Познавайте директно координатите на ортогоналната проекция на точка. Проекция на точка върху права Координати на проекция на точка върху права линия. Проекция на точка върху права линия - теория, приложете това решение

Tsya статия, разглеждаща разбирането на проекцията на точка върху права линия (всички). Mi damo yoma беше назначен за vikoristannya малко, което обяснявам; Vivchimo начин за задаване на координатите на проекцията на точка върху права линия (върху плоско или тривиално пространство); Нека да го пробваме.

В статията „Проекция на точка върху равнина, координати“ предположихме, че дизайнът на фигура трябва да се разбира под концепциите за перпендикулярен или ортогонален дизайн.

Всички геометрични фигури са сгънати в точки; Следователно, за да може да се проектира фигура върху права линия, е необходимо да се вземе предвид способността за проектиране на точка върху права линия.

Назначаване 1

Проекция на точка върху права линия- tse или самата точка, тъй като тя трябва да лежи на дадената права линия, или основата на перпендикуляра, спуснат от точката на дадената права линия.

Нека да разгледаме малките по-долу: точката H 1 служи като проекция на точката M 1 върху правата a, а точката M 2, която лежи на правата линия, е проекция на себе си.

Обозначението е по-правилно за vipadka на повърхността и в тривимерното пространство.

За да вземете проекцията на точка M 1 върху правата линия a върху равнината, начертайте права линия b, така че тя да минава през дадена точка M 1 i е перпендикулярна на правата линия a. В този ред пресечната точка на правите a и b ще бъде проекцията на точката M 1 върху правата a.

В едно тривиално пространство проекцията на точка върху права линия ще служи като точка към напречната линия на правата линия a и равнината α, която ще минава през точката M 1 перпендикулярна на правата линия a.

Стойността на координатите на проекцията на точка върху права линия

Нека да разгледаме веригите в пейзажите на дизайна на плоския и в тривиалния простор.

Дайте ни задача на правоъгълна координатна система O x y, точка M1 (x1, y1) i права линия a. Необходимо е да се знаят координатите на проекцията на точка M1 върху правата линия a.

Нека прекараме през дадената точка M 1 (x 1, y 1) правата b, перпендикулярна на правата a. Точката на прекъсване е маркирана като H1. Точка H 1 ще бъде проекционната точка на точката M 1 върху правата линия a.

От описанието е възможно да се формулира алгоритъм, който ви позволява да знаете координатите на проекцията на точката M 1 (x 1 y 1) върху правата линия a:

Сгъваеми прави линии (тъй като не е посочено). За zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya основен rivnyan на апартамента;

Запишете подравняването на правата линия b (за преминаване през точка M 1 и перпендикулярна на правата линия a). Тук ще бъде допълнена статията за подравняването на правата, която да минава през дадена точка перпендикулярно на дадената права;

Очевидно е, че координатите на проекцията се приемат като координати на пресечната точка на правите a и b. И към това е доказана системата от равенства, складове като - изравняване на прави a и b.

дупе 1

В равнината O x y дадената точка M 1 (1, 0) е правата линия a (по-високо подравняване - 3 x + y + 7 = 0). Необходимо е да посочите координатите на проекцията на точка M1 върху правата линия a.

Решение

Подравняването, дадено от правата линия, което според алгоритъма преминаваме към най-краткия запис на подравняването на правата линия b. Правата b е перпендикулярна на правата a и следователно нормалният вектор на правата a е директният вектор на правата b. Тогава директният вектор на правите b може да бъде записан като b → = (3, 1). Нека запишем каноничното подравняване на правата линия b, но също така трябва да зададем координатите на точката M 1 през пътя, по който да премине правата линия b:

Крайният разрез показва координатите на пресечната точка на правите линии a и b. Да продължим каноничен ривняндиректно b към zagalny я равно:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Нека направим система от уравнения от горните уравнения на прави a и b

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Е, отнехме координатите на проекцията на точка M 1 (1, 0) върху правата линия 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Внушение: (- 2 , - 1) .

Докладът ще бъде разгледан, ако е необходимо да се посочат координатите на проекцията зададена точкавърху координатни прави и успоредни на тях прави.

Нека дадените координатни линии O x і O y, както и точката M 1 (x 1, y 1). Разбрах, че проекцията на дадена точка върху права линия с координата O x под формата y = 0 ще бъде точка с координати (x 1, 0) . Така че проекцията на дадената точка върху правата с координата O y ще бъде координатата 0 , y 1 .

Be-yaku доста прав, успоредна на остаабсцисата, можете да го поставите погрешно див ревнив B y + C = 0 ⇔ y = - C B, и права, успоредна на оста y - A x + C = 0 ⇔ x = - C A.

Тогава проекциите на точката M 1 (x 1, y 1) върху правата линия y \u003d - C B i x \u003d - CA стават точки с координати x 1, - C B i - CA A, y 1.

дупе 2

Вземете координатите на проекцията на точката M 1 (7, - 5) върху координатната права O y , а също и върху правата, успоредна на правата O y 2 y - 3 = 0 .

Решение

Нека запишем координатите на проекцията на дадената точка върху правата O y: (0 - 5) .

Нека запишем подравняването на правата линия 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 . Става ясно, че проекцията на дадената точка върху правата y = 3 2 с координатна матрица 7 3 2 .

Внушение:(0 , - 5) и 7 , 3 2 .

Нека тривиалното пространство има правоъгълна координатна система O x y z , точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) и права линия a . Знаем координатите на проекцията на точка M1 върху правата a.

Ще оставим равнината α да минава през точката M1 i перпендикулярно на правата a. Проекцията на дадена точка върху права a се превръща в точка върху права a и равнина α. Въз основа на това въвеждаме алгоритъм за стойността на координатите на проекцията на точка M 1 (x 1, y 1, z 1) върху правата линия a:

Записваме подравняването на правата линия a (тъй като не е посочено). За да разберете тази задача, е необходимо да се запознаете с тази статия за подравняването на прави линии в пространството;

Можем ли да съхраним плоскостта?

Знаем координатите на проекцията на точката M 1 (x 1, y 1, z 1) върху правата линия a - там ще бъдат координатите на точката на напречната линия на правата линия α и равнината на α (за помощ - статията „Координати на точката на напречната линия на правата линия на равнината“).

дупе 3

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z , i в nіy - точка М 1 (0, 1, - 1) i права a . Правата линия a съответства на каноничното подравняване: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Определете координатите на проекцията на точка M1 върху правата линия a.

Решение

Vykoristovuёmo vkazyvshee алгоритъм. Rivnyannya права линия, първата стъпка се пропуска от алгоритъма. Нека запишем подравняването на областта α. За които са значими координатите на нормалния вектор на площта. От дадените канонични подравнения на правата линия a можем да видим координатите на директния вектор на правата линия: (3, - 4, 1), който ще бъде нормалният вектор на областта α, перпендикулярна на правата линия а. Тоди n → = (3, - 4, 1) е нормалният вектор на площта α. В този ред равнината на α матиме изглеждаше равна:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Сега знаем координатите на пресечната точка на правата и тази на равнината α, за което има два начина:

1. Задачите на каноничното подравняване ви позволяват да вземете подравняването на две равнини, които се припокриват, които представляват правата линия a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Да знаете точките на напречната линия на правата линия 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 и равнините 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

При към този конкретен тип vikoristovuєmo метода на Cramer, но можете да zasosuvat дали е ruchny:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

По този начин проекцията на дадена точка върху права линия a е точка с координати (1, 2, 0)

1. Въз основа на задачите на каноничните подравнявания е лесно да се запише параметричното подравняване на правата линия в пространството:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Нека си представим на нивото на равнината, което може да се разглежда като 3 x - 4 y + z + 5 = 0 вместо x , y і z техния израз чрез параметъра:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Нека изчислим координатите на пресечната точка на правата линия a и равнината α зад параметричните подравнения на правата линия a при λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Така проекцията на дадена точка върху права линия a има координати (1, 2, 0)

Внушение: (1 , 2 , 0)

Важно е, че проекциите на точката M 1 (x 1 , y 1 , z 1) върху координатните прави O x , O y і O z ще бъдат точки с координати (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) и (0 , 0 , z 1) е валидно.

Как се сетихте за помилването в текста, бъдете добри, вижте го и натиснете Ctrl + Enter

помогнете на някой друг онлайн калкулаторможете да знаете проекцията на точка върху права линия. Надяваме се да докладваме решение с обяснения. За да изчислите проекцията на точка върху права линия, задайте разстоянието (2- изглежда като права линия в равнината, 3- изглежда като права линия в пространството), въведете координатите на точката от това елемент на подравняване в полето и натиснете бутона "Verishity".

×

Предварително

Изчистване на всички стаи?

Затвори Изчисти

Инструкции за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (приложете: 487, 5, -7623 тън.), десети числа (напр. 67., 102,54 тън.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена при вида на a / b, de a і b (b> 0) tsіlі или десетки числа. Нанесете 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тънко.

Проекция на точка върху права линия - теория, приложете това решение

Нека да разгледаме задачата в пространствата на двата и трите света.

1. Нека се даде точка на двусветовото пространство М 0 (х 0 , г 0) направо Л:

Алгоритъм за проекция на точка върху права линия Лда отмъстиш така:

• подкани директно Л 1 за преминаване през точката М 0 i перпендикулярна на правата Л,
• познавайте обхвата на правите линии Лі Л 1 (точка М 1)

Права линия за преминаване през точката М 0 (х 0 , г 0) може да изглежда така:

Vіdkrієmo лъкове

(5)

Да приемем стойността хі гна 4):

де х 1 =mt"+х", г 1 =точка"+y".

Пример 1. Познайте проекцията на точка М 0 (1, 3) прав

Tobto. м=4, стр=5. От подравняването на правата (6) е ясно, че тя ще минава през точката М" (х", y")=(2, −3)(което се променя лесно - заместването на стойността (6) приема идентичността 0=0), тогава. х"=2, y"=-3. Да приемем стойността m, p, x 0 , г 0 ,x", y"на 5"):

2. Нека се даде точка на триви-световното пространство М 0 (х 0 , г 0 , z 0) направо Л:

Значението на проекцията на точка върху права линия Лда отмъстиш така:

• насърчете апартамента α , да премине през точката М 0 i перпендикулярна на правата Л,
• познайте областта на ретината α аз направо Л(пест М 1)

Равнина на равнината за преминаване през точката М 0 (х 0 , г 0 , z 0) може да изглежда така:

Vіdkrієmo лъкове

Да приемем стойността хі гоколо 9):

Проекцията на точка върху права линия е лесна за изпълнение и за последните няколко операции нулевата близост се изчислява като проекция на точка върху права линия с точки. Нека да разгледаме този брой аспекти на съвместната задача.

Нека върви направо

петънце. Важно е, че векторът от прави линии w може да бъде доста дълъг. Правата минава през точката , където параметърът t е равен на нула, а векторът w може да бъде прав. Необходимо е да се знае проекцията на точка върху права линия. Има само едно решение. Ще индуцираме вектор от точка на права линия към точка и изчислимо скаларен твърд вектор и вектор на права линия w. На фиг. 4.5.1 показващ директния вектор на линиите w, дадена точка. Ако разделим това скаларно разширение на дължината на вектора w, отнемаме дължината на проекцията на вектора върху права линия.

Ориз. 4.5.1. Проекция на точка върху права линия

Ако разделим скаларното разширение на квадрата на вектора w, тогава отнемаме проекцията на вектора върху правата линия в единици от разширението на вектора w, така че вземаме параметъра t за проекцията на точката върху правата линия.

По този начин проекционният параметър на точка върху права линия и радиус-векторът на проекцията ; изчисляване с формули

(4.5.3)

Ако дължината на вектора w е равна на 1, тогава (4.5.2) не е необходимо да се изважда от точката до проекцията върху кривата при стръмен наклон, тя се изчислява като дължината на вектора. Можете да изчислите разстоянието от точката до нейната проекция на права линия, не чрез изчисляване на проекцията на точката, а чрез ускоряване на формулата

Окреми пада.

Проекцията на точка върху аналитични криви може да бъде известна и без познаване на числени методи. Например, за да се знае проекцията на точката върху крайния срез, е необходимо да се транслира точката, която се проектира в координатната система на крайния срез, да се проектира точката върху равнината на крайния срез и да се знае параметър на двумерната проекция на дадената точка.

Общи впадок.

Нека е необходимо да се знаят всички проекции на точка върху крива линия.

(4.5.5)

Целта е да се отмъсти на една неизвестна стойност - параметърът t. Както вече беше казано, изпълнението на тази задача беше разделено на два етапа. На първия етап означаваме нулево приближение на параметрите в проекциите на точката върху кривата, а на другия етап знаем точните стойности на параметрите в кривата, които задават проекциите на дадената точка на кривата до правата z