Открийте най-важната функция на числото. Най-важните и най-малко важните функции на малкото промени в региона. Функции на много промени

Назначаване 1.11 Нека се зададе функцията на два чейнджъра z = z (x, y), (x, y) д . Крапка М 0 (х 0 ;г 0 ) - вътрешна точка на района д .

Якщо в д е такъв квартал UM 0 петна М 0 , което за всички точки

след това петънце М 0 се нарича локална максимална точка. И смисъла z(M 0 ) - локален максимум.

И по всички точки

след това петънце М 0 се нарича точка на локалния минимум на функцията z(x,y) . И смисъла z(M 0 ) - Местен минимум.

Локалният максимум и локалният минимум се наричат ​​локални екстремуми на функцията z(x,y) . На фиг. 1.4 обяснено геометричен змистлокален максимум: М 0 - насочи към максимума, към това, което е на повърхността z = z(x, y) ясна точка ° С 0 да знам по-добре по някаква друга причина ° С (Което има максимална локалност).

С уважение, на повърхността има точки (напр. При ), ако знаете повече ° С 0 , ale qi точки (напр. При ) не е "съдебен" с точка ° С 0 .

Zocrema, точка При потвърждава разбирането за глобалния максимум:

По същия начин се определя глобалният минимум:

Познаването на глобалните максимуми и минимуми ще бъде обсъдено в параграф 1.10.

Теорема 1.3 (задължителен екстремум).

Нека функцията е зададена z = z (x, y), (x, y) д . Крапка М 0 (х 0 ;г 0 д - Локална точка на екстремум.

Какво имаш z" х і z" г , тогава

Геометричното потвърждение е "очевидно". Какво следва ° С 0 на (фиг. 1.4), за да нарисувате дотична равнина, там "естествено" преминавате хоризонтално, т.е. под капака 0° към ос о i към ос OU .

Същото важи и за геометрична промяна на частни роднини (фиг. 1.3):

какво е било необходимо да се донесе.

Назначаване 1.12.

Какво следва М 0 (1.41), тогава тя се нарича стационарна точка на функцията z (x, y) .

Теорема 1.4 (достатъчен ум за екстремума).

Нека попитам z = z (x, y), (x, y) д , тъй като в близост до точката може да има частни събития от различен порядък М 0 (х 0 ,г 0 ) д . И защо М 0 - Стационарна точка Нека изчислим:

Доказателството на теоремата на Використ чрез тези (формулата на Тейлър за функцията на редица променливи и теорията на квадратичните форми), което не се разглежда от никой помощник.

дупе 1.13.

Отидете до крайността:

1. Знаем стационарните точки, които нарушават системата (1.41):

така че намерихме някои стационарни точки. 2.

след теорема 1.4 точките имат минимум. И защо

съгласно теорема 1.4 в точката

Максимум. И защо

§10 Най-голямата и най-малката стойност на функцията на две променливи в затворена област

Теорема 1.5 Пуснете близо до затворена област д функцията е зададена z = z(x, y) , които могат да бъдат без прекъсване частни пътувания от първи ред. Кордон Ж региони д е shmatkovo гладко (това е сгънато от shmatkіv "гладко на dotik" криви или прави линии). Тоди в обл д функция z(x,y) достигнете най-доброто си М и най-малко м стойност.

Без потвърждение.

Можете да разпространявате следващия план за изобличение М і м . 1. Ние ще бъдем столове, можем да видим всички части на кордона на района д и знаем всички "кутови" точки на кордона. 2. Познаваме неподвижните точки в средата д . 3. Известни са стационарни точки на кожата от кордоните. 4. Изчислете във всички стационарни и върхови точки и след това изберете най-много М и най-малко м значение.

Случай 1.14 Научете повече М и най-малко м стойност на функцията z = 4x2-2xy+y2-8x близо до затворената зона д , ограничено: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Да преместим района д (Фиг. 1.5) върху плоската Оху .

Кутови точки: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Кордон Ж региони д се състои от три части:

2. Познаваме стационарните точки в средата на региона д :

3. Стационарни пунктове на кордони л 1 ,л 2 ,л 3 :

4. Броят се шест стойности:

От пропуснатите шест стойности изберете най-много и най-малко.

Теорема 1.5 Пуснете близо до затворена област д функцията е зададена z = z(x, y) , които могат да бъдат без прекъсване частни пътувания от първи ред. Кордон Ж региони д е shmatkovo гладко (това е сгънато от shmatkіv "гладко на dotik" криви или прави линии). Тоди в обл д функция z (x, y) достигнете най-доброто си М и най-малко м стойност.

Без потвърждение.

Можете да разпространявате следващия план за изобличение М і м .
1. Ние ще бъдем столове, можем да видим всички части на кордона на района д и знаем всички "кутови" точки на кордона.
2. Познаваме неподвижните точки в средата д .
3. Известни са стационарни точки на кожата от кордоните.
4. Изчислете във всички стационарни и върхови точки и след това изберете най-много М и най-малко м значение.

Случай 1.14 Научете повече М и най-малко м стойност на функцията z = 4x2-2xy+y2-8x близо до затворената зона д , ограничено: х = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Да преместим района д (Фиг. 1.5) върху плоската Оху .

Кутови точки: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Кордон Ж региони д се състои от три части:

2. Познаваме стационарните точки в средата на региона д :

3. Стационарни пунктове на кордони l 1 , l 2 , l 3 :

4. Броят се шест стойности:

Приложи

пример 1.

Тази функция се задава при всички променящи се стойности х і г , крим кочана от координати, de znamennik се превръща в нула.

Богат член x2+y2 непрекъснато usudi и следователно i непрекъснат корен квадратен от непрекъсната функция.

Дрибът ще бъде непрекъснат навсякъде, Крим точка, де банер на нула. Тази функция, която се разглежда, е непрекъсната в цялата координатна равнина Оху , включително началото на координатите.

дупе 2.

Следвайте функцията за безопасност z=tg (x, y) . Тангента на стойностите и без прекъсване за всички крайни значенияаргумент, криминална стойност, равна на несдвоено число на величина π /2 , тогава. включително точки, де

С кожна фиксирана "к" Уравнение (1.11) означава хипербола. Следователно функцията є непрекъсната функция х и y включително точки, които лежат на криви (1.11).

пример 3.

Познайте частни функции на открито u=z-xy , z > 0 .

дупе 4.

Покажете каква е функцията

доволен от еднаквостта:

– това равенство е валидно за всички точки M(x; y; z) крем точка M 0 (a; b; c) .

Нека да разгледаме функцията z=f(x, y) на две независими променливи и да инсталираме геометричното заместване на частни променливи z" x = f" x (x, y) і z" y = f" y (x, y) .

Чий ум е равен z=f (x, y) е изравняване на повърхността (фиг. 1.3). Държа се плоско г = конст . При pererizí tsієї повърхностни повърхности z=f (x, y) видео линия deyka l 1 peretina, vzdovzh, които се променят по-малко от размера х і z .

Частно пътуване z" x (її геометрично изместване без средно vyplyaє z известния ни геометричен смисъл на подобна функция на една променлива) е числено по-добър от тангенса на кута α болен, чрез разширение към ос о , шодо L1 към кривата l 1 , scho да се приближи до повърхността z=f (x, y) апартамент г = конст в точката M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

На ретината и повърхността z=f (x, y) апартамент х = конст широка линия peretina l 2 , vzdovzh, че промяната е по-малка от величината при і z . Тоди лично забавление z" y числено превъзхожда тангентата на кутата β нахилу чрез удължаване към оста OU , шодо L2 към посочения ред l 2 перетина на точки M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Пример 5.

Какъв вид kutvoruê іz vіssyu о dotichna към реда:

в точката M(2,4,5) ?

Vikoristovuêmo геометрична замяна на частна замяна за замяна х (на бързо при ):

Пример 6.

Згидно (1,31):

Пример 7.

Vvayayuchi, scho равен

неявно дефинират функция

зная z" x , z" y .

Поради тази причина (1.37) имаме нужда от доказателства.

Пример 8.

Отидете до крайността:

1. Знаем стационарните точки, които нарушават системата (1.41):

така че намерихме някои стационарни точки.
2.

след теорема 1.4 точките имат минимум.

И защо

4. Броят се шест стойности:

От пропуснатите шест стойности изберете най-много и най-малко.

Списък на литературата:

ü Белко И. В., Кузмич К. К. Страхотна математиказа икономисти I семестър: Експресен курс. - М .: Ново знание, 2002. - 140 с.

ü Гусак А. А. Математически анализи диференциално подравняване. - Минск: TetraSystems, 1998. - 416 с.

ü Гусак А. А. Вища математика. Ръководство за студенти в 2 тома. - Мн., 1998. - 544 с. (1 том), 448 с. (2 тона).

ü Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Математика за икономисти: Наръчник за университети / Изд. проф. Н. Ш. Кремер. - М .: UNITI, 2002. - 471 с.

ü Яблонски А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. аз че в. Вища математика. Общи курс: Пидручник / Заг. изд. С. А. Самал. - Мн.: Виш. училище, 2000. - 351 с.

Все повече и по-малко смисъл

Функцията, която е заобиколена в затворена област, достига най-голямата и най-малката си стойност или в стационарни точки, или в точки, които лежат на граничната област.

За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функцията, е необходимо:

1. Намерете стационарни точки, които се намират в средата на тази област, и изчислете стойностите на функцията за тях.

2. Познайте най-голямата (най-малката) стойност на функцията на междурегиона.

3. Изравнете всички отрицателни стойности на функцията: най-голямата (по-малко) и ще бъдат най-големите (най-малките) стойности на функцията за тази галерия.

дупе 2. Намерете най-голямата (най-малката) стойност на функцията: y.

Решение.

точката е неподвижна; .

2 . Границата на затворената зона е пръстенът, де.

Функцията на междурегиона се превръща във функция на една промяна: , de . Знаем най-важните и най-малко важните функции.

За x = 0; (0,-3) и (0,3) са критични точки.

Изчислете стойността на функцията върху краищата на венеца

3 . Porivnyuyuchi mizh себе otrimuemo,

В точки А и Б.

В точки C и D.

пример 3.Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията в затворената област, като се има предвид неравномерността:

Решение. Площта е трикутник, ще оградим осите на координатите и с права линия x + y = 1.

1. Познаваме стационарни точки в средата на региона:

; ; y = - 1/8; х = 1/8.

Стационарната точка не принадлежи към тази област, така че стойността на z в нея не се изчислява.

2 .Doslіdzhuêmo функция на кордона. Парчетата на границата се формират от три dіlyanki, описани от три различни равни, doslіdzhuêmo функция на кожата dіlantsі okremo:

а) div 0A: y=0- равно на 0A, тогава ; от равно е ясно, че функцията нараства с 0A от 0 до 1. Средно .

b) на разстоянието 0B: x = 0 - разстоянието 0B, тогава; -6y + 1 = 0; - Критична точка.

в) към директното x + y = 1: y = 1-x, тогава вземаме функцията

Изчисляваме стойността на функцията z в точка B(0,1).

3 .Perіvnyuyuchi номера otrimuemo, scho

До права AB.

В точка Б.

Тест за самоконтрол на знанията.

един . Функция екстремум – ce

а) я pokhіdnі първи ред

b) тя е равна

в) нейния график

г) нейният максимум и минимум

2. Екстремумът на функцията може да бъде достигнат доколкото е възможно:

а) само в точките, които се намират в средата на определената зона, в който случай частните стойности от първи ред са по-големи от нула

б) само в точки, които се намират в средата на определената зона, в който случай частните стойности от първи ред са по-малки от нула

в) само в точките, които се намират в средата на определената зона, като в този случай частните стойности от първи ред не са равни на нула

г) само в точки, които се намират в средата на обозначената зона, в който случай частните прилики от първи ред са равни на нула

3. Функция, която е непрекъсната в затворена зона, достигайки своите най-високи и най-ниски стойности:

а) в стационарни точки

б) или в стационарни точки, или в точки, които лежат на междурегиона

в) в точки, които лежат на междурегиона

г) във всички точки

4. Стационарни точки за функцията на колко променливи се наричат ​​точки:

а) за някои u

б) някои от тях имат частни разлики от първи ред, по-големи от нула

в) за някои от тях частните промени от първи ред са равни на нула

г) за някои от тях частните поведения от първи ред са по-малки от нула

Нека функцията y = f (x) бъде прекъсната от вятъра. Очевидно подобна функция достига най-голяма степен. това наемане. стойност. Тази функция може да бъде взета във вътрешната точка на прозореца или на границата на прозореца, tobto. при = a или = b. Като точка за проследяване на средата на критичните точки на дадена функция.

Приемаме правилото за стойност на най-голямата и най-малката стойност на функцията за:

1) определете критичните точки на функцията на интервала (a, b);

2) изчисляване на стойностите на функцията в откритите критични точки;

3) изчислете стойността на функцията на kintsyah vídrízka, tobto. в точки x=a и x=b;

4) средната стойност на изчислените стойности на функцията е да изберете най-много и най-малко.

уважение:

1. Ако функцията y = f (x) има повече от една критична точка на vdrízku и спечели точката на максимум (минимум), тогава в тази точка функцията получава най-голямата (най-малка) стойност.

2. Тъй като функцията y=f(x) няма критични точки, това означава, че функцията монотонно расте и намалява за новата. Освен това функцията взема максималната си стойност (M) в единия край на хода, а най-малката (m) в другия.

60. Комплексни числа. Формула де Моавър.
комплексно числоиме вираз ум z = x + iy, de x и y - díysnі числа, а аз - т.нар. очевидна самота. Ако x=0, тогава числото 0+iy=iy се класира. нека го покажем с номер; въпреки че y=0, числото x+i0=x се преобразува в текущото число x, но това означава, че безличното R на всички функции. числа явл. под множествеността на безличния З усих комплексни числа, тогава. . Номер x имена десетичната част z, . Две комплексни числа і се наричат ​​равни (z1=z2) четни и само веднъж, ако равни части и равни части са равни: x1=x2, y1=y2. Zocrema, комплексното число Z=x+iy е равно на нула и след това, ако x=y=0. Не се въвеждат понятията „по-голямо“ и „по-малко“ за комплексни числа. Две комплексни числа z \u003d x + iy і, които се разглеждат само от знака на изричната част, се наричат ​​получени.

Геометрично представяне на комплексни числа.

Дали комплексно число z = x + iy може да бъде представено от точка M(x,y) от равнината Oxy, така че x=Re z, y=Im z. Първо, скин точката M(x;y) на координатната равнина може да се използва като изображение на комплексното число z = x + iy. Областта, в която се показват комплексните числа, се нарича комплексна област, т.к той трябва да излъже реалните числа z = x + 0i = x. Всички ординати се наричат ​​явни върхове, поради факта, че върху тях лежат очевидните комплексни числа z = 0 + iy. Комплексното число Z=x+iy може да бъде вмъкнато зад спомагателния радиус вектор r=OM=(x,y). Дължината на вектора r, който представлява комплексното число z, се нарича модул на това число и се означава с | z | или r. Розмир кута миж покладе. Директно върху реалната ос, векторът r, който представлява комплексно число, се нарича аргумент на комплексното число, означен с Arg z или . Аргументът на комплексното число Z = 0 не е присвоен. Аргументът на комплексно число - стойността е много значима и се измерва с точност до доданку, de arg z - основната стойност на аргумента, поставена в интервала (), след това. - (Понякога като начална стойност на аргумента вземете стойността, която трябва да съдържа интервала (0; )).

Записването на числото z като z=x+iy се нарича алгебрична форма на комплексно число.

Дії над комплексни числа

Допълнение.Сумата от две комплексни числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 е комплексно число, което е равно: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Събирането на комплексни числа може да промени и да промени степента: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vídnіmannya. Vídnímannya vyznaêtsya yak díya, zvorotne dodavannya. Разликата между комплексните числа z1 и z2 се нарича такова комплексно число z, което, добавяйки се към z2, дава числото z1, т.е. z = z1-z2, така че z + z2 = z1. Подобно на z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, лесно е да извадим z от това присвояване: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). множествено число.Допълнението на комплексните числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 е комплексно число, което е равно на z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Zvіdsi, zokrema, i vyplyaê: . Като броя на заданията за тригонометричната форма: .

Когато комплексните числа се умножават, техните модули се умножават и аргументите се добавят. Формулата на Де Моавър(както и е n множители и смърди същото): .

До края на 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Доставете кораба на Марс с електронен носител с имената на всички регистрирани участници в експедицията.

Регистрация на участниците в гласуването. Вземете билета си до Марс за благословиите.

Харесайте тази публикация, след като решите проблема си или просто сте достоен за вас, споделете силата си с приятелите си в социалните мрежи.

Трябва да копирате и поставите една от тези опции на кода в кода на вашата уеб страница, между таговете іили точно след етикета . Зад първата версия на MathJax се предпочита по-малка и по-малко лепкава страна. Друга опция за Natomist автоматично избира и надстройва до най-новата версия на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако вмъкнете друг код, страните ще се заинтересуват повече, така че няма да се налага постоянно да следите актуализациите на MathJax.

Активирайте MathJax по най-лесния начин в Blogger или WordPress: добавете изпълним модул в панела за плащане на сайта, дестинациите за вмъкване на JavaScript код на трета страна, копирайте първата или друга опция към кода за ангажиране, представен по-горе, и преоразмерете изпълнимия модул по-близо до в горната част на шаблона (преди реч, не се нуждаем от нов „език“), скриптовете на MathJax се извикват асинхронно). От всички. Сега проверете синтаксиса на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъкнете математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Chergovy преди New Rock... времето е мразовито, тези snizhinki на shibtsі... Всичко ме подтикна да пиша отново за... фрактали и за тези, които знаят за Wolfram Alpha. Из thogo drive е tsіkava stattya, в yakіy е задните части на двуизмерни фрактални структури. Веднага светът може да види сгънати задници от тривиални фрактали.

Фракталът може да бъде визуално проявен (описан), като геометрична фигура или тяло (висящо във въздуха, което също е безлично, към този конкретен тип, безлична точка), детайлите, които правят такава форма, като самата фигура. Tobto tse самоподобна структура, гледайки детайлите, сякаш уголемени, имитират самата форма, която е без уголемяване. По същия начин, във визуално удивителна геометрична фигура (не фрактал), с повече незначителни детайли, сякаш може да се направи проста форма, фигурата е по-ниска. Например, когато завършите голямата голяма част от елипсата, тя изглежда като право дърво. Това не е случаят с фракталите: за всякакъв вид подобрение ще повторим същата сгъваема форма, както при подобрения на кожата, повтаряйте отново и отново.

Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, пише в статията си Фрактали и мистерия в името на науката: формална форма. Тоест, ако част от фрактала се увеличи до размера на цялото, той ще се види като цяло, или точно, или, евентуално, с лека деформация.