Подгрупи на циклични групи. Циклични групи. Sumіzhni класи, теорема на Лагранж

Група O се нарича циклична, тъй като всички елементи са стъпала на един и същ елемент.Този елемент се нарича утвърдителна циклична група O. Дали една циклична група е очевидно абелева.

Циклична група е например група от цели числа за събиране. Qiu група mi се обозначава със символа 2. ї tvirnoy є номер 1 (і navit номер - 1). Циклична група също е група, която се състои само от един елемент (единичен).

В голяма група О ребрата на всеки елемент g да се превърнат в циклична подгрупа с плътно g. Редът на подгрупите, zrozumílo, zbіgaєtsya с реда на g елемента. Резултатите от теоремата на Лагранж (раздел. стр. 32) показват, че редът на всеки елемент от група трябва да бъде разделен, редът на група (с уважение, че всички елементи от крайната група са елементи от крайния ред).

За това, за който и да е елемент g от крайната група, редът може да бъде равен

Това просто уважение често е грешно.

Очевидно, тъй като групата е циклична и тя се установява, тогава редът на елемента е правилен. Назад, като група от Volody елементи в ред, тогава сред стъпките на този елемент са различни, и към тази стъпка цялата група Pro.

Mi bachimo, в такъв ранг, че една циклична група може да бъде майка на dekilka от различни utvoryuyuchih (самата, да бъде някакъв елемент от поръчката е tvernoy).

Управител. За да докаже, че група от прост ред е циклична група.

Управител. Донесете това, което една циклична група може да нареди, равномерно одобри, де - номерирайте положителни числа, по-малки и взаимно по-прости s .

По реда на реда, било то кинцева група, можете да добавите число - най-малко значимото кратно на реда на всички нейни елементи.

Управител. Да донесе, независимо от края на групата, числото, което да раздели реда на групата.

Очевидно е, че в циклична група числото нараства в ред. Назад, vzagali привидно, не е вярно. Тим не е по-малко, може да бъде втвърдяване, което характеризира цикличните групи в класа на крайните абелеви групи:

крайна абелева група, за която числото е по-напреднало в реда, е циклична група.

Добре, нека не

Поръчки на всички vídmіnkh víd odiní elementí v kíntseї abelії ї ї ї За реда, и nehay - тях поне общо множество.

Нека разложим броя на допълнителните стъпки на различни прости числа:

Нека Oskіlki число е, за целта, най-малкото общо кратно на числа (1), сред числата, които искате да имате едно число, което се дели точно на т.е. Нека числото е е редът на елемента g. Същият елемент е в ред (разделение последователност 1) на страна 29).

В такъв ранг, за всеки в групата Pro isnuє, който иска да използва един елемент в ред. Вибрирането за кожата е един такъв елемент, нека погледнем лицето ви. Zgidno z firmzhennyam, отведете настрани. 29-30; Oskílki останалата част от числото за ума е добро, самият Тим донесе, че в групата има елемент в реда на т. Otzhe, тази група е циклична група.

Хайде сега O - доста циклична група с усукана и H - deak нейната подгрупа. Oskílki дали елемент от подгрупата H е елемент от Pro групата, можете да го разгледате, de d - може да бъде по-положително или отрицателно число (vzagali, sevne е двусмислено). Можем да разгледаме безличността на всички положителни числа, кой елемент принадлежи към подгрупа N. Oskilki ce безличността е непразна (защо?), тогава се показва най-малкото число, дали елемент h подгрупа H е стъпката на елемента. Всъщност, в името на аргумента, има същото число d, което (числото може да бъде отрицателно). Разделете (твърде много) числото d на числото

Така че, поради минималния брой излишъци, той е виновен за достигане на нула. По такъв начин,

Самият Тим разкри, че елементът е твърда група H, така че групата H е циклична. Otzhe, е подгрупа на циклична група на циклична група.

Управител. Доведете числото до индекса на подгрупата H и след това разделете реда на групата (като групата O Kintsev).

С уважение, за всеки dilnik редът на последната циклична група Q в групата Pro е една и повече от една подгрупа H в ред (а самата подгрупа е

Очевидно е, че endian цикличната група е проста, че редът е просто число (или единица).

Важно е дали фактор (група от едно и също, дали хомоморфен образ) на циклична група Q е циклична група.

За да го докажете, не забравяйте, че групата tvirnoi трябва да служи на интелигентния клас, който отмъщава на групата tvirno Pro.

Значи, дали факторът на групата на групата от цели числа Z е циклична група. Vivchimo tsі tsіchіchіchі grupі prіknіshe.

Тъй като групата Z е абелева, то дали подгрупата Z е нормален дилник. От друга страна, от гледна точка на привеждане на повече, подгрупата H е циклична група. Тъй като факторът на групата зад тривиалните подгрупи ни е известен, тогава можем да считаме подгрупата H за нетривиална. Нека числото е удовлетворяващо подгрупата N. Можем да направим числото положително (защо?) и, също, по-голямо от едно.

Подгрупата N. се формира, очевидно, от всички числа, които се подразделят на. Ето защо две числа все още принадлежат само към един клас суми за подгрупа H, ако разликата е разделена на , тогава ако вонята може да бъде равна на модула (div. Course, страница 277). В този ранг сумите на класа за подгрупата H не са нищо друго, като класовете на числата, така че можете да се равнявате помежду си за модула.

С други думи, факторът на групата на групата Z за подгрупата на H е групата (за добавяне) на класовете числа, които са равни помежду си за модула . Ние ще определим тази група чрез нейния одобряващ клас, който ще отмъсти за номер 1.

Показва се дали цикличната група е изоморфна или групата Z (тъй като не е ограничена), или една от групите (като редът е скинат).

Вярно, кажи ми - правя група О. Показателно е, че изразът на група 2 в група О обаче

Нека да разгледаме мултипликативната група на всичките две стъпки на двете (2Z, ), където 2Z = (2 n | П e Z). Аналог на групата на добавката my є е групата на добавката от цели числа близнаци (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Damo zagalne vyznachennya групи, okremi задници на такива е дани групи.

Назначаване 1.8. Мултипликативна група (G,) (Адитивната група (G, +)) се нарича цикличенкак се събира от последователните нива (на всички кратни) на един елемент a e G,тобто. G=(A p | p e Z) (отпорно, Общ успех | p e Z)). Обозначение: (а), да се чете: циклична група, генерирана от елемент a.

Нека да го разгледаме.

1. Краят на мултипликативна немащабираща се циклична група може да бъде група от всички цикли на фиксирано цяло число a f±1, показана победа и r.по такъв начин, и г - (а).
2. Краят на мултипликативната крайна циклична група е група C корен n-тистъпка от сам. Познай какво корен n-тистъпка от един, за да разберете

зад формулата e k= cos---hisin^-, de преди = 0, 1, ..., П - 1. Слайд- p p

наистина, З „ \u003d (e x) = (e x = 1, e x, ef = e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Познайте какво комплексни числа e към, към = 1, ..., П - 1, са изобразени от точките на един кол, як Правни части.

3. Характерен пример за адитивна немащабираща циклична група е адитивна група от цели числа Z, която се генерира от числото 1, т.е. Z = (1). Геометрично се появява при оглед на целите точки на числовата линия. Всъщност така се изобразява самата мултипликативна група 2 7 - = (2) a z \u003d (a),децилно число a f±1 (дел. фиг. 1.3). Качеството на изображенията е разгледано в параграф 1.6.
4. Vibero в голяма мултипликативна група Жактивен елемент а.Тогава всички цикли на стъпките на елемента удовлетворяват цикличната подгрупа (a) = (a p p eЗ Г.
5. Може да се покаже, че адитивната група от рационални числа Q не е сама по себе си циклична, но дали два елемента лежат или не в цикличната подгрупа.

А. Доказваме, че адитивната група Q не е циклична. Допустимо неприемливо: нека Q = (-). Основен целеви номер б,

не споделяйте T. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, след това съществително-

b t/ (tДж

е tsile номер gs 0 so sho - \u003d n 0 -. Але тоди m = n 0 kb,

звезди T:- díyshli супер-острота.

Б. Да кажем, че още две рационални числа -

ч „ /1

i - припокриваща се циклична подгрупа (-), de Tнамирам- d t/

по-малко от голямо кратно на числа bі д.Добре, нека не м-би

, а 1 /1 ч cv 1/1

i m = av, u, v e Z, тогава i - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b i t t/ a dv t t/

Теорема 1.3. Редът на цикличната група е същият като реда на родителския елемент на групата, tobto.|(а)| = | a |.

Привеждане. 1. Хайде | = ">. Знаем, че всички естествени стъпки на елемента аразлично. Допустимо неприемливо: хайде ak = a tи 0 на Тоди T - преди - естествено числоі a t ~ to = e. Ale tse superechit от това scho | a = ° °.По този начин всички естествени стъпки на елемента а raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst група (а). Отже, | (а)| = ° ° = | a |.

2. Хайде | a | = n. (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). От обозначението на цикличната група включването (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). Нека го включим. Допълнителен елемент на цикличната група (а)може да изглежда а т,де ти Z. Споделяне на шнапс в излишък: m-nq + r,де 0 стр. Оскилки a n = e,тогава a t = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0, a, а 2,..., a "- 1). Zvídsi (a) s (a 0, a, a 2, ..., В този ред, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., а" -едно).

Необходимо е да се докаже, че всички елементи са умножени (a 0, a, а 2,..., и "-1) различно. Допустимо неприемливо: нека 0 i П,ейл а" = а).Същото вино - д ta 0 j - i - dіyshli супер острота z umovoy | a | = П.Теоремата е завършена.

Подгрупи на циклични групи

Идва теорема, която дефинира съществуването на подгрупа от циклични групи.

Теорема 1.4. Подгрупа на циклична група е циклична. Yakscho G = (a)uH - несамостоятелна подгрупа на групата G, moH = (ид) де п - най-малкото естествено число, като p e N.

Привеждане.Хайде G = (a) това з- подгрупа на група Ж.Като подгрупа знеженен, тогава H =(f) – циклична група. Хайде з- несамостоятелна подгрупа. Значително през Пнай-малко естествено число, така че химикалка,и ни уведомете за това H \u003d (a p).Включване ( a p) з зочевидно. Нека го включим. Хайде той Х.Оскилки G = (а),тогава е истинско шоу преди,какво от това h = a до.Да споделим предина Птвърде много: преди = nq+ g, de 0 p. g F 0, тогава вземете h = a до = a pa p h a g, звезди a r \u003d a ~ p hN e N.Стигна до превъзходство с минимален дисплей П.Също така, r = 0 i към - nq. Zvіdsi h = a k = a p h eа") В този ранг, зз ( а n), по-късно, H = (ад). Теоремата е завършена.

Родителски елементи на цикличната група

Какви елементи могат да доведат до циклична група? Има две теореми, които подкрепят тези две теореми.

Теорема 1.5. Нека на циклична група G = (a) е даден редуциран ред. Тоди (а) - (ада се) тогава и само тогава, ако до - ± 1.

Привеждане.Хайде G = (а),|а| = ° ° i (a) = (Ak). Todі іsnuє tіla kіlkіst П,какво от това a = a kp. Zvídsi a * "-1 \u003d д,и осколки | а =тогава kp - 1 = 0. Алетоди kp = 1 ич-± 1. Сериозното втвърдяване е по-очевидно.

Теорема 1.6. Нека дадем циклична група G = (a) от реда m. gcd(/s, T) = 1.

Привеждане.(=>) Хайде (а) = (преди),уведомете ни, че GCD(/s, T) - 1. Значително SNDC, t) – d.Оскилки ад (a) - (a до),тогава a = a kpс настоящото цяло П.За точния ред на елементите, звездите пеят, scho (1 - kp) : T,тобто. един - kp = mtза реално цяло t. Але тоди 1 = (кп + mt) : д,звезди d = 1 і GCD(/s, T)= 1.

(Да отидем NID (k, t) = 1. Да знаем какво (а) = (Ak).Забележете (преди) h (a) е очевидно. Обратно, имайте предвид GCD No., t) = 1 следните числа іи v, такива ki + mv= 1. Използвай се тим шо | a | - T,приемливо a = a ku + mv = a ku a mv = a kí e (a до). Отже, (a) = (a до). Теоремата е завършена.

Познай какво Функция на Ойлер f(t) означава броя на естествените числа, което не променя естественото число Tи взаимно прости T.Звучи като обсебващо следствие.

Последица.Циклична група (а)поръчка Tима f(t) от различни елементи, които се генерират.

За дадената геометрична точност на теорема 1.5 представяме цикличната група G = (а)поръчка Tзаложени точки A 0, A b ..., A t _ bразделете го на Tравни части. елемент a къмдадени групи, които показват точки И предище генерира някои и само някои, ако последователно точки A 0, Ак, А 2ки т.н., ще стигнем до точка А]. Нека знаем всичко предипри T= 10 нека просто изброим vipadkіv (фиг. 1.5). В резултат на това ние вземаме преди =1,3, 7, 9. За циклична група (а) tse означава, че (a) \u003d (a 3) \u003d (a 7) \u003d (a 9). обратно: знам преди,взаимно прости с едно и също число T,можете любезно да vikreslyuvaty vodpovidnu "zirochka", твърдо знаейки, че рано чи pizno глътка в точката на кожата, повече (a) = ( ада се).

Хайде Ж– групирайте този елемент а Ж. Редът на елемента a (обозначен с ׀a׀) се нарича най-малкото естествено число нн, Какво

а н = а . . . . а =1.

Ако такова число не е известно, тогава изглежда, че а- Елемент на непоследователен ред.

Лема 6.2.Якщо а к= 1, тогава кразделяне по ред на елементите а.

Назначаване.Хайде Ж- тази група а Ж. Тоди безлич

H = (ak ׀ k }

е подгрупа на групата G, както се нарича циклична подгрупа, генерирана от елемента a (означен с H =< а >).

Лема 6.3.Циклична подгрупа з, генериран от елемента апоръчка н, е ред на крайната група н, освен това

H = (1 = a 0, a, ..., a n-1).

Лема 6.4.Хайде а- Елемент на непоследователен ред. Същата циклична подгрупа з = <а> - без кожата и да е всеки елемент s зрегистрирайте се на гледката а к , предиЗ, освен това в един ранг.

Групата се нарича цикличен yakscho спечели zbіgaєtsya z odnієyu zіh svoїkh tsіchnyh подгрупи.

дупе 1. Адитивна група Зот всички цели числа е безкрайна циклична група, генерирана от елемент 1.

дупе 2.Безлични корени н-та стъпка от 1-ва циклична групова поръчка н.

Теорема 6.2.Дали подгрупа на циклична група е циклична.

Теорема 6.3.Дали една безкрайно циклична група е изоморфна на адитивна група от цели числа З. Независимо дали става въпрос за кинцева циклична система низоморфен на групата на всички корени н-та стъпка от 1.

Нормална подгрупа. групов фактор.

Лема 6.5.Хайде з- Подгрупа на група Ж, на базата на всички леви класове суми едновременно е i десни класове суми. Тоди

aH=Ха, а Ж.

Назначаване.Подгрупа згрупировка Жнаречен нормален в Ж(посочено зЖ), тъй като всички и леви суммижни класи са прави, така че

aH=Ха, аЖ.

Теорема 6.4. Хайде з
Ж, G/N– безличен от всички обобщаващи класове на групата Жпо подгрупа з. Как да се размножава G/Nоперация умножение

(aH)(bH) = (ab)H,

тогава G/Nстава група, тъй като факторът се нарича групова група Жпо подгрупа з.

Групов хомоморфизъм

Назначаване.Хайде Ж 1 i Ж 2 - групи. Тоди ферментация f: Ж 1
Ж 2 се нарича хомоморфизъм Ж 1 инч Ж 2, като

Е(аб) = f(а)f(b) , а,б Ж 1 .

Лема 6.6.Хайде f– групов хомоморфизъм Ж 1 към групата Ж 2. Тоди:

1) f(1) - единична група Ж 2 ;

2) f(а -1) = f(а) -1 ,аЖ 1 ;

3) f(Ж 1) - подгрупа на група Ж 2 ;

Назначаване.Хайде f– групов хомоморфизъм Ж 1 към групата Ж 2. Тоди безлич

керf = {аЖ 1 ׀f(а) = 1Ж 2 }

се нарича ядрото на хомоморфизма f .

Теорема 6.5. кер f
Ж.

Теорема 6.6.Бъдете нормална подгрупа на група Же ядрото на всеки хомоморфизъм.

Килция

Назначаване.Празен безлик ПредиНаречен килцем, като на новия са зададени две бинарни операции, като се наричат събиране и умножение и задоволяват напредналите умове:

Преди- Групата на Абел за по-нататъшни операции;

множествено число асоциативно;

vikonuyutsya закони на дистрибутивност

х(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zК.

дупето 1. Безлич Qі Р- Килция.

Килце се нарича комутативен, като

xy=yx, x,yК.

дупе 2. (Поривняния). Хайде м- фиксирано естествено число, аі b- Dovіlnі tsіlі номер. Същият номер асъвпада с номера bзад модула мкато на дребно а – bда бъдат разделени на м(написано: аb(мод м)).

Оценка, равна на настройката за еквивалентност на безличния З, какво се чупи Зна класа, yakí повикване класове vídrahuvan за модула ми означават З м. Безлич З ме комутативен пръстен с единица.

полета

Назначаване.Полето се нарича празно, безлично Р, За да отмъстим не за 2 елемента, с две двоични операции сгъване и умножение, така че:

дупе 1. Безлич Qі Рнеограничени полета.

дупе 2. Безлич З r- Кинцево поле.

Два елемента аі bполета Р vídminní víd 0 се наричат дилери на нула, като аб = 0.

Лема 6.7.Полето няма брой нули.

Нека g е допълнителен елемент от групата G. Тоди, приемащ минималната подгрупа
, генерирани от един елемент
.

Назначаване. Минимална подгрупа
, генериран от един елемент g от групата G, се нарича циклична подгрупагрупа Г.

Назначаване. Както цялата група G се ражда от един елемент, т.е.
, тогава се нарича циклична група.

Хайде елемент от мултипликативната група G, същата минимална подгрупа, генерирана от този елемент, се формира от елемента в ума

Нека да разгледаме стъпката на елемента , тогава. елементи

Две възможности:

1. Usí стъпка елемент g razní, tobto.

, тогава тук, за да кажем, че елементът g не може да бъде редуциран в ред.

2. Є zbіgi стъпки, tobto. , ейл
.

І тук елементът g е крайният ред.

Добре, кажи ми например
і
тоди,
, тогава. направете положителни стъпки
елемент
, равно на един елемент.

Нека d - най-малко положителният индикатор за нивото на елемента , за което
. Тогава изглежда, че елементът
Май последна поръчка, равна на d.

Висновок. Имате вид група G от последния ред (
) всички елементи ще бъдат в окончателен ред.

Нека g е елемент от мултипликативната група G или мултипликативна подгрупа
се събира от всички различни стъпки на елемента g. Otzhe, броят на елементите в подгрупата
zbigaєtsya с реда на елемента тобто.

брой елементи в група
коригирайте реда на елемента ,

От другата страна може да има същата твърдост.

Твърдост. Поръчка какъвто и да е елементът
до порядъка на минималната подгрупа, генерирана от този елемент
.

Привеждане. 1.Якщо - Елемент на крайната поръчка , тогава

2. Якщо - Елемент на непоследователен ред, след което не донесе нищо.

Yakscho елемент може да поръча , след това, за целта, всички елементи

различни и бъдете стъпка zbіgaєtsya с един от тези елементи.

Вярно, нека показната стъпка
, тогава. - достатъчно бройка и не тръгвай
. Същият номер може да се види с един поглед
, де
,
. Todí, vikoristuuuuuuuuuuuu ниво на мощност на елемента g,

Zokrema, yakshcho.

дупето. Хайде
- Абелевата група от цели числа е адитивна. Група G се формира от минимална подгрупа, генерирана от един от елементите 1 или –1:

отже,
- Безкинечна циклична група.

Циклични групи от крайния ред

Като пример за циклична група от крайния ред, това е ясно група от опаковане на правилния n-kutnik шодо його към центъра
.

Groupi елементи

е завъртете n-kutnik срещу стрелата на godinnikov на kuti.

Groupi елементи
є

и от геометричното огледало е ясно, че

група
да отмъсти на елементите, tobto.
, но удовлетворяващият елемент на групата
є , тогава.

Хайде
тоди (разр. фиг. 1)

Ориз. един – група - обвивка на правилния трикутник ABC шодо до центъра O.

Алгебрична операция  в група - Последното опаковане срещу стрелката на годината, на кут, многократно , тогава.

Zvorotny елемент
- опаковане зад стрелката на годината на kut 1, tobto.

Таблица Кдчи

Анализът на последните групи е най-вероятно да се използва за допълнителните таблици на Кели, като ръководство за „таблицата за умножение“.

Нека група G отмъсти на елементи n.

По мое мнение, масата Keli є квадратна матрицаима n реда и n реда.

Към реда на кожата и слоя на кожата, един или повече от един елемент от групата.

елемент таблица Kelі, scho да стои на ретината на i-тия ред и j-тата колона, до резултата от операцията на "умножение" на i-тия елемент с j-тия елемент от групата.

дупето. Нека група G отмъсти за три елемента (g1, g2, g3). Операция в групата "умножение". В този момент таблицата на Кели може да изглежда:

уважение. В реда на кожата и колоната на кожата на таблицата Keli се намират всички елементи на групата и няма воня. Таблица Keli за заместване на цялата информация за групата. Какво можете да кажете за силата на тази група?

1. Единственият елемент от тази група е g1.

2. Групата е абелева, защото масата е симетрична по главния диагонал.

3. За скин елемента на групата е необходимо да

за g 1 wrap є елемент g 1 за g 2 елемент g 3 .

Да отидем на групи Клетъчни таблици.

За значението на основния елемент за елемента, например, , необходими за ред, за определен елемент знам stovpets отмъщение елемент . елемент vidpovіdny даден на stovptsyu и е vorotnym на елемента , защото
.

Както таблицата на Кели е симетрична като диагонала на главата, tse означава това

- Тобто. операцията на анализираната група е комутативна. В името на аргумента, таблицата Keli е симетрична, въпреки че диагоналът на главата означава, че операцията в комутативен, т.е.
,

група - Абелова.

Можете да видите цялата група от трансформации на симетрията на правилния n - cosin добавяйки към операцията обвиването на допълнителната операция на просторен завой около осите на симетрия.