Virishiti еднаква топлопроводимост. Фурье метод за изравняване на топлопроводимостта. Декларация на областния завдан

Формулите за анализ на температурното поле и топлинния поток в частни задачи на стационарна и нестационарна топлопроводимост са взети от математическото описание ( математически модели) процес. Основата на модела е да се превърне в диференциално изравняване на топлопроводимостта, тъй като се извлича от първия закон на термодинамиката за твърдите тела, който не работи, това е законът за топлопроводимостта Fur'є. Трябва да се наблюдава диференциално изравняване на физическия процес за по-тихи и по-ниски допускания, сякаш за да се опрости процеса. За това подчинението се определя от класа на процесите, не е достатъчно да се допускат границите на приетите. Задачата на кожата е описана от различни умове на недвусмисленост. По този начин математическото описание на процеса на топлопроводимост включва диференциалното изравняване на топлопроводимостта и разбирането на уникалността.

Нека да разгледаме стойностите на диференциалната топлопроводимост в случай на напредващо грундиране:

а) тялото е еднородно и анизотропно;
б) коефициент на топлопроводимост за отлагане според температурата;
в) деформацията на обема, която се вижда, се дължи на изменението на температурата, дори е малка в съотношение със самия обем;
г) средата на тялото е равна на разпределението на вътрешното ядро на топлината q v = f(x, y, z, m) = const;
д) движещи се макрочастици на тялото една по една (конвекция) ежедневно.

Тялото с приетите характеристики има елементарен обем под формата на паралелепипед с ребра dx, dy, dz,различни ориентации в ортогонална координатна система (фиг. 14.1). В съответствие с първия закон на термодинамиката за телата, за да не победите робота, променете вътрешната енергия dUречи на видяното obsyaz в час dxвнесете количеството топлина, което идва

Ориз. 14.1.

по отношение на топлопроводимостта dQ x, тази топлина, видяна от вътрешните dzherelami dQ 2".

От термодинамиката става ясно, че промяната във вътрешната енергия на речта е задължителна dV след час dx един

де dG = p dv- маса на речта; p – мащабиране; ч - топлинна мощност на домашни любимци (за stislivyh rіdin c = cv (изохорен топлинен капацитет)).

Много енергия, видяна от вътрешните джерел,

де qv - Обем на вътрешните термокамери, W/m 3 .

Топлинният поток, който трябва да бъде в обема на топлопроводимостта, се разделя на три склада в зависимост от посоката на координатните оси: Чрез protilezhní лица топлина ще бъде

разликата между количеството подадена и подадена топлина е еквивалентна на промяната във вътрешната енергия поради топлопроводимостта dQ v Нека си представим стойността като сбор от складове по координатните оси:

Todi y директно ос x maєmo

Оскилки -

дебелина на топлинните потоци в съседните планини.

функция qx+dxе без прекъсване в изследвания интервал dxи могат да бъдат подредени в серия на Тейлър:

Между първите два члена на серията и заместването (14.6) е приемливо

По подобен ранг вземаме:

След смяна (14.8) - (14.10) при (14.4) май

Замествайки (14.2), (14.3) и (14.11) до (14.1), вземаме диференциалното изравняване на преноса на топлина към топлопроводимост с подобряването на вътрешните тръби:

Vidpovidno на закона за топлопроводимост Four'e се записва срещу проекциите върху координатната ос на ширината на топлинния поток:

де X x, X y, X z- Коефициенти на топлопроводимост по посока на координатните оси (анизотропно тяло).

Представянето на qi virazi (14.12) е приемливо

Rivnyannya (14.13) се нарича диференциално изравняване на топлопроводимостта за анизотропни тела с независима температура и физическа мощност.

Как се приема X= const, а тялото е изотропно, равно на топлопроводимостта

Тук а = X/(SR), m 2 / s, - коефициент на температурна проводимост,

което е физическият параметър на речта, който характеризира гъвкавостта на температурните промени в процесите на нагряване или охлаждане. Tíla, vikonans от реч с голям коефициент на топлопроводимост, за по-малки равни умове те се нагряват и охлаждат повече.

В цилиндрична координатна система може да се види диференциална топлопроводимост за изотропно тяло с постоянни физически мощности

де g, z, F - видими радиални, осови и върхови координати.

Уравнения (14.13), (14.14) и (14.15) описват процеса на топлопроводимост от най-високата гледна точка. Конкретните задачи подлежат на промяна умове на недвусмисленост, тогава. описание на характеристиките на преминаването на анализирания процес.

Измийте еднозначността. От физическите погледи на топлопроводимостта може да се назоват длъжностните лица, които инжектират процеса: физическият авторитет на речта; розмарин тази форма на тялото; на температурата на кочана rozpodílennya; измийте топлообмена на повърхността (междинно) на тялото. По този начин умът недвусмисленост се подразделя на физически, геометрични, pochatkov и граница (територия).

физически умовезадават се физически параметри на речта X, s, r и rozpodіl vnutrishnіh dzherel.

Геометрични умовезадава се формата на това линейно разширение на тялото, в което протича процесът.

Кочан умовеосподилната температура се показва в тили в началото на часа T= /(x, y, z) при t = 0. Початкови имайте предвид да мислите за значението на часа, за да разгледате нестационарните процеси.

В зависимост от характера на топлообмена, на границата между телата (териториите) умовете се подразделят на четири роди.

Границите имат предвид първия вид.Задайте разпределението на температурата на повърхността t n protyazh процес

При умерен спад температурата на повърхността може да стане постоянна (/n = const).

Границите от първия вид могат да бъдат измити, например, при контактно нагряване в процесите на залепване на шперплат, пресоване на дървени плочи и дървесни влакна и др.

Границите имат предвид друг вид.Задайте стойността на дебелината на топлинния поток върху повърхността на тялото чрез разтягане на процеса

При хладно време топлинният поток на повърхността може да стане постоянен (

Граничен ум от трети видреагират на конвективен топлообмен на повърхността. За тези умове трябва да се зададе температурата на топлината, в която тялото е известно, Gf = / (t), коефициент на топлопреминаване os. В случай на флуктуация, коефициентът на топлопреминаване е променлива стойност, така че може да се зададе законът за промяна на його a = / (t). Евентуално okremy vipadok: / f = const; а = конст.

Граничен разум от четвъртия видхарактеризират преноса на топлина на ума различни коефициентитоплопроводимост при текущия идеален контакт, ако топлината се прехвърля към топлопроводимостта и топлинните потоци по различните страни на повърхностния контакт са равни:

Приемане на физически допуски, изравняване, идентифициране на тези допуски и разбиране на недвусмислеността за създаване на аналитично описание (математически модел) на процесите на топлопроводимост. Успехът на избора на избрания модел за разработване на конкретна задача зависи от степента, в която се приемат предположенията и недвусмислеността на съзнанието е адекватна на реалните умове.

Rivnyannya (14.14) и (14.15) са жизнеспособни да се направят само аналитично за едномодов стационарен термичен режим. Решенията са прегледани по-долу. За дву- и трисветови стационарни процеси се разработват приближени числени методи.

За подобряването на реките (14.13) - (14.15) в съзнанието на нестационарния термичен режим има няколко метода, за които се съобщава, че са прегледани в специалната литература. Vídomi tochnі, че nablizhenі аналитични методи, числени методи и ін.

Броят на решенията за нивото на топлопроводимост се определя главно от метода на разходите в края на линията. Vybіr освен това chi іnshoy начин rozv'yazannya лъжа в съзнанието на проблема. В резултат на това решенията чрез аналитични методи се получават по формули, които се използват за допълване на броя на инженерните ръководители в съзнанието на най-добрите хора. Числени методи, които ви дават възможност да видите температурното поле t=f(x, y, z,м) разглеждане на набор от дискретни стойности на температурата в различни точки при фиксиране на момента и часа за конкретна задача. Поради тази причина изборът на аналитични методи е по-важен, протежето не може да го направи за богатите и гъвкави глави на гранични умове.

Vyvchennya дали трябва да се установи физическо явление преди установяването на угар между стойностите, които характеризират явлението. За сгъваеми физически процеси, за някои начални стойности, те могат да се променят в рамките на този час, трудно е да се зададе угар между тези стойности. Във времена на победоносни методи на математическата физика, като в някой, който е разделен от час и от широка шир, се вижда един елементарен обсяг. Tse позволява в границите на обърнатия обем и дадения интервал да се преодолеят промените в стойностите, които характеризират процеса, т.е. заблудата.

Obrani такъв ранг елементарен обем dVтози елементарен интервал от време dτ, за някои процесът се вижда, от математически поглед, в безкрайно малки количества, а от физически поглед - да е голям по величина, така че на границите е възможно да се вземе в средата като силна, неизчерпаема я дискретно всеки ден. Отриман по такъв начин стагнацията е огромен диференциален процес. Интегрирайки диференциалните равенства, може да се вземе аналитичната несъответствие между стойностите за цялата област на интегриране и целия период от време, който се разглежда.

За vyrіshennya zavdan, pov'yazanih іz znakhodzhennyam температурно поле, трябва да майка диференциално изравняване на топлопроводимостта.

Нека приемем това извинение:

еднообразно и изотропно тяло;

физически параметри на поста;

деформацията на обема, която се вижда, се дължи на промяната на температурата, дори е малка в съотношение със самия обем;

вътрешна dzherela топлина в tіlі, rіvnomіrno razpodіleni.

Основата за разработването на диференциално изравняване на топлопроводимостта е законът за запазване на енергията, който се формулира, както следва:

Количество топлинаdQ, въведения в елементарни обсягdVразговор на часdτв допълнение към топлопроводимостта, както и под формата на вътрешен dzherel, здравословни промени във вътрешната енергия или енталпията на речта, които могат да бъдат намерени в елементарен obsyazy.

де dQ 1 – количество топлина, внесено в елементарния обем dVпът на топлопроводимост на час dτ;

dQ 2 - количеството топлина, як на час dτвижда се в елементарни обсязи dVза rahunok вътрешен dzherel;

dQ- Промяна на вътрешната енергия (изохорни процес) или енталпията на речта (изобарен процес), която се отмъщава в елементарния обсяз dVслед час dτ.

За изравняване на изравняване можем да разгледаме елементарния обем, като гледаме куба със страните му dx, dy, дз (Div. фиг. 1.2.). Кубът се търкаля по такъв начин, че лицата му да са успоредни на успоредните координатни равнини. Количеството топлина, което се довежда до ръба на елементарния обем на час dτправи оси х, г, z значително dQ х , dQ г , dQ z .

Количеството топлина, което протича през пролиферативните повърхности в същите прави линии, е значително dQ х + dx , dQ г + dy , dQ z + дз .

Количеството топлина, доведено до ръба dxdyправо напред хслед час dτ, добавяйки:

де р х– проекция на плътността на топлинния поток върху правата, нормална към обозначената повърхност. Vídpovіdno kіlkіst на топлина, vídveden през protilezhnu ръба ще бъде:

Разликата между количеството топлина, доведено до елементарния обем, и количеството внесена топлина, е топлина:

функция ре без прекъсване в изследвания интервал dx и могат да бъдат подредени в серия на Тейлър:

Ако сте заобиколени от два първи доданка подред, тогава ще напишете така:

По подобен начин можете да знаете количеството топлина, което може да бъде доведено до обема по права линия на две други координатни оси г і z.

Количество топлина dQ, увеличаване в резултат на топлопроводимостта до обема, което може да се види, повече:

Друго допълнение е важно, като разпозна количеството топлина, което се вижда от вътрешните джерели в същата стая в средата на един час р vнаричам го йога херметичността на вътрешните топлинни отвори[W / m 3], тогава:

Известно е, че третият склад за нашите партньори е угар поради естеството на TD процеса на промяна на системата.

По-малко от час ще разгледам изохоричния процес, цялата топлина, доведена до елементарното задължение, променяйки вътрешната енергия на речта, заложена в това задължение, tobto. dQ= dU.

Как да разгледаме вътрешната енергия на един обем u= f(T, v) , тогава можете да напишете:

, J/m3

, J/kg

де ° С v – изохоричен топлинен капацитет на единица обем на единица маса, [J/m 3 ];

ρ - Щилност, [kg / m 3].

Отнеми вирази:

Оттегляне viraz є диференциално енергийно изравняване за изохорния процес на пренос на топлина.

По подобен начин е показано съотношението за изобарния процес. Цялата топлина, внесена в задължението, да промени енталпията на речта, заложена в задължението.

Otrimane spіvvіdnoshennia є диференциални енергийни равенства за изобарния процес.

В твърдите тела преносът на топлина се дължи на закона на Четири
, стойността на топлинния капацитет може да бъде приета
. Да предположим, че проекцията на вектора на удебеляване на топлинния поток върху координатните оси е показана от кривите:

Останалата част от вируса се нарича диференциална топлопроводимост. Той ще установи връзка между времевите и пространствените промени в температурата във всяка точка на тялото, в която протича процесът на топлопроводимост.

Най-голямата разлика в топлопроводимостта в частните подобни е същата форма, но в нов размер ρ ,  , че функции на час и пространство. Целта на уравнението е да опише големия брой задачи за топлопроводимост, които създават практически интерес. Ако вземете постоянните термофизични параметри, тогава изравняването ще бъде по-просто:

Значително
тогава:

Коефициент на пропорционалност а[m 2 / s] се нарича коефициент на топлопроводимост и физически параметър на речта. Vín suttêviy за нестационарни топлинни процеси, което характеризира скоростта на промяна на температурата. Точно както коефициентът на топлопроводимост характеризира изграждащата способност на телата да провеждат топлина, коефициентът на температурна проводимост характеризира света на топлината и инерционната сила на тялото. Например, rídini и газовете могат да имат по-голяма топлинна инерция и следователно малък коефициент на температурна проводимост, а металите обаче могат да имат малка топлинна инерция.

Това също е вътрешен източник на топлина и температурното поле е неподвижно, приемаме Поасон равен на:

Zreshtoy, със стационарна топлопроводимост и наличие на вътрешни топлинни тръби, ние сме равни на Лаплас:

Измийте недвусмислеността на топлопроводимостта.

Oskílki диференциално изравняване на топлопроводимостта диви законифизика, той описва цял клас явления. За йога е необходимо да се установи граничен ум или недвусмисленост на ума.

Обърнете внимание на недвусмислеността, включваща:

геометричен ум - за характеризиране на формата на тялото;

физически ум - за характеризиране на физическата сила на средата на пребиваване и тялото;

pochatkovі (timchasovі) umovi - за характеризиране на повишаването на температурата в tili pochatkovy час, за определяне на скоростта на нестационарни процеси;

гранични умове - за характеризиране на взаимодействието на изследваното тяло с dovkills.

Граничните умове могат да бъдат зададени по много начини.

Границите имат предвид първия вид. Задайте температурата на повърхността на тялото за часа на момента на кожата:

T ° С = f(х, г, z, τ )

де T ° С- Температура на повърхността на тялото;

х, г, z- Координати на повърхността на тялото.

При хладно време, ако температурата на повърхността е постоянна за кратък период от време, процесът на топлообмен се прекъсва, ще бъде зададен въпрос:

T ° С = конст

Границите имат предвид друг вид. Стойностите на топлинния поток за кожната точка на повърхността на тялото се възстановяват по всяко време. Аналитично изглежда така:

р ° С = f(х, г, z, τ )

В най-простия случай дебелината на топлинния поток върху повърхността на тялото става постоянна. Този вид поведение може да се наблюдава при нагряване на метални вибрации във високотемпературни пещи.

Границите имат предвид третия вид. На която се задава температурата на излишното ядро T сронзи закон за топлообмен между повърхността на тялото и средата. За да се опише процеса на пренос на топлина се използва законът на Нютон Ричман. В зависимост от закона количеството топлина, което може да бъде видяно или получено от отделна повърхност на тялото за един час, е пропорционално на температурната разлика на повърхността на тялото и тази среда:

де α коефициент на пропорция, наречен коефициент на топлопреминаване [W / (m 2 · Do)], характеризира интензивността на топлопреминаване. Числено се отчита количеството топлина, което се произвежда от една повърхност на тялото за един час при температурна разлика, равна на един градус. Според закона за запазване на енергията, количеството топлина, което се въвежда в dovkіll, се дължи на добавяне на топлина, което се дължи на топлопроводимостта от вътрешните части на тялото, tobto:

Останете равни на граничния ум от третия вид.

Правят се сгъваеми технически поръчки, ако е невъзможно да се направи промяна на мнението и тогава ще бъде възможно да се наруши редът на деня. В случай на нарушение на такава задача е необходимо да се обърне внимание на равенството на температурите и топлинните потоци по страните на границата между разделенията. В ума на щастието можете да запишете:

Razvyazannya po'yazanoї tasksі po'yazani zі znakhodzhennyam температура, напоявана от страната на границата между отделите.

Извеждане на уравнението на алгебрата по метода на Нютон

Завършете с популярния метод на rozvyazuvannya rivnyan є дотистичен метод, или Метод на Нютон. Чийто ум е равен на ума f(х) = 0 На гърба е избран нулевият подход (точка х 0). Вашите точки ще бъдат близо до графиката г = f(х). Точката на линията tsієї dotichї z vissu abscissa е напредване близо до корена (точка хедин). В този момент пак ще бъда dottychna и т.н. Последователност на точките х 0 , х 1 , х 2 ... може да се намали до правилната стойност на корена. Внимателност є.

Като права линия, която преминава през точка х 0 , f(х 0) (но това е dotichna), записано на гледката

и как да се приближим х 1 за корена на външното подравняване се взема точка, която пресича линията на правата линия от абсцисата, до която се поставя в точката ts_y г = 0:

Звездите небрежно следват линията за разпознаване на офанзивния подход през фронта:

Ориз. 3 показва изпълнението на метода на Нютон с помощта на Excel. В komírku B3 да се въведе на кочана по-близо ( х 0 = -3), след което всички междинни стойности се изчисляват до изчислението хедин . За следващия маркер въведете стойността на полето B10 в полето C3 и процесът на изчисление се повтаря в колона C. След това, след като видите полетата C2:C10, можете, като издърпате маркера в долния десен ъгъл на видима площ, разширете я върху стълба D:F. Резултатът в средата на F6 има отнета стойност 0, така че. стойността в comirci F3 е коренът на равенството.

Този резултат може да бъде отнет чрез използване на циклично изчисление. Todi след попълване на първата колона и премахване на първата стойност х 1 След това въведете формулата = H10 в полето H3. С кой процес на изчисление ще има цикли и за да се появи виното в менюто Обслужване | Параметрина депозит Изчисляваненеобходимо е да се инсталира знаме Итерациии посочват ограничаващия брой кратки срокове на итеративния процес и видимата загуба (числото 0,001, което е зададено по подразбиране, е очевидно недостатъчно за богати типове), след достигане на такъв процес, процесът на броене се съкращава.

Както знаете, такива физически процеси, като пренос на топлина, пренос на маса в процеса на дифузия, са предмет на закона.

де л- Коефициент на топлопроводимост (дифузия) и T- Температура (концентрация), a - potik vіdpovidnoї стойност. От математиката е ясно, че дивергенцията на потока е здравословна Q tsієї ценности, tobto.

или за изглед от два света, ако температурата се повиши в една равнина, температурата може да бъде записана с един поглед:

Вариант на това подравняване е аналитично възможен само за области с проста форма: правоъгълник, цвят, пръстен. В други ситуации е по-точно да развържете кое равно е невъзможно, tobto. невъзможно е да се промени температурната разлика (или концентрацията на речта) в сгънати випади. Тоди да бъдат доведени до vicoristovuvat priblizhenі методи и rozv'yazannya такъв rivnyan.

Близко решение (4) в региона сгъваема формасе състои от няколко етапа: 1) подсказване на мрежата; 2) насърчаване на схема за продажба на дребно; 3) развитието на системата за изравняване на алгебрата. Нека разгледаме по-подробно кожата от етапите и изпълнението на його с помощта на пакета Excel.

Построена мрежа.Придайте на региона форма, показана на фиг. 4. С такава форма не е възможно точното решаване на аналитични решения (4), например чрез метода на промените на подразделенията. За това е възможно да видите решението на същото ниво в следващите няколко точки. Нанесете върху площта, равна на решетката, която е сгъната от квадратите отстрани ч. Сега, вместо shukati без прекъсване, решението е равно (4), то се присвоява на точката на кожата на областта, то е по-близо до решението, то се присвоява само на възловите точки на мрежата, приложената област, тобто. в ъглите на квадратите.

Схема за търговия на дребно Pobudov.За да вдъхновим схемата на дребно, можем да разгледаме по-големия вътрешен вузол на решетката C (централен) (фиг. 5). Зад него съдия чотири възли: B (горни), N (долни), L (леви) и P (десни). Да познаем, да минем между университетите в града ч. Todi, vikoristovuyuchi viraz (2) за близкия запис на други подобни в равен (4), можете да напишете близо:

Звездите са лесни за разглобяване чрез вираз, който свързва температурните стойности в централната точка със стойностите в точките на зашиване:

Viraz (5) ни позволява, знаейки стойностите на температурата в централните точки, да изчислим стойностите в централната точка. Такава схема, която в някои случаи се заменя с разлики в края на реда и поради причината, че стойността в точката на мрежата е по-малка от стойността в най-близките главни точки, се нарича схема на централна разлика, а самият метод се нарича метод за разлика в края на реда.

Необходимо е да се разбере какво е равно, аналогично на (5), ние го приемаме за SKIN точка на мрежата, тъй като такъв ранг изглежда свързан един по един. Така че можем да имаме система, равна на алгебрата, в която числото е равно на броя на възлите в мрежата. Virishuvati такава система за изравняване може да се направи по различни методи.

Разработване на системата за изравняване на алгебрата. Итерационен метод.Нека температурата в граничните възли е настроена на 20, а температурата на топлинната камера е 100. ч= 1. Todi viraz (5) за изчисляване на температурата във вътрешни точки

Нека поставим външния вид на дермалния възел на центъра на арката на Excel. В центровете, които съответстват на граничните точки, въвеждаме числото 20 (на фиг. 6 се вижда вонята Сирим цвят). Нека запишем формулата (6) в областта на средата. Например клиентът F2 изглежда така: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. След като напишете тази формула в стая F2, можете да я копирате и поставите в други области, които съответстват на вътрешните възли. С този Excel нека ви напомним за невъзможността за изчисляване чрез цикъл на резултатите:

Натиснете "Skasuvati" и отидете до прозореца Услуга|Параметри|Събиране, за да зададете знамето в раздела „Итерации“, като посочите стойността от 0,00001 като приемлива грешка и като граничен брой итерации 10000:

Това означава да ни осигури малка лична вреда и да гарантира, че итеративният процес ще достигне определеното наказание.

Въпреки това, тези стойности не гарантират малка загуба на самия метод, остатъците от останките остават да бъдат депозирани в случай на замяна на други подобни до края на века. Ясно е, че има по-малко бъркотия, че има по-малко мрежа, това е сигурно. размера на квадрата, на който ще бъде нашата търговска схема. Tse означава, че точната стойност на температурата във възлите на решетката, показана на фиг. 6 всъщност може да се окаже, че не е валиден. Існує единствен метод за обръщане на знанието за решението: да познавате йога в по-голям мащаб и в съответствие с предната част. Въпреки че решенията са малко обмислени, възможно е да се знае, че познаването на температурата е потвърдено като ефективно.

Да променим krok udvіchі. Заместник 1 става равен? Броят на възлите у нас постоянно се променя. Вертикално заместник 7 възела (имаше 6 квадрата, след това 7 възела) в кампус 13 (12 квадрата, след това 13 възела) и хоризонтално заместник 9 в кампус 17. С това нямаше следа от забравяне, че размерът на реколтата се е променила два пъти и сега формулата (6 ) замества 1 2 е необходимо дясната част да подаде (1/2) 2 . Като контролна точка, в която ще сравняваме знанията на решението, приемаме точката с максимална температура, посочена на фиг. 6 на живо в цвят. Резултатът от изчислението е показан на фиг. 9:

Вижда се, че промяната в температурата доведе до първоначална промяна в стойността на температурата на контролната точка: с 4%. За да подобрите точността на намереното решение, променете размера на мрежата. За ч= изваден в контролната точка 199,9, а за h = 1/8 е по-вероятно стойността да бъде 200,6. Можете да предизвикате графика на угарта на известната стойност според стойността на реколтата:

От малкия можете да направите нетривиална висновка, която ще доведе до промяната в по-малък мащаб до точната промяна на температурата в контролната точка и ще бъде взета предвид точността на намереното решение.

С възможностите на пакета Excel можете да предизвикате повърхността на температурата, която можете да си представите на пръв поглед в региона, върху който трябва да работите.

Когато бъдем подканени от математическия модел на разширяването на топлината при срязване, можем да вземем следното отклонение:

1) срязване на разцепвания от хомогенен телеен материал от слот ρ ;

2) повърхността на ножицата е термично изолирана, така че топлината да може да се разшири повече от въздуха ОХ;

3) тънко срязване - това означава, че температурата във всички точки е еднаква по целия срез на срязването.

Нека да разгледаме част от прическата на v_drízka [ x, x + ∆x] (раздел. Фиг. 6) законът за спестяване на количеството топлина:

Zagalna kіlkіstтоплина във въздуха [ x, x + ∆x] = общото количество топлина, което преминава през границите + общото количество топлина, наситено с вътрешните джерел.

Количеството топлина е горещо, така че е необходимо да се повиши разстоянието на срязване, за да се повиши температурата ∆U, изчислено по следната формула: ∆Q=CρS∆x∆U, де У- топлинният капацитет на материала (= количеството топлина, така че трябва да вдигнете 1 kg реч, за да повишите температурата му с 1 °), С- площ на напречното сечение.

Количеството топлина, преминало през либийския край на ножица за един час ∆t(Топлинен поток) се изчислява по формулата: Q 1 \u003d -kSU x (x, t) ∆t, де к- Коефициент на топлопроводимост на материала (= количеството топлина, което протича за секунда през срязването на една дължина и една площ на напречното сечение с температурна разлика в удължаващите линии, която е 1 ° ). Тази формула има специално обяснение с минус. Вдясно, във факта, че потът се счита за положителен, сякаш грешката на насочването на bik zbіlshennya х, И tse, в твоя собствен ред, означава, че си ядосан по въпроса хтемпература по-висока, по-ниска дясна, tobto U x< 0 . Otzhe, shob Q1буквата е положителна, формулата има знак минус.

По същия начин топлинният поток през десния край на площадката за ножици се изчислява по следната формула: Q 2 \u003d -kSU x (x + ∆x, t) ∆t.

За да оставим, че няма вътрешна топлина в срязването и да ускорим със закона за запазване на топлината, тогава вземаме:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t.

Yakshcho tse rіvnіst podіlit на S∆x∆tизправям се ∆xі ∆tдо нула, след това matimemo:

Zvіdsi vídnyannya teploprovіdnosti maє vyglyad

U t \u003d a 2 U xx,

de - Коефициент на температурна проводимост.

По това време, ако е в средата на прическата, тя е топла, без прекъсване q(x,t), вижте хетерогенно изравняване на топлопроводимостта

U t = a 2 U xx + f(x,t),
де .

Pochatkoví ум и граничен ум.

Само за изравняване на топлопроводимостта една початкова умова U | t=0 = φ(x)(или в друг запис U(x,0) = φ(x)) и физически това означава, че кочанът се издига под температурата на срязването може да се види φ(x). За еднаква топлопроводимост в апартамента или в откритите пространства на Початков Умов може да изглежда така, само функция φ остаряло, vіdpovіdno, vіd две или три zminnyh.

Границите на ума по време на изравняване на топлопроводимостта може да изглеждат еднакви, както при тънък еквалайзер, но физическата разлика вече е различна. измивам първо семейство (5)означава, че температурата е зададена в краищата на срязването. Ако не се променя с часа, тогава g 1 (t) ≡ T 1і g 2 (t) ≡ T 2, де Т 1і Т 2- Престой. Ако дните се поддържат топли през целия час при нулева температура, тогава T 1 \u003d T 2 \u003d 0този ум ще бъде същият. Граничен ум различен вид (6)определяне на топлинния поток на срязване. Зокрема, якчо g 1 (t) = g 2 (t) = 0, тогава не забравяйте да станете същите. Физически, вонята означава, че преносът на топлина от външната сърцевина не се наблюдава през кинци (те се наричат умовете на топлоизолацията на кинцив). Зрештой, граничен ум трети вид (7)добре е да се знае дали се наблюдава топлообмен през краищата на срязване от излишната сърцевина по закона на Нютон (предполагаме, че при показване на топлопроводимостта е взета предвид топлоизолираната повърхност). Наистина, понякога еднаква топлопроводимост на ума (7), са записани три неща:

Физическият закон на топлообмена със средата (закон на Нютон) се крие във факта, че потокът топлина през отделна повърхност за един час е пропорционален на разликата в телесните температури довкила. В този ранг, за лявата кинция, прическата е vín dorivnuê Тук h1 > 0- Коефициент на топлообмен с необходимата среда, g 1 (t)- Температурата на navkolishny средата в левия край. Знакът минус на твърденията във формулите е причината, когато се вземе предвид еднаквата топлопроводимост. От друга страна, чрез топлопроводимостта на материала, потокът от топлина през същия край е по-скъп.

По същия начин, излезте от ума (14) в десния край на ножицата, това е по-малко бързо λ2могат да бъдат други, парчета, vzagali kazhuchi, средни, които ще оставят лъва и десния кинец, те ще бъдат различни.

Граничните умове (14) са по-диви в сравнение с умовете на първия и от различен вид. Ако оставим това, че чрез тази флуктуация няма топлообмен от средата (така че коефициентът на топлообмен да е равен на нула), тогава ще видим ум от различен вид. В друг случай е допустимо коефициентът на топлообмен напр h1, вече страхотно.

Пренаписваме Умов (14) с х = 0при вида и директно. В резултат матимемо на ума от първия вид:

Граничните умове се формулират по подобен начин за по-голям брой чейнджъри. За задача за разширяване на топлината в плоска плоча Умов означава, че температурата в краищата е равна на нула. И така, в първия случай това означава, че плоската плоча и ръбовете са топлоизолирани, а в другия това означава, че задачата е да се разгледа разширяването на топлината в тялото и повърхността му е топлоизолирана.

Решението на първата гранична задача за изравняване на топлопроводимостта.

Нека да разгледаме едновременно преди pochatkovo-regional zavdannya за изравняване на топлопроводимостта:

Знайте решение

U t = U xx, 0 0,

това, което задоволява граничните умове

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0,

този кочан ум

Virishimo tse zavdannya метод Four'є.

Крок 1. Shukatimemo решение rivnyannia (15) на гледката U(x,t) = X(x)T(t).

Познаваме частни пътувания:

Нека си представим, че цените са по-ниски, докато се изравнят и разделяме промените:

Съгласно основната лема се приема

звездите крещят

Сега можете да virishiti кожата от tsikh zvichaynyh диференциален rivnyan. Това е зверско уважение към тези, които имат победоносни гранични умове (16), не можете да вземете диво решение б), но лични решения, които харесват граничните умове:

Крок 2Решете задачата на Sturm-Liouville

Всички поръчки са взети от поръчките на Sturm-Liouville, нека да ги разгледаме лекции 3.Нека познаем на какво се основава само силата на значението и силата на функциите на това растение λ>0.

Vlasnі стойност rіvnі

Степенните функции са равни (Div. rozvyazannya задачи)

Крок 3Нека си представим правилното значение на равно на а) и дешифрираме йога:

Крок 4.Нека запишем резолюцията на ривъра (15):

По силата на линейност и равномерност, изравняването (15) е линейна комбинация

това също ще бъде върха на това равно и функцията U(x,t)задоволява граничните умове (16).

Крок 5.Значително коеф A nв (19)

Стигаме до факта, че функцията пост φ(x) rozkladayetsya в серия от Four'є за техните функции като ръководител на Sturm-Liouville. Според теоремата на Стеклов е възможно да се изложат такива подредби за функции, които задоволяват ограничаващите умове и могат без прекъсване да следват различен ред. Коефициенти Four'e perebuvayut за формули

Подобна информация.

Решението на диференциалното изравняване на топлопроводимостта с разликата на сърцевина с форма на ръкавица в сърцевина без покритие се нарича фундаментално решение.

Митеве пунктирано Джерело

За неодрано тяло, на кочана от координати на някаква митве точка Джерело, разпределението на диференциалното изравняване на топлопроводимостта е както следва:

de T - точка h температура x,y,z координати; Q - количеството топлина, което се вижда в момента t = 0 на кочана; t е часът след въвеждането на топлината; R - отидете на кочана от координати, de djerelo, до точката, която можете да видите (радиус - вектор). Подравняване (4) на основните решения за изравняване на топлопроводимостта с ръкавица от пунктиран Джерел в стил без кожа.

Имате ли момент t? 0 температурата на самия джерел (R = 0) се вижда от нулата и се променя от време на време по закона t -3/2, превишавайки температурата на долните точки на тялото. В същото време отдалече от Джерел температурата се понижава по закон нормална розподілуехр(-R 2 /4at). Изотермични повърхнини - сфери с център в джерелата, а температурното поле в даден час е по-малко от радиус. В началото на часа (t = 0) температурата не се задава (T = ?), което е свързано със схемата на зонирания джерел, в която в безкрайно малък обем началото на часа се измества. от крайното количество топлина Q.

На базата на решението за тяло без кожа (4) е възможно да се изчисли температурното поле за схемата на тяло без кожа, тъй като тя се използва за описание на топлинни процеси в масивни вироби. Доведете го до nap_vnesk_chennomu tіlі, obmezhenny повърхност S - S dіє mitteve пунктирана dzherelo D (фиг. 4). За масивни тела топлинните потоци в средата са значително по-големи от потока на топлопредаване от повърхността. Следователно повърхността на вписаното тяло може да бъде въведена с адиабатна граница, за която (div. p. 1.4)

Добавяне на неодрана област z > 0 към неободрана такава, добавяне на област z< 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

Зад самата тази схема има моделирана и изотермична граница (граница Umov от 1-ви вид) T S \u003d 0, но в другата посока T \u003d T D - T F.

Графичното изображение на температурното поле (6) означава ясно разбиране на пространственото положение на повърхността, което ще промени температурата. В декартовата координатна система (x, y, z) контролните разрези на наклоненото тяло с размер на точката Джерел са равнините xy, xz и yz (фиг. 5, а). За изтънено тяло изотермичните повърхности се запълват със сфери (температурата лежи в радиуса - векторът R). В равнината xy изотерми, сякаш прорязани през равнината на повърхността

z = const; Температурното поле на митевата точка Джерел в различен момент и час е показано на фиг. (6) (разделение P 1.1). В малък мащаб температурата е графично маркирана със стойностите T = 1000K.

Температурата във всяка точка на позата се повишава и след това се променя (фиг. 1.3). Моментът на достигане на максималната стойност на температурата в тази точка е известен от ума

Разграничаване на вираз (6) по час, вземаме формулата за назначаване на час, ако максималната температура

Максималната температурна точка на изтънено тяло с разлика от точка Джерел варира с R 3 .