2. način integracije

Pogledajmo krivolinijski integral 2. vrste, gdje je L krivulja koja spaja točke M i N. Neka funkcije P(x, y) i Q(x, y) mogu bez prekida samostalno hodati realnim područjem D, u kojoj se plohi nalazi krivulja L. Značajno je da se u nekim analizama krivuljasti integral ne može postaviti u obliku krivulje L, već su samo točke M i N proširene.

Nacrtamo još dvije krivulje MSN i MTN koje leže na udaljenosti D i spajaju točke M i N (slika 14).

Recimo, što, tobto

de L - zatvorena petlja, savijanje iz MSN i NTM krivulja (također, može se dodati još). Na taj način, neovisnost uma o krivocrtnom integralu 2. vrste u načinu integracije jednaka je umu da je takav integral iza bilo koje zatvorene petlje jednak nuli.

Teorem 5 (Greenov teorem). Zadajte u svim točkama realnog područja D funkcije P(x, y) i Q(x, y) i njihove privatne prijelaze. Zatim, kako bi zatvorena kontura L, koja leži u području D, bila

potrebno i dostatno za sve točke regije D.

Dovođenje.

1) Blagostanje: pusti um = vikonano. Pogledajmo zatvoreniju konturu L regije D koja okružuje regiju S i napišimo Greenovu formulu za novu:

Otzhe, dostatnost donesena.

2) Nužnost: recimo da je um upisan u točku kože područja D, ali ako želite pronaći jednu točku u središtu područja, u kojoj -? 0. Hajde, na primjer, u točki P(x0, y0) možda: - > 0. Dakle, kako lijevi dio nervoze ima neprekinutu funkciju, hoće li biti pozitivan i veći za koji dan? > 0 u deakíy malom području D`, da osveti točku P. Otzhe,

Važno je uzeti u obzir Greenovu formulu

de L` - kontura koja okružuje područje D`. Tsey rezultat superchit uma. Također, = na svim točkama regije D, koje je bilo potrebno donijeti.

Poštovanje 1. Slično, za trosvjetovni prostor, može se donijeti da su potrebni i dovoljni umovi neovisnosti krivocrtnog integrala

u smjeru integracije ê:

Napomena 2. Kada vykonanní misli (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz ê gornji diferencijal stvarna funkcija. To vam omogućuje da izračunate izračun krivocrtnog integrala do navedene vrijednosti razlike i na krajnjim i srednjim točkama konture integracije, skaliranje

Za koju funkciju i može se znati iz formule

de (x0, y0, z0) - točka područja D, a C - postalo je dovoljno. Doista, lako je zbuniti da su privatne funkcije dane formulom (53) jednake P, Q i R.

stražnjica 10.

Izračunajte krivocrtni integral 2. vrste

duž pune krivulje, koja spaja točke (1, 1, 1) i (2, 3, 4).

Idemo dalje, što viconi misle (52):

Otzhe, funkcija je prisutna. Znamo ju iza formule (53) postavljanjem x0 = y0 = z0 = 0. Tada

U ovom rangu, funkcija i određuje se s točnošću do dovoljnog knjiženja dodatku. Pretpostavimo da je Z = 0, tada je u = xyz. Otzhe,

Pogledajmo krivolinijski integral

uzimajući nakon deak s ravnom krivuljom L, koji povezuje točke Mі N. Pretpostavimo da funkcije P(x, y)і Q(x, y) mogu biti neprekidni privatni praznici u području koje možete vidjeti D. Naravno, za takve umove pisanja krivolinijski integral ne može ležati u obliku krivulje L, i taložiti samo u položaju klipa i krajnje točke Mі N.

Pogledajmo još dvije krivulje MPNі MQN, koji se nalazi u blizini otvorenog prostora D i spojne točke Mі N. dođi

(1)

Tada na temelju potencija 1 i 4 krivuljasti integrali mogu biti:

tobto. integral zatvorene petlje L

U ostatku formule, krivolinijski integral uzimanja duž zatvorene konture L presavijeni od krivulja MPNі NQM. Tsey kontura L možete, očito, vvazhati dovilnym.

U ovom rangu, pazite:

tako da za bilo koje dvije točke M i N krivuljasti integral ne leži u obliku krivulje, već samo u obliku krivulje, već samo u položaju ovih točaka, sljedeće, što krivocrtni integral iza svake zatvorene konture jednak je nuli .

Pošten i zao visnovok:

ako je krivuljasti integral iza bilo koje zatvorene petlje jednak nuli, tada taj krivuljasti integral ne može ležati u obliku krivulje, koja je između dvije točke, i leže samo u logorima tsikh točka . Istina je, scho ekvivalencije (2) bujne ekvivalencije (1)

Teorema

Neka se funkcije P(x, y), Q(x, y) koriste u svim točkama deaco regije D odjednom sa svojim privatnim i bez prekida. Zatim, kako bismo imali krivuljasti integral iza bilo koje zatvorene petlje L, koja leži na rubu sobe, dostižući nulu, tada. shob

(2΄)

potrebna i dovoljna vikonannya ekvivalentnost

na svim točkama područja D.

Dovođenje

Pogledajmo pobliže zatvoreni krug L u regiji D a za novi napišemo Greenovu formulu:

Ako um pobijedi (3), onda je podcijenjeni integral, koji košta zla, također jednak nuli i, tada,

na takav način, dostatnost oprati (3) donesen.

Donesimo ga sada nužnost um, tobto. moguće je da je ravnomjernost (2) pobjednička za svaku zatvorenu krivulju L u regiji D, tada na kožnoj točki regije um pobjeđuje (3).

Prihvatljivo je, s druge strane, da ljubomora (2) pobjeđuje, tobto.

a Umov (3) ne pobjeđuje, tobto.

hot bi u jednoj točki. Hajde, na primjer, pjevačka točka može biti nervozna

Budući da lijevi dio nervoze ima neprekinutu funkciju, bit će pozitivan i više od određenog broja u svim točkama kako bi se doseglo malo područje kako bi se osvetila točka. Vízmemo podvíyny íntegra ín íy galluzí víd raznitsi. Vin matime ima pozitivno značenje. Pravi,

Ali iza Greenove formule, lijevi dio ostatka neravnina bliži je krivocrtnom integralu preko međuregije, koji je iza dodataka bliži nuli. Otzhe, ostannya nerívníst supercheat umovi (2), otzhe, pripuschennya, scho na vídmínu víd nula želite biti u jednom trenutku, a ne tako. Zvuči vrištanje, što

u svim točkama D.

Otzhe, teorem je opet gotov.

U času svadbe diferentnih jednakih, dovedeno je u pamet

je ekvivalentno činjenici da viraz pdf + Qdyê zadnji diferencijal trenutne funkcije u(x, y), onda.

Ale u vektoru tsomu vipadku

ê gradijentna funkcija u(x, y);

Funkcija u(x, y), gradijent je sličan vektoru potencijal koji vektor.

Javite nam to koji ima krivolinijski integral Iza bilo koje krivulje L, koja povezuje točke M i N, razlika između vrijednosti funkcije i u tim točkama:

Dovođenje

Yakscho Rdx + Qdyê gornji diferencijal funkcije u(x, y), tada ću pogledati krivolinijski integral

Za izračun ovog integrala, pišemo parametarsko poravnanje krivulje L, koji povezuje točke Mі N:

Viraz, što stajati na hramovima, funkcionirati u t, što je potpuno slična funkcija prema t. Tom

Yak mi bachimo, krivolinijski integral u obliku kontinuiranog diferencijala ne može ležati u obliku krivulje, za što je potrebna integracija.

Na ovaj način:

imajte na umu neovisnost krivocrtnih integrala druge vrste oblikovati način integracije ovako:

Yakshcho u deakíy galuzí P(x, y)і Q(x, y) bez prekida zajedno s vlastitim i, tada:

1. u području D ne leže u obliku načini integracije, yakscho yogo što znači iza shmatkovo-glatke krivulje, scho ležati kod tsíy galuzí i mame zagalny cob í zagalny kínets međutim.

2. integralni uzdovzh biti-kao zatvorena krivulja L, koji se nalazi u regiji D je jednako nuli.

3. Glavna funkcija u(x, y), za yakoí̈ viraz pdx+qdy Onda ísnuê povny diferencijal.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

5

na točki kože tog područja D.

Za izračun integrala, kako ne bi upali u konturu integracije

zatim odaberite kao najpouzdaniji put integracije lamana, da su spojne točke i lanke paralelne s osi Ox i Oy.

Pidintegral Viraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy za imenovanje umova gornji diferencijal glumačke funkcije u = u(x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

funkcija u(x, y)(izvorno) možete znati kako izračunati najčešći krivuljasti integral prema lamaniji de - bila to fiksna točka, B(x, y) – točka mijenjanja, a točka je maksimalna koordinata x taj . Todi vzdovzh maêmo that dy = 0, i vzdovzh maêmo x = konstі dx = 0.

Uzmimo ovu formulu:

Slično tome, integriranje lamanoy de otrimaemo

primijeniti

1. Izračunati

Ovaj integral treba položiti duž konture integracije, jer

Odaberemo kao način integriranja lamana, linije su paralelne s koordinatnim osima. Na prvoj grani:

Na drugom mjestu:

Otzhe,

2. Prvo saznaj u, Kao

Hajde i konturiraj Prijeê lamana OMN. Todi

3. Znaj, yakscho

Ovdje je nemoguće uzeti točku koordinata, jer na ovom mjestu funkcije P(x, y)і Q(x, y) nije dodijeljen, za to, uzimamo ga za točku, na primjer,. Todi

4. Poznavati područje, okruženo elípsima

Površina figure, nabrane u području HOW i okružene zatvorenom linijom C, izračunava se prema formuli

,

de contour Z zaobilazi se u pozitivnom smjeru.

Pretvorimo krivolinijski integra u pjesmu, stvarajući promjenu

Parametar t proći vrijednosti od 0 do 2?

Takav rang

3. Najviši krivocrtni integral po duljini luka L yakscho L– cikloida cvjetače

ZADACI NA TEMU “KRIVOLINIJSKI INTEGRAL”

opcija 1

De L je trokut prave točke A(0;-2) i B(4;0) koji leži na ravnini XOY.

uzdovzh lamanoí̈ L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

Iza koordinata, jer je L luk elipse, koji se nalazi u prvoj četvrtini.

De L je kontura trikoa s vrhovima A(1,1), B(2,2), C(1,3). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

i poznavati jogu.

7. Polje sile stvara sila F(x, y), koja omogućuje da se više točaka učvrsti u kobi koordinata i usmjeri na kob koordinata. Znati robotu jakost polja, primijenjenu na pomak materijalne točke jedne mase duž luka parabole y2 = 8x od točke (2; 4) do točke (4; 4).

opcija 2

1. Izračunajte krivocrtni integral preko ruba luka (kartezijeve koordinate).

De L je kontrakcija ravne točke koja spaja O (0; 0) i A (1; 2).

2. Izračunajte krivocrtni integral gdje je L parabolički luk od točke A(-1;1) do točke B(1,1). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

3. Izračunajte krivocrtni integral yakscho L - lučni udio što leži u 1 i 2 kvadratima. Zaobiđite konturu iza strelice godine.

4. Zastosovuyuchi Greenova formula, izračunajte integral, de L - konturu, rješenja linije i suprotnu os OX kada zaobiđete konturu anti-Godinnikove strelice.

5. Utvrditi kako se izračunava umna neovisnost integrala u smjeru integracije za integral i poznavati jogu.

6. Ponovite, chi ê zadatke s novim diferencijalom funkcije U(x, y) i upoznajte je.

7. U skin točki polja sile sila može biti direktno negativna i jednaka kvadratu apscise programske točke. Poznavati polje za robota pri pomicanju jedne parabolične mase iz točke (1,0) u točku (0,1).

Opcija 3

1. Izračunajte krivocrtni integral preko ruba luka (kartezijeve koordinate).

1. de L - luk parabole se vidi parabolom.

2. Izračunajte krivocrtni integral yakscho L-žica je ravna linija koja povezuje točke A(0,1), B(2,3). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

3. Izračunajte krivuljasti integral jer je L luk prvog luka cikloide. Zaobiđite konturu iza strelice godine.

4. Zastosovuyuchi Greenovu formulu, izračunajte integral de L – elíps Obkhíd kontura anti-godinnikove strijele.

5. Utvrditi kako se izračunava umna neovisnost integrala u smjeru integracije za integral i poznavati jogu.

6. Ponovite, chi ê zadatke s novim diferencijalom funkcije U(x, y) i upoznajte je.

7. Izračunajte robotovu snagu i sat kretanja materijalne točke gornje polovice elipse iz točke A (a, 0), točke B (-a, 0).

Opcija 4.

1. Izračunajte krivocrtni integral preko ruba luka (kartezijeve koordinate).

1. de L - obris kvadrata

2. Izračunajte krivocrtni integral gdje je L luk parabole točke A(0,0), do točke (1,1). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

3. Izračunajte krivocrtni integral yakscho L - gornja polovica elipse Zaobiđite konturu iza strelice godine.

4. Pomoću Greenove formule izračunajte integral de L - konturu trikoa s vrhovima A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

6. Ponovite, chi ê zadatke s novim diferencijalom funkcije U(x, y) i upoznajte je.

7. Sila se primjenjuje na točku kože kolca, s projekcijama na koordinatnoj osi ê Dodijelite silu robotu za sat pomicanja materijalne točke uz kolac. Zašto robot košta nula?

Opcija 5.

1. Izračunajte krivocrtni integral preko ruba luka (kartezijeve koordinate).

De L - ravna linija koja spaja točke 0 (0,0), í A (4; 2)

2. Izračunajte krivuljasti integral jer je L luk zakrivljene točke koja ide od A(0.1) do točke B (-1,e). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

3. Izračunajte krivuljasti integral kao L - 1 četvrtina uloga Zaobiđite konturu iza strelice godine.

4. Zastosovuyuchi Greenovu formulu, izračunajte integral de L - kontura, okruženje i zaobilaženje konture suprotne strelice.

5. Utvrditi kako se izračunava umna neovisnost integrala u smjeru integracije za integral i poznavati jogu.

6. Ponovite, chi ê zadatke s novim diferencijalom funkcije U(x, y) i upoznajte je.

7. Polje je stvoreno silom // = ravan način za postavljanje reza iz radijusa ravne linije - vektor točke ji zastosuvannya. Poznavati polje za robota kada se materijalna točka mase m pomakne iza luka kolca iz točke (a, 0) u točku (0, a).

Opcija 6

1. Izračunajte krivocrtni integral preko ruba luka (kartezijeve koordinate).

De L - četvrtina udjela, koja leži u I kvadrantu.

2. Izračunajte krivocrtni integral yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

3. Izračunajte krivuljasti integral jer je L gornja polovica uloga Zaobiđite konturu iza strelice godine.

4. Zastosovuyuchi Greenovu formulu, izračunajte integral de L - konturu, okolinu, zaobilazeći konturu anti-godinnikove strelice.

5. Utvrditi kako se izračunava umna neovisnost integrala u smjeru integracije za integral i poznavati jogu.

6. Ponovite, chi ê zadatke s novim diferencijalom funkcije U(x, y) i upoznajte je.

7. Poznavati rad sile opruge, izravno na koordinatnoj točki, jer točka stagnacije sile opisuje suprotnu strelicu četvrtine elipse što se nalazi u I kvadrantu. Veličina sile proporcionalna je udaljenosti točke od klipa koordinate.

Opcija 7.

1. Izračunajte krivocrtni integral preko ruba luka (kartezijeve koordinate).

De L - dio parabole od točke (1, 1/4) do točke (2; 1).

2. Izračunajte krivocrtni integral de L - vrh pravca, koji spaja točke B (1; 2) i B (2; 4). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

3. Izračunajte krivuljasti integral kao L - prvi luk cikloide po konturi iza kazaljke godine.

5. Utvrditi kako se izračunava umna neovisnost integrala u smjeru integracije za integral i poznavati jogu.

6. Ponovite, chi ê zadatke s novim diferencijalom funkcije U(x, y) i upoznajte je.

7. Materijalna točka pojedine mase kreće se duž kolca pod smjerom sile čije su projekcije na koordinatnoj osi ê . Inducirajte snagu na kolac kože. Poznavati rad konture.

Opcija 8.

1. Izračunajte krivocrtni integral preko ruba luka (kartezijeve koordinate).

De L - kontura pravokutnika s vrhovima u točkama 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Izračunajte krivuljasti integral, na primjer L je luk parabole od točke A (0; 0) do točke B (1; 2). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

3. Izračunajte krivocrtni integral yakscho L - dio udjela 1. Zaobiđite konturu iza godišnje strelice.

4. Zastosovuyuchi Greenovu formulu, izračunajte integral de L - kontura trikoa s vrhovima A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

5. Instalirajte, chi vykonuetsya neovisnost uma od integrala na način integracije za integral i znati jogu.

6. Ponovite, chi ê zadatke s novim diferencijalom funkcije U(x, y) i upoznajte je.

7. Materijalna točka se giba po elipsi píd díêyu sila, čija je vrijednost najskuplja točka u središte elipse i izravnava se u središte elipse. Izračunajte snagu robota, kao točku zaobići cijeli elíps.

Opcija 9.

1. Izračunajte krivocrtni integral preko ruba luka (kartezijeve koordinate).

De L - luk parabole, koji se nalazi između točaka

A , (2;2).

2. Izračunajte krivocrtni integral gdje je L suženje ravne linije koja spaja točke A (5; 0) i B (0,5). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

3. Izračunajte krivocrtni integral, kao što je L - luk elipse između točaka, koji će pokazati opseg konture iza strelice godine.

4. Zastosovuyuchi Greenovu formulu, izračunajte integral de L - oko konture strelice brojača.

5. Utvrditi kako se izračunava umna neovisnost integrala u smjeru integracije za integral i poznavati jogu.

6. Ponovite, chi ê zadatke s novim diferencijalom funkcije U(x, y) i upoznajte je.

7. U kožnoj točki krivulje djeluje sila čije projekcije na koordinatne osi pokazuju rad sile kada se materijalna točka jedne mase pomakne duž krivulje iz točke M (-4; 0) do točke N (0; 2).

Opcija 10.

1. Izračunajte krivocrtni integral preko ruba luka (kartezijeve koordinate).

De L - pravac koji spaja točke A

2. Izračunajte krivuljasti integral, na primjer L je luk krivulje od točke A(1;0) do B(e,5). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

3. Izračunajte krivocrtni integral jer je L luk udjela što leži na kvadratu 1U. Zaobiđite konturu iza strelice godine.

4. Pomoću Greenove formule izračunajte integral de L - konturu trikoa s vrhovima A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Zaobiđite konturu strelice protiv godine.

5. Utvrditi kako se izračunava umna neovisnost integrala u smjeru integracije za integral i poznavati jogu.

6. Ponovite, chi ê zadatke s novim diferencijalom funkcije U(x, y) i upoznajte je.

7. Sila djeluje na kožnu točku pravca čije su projekcije na koordinatnoj osi. Izračunajte robot na koji djeluje sila kada se materijalna točka pomakne duž pravca od M (1; 0) do točke N. (0; 3).

Predavanje 4

Tema: Greenova formula. Očistiti neovisnost krivocrtnog integrala u načinu integracije.

Greenova formula.

Greenova formula uspostavlja vezu između krivocrtnog integrala po zatvorenoj konturi G na ravnini i donjeg integrala po površini okruženoj konturom.

Krivocrtni integral po zatvorenoj konturi G označen je simbolom Zatvorena kontura G počinje u glavnoj točki konture i završava u točki B. Integral po zatvorenoj konturi ne leži ako je odabrana točka B.

Imenovanje 1. Zaobilaženje konture G smatra se pozitivnim, jer kada se obilazi kontura G, područje D postaje lijevo. P + - krug P zaobilazi pozitivni smjer, P - - krug zaobilazi negativni smjer. u suprotnom smjeru

G+

x

Y

c

d

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

a

b

B

C

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

m

n

Pogledajmo temeljni integral

.

Slično tome, može se tvrditi da:

Iz jednakosti (1) i (2) potrebno je:

Otzhe,

Greenova formula za smrvljene propuste je dovršena.

poštovanje 1. Greenova formula ostaje pravedna, kao između G područja D i pravih ravnih linija, paralelno s osi 0X ili 0Y pomiče se niže u dvije točke. Krim ts'ogo, Greenova formula vrijedi za n-zvjezdana područja.

Oprati neovisnost krivocrtnog integrala kao integracije na ravnini.

U ovom paragrafu, lako je razumjeti, kod viconannista, na primjer, krivuljasti integral pada u smjeru integracije, i pada u obliku klipa i krajnjih točaka integracije.

Teorem 1. Da bismo imali krivolinijski integral bez ležanja na putu integracije u regiji s jednom karikom, potrebno je i dovoljno, tako da integral, uzimanja duž zatvorene, shmatkovo-glatke konture u ovoj regiji, dosegne nulu.

Dokaz: Nužnost. Daje se: deponirati u smjeru integracije. Potrebno je dovesti da je krivocrtni integral iza zatvorene, glatko-glatke konture jednak nuli.

Uzmimo neku po komadu glatku zatvorenu konturu G u blizini područja D. Na konturi G uzmi još neke točke B i C.

G

D

n

m

B

C

Oskílki leže na putu integracije, dakle

, onda.

Prosperitet. Zadano: Krivolinijski integral Be-yakim zaknenim shmatkovo-glatka kontura do nule.

Potrebno je dokazati da se integral treba taložiti u smjeru integracije.

Pogledajmo krivolinijski integral iza dviju pomešanih glatkih kontura koje povezuju točke B i C. Iza uma:

Tobto. krivolinijski

integral to deposit u smjeru integracije.

Teorem 2. Idite bez prekida u isto vrijeme s privatnim šetnjama iu jednoveznom prostoru D. Da bi imali krivocrtni integral Ne popuštati na putu integracije je potrebno i dovoljno, kako bi divizija D bila pobjednička

Dokaz: Dostatnost. Dano: . Potrebno je donijeti što deponirati u smjeru integracije. Za koga je dovoljno ponijeti što dovnyuê nula iza zatvorene, shmatkovo-glatke konture. Prema Greenovoj formuli možemo:

Nužnost. Zadano: Prema teoremu 1, krivuljasti integral deponirati u smjeru integracije. Potrebno je donijeti što

6. Formula za prosječnu vrijednost sing integrala.

7. Integral preko promjenjive gornje granice. Yogo bezperervníst tu diferencijaciju.

8. Newton-Leibnizova formula za sing integral.

9. Izračunavanje jedinstvenog integrala po dijelovima i zamjena promjene.

10. Šivanje jedinstvenog integrala (površina ravne figure, duljina zakrivljenog luka, volumen omota tijela).

11. Razumijevanje niza brojeva ta yogo sumi. Kriteriji Koshí zbízhností red. Potrebna inteligencija.

12. Znakovi Delamberta i Koshí zbízhností ryadív íz nevid'êmnimi članova.

13. Integralni znak Koshí zbízhností niza brojeva.

14. Značajan broj redaka. Apsolutno taj mentalni zbízhnist. Redovi znakova. Leibnizov znak.

15. Funkcionalni nizovi. Iznos je nizak. Vrijednost jednakog dohotka je niska. Kriterij Koshí jednak profitabilnosti funkcionalne serije.

16. Weijerstrasov znak čak i življenja.

18. Stepeni red. Abelov teorem.

19. Radijus života statičkog reda. Cauchy-Hadamardova formula za polumjer polumjera statičke serije.

21. Funkcije bogate promjene. Razumijevanje euklidskog prostora n-svijeta. Bezlična točka euklidskog prostora. Niz točaka i njezina granica. Označene funkcije malog broja promjena.

22. Između funkcija niz promjena. Funkcija bez prekida. Privatni praznici

23. Oznaka diferencijalne funkcije niza varijabli i njen diferencijal. Pokhídní i diferencijali viših redova.

24. Taylorova formula za bogatstvo promjena. Ekstrem funkcije malog broja varijabli. Neophodan umni ekstrem. Dosta ekstrema uma.

25. Održani integral i joga moći. Zvedennya podvíynogo íntegral do ponovljenog.

27. Zamjena promjena u trećem integralu. Cilindrične i sferne koordinate.

28. Izračunavanje površine glatke površine, dano parametarski i eksplicitno.

29. Imenovanje krivocrtnih integrala prve i druge vrste, njihova glavna snaga i izračun.

30. Greenova formula. Očistiti neovisnost krivocrtnog integrala u načinu integracije.

31. Površinski integrali prve i druge vrste, njihova glavna snaga i proračun.

32. Teorem Gaus-Ostrogradskog, njezin zapis u koordinatnom i vektorskom (invarijantnom) obliku.

33. Stokesova formula, zapisana u koordinatnom i vektorskom (invarijantnom) obliku.

34. Skalarna i vektorska polja. Gradijent, divergencija, rotor. Potencijalna i slana polja.

35. Hamiltonov operator. (Nabla) yogo zastosuvannya (primijeniti).

36. Glavni pojmovi koji se koriste su diferencijalne jednadžbe (ode) prvog reda prvog reda: globalno rješenje, globalni integral, integralna krivulja. Zavdannya Koshí, njezina geometrijski značajna.

37. Integracija ode I. redu s promjenama koje se dijele, a iste.

38. Integracija linearnih oda prvog reda i izjednačenje Bernoullija.

39. Integracija ode prvom pragu u polarnim diferencijalima. Integrirajući množitelj.

40. Diferencijalne jednakosti prvog reda, uvijek slične. Metoda zahtjeva parametara.

41. Ekvivalencija n-tog reda s konstantnim koeficijentima. Karakteristično jednaka. Fundamentalni sustav rješenja (FSR) homogenog poravnanja, globalno rješenje heterogenog poravnanja.

42. Sustav linearnih diferencijalnih jednakosti prvog reda. FSR homogenog sustava. Eklatantna vizija homogenog sustava.

30. Greenova formula. Očistiti neovisnost krivocrtnog integrala u načinu integracije.

Greenova formula: Ako je C zatvoren između područja D i funkcija P(x, y) i Q(x, y) zajedno s njihovim privatnim analozima prvog reda bez prekida u zatvorenom području D (uključujući kordon C), tada Vrijedi Greenova formula: štoviše, zaobilaznica oko konture C odabrana je tako da je područje D lijevo.

Tri predavanja: Zadane funkcije P(x,y) i Q(x,y) zadati kao neprekinute domene D istodobno iz privatnih prvog reda. Integral preko kordona (L), koji treba točno ležati u području D i pokrivati ​​sve točke u području D: . Pozitivna izravno na konturu je takva, ako je dio konture okružen lijevom rukom.

Umovljeva neovisnost krivocrtnog integrala integracijskog puta 2. vrste. Potrebno je imati na umu da krivuljasti integral prve vrste, koji povezuje točke M1 i M2, ne leži na putu integracije, već samo u kobnoj i krajnjoj točki, ravnomjernost:.

.

31. Površinski integrali prve i druge vrste, njihova glavna snaga i proračun.

- Površinski upravitelj.

Projiciramo S na ravninu xy, uzmemo ploču D. Nacrtamo ploču D s mrežnom linijom na dijelu koji se zove Di. Iz kožne točke linije kože povučemo paralelne pravce z, zatim i S dijelimo na Si. Zbrajamo integralni zbroj: . Usmjeravamo maksimum promjera Di na nulu:, uzimamo:

Ce površinski integral prve vrste

Tako dolazi do izražaja površinski integral prve vrste.

Dogovor ukratko. U pravilu postoji granična granica integralne sume, tako da se ne može lagati u načinu cijepanja S na elementarnoj plohi Si iu izboru točaka, vin se naziva površinski integral prve vrste.

Pri prelasku s promijenjenog x í y na u i v:

P površinski integral može imati svu snagu zvjezdanog integrala. Dive su više u hrani.

Svrha površinskog integrala je druge vrste, što je glavna snaga tog izračuna. Veza iz integrala prve vrste.

Neka je dana površina S, okružen linijom L (slika 3.10). Moguće je na plohu S dodati dvije normale na plohu S, koja ne može biti dvostruka točka s kordonom L. Ocrtajte točku M iza konture L, birajući normalu pravca.

Ako položaj točke M rotira duž te iste normale (a ne suprotno), tada se površina S naziva dvostranom. Možemo promatrati samo dvostrane površine. Bilateralna površina - bilo da je glatka površina s jednakim.

Neka je S dvostrana otvorena ploha, okružena linijom L, tako da nema točke samoprijelaza. Biramo istu stranu površine. Nazovimo pozitivnu izravnu obilaznicu konture L takvom ravnom linijom, kada je u Rusiji, s druge strane površine, sama površina lišena zla. Dvostrana ploha koja je na njoj postavljena u takvom pozitivnom poretku izravnim obilaskom kontura naziva se orijentirana ploha.

Prijeđimo na površinski integral druge vrste. Uzmimo dvostranu plohu S, koja se formira od konačnog broja komada, kože od nekih zadataka jednakih umu, ili cilindričnu plohu sa zadovoljavajućim paralelnim osima Oz.

Neka je R (x, y, z) funkcija, zadana i neprekinuta na plohi S. Brojem linija, S je podijeljena dovoljnim redom na n "elementarnih" ploha ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, bez obzira na pospane unutarnje točke. Na skin prostoru ΔSi odabiremo točku Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) razumnim redoslijedom. Neka je (ΔSi)xy površina projekcije plohe ΔSi na koordinatnu ravninu Oxy, uzeta sa predznakom "+", tako da je normala na površinu S u točki Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) zadovoljava Vísyu Oz je neprijateljski rez, i sa znakom "-", što znači da je ovaj rez glup. Zbrajamo integralni zbroj za funkciju R(x,y,z) preko površine S nakon promjene x,y: . Neka je λ najveći od promjera ΔSi (i = 1, ..., n).

Ako postoji konačna granica, tako da ne leži na putu cijepanja površine S na "elementarnu" plohu ΔSi i odabira točke, tada se vin naziva površinski integral duž odabrane strane površine S u funkciji R (x, y, z) za koordinate x, y (ili površinski integral druge vrste) i dodijeljen je .

Slično, moguće je inducirati površinske integrale po koordinatama x, z ili y, z duž suprotne strane površine, tj. і .

Kao i sve integrale, možete uvesti "visoki" integral na suprotnoj strani plohe: .

Površinski integral druge vrste može ovisiti o snazi ​​integrala. Poštivanije je da ako bilo koji površinski integral druge vrste promijeni predznak promjene stranice površine.

Veza površinskih integrala prve i druge vrste.

Neka je površina S dana jednaka: z \u003d f (x, y), štoviše, f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - neprekidne funkcije u blizini zatvorenog područja τ (projekcija plohe S na koordinatnu ravninu Oxy), a funkcija R(x,y,z) je kontinuirana na plohi S. strane plohe S. Todi.

Za zagalny vpadku maêmo:

=