algebra összegét reprezentálja, amely 6 összeadásból áll, amelyek bőrébe pontosan egy elem kerül be a bőrsorból és a bőrmátrixmátrixból. A vyznachnik képletének memorizálásához szokás felgyorsítani az úgynevezett trükkök szabályát vagy Sarrus szabályát (6.1. ábra).

A kis 6.1-en a gonosz séma látható, hogyan válasszunk elemeket a pluszjeles kiegészítésekhez, - a bűz a fej átlójában és az egyenlő combcsont-trikutnik tetején perebuvayut, és párhuzamosan helyezi őket. A rendszer a zlіva vikoristovuєtsya a dodankіv zі jel "mínusz"; rajta a fejátló helyettese ún.

A magasabb rendű vezetők rekurzív módon, tobto számítanak. negyedrendű utód harmadrendű utód révén, ötödrendű utód negyedrendű utód révén stb. A módszer leírásához be kell vezetni a mátrix azon algebrai komplementer elemének moll fogalmát (legjelentősebb, hogy maga a módszer, amelyet tovább vizsgálunk, alkalmas a harmadik és más sorrendre).

Kisebb Az n-edik rendű ij mátrix M ij elemét az (n-1)-edik rendű mátrix kezdőbetűjének nevezzük, amelyet az A mátrixból és a j-edik oszlop i sorának megfeleltetéséből vettünk.

Az n-edik rendű bőrmátrix n2 minor az (n-1)-edik sorrendben.

Algebrai összeadások Az ij elem ij n-edrendű mátrixát yogo mollnak nevezzük, zі jelet (-1) felvéve (i + j) :

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, ami a pár sorban és oszlopában lévő számok összege, і A ij \u003d -M ij, amely nincs párosítva.

Például tetszik , akkor ; satöbbi.

A tőke kiszámításának módja poliga az offenzívában: a négyzetmátrix jelzője fejlettebb az elemek tetszőleges sorrendben történő létrehozásának összege (stovptsya) az algebrához való kiegészítésükkor:

(elrendezés szerint i-edik elemek sorok; );

(A j-edik oszlop elemeinek elrendezése;).

Például,

Lényeges, hogy kezdetben a trikómátrix primordiális mintája fejlettebb, mint a fejátló elemei.

Fogalmazzuk meg a bírák főbb jogköreit.

1. Ha van egy sor, vagy ha a mátrix csak nullákból áll, akkor a választottbíró egyenlő 0-val (ez a rozrahunka módszerét követi).

2. Ha a mátrix valamilyen sorának (stowptsya) összes elemét megszorozzuk ugyanazzal a számmal, akkor ugyanazt a számot megszorozzuk az egész számmal).

Megjegyzés: a jelző előjeléért magát a sor forró szorzóját hibáztathatja (a mátrix előjelét, amelynek előjeléért az elemek forró szorzóját). Például, , .

3. Amikor a її mátrixot transzponáljuk, a jelző nem változik: | A T | = | A | (A bizonyítás nem kerül végrehajtásra).

4. A mátrix két sorának (stowptsiv) szóközeinek átrendezésekor a választottbíró megváltoztatja a prolége előjelét.

A cob értékének megerősítésére elfogadható, hogy a mátrix két egymást követő sorát átrendezzük: i-edik és (i + 1)-edik. A rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj mátrixhoz i-edik sor, és az új mátrixhoz (átrendezett sorokkal) - (i + 1) - th (a niy-ben ez ugyanaz, így elemről elemre mozog). Ekkor a másik jel kibontásakor a bőr kiegészíti az algebrai matimát a prolége jellel, így a (-1) nem a lépésekre (i + j), hanem a lépésekre (i + 1 + j) redukálódik, és egy másik képletben a képletek nem kerülnek hozzáadásra. Ily módon a főemlős jele a protilisra változik.

Most már elfogadható, hogy nem a bíróságokat rendezik át, hanem még két sort, például az i-edik és az (i + t)-edik. Egy ilyen permutáció az i-edik sor utólagos eltolásaként lehetséges t sorral lefelé, és az (i + t)-edik sor - (t-1) sorral feljebb. Akinél a főemlős előjele változik (t + t - 1) = 2t - 1 ahányszor, azaz. párosítatlan számú alkalommal. Otz, hagyd, hogy a szőlő változtassa meg a többit.

Hasonló tükrözés módosítható a stovptsiv esetében.

5. Ha a mátrix két azonos sort (stowptsya) helyettesít, a következő egyenlő 0-val.

Igaz, ha ugyanazokat a sorokat (stovptsі) a küldetések átrendezik, akkor magát a mátrixot ugyanazok a kinevezettek veszik el. A másik oldalon, az elülső yakistyu erek mögött, megváltoztathatja a szimbólumot, tobto. D = -D D = 0.

6. Mivel a mátrix két sorának (stowptsіv) elemei arányosak, ezért az egyes szám egyenlő 0-val.

Ez a teljesítmény az adott bor előremenő hatványán alapul a fej szorzójának bilincsére (ha a mátrixban az arányegyüttható béklyójának bora ugyanazok az abo stovpts sorok, és ennek eredményeként az együttható meg kell szorozni nullával).

7. A mátrix bármely sora (stowptsya) kreatív elemeinek összege ugyanazon mátrix következő sora (stowptsya) elemeinek algebrai összeadásakor mindig nagyobb 0: mert i ¹ j.

A teljesítmény eléréséhez elegendő az A mátrix j-edik sorát az i-edik sorra cserélni. A rövidített mátrixban két egyenlő sor lesz, így a következő egyenlő 0-val. A másik oldalon a j-edik sor elemei alapján számítható ki: .

8. A mátrix indexe nem változik, csak a sor elemeihez vagy a mátrixhoz adja hozzá a következő sor (stow) elemeit, megszorozva ugyanazzal a számmal.

Rendben, hadd egészítsem ki az i-edik sor elemeit j-edik elem sorok l-vel szorozva. Az új i-edik sor Todi elemei láthatók lesznek
(a ik + la jk , "k). Számítsuk ki az új mátrix elrendezés előjelét az i-edik sor elemei után (jelentős, hogy a її elemek algebrai összeadásai nem változnak, ha változnak):

Elvettük, hogy ez a főemlős nem hasonlít a külső mátrix főemlősére.

9. Jelentős dobutku mátrixok drágább dobutku їх vyznachnіv: | AB | = | A | * |U| (A bizonyítás nem kerül végrehajtásra).

Megnézték a vyznachnik és a vikoristák több tekintélyét, hogy elnézzék számításaikat. Zzvichay namagayutsya perevorit mátrix egy ilyen formában, shchob be-yaky stovpets vagy egy sor bosszú yaknabіlshe nulla. Könnyen meg lehet ismerni a következő döntőbírót az első vagy a másik sor fektetéséhez.

fordított mátrix

Az A-1 mátrixot hívják megfordítható az A négyzetmátrixhoz viszonyított arány szerint, még ha a mátrixot megszorozzuk is az A mátrixszal, akkor is jobbkezes, így az egyetlen mátrix jön ki: A -1 * A = A * A -1 = E.

Ebből következik, hogy a fordított mátrix egy négyzetes mátrix, amely ugyanolyan sorrendben van, mint az A mátrix.

Látható, hogy a pivot mátrix megértése hasonló a pivot szám megértéséhez (az egész szám, ha egy adott számmal megszorozzuk, egyet ad: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Bajusz számok, krimi nulla, becsomagolhatják a számokat.

Ahhoz, hogy megtudjuk a hatványt, mekkora a hozam négyzetmátrixa, ismerni kell a döntőbírót. Ha a mátrix egyenlő nullával, akkor egy ilyen mátrixot hívnak virogén, vagy különösen.

Szükséges elég elme A szérummátrix alapja: a szérummátrix ugyanaz, és csak akkor, ha nem virogén mátrixot használnak.

Meghozzuk a szükségességet. Legyen tehát a mátrix az A -1 fordított mátrix. A -1 * A \u003d E. Todi | A -1 * A | = | A -1 | * |A| = | E | = 1. Később,
|A| ¹0.

Elegendőséget hozunk. Ennek felhozásához egyszerűen le kell írni a szérummátrix számítási módját, ami a nem szűz mátrixra mindig elvégezhető.

Otzhe, gyerünk | A | ¹ 0. Transzponálja az A mátrixot. Az А Т bőrelemre jön(Kölcsönösen, szövetségesen):.

Ismerjük a kapott mátrix és a kimenet valóságát. Elvitel . Ebben a sorrendben a mátrix átlós. A її fejátlón a kimeneti mátrix előjelei, az elemek vonalai pedig nullák:

Hasonlóképpen azt is megmutathatja.

Ha a mátrix összes elemét |A|-ra osztja, akkor az egyetlen E mátrixot elveszi.

Ilyen rangot , akkor. .

Elhozzuk a pivot mátrix egységét. Tegyük fel, hogy A fő fordított mátrixa, az alapértelmezett A -1 . Jelentősen її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Az egység hozta.

Ezenkívül a pivot mátrix kiszámításának algoritmusa a következő lépésekből áll:

1. Ismerje meg a mátrix | A | . Yakscho |A| = 0, akkor az A mátrix egy virogén, és a fordított mátrix nem ismert. Yakscho |A| ¹ 0, majd menjen a lépcsős horgoláshoz.

2. Ösztönözze az AT mátrix átültetését.

3. Ismerje a transzponált mátrix algebrai komplementer elemeit és indukálja az adott mátrixot.

4. Számítsa ki a burkolt mátrixot úgy, hogy a kapott mátrixot elosztja |A|-ra.

5. A pivot mátrix számításának helyességét helyesen megfordíthatja a pontra: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Ismerjük meg a trükkök szabálya mögötti mátrix első számát:

Hagyjuk az átírást.

A következő mátrixokat hozhatja hatalomra:

1) | A-1 | = 1 / | A |

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Mátrix rang

Kisebb k-edik rend az m x n mátrixra, hogy megnevezzük a k-edik sorrendű négyzetmátrix előjelét, mivel azt az A mátrixból vettük, hogy megfeleltetsük, vannak-e sorok és oszlopok.

Fontos megjegyezni, hogy a kiskorú sorrendje nem múlja felül a kisebbet, tobto. k £ min (m; n). Például az A 5x3 mátrixokból eltávolíthatók az első, más és harmadik rendű négyzetes részmátrixok (lehetőség van a mellékrendek bővítésére).

rang mátrix neve rend megtalálása nullák formájában a mátrix molljaiban (jelölje a rang A-t vagy az r(A)-t).

Azta

1) a mátrix rangját a legkisebb s її razmiriv, tobto közül választjuk ki.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0, majd ha a mátrix nulla (minden mátrixelem egyenlő nullával), akkor. r(A) = 0 A = 0;

3) n-edrendű négyzetmátrix esetén r(A) = n, majd ha az A mátrix nem virogén, akkor. r(A) = n | | ¹0.

Tulajdonképpen kinek is elég több ilyen kiskorút kiszámolni (azt, amit a harmadik oszlop feltámasztásából vettek el (mert lesz nulla harmadik oszlop a reshtben, és az a büdös lesz hozzá a nullához ).

A trikó-szabály mögött = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Az összes harmadrendű minor szilánkja nulla, r(А) £ 2. A szilánkoknak van egy ettől eltérő rendű mollja, pl.

Nyilvánvaló, hogy az általunk elfogadott vikoristani (különböző kiskorúak pillantása) nagy munkával nem alkalmas a hajtogatott módozatok magasabb rangjára. Hangoztassa a mátrix rangjának jelét az átalakulás győztes tettei, ahogy hívják alapvető:

egy). V_dkidannya nulla sor (stovpts_v).

2). Egy sor vagy egy mátrix összes elemének reprodukálása egy számmal, nullát nem számolva.

3). A mátrix sorainak (stovptsiv) sorrendjének megváltoztatása.

négy). Kiegészítés az egyik sor (stovptsya) bőreleméhez a következő sor (stovptsya) azonos elemeihez, megszorozva egy számmal.

5). Transzponálja.

Mivel az A mátrixot elemi transzformációkkal veszik ki a B mátrixokból, ezeket a mátrixokat ún egyenértékű A~B-t jelölök.

Tétel. A mátrix elemi transzformációi nem változtatják meg a rangot.

A tétel bizonyítása nyilvánvaló a mátrix dominanciájából. Valójában ezeknél a transzformációknál a négyzetmátrixokat vagy elmentik, vagy megszorozzák egy olyan számmal, amely nem egyenlő nullával. A háború során a külső mátrix kiskorúinak vezető nulláinak legnagyobb sorrendje magától megmarad, azaz. її rang nem változik.

Az elemi transzformációk segítségével a mátrixot felhozzuk az úgynevezett lépcsőzetes kinézetre (átdolgozva lépésmátrix), akkor. Feltételezzük, hogy a fejátló alatti ekvivalens mátrixnak csak nulla eleme volt, a fejátlónak pedig nem nulla elemei voltak:

A lépésfrekvenciás mátrix rangja egyenlő r-vel, a keresztillesztés szilánkjai ebből stoptsiv, az (r + 1)-ediktől és távolabbtól kezdve vehetjük az r-edrendű háromvaluta mátrixot, a a skalár megegyezik a nullával, a harmadrenddel, nem egyenlő nullával):

csikk. Keresse meg a mátrix rangját

egy). Ha egy 11 \u003d 0 (mint a mi esetünkben), akkor a sorok átrendezésével és a stovptsіvvel elérhető, hogy egy 11 ¹ 0. Itt emlékezünk a mátrix 1. és 2. sorára:

2). most 11 van? 0. Elemi átalakulások Dob'єmosja, shchob shta elementіv az első stovptsi doіvnyuvali nullánál. A másik sorban 21 = 0. A harmadik sorban 31 = -4. Zokog (-4) 0 állásban, hozzáadja a harmadik sorhoz az első sort, szorzás 2-vel (tobto a (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Hasonlóképpen a negyedik sorhoz adja hozzá az első sort (szorzás eggyel, majd (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). A kivonó mátrixban a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, akkor újra átrendezheti a sorokat). Győződjön meg arról, hogy a másik oldal alatti átlói nullák voltak. A 3. és 4. sorhoz adjon hozzá egy másik sort, szorzatok -3-mal ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

négy). A rövidített mátrixban két fennmaradó sor nulla, és a їх eldobható:

Eltávolították a lépcsős mátrixot, amely két sorban van hajtva. Ezenkívül r(A) = 2.

Tse megértés, scho zagalnyu є minden lehetséges művelet, yakі viroblyayutsya mátrixokkal. Matematikai mátrix - elemek táblázata. Egy ilyen asztalról de m rowkіv ta n stoptsіv, úgy tűnik, hogy a mátrix lehet rozmirnіst m a n.

A mátrix ragyogó megjelenése:

Mert megoldási mátrix meg kell érteni, mi a mátrix, és ismerni kell a fő paramétereket. A mátrix fő elemei:

Fejátló, amely elemekből áll a 11, a 22 ..... a mn.
Oldalátló, amely elemekből áll a 1n, a 2n-1 ….a m1.

A mátrix fő típusai:

Négyzet - egy ilyen mátrix, de sorok száma = oszlopok száma ( m=n).
Nulla – minden mátrixelem = 0.
Transzponált mátrix - mátrix Nál nél, jak bula otrimana a külső mátrixból Aútvonallal, cserélje ki a sorokat az oszlopokon.
Egyedül - a fej átlójának összes eleme = 1, vonal = 0.
A fordított mátrix egy mátrix, ha egy fordított mátrixszal megszorozzuk, egyetlen mátrixot ad eredményül.

A mátrix lehet szimmetrikus mind a fej-, mind az oldalátlókra. Tobto, yakscho a 12 = a 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n = a mn-1 akkor a mátrix szimmetrikus a főátló mentén. A négyzetnél több mátrix is lehet szimmetrikus.

A rozvyazannya mátrixok módszerei.

Mayzhe all mátrix transzformációs módszer feküdj a híres її vyznachniknál n sorrendben, és több közülük nehézkes. A 2. és 3. rendű főemlős megismerésére más, racionálisabb mód is van.

Znakhodzhennya vyznachnikі a 2. sorrendben.

A mátrix kiszámításához DE Második sorrendben a fejátlóban lévő elemek létrehozásához további elemeket kell hozzáadni az oldalátlóhoz:

A 3. rendű ismeretek módszerei.

Az alábbiakban a 3. rend ismeretének szabályait közöljük.

A trikutnik-szabályt, mint egyet, leegyszerűsítették cseresznye mátrix módszerek, a következőképpen ábrázolható:

Más szóval, az elemek fogadását az első döntőbírótól, mintha egyenesek lennének, a "+" jellel veszik; pont így, a 2. jegyzőnek - a legfontosabb alkotásokat "-" jellel veszik, tehát egy ilyen sémához:

Nál nél mátrixok megoldása a Sarrus-szabállyal, jobbkezes, az aláíró irányába, adja hozzá az első 2 oszlopot, és hozza létre a legfontosabb elemeket a fejátlón, az átlókon pedig az i-es párhuzamoshoz hasonlóan vegye fel a 3-at egy "+" jellel; de hozzon létre két oldalátló és átló elemet, mint a párhuzamosokat, a "-" jellel:

Razkladannya vyznachnik a stovptsyu pіd óra vіrіshennya mátrixok számának sorrendjében.

A vyznachnik a vyznachnik egy sor elemei alkotásának jobb összege az algebrai kiegészítéseiken. Hívjon, és válassza ki azt a sort/tűzhelyet, úgy, hogy az nulla. Egy sor vagy egy sor, amely szerint az elrendezést végrehajtják, nyílként lesz kijelölve.

A főemlős trickó pillantásra hozása a cseresznyemátrixok órájában.

Nál nél megoldási mátrix Azáltal, hogy a főemlőst trikós megjelenésre hozzuk, dolgozzon így: a legegyszerűbb átalakítások segítségével az énekek sorain keresztül a főemlős trickó megjelenésűvé válik, és ugyanazt a jelentést, nyilvánvalóan a főemlős erejére, dobutku elemeket. , mintha a fejen állna átlósan.

Laplace-tétel a mátrixok tökéletesítésére.

A Laplace-tétel mögötti mátrixok láttán szükséges magát a tételt középút nélkül ismerni. Laplace tétele: Ugyan Δ - tse vyznachnik n sorrendben. Vibiraemo az új be-yakі-ben k rowkiv (abo stovptsiv), az elme számára k≤ n-1. Az ilyen időnek sok munkája van k sorrendben, mit kell bosszút állni a kiválasztotton k sorok (stowptsyah), a vyznachnik algebrai kiegészítéseiken.

Virishennya mátrix.

Sorozat ehhez a szérummátrix oldata:

Értsd meg, hogy négyzetes mátrix van megadva. A negatív vélemények idején világossá válik, hogy a nyálmátrix nem lehet.
Összeadások számítása az algebrához.
Létrehozunk egy szövetséges (kölcsönösen, jön) mátrixot C.
Fordított mátrix hozzáadása algebra kiegészítésekkel: az adott mátrix összes eleme C dilimo a cob mátrixon. A részösszeg mátrix egy véletlenszerűen meghatározott pivot mátrix lesz.
Ellenőrizzük a vikonan robotot: megszorozzuk a pochatkov mátrixot és kihagyjuk a mátrixot, az eredmény lehet egyetlen mátrix.

Virishennya rendszermátrixok.

Mert megoldások mátrixrendszerekhez A leggyakoribb módszer a Gauss-módszer.

A Gaus-módszer az algebra lineáris igazítási rendszereinek (SLAE) levezetésének standard módja, és nyeri a mezőket abban a tényben, hogy a változtatások szekvenciálisan kapcsolódnak be, így további elemi változtatások esetén az igazítási rendszert egy ekvivalens rendszerre hozzák. háromvaluta, utána, után (a szám mögött) tudja a rendszer skin elemét.

Gaus módszerє a leguniverzálisabb és legjobb eszköz a mátrixok megoldására. Ahogy a rendszernek személytelen megoldása van, vagy a rendszer nem összefoglaló, úgy a Cramer-szabályt és a mátrix módszert sem lehet megsérteni.

Az átvitel Gauss-módszere direkt (a kiterjesztett mátrixot lépcsőzetesre redukálja, így a nullákat eltávolítja a fejátló alatt) és fordított (nullákat távolít el a kiterjesztett mátrix fejátlója felett) is. A közvetlen irány a Gauss módszer, a fordított - a Gauss-Jordan módszer. A Gauss-Jordan módszer hasonló a Gauss-módszerhez, kivéve a változások sorrendjét.

Időpont 1. A mátrix a világnakm n egy téglalap alakú táblázatot hívunk meg m sorral és n oszloppal, amelyet számokkal vagy egyéb matematikai változókkal (mátrixelemek rangsoraival) adunk össze, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, vagy

Időpont 2. Két mátrix
і
azonos méretűnek nevezik egyenlő, amelyek elemenként vannak rendezve, azaz. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

További mátrixokhoz könnyen fel lehet írni a gazdasági betétek okiratait, például az erőforrások elosztási táblázatait a gazdaság deákja szerint.

Időpont 3. Így a mátrix sorainak száma zbіgaєtsya a її stovptsіv-től, tehát. m = n, akkor a mátrixot hívjuk négyzetes rendn, és más megvilágításban egyenes vonalú.

Időpont 4. Az A mátrixról az A t mátrixra való átmenet, amelyben a sorokat és oszlopokat a mentési sorrendből helyek jegyezték meg, ún. átültetése mátrixok.

Lásd a mátrixot: négyzet (33-as méret) -
,

egyenes vonalú (25 méret) -
,

átlós -
, egyedülálló -
, nulla -
,

mátrix sor -
, mátrix-stowpets -.

Időpont 5. Az n rendű négyzetmátrix azonos indexű elemeit a fejátló elemeinek nevezzük, azaz. ce elemek:
.

Időpont 6. Az n rendű négyzetmátrix elemeit oldalátló elemeinek nevezzük, mivel indexeik n + 1, azaz. Elemek: .

1.2. Műveletek mátrixokon.

1 0 . sumoyu két mátrix
і
azonos méretű С = (з ij) mátrixnak nevezzük, melynek elemei egyenlők ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… ,n).

A hajtogató mátrixok műveletének ereje.

Mert be-yakah A,B,C mátrixok egy rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (kommutativitás),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (asszociativitás).

2 0 . Tvorom mátrixok
számonként  mátrixnak nevezzük
az i-vel azonos dimenziójú A mátrix, ráadásul b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Egy mátrix számmal való szorzása művelet hatványa.

(А) = ()А (szorzó asszociativitás);

(А+В) = А+В (a véletlenszerűen hajtogatható mátrixok multiplicitásának megoszlása);

(+)А = А+А (a véletlenszerűen hajtogató számok szorzásának eloszlása).

Időpont 7. Mátrixok lineáris kombinációja
і
ugyanazt a méretet A + B, de  és  alakban nevezzük - elegendő szám.

3 0 . Dobutcom A  Mátrixok A і vіdpovіdno razmіrіv mn і nk mátrixot 3 expіrum mk mátrixnak nevezzük úgy, hogy a z ij elem az A mátrix i-edik sorában és a j-edik oszlopban található kreatív elemek összege. a B mátrixból, tobto. h ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

A Dobutok AB-t csak ebben az esetben használjuk, mivel az A mátrix oszlopainak száma a mátrix sorainak számával változik.

A szorzómátrixok műveletének ereje:

(АВ)С = А(ВС) (asszociativitás);

(А+В)С = АС+ВС (véletlenszerűen hajtogatott mátrixok eloszlása);

А(В+С) = АВ+АС (véletlenszerűen hajtogatott mátrixok eloszlása);

АВВА (nem kommutatív).

Időpont 8. Az A és B mátrixokat, amelyeknél AB = BA, ingázásnak vagy ingázásnak nevezzük.

Egy négyzetes mátrix reprodukálása, függetlenül attól, hogy egy másik mátrixon milyen sorrendben történik, nem változtatja meg a mátrixot.

Időpont 9. Elemi átalakulások A mátrixokat ilyen műveleteknek nevezzük:

Két sor (stovptsiv) cseréje a küldetésekkel.

Egy sor bőrelemének (stovptsya) reprodukciója egy számmal, amely nem egyenlő nullával.

Hozzáadás az egyik sor elemeihez (stowptsya) a második sor elemeihez a következő sor (stowptsya).

Időpont 10. Mátrix, otrimana mátrixokból És elemi transzformációk segítségére hívják egyenértékű(BA aláírással).

fenék 1.1. Ismerje a 2A-3B mátrixok lineáris kombinációját, pl

,
.

,
,

csikk 1.2. Ismerje a doboot mátrixot
, tetszik

Megoldás: az első mátrixban lévő oszlopok számát megváltoztatjuk egy másik mátrix sorainak számáról, majd a kiegészítő mátrixot használjuk. Ennek eredményeként új mátrixot veszünk
, de

Ennek eredményeként vesszük
.

2. előadás. Kinevezettek. A vyznachniki kiszámítása egy másik, harmadik sorrendben. A kinevezettek hatalmansorrendben.