Rivnyannya zv'yazuvannya апартаменти. Греда равни, греда равни. Куп апартаменти - знак

Мокър лъч от равнини се нарича множество от всички равнини, които преминават през една права линия.

Неясен лъч от равнини се нарича безлични равнини, успоредни една на друга.

Теорема 1.За целта има три плоскости, поставени от поцинковани равенства

как да използваме глобалната декартова координатна система, която принадлежи на един лъч, свободен и не ясен, необходим и достатъчен, така че рангът на матрицата

dorivnyuvav или двама, или сам.

Доказателство за необходимост. Нека три плоскости (1) лежат на един сноп. Необходимо е да се донесе какво

Приемливо е да имате гръб, така че три дадени на повърхността да лежат върху вашия пакет. Тогава системата (1) може да бъде безлично решение (защото за целта на снопа коса: три равнини лежат върху снопа, така че вонята минава през една права линия); Ако ще бъде същото и само ако е, тогава системата (1) може или да има едно решение, или да бъде неразбираема, тъй като ще бъде лидер на добавянето на коефициентите, когато коефициентите са неизвестни, разликата е нула или нула.

Ако три дадени области лежат на безкосмен сноп, тогава рангът на матрицата

оценка 1, което означава ранга на матрицата М dorívnyuê или две, или една.

Доказателство за достатъчност. Дадено: Необходимо е да се докаже, че три дадени области лежат на една греда.

Yakscho, тогава th. Хайде. Ако системата (1) е разделена, това може да бъде безлично решение и в средата на тези апартаменти те се припокриват (тъй като якбито не се припокрива, тогава вонята ще бъде паралелна и рангът на матрицата ще бъде равен на 1), тогава три дадени апартамента лежат на горния лъч.

Якщо; всички равнини са колинеарни (две от тях не винаги са успоредни, а третата може да излиза от една от успоредните равнини).

Yakscho, тогава и всички области са zbígayutsya.

Теорема 2. Нека централната декартова координатна система задава две различни равнини и горни равнини: ; .

За да третия самолет, той също се дава на дивите равни

ако има три координатни системи, които лежат на лъча, които са обозначени с равнини i, е необходимо и достатъчно, така че лявата част на равнината да е линейна комбинация от левите части на равнините i.

Доказателство за необходимост. Дадено е: равнината лежи върху куп равнини, което означава тези равнини. Необходимо е да се докаже, че числата трябва да се разбират и така че еднаквостта да се празнува, важи за всички ценности х, при, z:

Вярно, като че има три равнини, и лежи на една греда, тогава де

Първите два реда на матрицата са линейно независими (фрагменти на площта и разликата), фрагментите на третия ред са линейна комбинация от първите два, tobto. обосновете броя и такива, че

Умножаване на обидите от първата част на ревността върху х, обиждащи части от друг на при, обидна част от третата на zи добавяне на термин по термин otrimani rivnostі і rivnіst, otrimaєmo ozhnіst, scho донесе.

Доказателство за достатъчност.Нека еднаквостта

справедливо за всички ценности х, приі z. Необходимо е да се изведе наяве, че зоната лежи в лъча, че е обозначена с тази област.

От коя идентичност пеят spіvvіdnoshennia,

така че третият ред на матрицата МТова е линейна комбинация от първите две и това. ч.т.д.

Равни на de и не равни на нула едновременно, се наричат ​​равни на лъч от равнини, които се отличават с две различни равнини и равни на тези в горната декартова координатна система, както следва:

Както беше изведено на светло, да бъде равно на равнината на лъча, която се отличава с различни равнини и може да бъде записана от зрителя.

Назад, yakscho равен, в който се иска едно от числата i не е равно на нула, то е равно на първата стъпка, то е равно на равнината, която лежи в лъча, който показва равнините i. Вдясно, третият ред на матрицата М, Зареден с коефициенти равни и може да изглежда

тобто. е линейна комбинация от две други, том.

Ако равнините i се променят и не достигнат нула наведнъж, тогава всички коефициенти при х, при, zпри равни не могат да достигнат нула, така че сякаш бяха малки имаше място за разпръскване

тогава плоскостите и b бяха колинеарни в superach pripuschen.

Но ако равнините са успоредни, тогава използвайте такива числа i, чиято среда, ако единица не е равна на нула, и така, че всички коефициенти при х, приі zравно на нула. И тогава ще има неостъклен лъч и като куп прави линии, тук трябва да бъдем по-уважителни.

В тази статия има обозначение на лъч от равнини, който се приема равен на лъч от равнини според дадена правоъгълна координатна система и се съобщава, че характерните задачи, които са свързани с концепциите за лъч от равнини са ясно видими.

Навигация отстрани.

Купчина самолети е знак.

От осите на геометрията става ясно, че в едно тривиално пространство през права линия и точка, която не лежи върху нея, минава една равнина. И поради тази твърдост е ясно, че има безлични апартаменти, че отмъщението се дава направо. Обгурунтуемо це.

Нека ни е дадена права a . Да вземем точката M 1, за да не лежи на правата a. Тоди през права линия и точка M 1 можем да начертаем равнина и то само една. Значително я. Сега нека вземем точка M 2, която не лежи близо до равнината. През правата i точка M 2 преминава една равнина. Ако вземете точка M 3, която не лежи нито в равнината, нито в равнината, можете да накарате равнината да премине през правата a и точка M 3 . Очевидно целият процес на индуциране на равнини, които минават през дадена права линия a, може да продължи безкрайно дълго.

Така че отидохме до дестинацията на куп апартаменти.

Назначаване.

Греда от апартаменти- Tse безличен от всички апартаменти в тривиалната шир, която може да премине през една права линия.

Директно, сякаш за да отмъсти за мустаците на равнината на лъча, се нарича център на лъча на самолетите. В този ред, maê misce viraz "куп самолети с център a".

Конкретен лъч от равнини може да бъде определен или чрез показване на неговия център, или чрез показване дали има две равнини на лъча, които по същество са еднакви. От другата страна, бъдете като два апартамента, които са преплетени, задайте куп апартаменти.

Подравняване на греда на плоскости - разбивка на задачите.

От практическа гледна точка не е необходимо да пляскате куп плоски по геометричния образ на небето.

Нека да разгледаме логичния въпрос: "Какво е подравняването на греда от плоскости"?

За кого е важно да се отбележи, че в тривиалното пространство се въвежда Oxyz, аз поставям задачи на пакет от равнини за допълнително вмъкване на две равнини и третата. Нека апартаментите да се покажат по-равни с апартаментите на ума, но апартаментите на ума. Така че от подравняването на лъча от равнини, подравняването се нарича, като зададете подравняването на всички равнини на лъча.

Обвинете такава логична причина: „Какъв вид подравняване на лъч от равнини в правоъгълна координатна система Oxyz“?

Разглеждането на подравняването на куп равнини дава следната теорема.

Теорема.

Областта лежи върху лъч от равнини, което означава две равнини, които са преплетени и, определени от равни и еднакви, тогава и само малко, ако нейното общо равно може да изглежда, de i - достатъчно díysnі числа, не е равно на нула наведнъж (останалата част от ума е еквивалентна на неравномерност).

Привеждане.

За да докажете достатъчност, трябва да покажете:

Да пренапишем връстниците. Otrimane равен на най-дивите равни на района, като вираз, че не достигат нула за една нощ.

Нека просто кажем, че вонята наистина не намалява до нула за една нощ по метода на повторението. Да кажем какво. Тоди, като тогава, като тогава. Оттеглянето на ревността означава, че векторите pov'yazaní spіvvіdnoshennymi abo (за консумация на чудесна статия), също, vikonuєtsya i. Така че як е нормалният вектор на областта, - нормалният вектор на площта и векторите и колинеарите, след това равнините и паралелите се избягват (див. Статут на Умов за паралелизъм на две равнини). И не можете да се справите с това самолетите и да поставите куп самолети, а след това те са оцветени.

Otzhe, равна на истината на дивата равна на района. Показано е, че равнината, както е обозначена като равна, преминава през линията на перетината на равнините.

Ако е така, тогава системата е равна на ума може да е безлично решение. (Ако системата е написана равна на едно единствено решение, тогава равнините, от равните на които е сгъната системата, могат да направят една точка, тогава равнината се изчертава права, което се означава с равнини, които се променят и . че един час лежат и трите равнини, следователно равнината е успоредна на права линия, дадена от равнини, които се припокриват, i).

Тъй като първото изравняване на системата за изравняване беше записано с линейна комбинация от друг и трети еквалайзер, то може да бъде изключено без следа от системата (те говориха за това в статията). Тоест, външната система на равни е еквивалентна на системата на равни на ума . И тази система може да бъде безлично решение, парчета от района и може да безлични точки през тези, които смърдят.

Достатъчност донесе.

Да преминем към потвърждаване на необходимостта.

За да се докаже необходимостта, е необходимо да се покаже, че не би било предварително дадена площ, scho да премине през линията на peretina на равнините и няма да бъде равна на дадените стойности на параметрите i .

Да вземем равнина, като преминаване през точка и през линията на напречната греда на равнините i (M 0 не лежи на линията на напречната греда на тези равнини). Ще бъде показано, че винаги е възможно да се изберат такива стойности и параметри i, за които координатите на точката M 0 са удовлетворени от равенството, така че равенството да е справедливо. Цим ще бъде доведен до просперитет.

Да представим координатите на точката М0: . Тъй като равнините i не преминават през точката M 0 наведнъж (в миналото равнините zbígali b), тогава ако само един от viraziv abo vіdmіnno víd нула. Yakshcho, тогава можете да промените избора на параметъра yak i, след придаване на параметъра на по-скоро ненулева стойност, той е изчислим. Така че, като се даде на параметъра по-скоро ненулева стойност, е възможно да се изчисли .

Теоремата е завършена.

Отже, може ли да погледна. Той определя всички области на лъча. Как мога да взема дяко няколко значения и поставяме в подравняването на лъча от равнини, ние вземаме предвид равномерността на една равнина на th лъч.

Така че, както в равния лъч на самолетите, параметрите и не достигат нула веднага, тогава може да се запише в изгледа, yakshcho, и в изгледа, yakshcho.

Подравняването обаче не е еквивалентно на подравняването на лъча от равнини на ума, така че за някои стойности на подравняването не е възможно да се вземе подравняването на равнината на ума и за всякакви стойности не е възможно да се вземе подравняването на равнината на ума.

Да преминем към горната част на приложенията.

дупето.

Напишете подравняването на лъч от равнини, който в правоъгълна координатна система Oxyz задава две равнини, които се припокриват. че .

Решение.

Задаването на еднаква площ на редовете е равно арогантна ревностплосък поглед. Сега можем да запишем необходимостта от лъч от самолети: .

Внушение:

дупето.

Чи лежи плоско върху куп плоски с центъра?

Решение.

Ако равнината лежи върху лъча, тогава тя е права, която е центърът на лъча, да лежи близо до тази равнина. По този начин можете да вземете две различни точки от правата линия и да я обърнете, която воня се намира близо до апартамента. Ако е така, тогава апартаментът трябва да лежи върху посочения куп плоскости, ако не - не лъжете.

Параметричното подравняване на правата линия в пространството ви позволява лесно да определите координатната точка, която лежи върху нея. Вземаме две стойности на параметъра (например i) и изчисляваме координатите на две точки M1 и M2 прави:

В статията можем лесно да разберем снопа от прави линии. Видимо равен лъч от прави линии. Нека приложим знанието за подравняването на група прави линии, които минават през тази точка.

е права линия, която преминава през точка П. Гръб, бъди прав, шо мини през точката П vynachaetsya равно (3), с реални числа λ 1 та λ 2 .

Привеждане. Първо ще се покаже, че е равно (3) є линейни равни(Равен на първи ред), tobto. е равно, с произволен коефициент при хили гне е равно на нула.

Групови коефициенти при хі г:

Тоди например кога λ 1 ≠ 0 λ 1 та λ 2 не е равно на нула), можем да вземем:

Равенството на Отриман е умственият паралелизъм на прави линии, които се определят от равенства (1) и (2), които заместват умствените теореми (правите линии се припокриват и не се прекъсват). Освен това желанието за едно от равенствата (5) не е победоносно, tobto. Искам един коефициент при хі ге равно на (4) не е равно на нула. Zvіdsi vyplyaê, scho равен (4) на линейни равни (реки на първата стъпка) и равен на deyak прави линии. Според теоремата за ума, правата е да премине през точка П(х 0 , г 0), като права линия (1), че (2), tobto. vykonuyutsya rivnostі:

тобто. линия (3) минава през точка П.

Преминаваме към друга част от теоремата. Ще се покаже дали е права, как се минава през шареното Пса равни на (3) при действителни стойности λ 1 та λ 2 .

Вземете един ден направо през петната Пі М"(х", y"). Ще бъде показано, че тя е пряко свързана с равна на (3) за определени стойности λ 1 та λ 2, не е равно на нула в същото време.

В първата част от доказателството на теоремата показахме, че тя е права, като преминаване през петънце П vynachaetsya е равно на (3). Сега, как може една права линия да минава през още една точка М"(х", y"), тогава координатите на точката се дължат на удовлетворението на подравняването (3):

С уважение, че висенето на оковите е невъзможно да се стигне до нула за една нощ, т.к tse означаваше b, scho престъпление, равно на преминаване през точките Пі М"(х", y") i, otzhe, zbígayutsya. хайде например λ 1 (А 1 х" 0 +б 1 y" 0 +° С 1) ≠0. Todi поставяне λ 2 е доста голямо число, считано за нула λ 1:

Представете си координатите на точката Мза равно (12):

Прошка (13):

Като попитате напр. λ 2 = 4, по избор λ 1 =−5.

Нека поставим стойността λ 1 та λ 2 (12):

Внушение:

Пример 2. Индуцирайте подравняване на прави греди с центъра М(4,1):

Решение. Взимаме две различни точки, които не избягват точка М: М 1 (2,1), М 2 (-1,3). Ще ви насърчим да преминете през точките Мі Медин . Нормален вектор н 1 линия от линията се дължи на ортогонал на вектора Мі М 1:=(2-4, 1-1)=(-2,0). Tobto. можеш ли да вземеш н 1 = (0,1). Todi изравняване директно с нормалния вектор н 1 за преминаване през точката Мможе да изглежда така:

Внушение:

С уважение, вземайки други точки М 1 та М 2, вземаме изравняването на същия пакет от прави, но с другите две прави.

Казваме пред нас, че апартаментът

е линейна комбинация от равнини

колко равно (1) е линейна комбинация от равни (2) и (3)

От еднаквостта (4) vyplivaê, scho всяка точка), scho удовлетворява и двете равни (2) i (3), удовлетворява i е равно (1) - било то точка, която лежи и на двете плоскости (2) і (3), лъжа и апартаменти (1) . С други думи:

Равнината, която е линейна комбинация от две дадени равнини, които се припокриват (2) и (3), преминава през права линия на тези равнини. Да кажем, че i, обратно, независимо дали е равнина (1), преминава през права d от две дадени равнини (2) и (3) или по-добра комбинация от тези равнини.

Без посредничеството на сънливост можем да приемем, че зоната (1) не се припокрива със същата област (2) и (3). Доказателството е същото като за прави линии (Глава V, §5).

Областта, която минава през правата d, ще бъде зададена отново, като ще посочим като точка (фиг. 122), която не лежи на правата d.

Нека вземем такава точка на нашата равнина (1) и запишем равно на две неизвестни:

Така че, що се отнася до надбавките, точката не лежи на правата d, ако само една от дъгите в лявата част на линията (5) се вижда от нулата; от които недвусмислено се определя допустимостта (5).

Сега ми кажете числата, които отговарят на пропорциите (6). Същото е и равенството (5), което означава, че точката лежи на равнината

Але тази област, като линейна комбинация от равнини (2) и (3), преминава през правата линия d і, за да покрие точката , която лежи на равнината (което означава, че зоната (1) върви с равнината (7) и е линейна комбинация от равнини (2) і ( 3).

Освен това, тъй като равнината (1) преминава през права линия от две равнини (2) и (3), беше необходимо и достатъчно, така че равнината (1) да е линейна комбинация от равнините (2) и (3 ).

Сега поставете равнините (2) и (3) успоредни. Така че, точно както в § 5 от глава V, ние сме преразгледани в това, че независимо дали е плоскост, че е линейна комбинация от плоскости (2) и (3), тя ще бъде успоредна и че назад, независимо дали е плоски, успоредни на две (успоредни една на друга) равнини (2) и (3), е тяхната линейна комбинация.

Наричаме съвкупността от всички равнини, които минават през дадената права d, мокър сноп от равнини отгоре, наричаме негладък сноп от равнини съвкупността от всички равнини, успоредни (в широк смисъл на думата) на една равнина . Nareshti, ние наричаме безличността на всички равнини, които са линейни комбинации от две такива-nebud плоски и едномерни различни равнини, генерирани от два от техните елементи и . Ние донесохме, че е куп апартаменти (Vlasny chi unsmooth) до един свят ríznomaníttyam, родени от техните собствени два елемента.

Обратно, всички същите светски различни апартаменти (генерирани от някакъв вид два апартамента i 62) - куп апартаменти - vlasny, като апартаментите i 62 са оцветени, а не лъскави, като вонята е успоредна.

При разпределението на XXIII tsikh "Lektsii" ще създадем дизайнерска шир, като попълним прекрасната шир от неясно отдалечени (негладки) точки в такъв ранг, че конгломератът от тези безброй отдалечени точки създава неясно отдалечена (негладка) равнина;

Всичко право, което се намира в тази плоскост, също ще се нарече неясно отдалечено или неясно. Кожата е "висока" (tobto zvichayna) областта на простора е преплетена с грапава област по груба права линия - зад една груба права линия на мокра зона. С това изглежда, че две воднисти плоскости са еднакви и само няколко са успоредни, ако вонята е затрупана (с парещите си) неумолимо прави линии. По този начин в проективното пространство има разлика между чисти и негладки лъчи на плоскости: чистият лъч е верига от плоскости, чиято височина е една от правите линии на проективното пространство.