Определяне на инерционния момент на напречното сечение с паралелно прехвърляне на осите. Промяна на инерционния момент при успоредно преместване на координатните оси Формули за преместване на осите

Хайде z ч, y z– централна ос на переризив; – инерционни моменти през осите на Чодо. Значителни моменти на инерция през новите оси z1, 1, успоредни на централните оси и местата, където са на стойката аі д. Хайде dA- елементарен майдан в покрайнините на точката Мс координати гі zв централната координатна система. 3 фиг. 4.3 се вижда, че координатите на точка Z от новата координатна система са актуализирани, .

Значителен момент на инерция по оста y 1 :

Фиг.4.3

z c

y c

z1

y 1

д

а

° С

Очевидно първият интеграл е да, другият е , фрагментите на външната координатна система са централни, а третият е площта на разреза НО.

по такъв начин,

по същия начин

Промяна на инерционните моменти на надреза при завъртане на осите

Ние знаем разликата между инерционните моменти и около осите г, zи инерционни моменти спрямо осите y 1, z1, включи ср а. Хайде Джи> Джей Зита положителен кут анавийте в оста ганти-годишна стрелка. Изпратете координатни точки Мпреди завоя г, z, след завъртане - y 1, z1(Фигура 4.4).

От малкото скимти:

Сега инерционните моменти са значими за осите y 1і z1:

Ориз. 4.4

М

z

z1

y 1

г

а

г

y 1

z1

z

. (4.13)

По същия начин:

Добавяйки член по член, равен на (4.13) и (4.14), вземаме:

тобто. сумата от инерционните моменти, ако има такива, взаимно перпендикулярни оси, е постоянно фиксирана и не се променя при завъртане на координатната система.

Главни инерционни оси и инерционни моменти на главата

Zі zmіnoyu kuta обръщат оси астойностите на кожата се променят, но сумата остава непроменена. Otzhe, isnuє същото значение

а = а 0 , за които инерционните моменти достигат екстремни стойности, т.е. единият от тях достига максималната си стойност, а другият достига минималната си стойност. За смисъла а 0 нека да го разгледаме (в противен случай) и да го приравним към нула:

Показано е, че когато осите се отдалечат, централният инерционен момент е равен на нула. Вдясно част от уравнението (4.15) е равна на нула: , звезди, tobto. взе същата формула за а 0 .

Оси, при които някакъв централен инерционен момент е близо до нула, а инерционните моменти на осите придобиват екстремни стойности, се наричат ​​главни оси. Yakscho tsi osі е централно, всички смърди се наричат ​​централни оси на главата. инерционните моменти на осите като осите на главата се наричат ​​инерционни моменти на главата.

Значително заглавие ос през y 0і z0. Тоди

Ако ретината може да бъде симетрична, тогава цялата е една от главните централни оси на инерция perezu.

Нека разгледаме инерционния момент на плоската фигура (фиг.) за осите $(Z_1)$ и $(Y_1)$ за дадените инерционни моменти за осите $X$ и $Y$.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

де $(S_x)$ - статичният момент на фигурата е около оста $X$.

Подобно на оста $(Y_1)$

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Централен инерционен момент за осите $(X_1)$ и $(Y_1)$

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A(ydA) + ab\int\limits_A(dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Най-често има преход от централните оси (горните оси на плоската фигура) към пълните, успоредни. Тогава $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, фрагментите на оста $X$ и $Y$ са централни. Оставаща майонеза

де, - силовите инерционни моменти, т.е. инерционните моменти според мощността на централните оси;

$a$, $b$ - vіdstanі от централните оси на анализираните;

$A$ - площ на фигурата.

Трябва да се отбележи, че когато централният инерционен момент се приписва на величините $a$ и $b$, знакът е виновен, така че вонята всъщност е координатите на центъра на тежестта на фигурата в осите, които се разглеждат. Когато се задават аксиалните моменти на инерция и стойностите, стойностите се представят зад модула (както в стандарта), но парчетата от вонята се издигат на квадрат.

За помощ формули паралелен трансфервъзможно е да се промени преходът от централните оси към горните или navpak- в prevílnyh централни оси Първият преход е маркиран със знак "+". Друг прелез е обозначен с табела- ".

Приложете различни формули към прехода между успоредни оси

Правоъгълна ретина

Важно е, че централният инерционен момент на правоъгълник е пропорционален на главните инерционни моменти около осите $Z$ и $Y$.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

По същия начин, $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

Трикутний Перериз

Показателно е, че централният инерционен момент на трикотъра върху дадения инерционен момент на основата $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

.

Ако централната ос $(Y_c)$ има различна конфигурация, тогава можем също да я разгледаме. Инерционният момент на всички фигури по оста $(Y_c)$ е по-голям от сумата от инерционния момент на трико $ABD$ по оста $(Y_c)$ и инерционния момент на трико $CBD$ по оста $(Y_c)$, tobto

.

Назначаване на инерционния момент на сгънатата релса

Нека сглобим ператин, който се състои от okremih елементи, геометричните характеристики на всеки от тях. Площта, статичният момент и моментът на инерция на фигурата на склада се събират към сумата от съответните характеристики на склада. Подобно на гънките на периметъра, можете да го направите да изглежда като една от фигурите отвън, геометричните характеристики на фигурата са видими. Например инерционните моменти на складова фигура, показана на фиг. ще се появи така

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12 )) = 72 \, 300 $ cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \right) = 1\.490\.000$cm 4

Нека те видя и Ix, Iy, Ixy. Успоредно на осите xy, начертаваме нова права x1, y1.

І значим инерционен момент на самото нарязване на новите оси.

X 1 \u003d x-a; y 1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3) dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix - 2b Sx + b 2A.

Ако всичко минава през центъра на тежестта на среза, тогава статичният момент Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Подобно на новата ос y 1, можем да изчислим формулата I y 1 = Iy + a 2 A

Централен инерционен момент за нови оси

Ix 1 y 1 \u003d Ixy - b Sx -a Sy + abA.

Ако оста xy минава през центъра на тежестта на среза, тогава Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Ако лъчът е симетричен, ако една от централните оси се движи около цялата симетрия, тогава Ixy \u003d 0, също Ix 1 y 1 \u003d abA

Промяна на инерционния момент при час на завъртане на осите.

Нека знаем аксиалните моменти на инерция около осите xy.

Новата координатна система xy се премахва чрез завъртане на старата система на kut (a> 0), т.е. завъртане на стрелката против година.

Нека инсталираме угара между старите и новите координати на Майданчик

y 1 \u003d ab \u003d ac - bc \u003d ab-de

от трико acd:

ac/ad \u003d cos α ac \u003d ad * cos α

от трико oed:

de/od=sinα dc=od*sinα

Нека представим стойността на virase за y

y 1 \u003d ad cos α - od sin α \u003d y cos α - x sin α.

по същия начин

x 1 \u003d x cos α + y sin α.

Изчисляваме аксиалния инерционен момент за новата ос x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA = ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α) dA = = cos 2 α ∫ y 2 dA - sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

По същия начин, Iy 1 \u003d Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Сглобяваме лявата и дясната част на отнетия вирус:

Ix 1 + Iy 1 \u003d Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Сумата от аксиалните моменти на инерция не се променя при завъртане.

Важно е централния инерционен момент за новите оси. Стойността x 1 ,y 1 е видима.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Основни моменти и главни инерционни оси.

Инерционни моменти на главатаназовават екстремните им стойности.

Осите, които имат някои екстремни стойности, се наричат ​​главни оси на инерция. Вонята винаги е взаимно перпендикулярна.

Vіdtsentrovy момент іnertsії schodo оси на главата zavzhdі dorivnyuє 0. Oskіlki vіdomo, scho shcho има е vіs симетрия, след това vіdtsentrovy момент іvіvnyuє 0, също така цялата симетрия е главата vіssyu. Ако вземем първия ред във viraz I x 1, след това я приравним на „0“, тогава ще вземем стойността на kuta = съответната позиция на главните оси на инерция.

tg2 α 0 = -

Ако α 0 >0, тогава старата станция на главните оси трябва да бъде обърната по посока на стрелката за годината. Една от основните оси е max, а insha - min. С помощта на максималното тегло, вятърът духа по-малък kut tієї vypadkovoї, vyssyu schodo kakoї може да има по-голям аксиален момент на инерция. Екстремните стойности на аксиалния инерционен момент се определят по следната формула:

Глава 2. Основно разбиране на поддръжката на материали. Задачата на този метод.

По време на проектиране на различни спори е необходимо да се виришуват различни хранителни стойности, жорсткост, издръжливост.

Мицнист- Изграждането на това тяло ще покаже разликата в суетата без разрушение.

твърдост- изграждането на конструкцията да се възползва без големи деформации (разместване). Предните допустими стойности на деформация регулират бъдещите норми и правила (SNIP).

издръжливост

Можем да погледнем хватката на ножицата gnuchka

Ако искате да увеличите стъпка по стъпка, тогава ще има бърза прическа на гърба. Когато силата F достигне критичната стойност, срязването ще се издуе. - Абсолютно кратко.

При това срязването не се срутва, а рязко променя формата си. Такова явление се нарича vtratoy издръжливост и води до разруха.

Сопромат- Това са основите на науките за mіtsnіst, zhorstkіst, stіykіst на инженерни конструкции. Spivpromatí vikoristovuyutsya методи теоретична механика, физици, математици На vіdmіnu vіd teoreticії mekhanіki spromat vrakhovuє zminі rozmirіv i форма до pіd ієyu navantazhennya тази температура.

Значително угар между различни инерционни моменти през две успоредни оси (фиг. 6.7), свързани с угар

1. За статични моменти на инерция

Добре,

2. За аксиални инерционни моменти

отже,

Yakshcho всичко zслед това преминете през центъра на тежестта на разреза

От необходимите моменти на инерция, когато са успоредни на осите, аксиалният момент на инерция може да бъде най-малко важен за преминаването на оста през центъра на тежестта на напречното сечение.

По същия начин за ос

Падам гпреминават през центъра на тежестта

3. За инерционните моменти на водния център е необходимо да се вземат

Останалото може да се напише

В моменти, ако кочанът на координатната система yzбъдете в центъра на тежестта на среза, отведете го

Имате vipadku, ако единият или другият наруши оста с осите на симетрия,

6.7. Промяна на инерционните моменти при завъртане на оси

Нека задачата на инерционния момент се нарязва по координатните оси зи.

Необходимо е да се посочи инерционният момент на едно и също напречно сечение на оси, завъртяни с десетична запетая по отношение на координатната система зи(Фигура 6.8).

Kut vvazhaetsya положително, като старата координатна система за прехода към новата, е необходимо да се завърти стрелката на брояча на годината (за дясната правоъгълна декартова координатна система). Нови и стари зисистеми от координати po'yazaní угари, yakí vyplyvayut іz фиг. 6.8:

1. Съществено за аксиалните инерционни моменти по осите на новата координатна система:

Подобно на ОС

Ако съберем големината на инерционния момент по осите i, тогава вземаме

т.е., когато осите се въртят, сумата от аксиалните моменти на инерция е постоянна стойност.

2. Да видим формулите за централния инерционен момент.

.

6.8. Основни моменти на инерция. Главни инерционни оси

Екстремните стойности на аксиалните инерционни моменти на среза се наричат ​​инерционни моменти на главата.

Две взаимно перпендикулярни на осите, където такива оси на инерционния момент могат да имат екстремни стойности, се наричат ​​главни оси на инерция.

За значението на главните инерционни моменти и положението на главните инерционни оси е значимо първо по дължината на кулата по отношение на инерционния момент, приписан на формулата (6.27)

Приравнете този резултат към нула:

de - Kut, на който трябва да завъртите координатните оси гі z schob смрад zbіglisya z главата оси.

Porіvnyuyuchi vrazi (6.30) и (6.31), можете да инсталирате, scho

,

Otzhe, shdo главните оси на инерция vydtsentrovy момент на инерция до нула.

Взаимно перпендикулярни на осите, от които едната или другата нарушава осите на симетрия на периметъра и главните оси на инерцията.

Rozv'yazhemo rivnyannya (6.31) шодо кута:

.

Ако >0, тогава е необходимо определянето на позицията на една от главните инерционни оси за дясната (лявата) декартова правоъгълна координатна система zвключете кут срещу хода на обвивката (по протежение на обвивката) на стрелката на годината. Якщо<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьzзавъртете се към кута по протежение на опаковката (срещу посоката на опаковане) на стрелката на годината.

Максималната ос zavzhdi skladê по-малък kut z tієї osі ( гили z), така че аксиалният инерционен момент може да бъде по-голям от стойността (фиг. 6.9).

Целият максимум се изправя под разреза до оста (), yaksho () и се сгъва в сдвоени (несдвоени) четвъртини на осите, yaksho ().

Основните инерционни моменти са значими. Формули на Використ от тригонометрията, които свързват функции, с функции, се вземат формули (6.27)

,