Друг е достатъчен признак за основата на екстремума. Растеж и промяна на функции на интервали, екстремуми. Достатъчен знак за крайност

Екстремалната точка на функция е точката на областта на обозначаване на функцията, в която стойността на функцията е зададена на минималната или максималната стойност. Стойностите на функцията в тези точки се наричат ​​екстремуми (минимум и максимум) на функцията.

Назначаване. Крапка х1 области с възложена функция f(х) е наречен точка на максимална функция въпреки че стойността на функцията в тази точка е по-голяма от стойността на функцията в точките, близки до нея, разпространявайки се надясно и наляво в нея (за да се избегнат неравности f(х0 ) > f(х 0 + Δ х) х1 максимум.

Назначаване. Крапка х2 области с възложена функция f(х) е наречен минималната точка на функциятавъпреки че стойността на функцията в тази точка е по-малка от стойността на функцията в точките, близки до нея, дясната ръка и злото в средата (това f(х0 ) < f(х 0 + Δ х) ). На всички изглежда, че функцията може да бъде в точката х2 минимум.

Да поставяме точки х1 - точка на максимална функция f(х). Тоди в интервала до х1 функция растеТова е подобно на функции, по-големи от нула ( f "(х) > 0 ), и в интервала след х1 функцията се променя сега и подобни функциипо-малко от нула ( f "(х) < 0 ). Тогда в точке х1

Възможно е също точката х2 - точка към минимума на функцията f(х). Тоди в интервала до х2 функцията се променя и подобна функция е по-малка от нула ( f "(х) < 0 ), а в интервале после х2 функцията расте и подобна функция е по-голяма от нула ( f "(х) > 0). Чийто ум има същата точка х2 Pokhіdna функции са равни на нула или не.

Теорема на Ферма. Каква точка х0 - точка на екстремум на функцията f(х), тогава в n-та точка функцията е подобна на нула ( f "(х) = 0) или не.

Назначаване. Точките, които имат подобни функции, равни на нула или не, се наричат критични точки .

пример 1.Нека да разгледаме функцията.

В точката х= 0 х= 0 е критичната точка. Въпреки това, както се вижда на графиката на функцията, има увеличение в цялата област на назначаване, това е смисълът х= 0 не е екстремум на функцията.

По този начин, помислете за тези, които са достойни за функция до точката на достигане на нула, или не са необходими, или необходимите умове на екстремум, или не са достатъчни, можете да посочите фрагментите и други приложения на функции, за някои от тях, умът може да бъде измамен или в противен случай функцията на екстремум. Том майката се нуждае от достатъчно признаци, което ви позволява да прецените, чи е в конкретна критична точка на екстремума и самата яка - максимум чи минимум.

Теорема (първият е достатъчен знак за основата на екстремума на функцията).критична точка х0 f(х), така че при преминаване през тази точка функцията променя знака, освен това, ако знакът се промени от "плюс" на "минус", тогава максималната точка, а ако се промени от "минус" на "плюс", тогава минимална точка.

Колко близо е точката х0 , ляво и дясно в него, ако вземе знак, това означава, че функцията или се променя, или расте само в близост до точката х0 . В каква посока в точката х0 няма екстремум.

Отже, за присвояване на точки на екстремума на функцията, ако е необходимо :

1. Намерете подходяща функция.
2. Задайте равно на нула и задайте критични точки.
3. Мислите чи хартии маркират критични точки на цифровата ос и маркират знаците на подобна функция, изваждаща интервали. Ако знакът се промени от "плюс" на "минус", тогава критичната точка е максималната точка, а ако се промени от "минус" на "плюс", тогава минималната точка.
4. Изчислете стойността на функцията в точките на екстремума.

дупе 2.Познаване на екстремни функции .

Решение. Познаваме следните функции:

Равен е на нула, за да се знаят критичните точки:

.

Така че, ако за която и да е стойност на "ix" банерът не е равен на нула, тогава числото е равно на нула:

Премахнете една критична точка х= 3. Знакът на противоположното е значим в интервалите, ограничени от точката:

в интервала на минус несъответствие до 3 - знак минус, така че функцията да се промени,

в интервала от 3 до плюс несъответствия - знак плюс, така че функцията да расте.

Tobto, точка х= 3 точки минимум.

Знаем стойността на функцията в минималната точка:

В този ред се намира екстремната точка на функцията: (3; 0), освен това тя е минималната точка.

Теорема (другият е достатъчен знак за основата на екстремума на функцията).критична точка х0 е екстремна точка на функцията f(х); f ""(х) ≠ 0); f ""(х) > 0 ), тогава точката е максимумът, а обратното е по-малко от нула ( f ""(х) < 0 ), то точкой минимума.

Забележка 1. Какво е в точката х0 обърнете към нула и първият, а другият е мъртъв, тогава в тази точка е невъзможно да се прецени проявата на екстремум въз основа на друг достатъчен признак. Необходимо е този тип настроение да се ускори от първия достатъчен знак за екстремума на функцията.

Спазване 2. Друг достатъчен знак за екстремума на функцията не е достатъчен и дори първият да не е добър в стационарната точка (няма друг начин). Необходимо е също така този тип отношение да бъде ускорено от първия достатъчен знак за екстремума на функцията.

Локален характер на екстремумите на функцията

Очевидно е, че екстремумът на функцията може да има локален характер - стойността на най-голямата и най-малката от стойностите на функцията е равна на най-близките стойности.

Да приемем, че един ден погледнете приходите си по време на сватбата. Ако сте спечелили 45 000 рубли от тревата и 42 000 рубли от тримесечието и 39 000 рубли от червените, тогава приходите от трева са максимумът на функцията за печалба по отношение на най-близките стойности. Але са спечелили 71 000 рубли от жълто, 75 000 рубли от пролетта и 74 000 рубли от падане на листата, така че същият доход - функцията на минималния доход е равна на най-близките стойности. Лесно можете да бачите, така че максималната средна стойност на пролет-трева-череша да е по-малка от минималната на пролет-жовтня-листопад.

Говорейки общо, междувременно функцията може да бъде майка на поръсване на крайности, освен това може да изглежда, че минимумът на функцията е по-голям от максимума. И така, за изобразената функция малко повече, .

Така че не е необходимо да мислим, че максимумът и минимумът на функцията са очевидно най-големите и най-малките стойности на всички части, които могат да се видят. В точката до максимума функцията има най-малка стойност в обхвата на тези стойности, ако е възможно във всички точки, да достигне точката, близка до максимума, а в точката до минимума - най-малката стойност в диапазон на тези стойности, ако е близо до точките до минималната точка.

Следователно може да се изясни, за да разберем по-добре точката на екстремума на функцията и да наречем точките на минимума точките на локалния минимум, а точките на максимума - точките на локалния максимум.

Shukaemo екстремни функции наведнъж

пример 3.

Решение. Функцията се задава без прекъсване на цялата числова ос. нейната похидна isnuє също на цялата числова линия. Том вътре към този конкретен типкритичните точки са по-малко ти, за як, тобто. , звезди, които . Критични точки и разделете цялата област на зададената функция на три интервала на монотонност: . Viberemo в кожата им от една контролна точка и знаем знака на следващата във втората точка.

За интервал контролната точка може да бъде: известна. Като вземем точка от интервала, изваждаме и вземем точка от интервала, можем. Също така, в интервали i и в интервали. Zgіdno с първия достатъчен знак на екстремума, в точката няма екстремум (фрагментите са по-склонни да вземат знака в интервала), а в точките функцията може да бъде минимална (фрагментите са по-малко при преминаване през следващия точка, променяйки знака от минус на плюс). Ние знаем съответните стойности на функцията: , a . В интервала функцията се променя, пиковете в този интервал и интервалите се увеличават, пиковете в този интервал.

За да изясним бъдещата графика, знаем точките на линията на йога с координатните оси. Когато вземем равно , чийто корен i , тогава се намират две точки (0; 0) и (4; 0) от графиката на функцията. Vikoristovuyuchi всички otrimani vіdomosti, budєmo график (div. на кочана задника).

За самопроверка с rozrachunkah можете да ускорите онлайн подобен калкулатор .

дупе 4.Познайте екстремумите на функцията и индуцирайте графика.

Обхватът на функцията е цялата числова линия, с изключение на точките, tobto. .

За бързо проследяване можете да ускорите факта, че функцията на парната баня, парчета . Следователно графикът е симетричен спрямо оста Охтова проследяване може да се използва само за интервала.

Знаем, че ще отида и критични точки на функцията:

1) ;

2) ,

Но ако функцията знае разликата в тази точка, тогава тя не може да бъде точка на екстремум.

по такъв начин, функцията е зададенаима две критични точки: i . Vrahovoyuchi сдвояване на функции, perevirim за друг достатъчен знак за екстремум е само точка. За който познаваме приятел ще умра и значителният й знак при: otrimaєmo. Тъй като i , тогава е минималната точка на функцията, при която .

За да добавите повече информация за графика на функцията, е необходимо да следвате поведението в границите на обозначената зона:

(тук символът показва упражнение хдясно на нула, освен това хбъдете претоварени с положително; по подобен начин означава упражнение хдо нула ядосан, освен това хзатрупани с негатив). В такъв ранг, yakscho, тогава. Дали, ние знаем

,

тобто. така.

Точката на прекъсване с осите на функцията на графиката не може да бъде. Малкия - на кочана.

За самопроверка с rozrachunkah можете да ускорите онлайн подобен калкулатор .

Prodovzhuêmo shukati екстремни функции наведнъж

Пример 8.Познаване на екстремни функции.

Решение. Ние знаем обхвата на възложената функция. Така че, ако нервността може да надделее, значи сме обсебени.

Нека да знаем първите pokhіdnu функции.

duje важна информацияотносно поведението на функцията, пораждат периоди на растеж и упадък. Інє perebuvannya е част от процеса последващи функции и бързи графики. Дотогава точките на екстремум, в които има промяна от растеж към спад или от промяна към растеж, се обръщат на специално внимание, когато стойност на най-голямата и най-малката стойност на функциятана текущия интервал.

В тази статия има нужда да се дефинира, да се формулира достатъчен признак за увеличение на тази промяна във функцията през интервал и достатъчна причина за екстремум, ние ще доведем цялата теория до съвършенство, като приложим тази задача.

Навигация отстрани.

Нарастването и изменението на функцията на интервала.

Определена функция за отглеждане.

Функцията y=f(x) нараства на интервала X, както и за всяко i nerіvnіst vykonuetsya. Иначе изглежда - по-голямата стойност на аргумента е по-голяма от стойността на функцията.

Определена функция на разпадане.

Функцията y=f(x) се променя с интервала X, както за всяко i нервност . Иначе явно - по-голямата стойност на аргумента се дава от по-малката стойност на функцията.

ЗАБЕЛЕЖКА: тъй като функцията е присвоена и без прекъсване в интервалите на растеж или упадък (a; b), тогава при x = a і x = b, тогава qi точките са включени в интервала на растеж или упадък. Не надценявайте целта на функцията за растеж и спад за интервала X.

Например, от правомощията на основните елементарни функции знаем, че y=sinx е присвоено и не се прекъсва от всички ефективни стойности на аргумента. Следователно, от нарастването на функцията синус върху интервалите, можем да потвърдим нарастването на функцията синус върху интервала.

Крапки екстремум, екстремумни функции.

Назовете точката максимална точкафункции y=f(x), така че всички x в околността са справедливи. Извиква се стойността на функцията в точката до максимума максимална функцияИмам предвид.

Назовете точката минимална точкафункции y=f(x), така че всички x в околността са справедливи. Извиква се стойността на функцията в точката на минимума минимална функцияИмам предвид.

Под периферията на точката разбирайте интервала , de - Завършване на малко положително число.

Точките на минимум и максимум се наричат екстремни точки, и се нарича стойността на функцията, която съответства на точките на екстремума екстремуми на функцията.

Не бъркайте екстремните функции с най-големите най-ниска стойностфункции.

На първата малка най-голямата стойност на функцията отгоре се достига в точката на максимума и следващия максимум на функцията, а на другата малка най-голямата стойност на функцията се достига в точката x = b, но не в точката на максимума.

Достатъчно, за да разберем растежа на тази променена функция.

Въз основа на достатъчно умове (знак) за растежа на тази променена функция, има пропуски в растежа на тази променена функция.

Оста на формулата е знак за нарастване и промяна на функцията на интервала:

• ако подобна функция y=f(x) е положителна за всяко x в интервала X, тогава функцията нараства върху X;
• Ако подобна функция y=f(x) е отрицателна, независимо дали x е в интервала X, тогава функцията се променя на X.

В този ред, за да се отбележи нарастването на растежа и промяната във функцията, е необходимо:

Нека да разгледаме примера за познаване на междинния растеж и промяната на функцията за обяснение на алгоритъма.

дупето.

Познавайте пропуските в растежа и промяната във функцията.

Решение.

На първата култура е необходимо познава обхвата на функцията. В задната част на вираза, при знаменосеца, по-късно може да се превърне в нула.

Нека да преминем към познатата функция:

За целите на promіzhkіv zrostannya че zmenshennya funktії за достатъчен знак vyrishuєmo nerіvієmі і на полето на назначаване. Бъдете бързи да използвате метода на интервалите. Единичният корен на дневника е є x = 2 и знаменникът се превръща в нула при x = 0. Qi точките разделят областта на зададения интервал, за някои други функции те вземат знака. Значително qi точки на числовата ос. Плюсовете и минусите са психически значими интервали, за които е положителен и отрицателен. Стрелките в долната част схематично показват увеличението или промяната на функцията на даден интервал.

по такъв начин, і .

В точката x=2 функцията е присвоена и непрекъсната, към това я трябва да добавите към интервала на растеж и към интервала на затихване. В точката x=0 функцията не е присвоена, така че тази точка не е включена в интервалите, които се шегуват.

Чертаем графика на функцията за извличане на резултати от нея.

Внушение:

Функцията нараства при , променяйки се на интервала (0; 2] .

Достатъчно внимание на екстремума на функцията.

За да знаете максимума и минимума на функцията, можете да се възползвате дали един от трите е знак за екстремум, очевидно, тъй като функцията удовлетворява ума ви. Най-широки и удобни са първите от тях.

Пърша е достатъчна за екстремума на Умов.

Нека функцията y=f(x) се диференцира в околността на точката, но без прекъсване в самата точка.

С други думи:

Алгоритъм за намиране на точката на екстремума след първия знак на екстремума на функцията.

• Ние знаем обхвата на възложената функция.
• Знаем функциите на определената област.
• Значителни нули на цифровия циферблат, нули на банера на съответната точка от обозначената зона, в която няма възможни крайни точки, преминавайки през ци точки, е възможно да смените знака си).
• Qi точките разделят зоната, определена за функцията на promyzhki, за някои е по-добре да вземете знака. Можем да видим признаците на подобен скин интервал (например изчисляване на стойността на подобна функция във всяка точка от добре взет интервал).
• Избираме точки, в които функцията е непрекъсната и, преминавайки през яките, променя знака - екстремни точки на смрад.

Твърде богати думи, по-красиво погледнато килка приложи значимите точки към екстремума и екстремумите на функцията за помощта на първия достатъчно умекстремум на функцията.

дупето.

Познаване на екстремни функции.

Решение.

Областта на функцията е изцяло безлична номера на дните, Krim x = 2 .

Знаем, че ще отида:

Нулите на числителя е точки x = -1 і x = 5 знаменик се превръща в нула при x = 2 . Значителен брой точки на цифровата ос

Виждат се признаци на подобен скин интервал, с които се изчислява стойността на подобен скин интервал, например в точки x=-2, x=0, x=3 и x=6.

Освен това на интервала е положителен (на малкия над интервала cim се поставя знак плюс). по същия начин

Поставяме минус върху друг интервал, минус върху трети интервал, плюс върху четвърт.

Загубени за избор на точки, за които функцията е непрекъсната и нейната похидна промяна на знака. Tse i е екстремни точки.

В точката x=-1 функцията е непрекъсната и постепенно променя знака от плюс към минус, след това след първия знак към екстремума, x=-1 е точката към максимума, вторият е максимумът на функцията .

В точката x=5 функцията е непрекъсната и постепенно променя знака на минус на плюс, тогава x=-1 е точката на минимума, което означава минимума на функцията .

Графични илюстрации.

Внушение:

ОБРАТНО ЗАЧИТАНЕ: първият знак е достатъчен за екстремума, той не засяга диференциалната функция на самата точка.

дупето.

Намерете точки на екстремум и функции на екстремум .

Решение.

Обхватът на функцията е всички безлични реални числа. Самата функция може да бъде написана в изгледа:

Познаваме следните функции:

В точката x=0 не е възможно, фрагментите на стойностите на едностранните интерси не могат да достигнат нула, когато аргументът е преувеличен:

В същия час изходната функция е непрекъсната в точката x=0 (div. split проследяване на функцията за непрекъснатост):

Знаем смисъла на аргумента, при който си струва да се обърнем към нула:

Значително всички точки на числовата права и значително по-нисък знак на кожните интервали. За което е възможно да се изчисли стойността на относителната в определени точки от интервала на кожата, например с x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Тобто,

В този ред, след първия знак на екстремума, точките на минимума , сочи към максимума є .

Изчисляване на минималните функции

Изчисляване на максимумите на функцията

Графични илюстрации.

Внушение:

.

Друг знак за екстремума на функцията.

Подобно на бачете, за знак за екстремум на функция, той ще изисква подобен, поне в различен ред в точки.

Първият достатъчен знак на екстремума се формулира с подобряване на промяната на знака на първия добър час от прехода през критичната точка. За друг знак на екстремума вижте по-долу в § 6.4.

Теорема (първият знак на екстремума) : Якщох 0 - Критична точка на функциятаy=f(х) и в реалната околност на точкатах 0 , преминавайки през него zlіva надясно, pokhіdna променете знака на удължаването, след товах 0 е екстремна точка. Освен това, тъй като знакът на противоположното се променя от „+“ на „-“, тогавах 0 е максималната точка иf(х 0 ) е максимумът на функцията и е подобно на промяна на знака от „-“ на „+“, тогавах 0 е минималната точка иf(х 0 ) - Минимална функция.

Изглежда екстремно за носене местен(Misceviy) характер и чувствителност на малки покрайнини на критичната точка.

Точките на екстремум и точките на разширение разделят областта на зададената функция на интервала на монотонност.

Пример 6.3.Например 6.1. знаехме критичните точки х 1 =0 і х 2 =2.

Разбира се, това, което е вярно в тези точки, е функцията y=2x 3 -6x 2 +1 може екстремно. Представете си в нея pokhіdnu
значение х, взето zliva и дясна ръка в точката х 1 =0 да се намира близо до покрайнините, напр. х=-1і х = 1. взета. Oskílki pokhіdna сменете знака от „+“ на „-“, след това х 1 =0 - точка към максимума и максимума на функцията
. Сега вземаме две стойности x = 1 i х = 3от близост до друга критична точка х 2 =2 . Вече беше показано, че
, а
. Oskіlki pokhіdna промени знака от „-“ на „+“, след това х 2 =2 - Минималната точка. И поне функции
.

Да знаете най-голямата и най-малката стойност на функцията без прекъсване на вятъра
необходимо е да се изчислят нейните стойности във всички критични точки и кинци на намотката, които bv избират най-много и най-малко.

6.3. Признаци на подуване и свиване на графиката на функцията. Точки на прегъване

Графиката на диференцираната функция се наричаопуклимв интервала, като вината на розташования по-ниски за това дали е било вашето dotichnu в този интервал;навеждам се (навеждам се)yakscho vín raztashovaniya vshee be-yakої dotichї на интервала.

6.3.1. Необходими и достатъчни признаци на подуване и свиване на графиката

а) Задължителни знаци

Какъв е графикът на функциитеy=f(х) тумор на интервала(а, b) , тогава приятелят е добър
на какъв интервал; като графиксплашване на(а, b) , тогава
на(а, b) .

П st функция на графика y=f(х) тумор (а, b) (фиг.6.3а). Yakshcho dotichna kovzaê vzdovzh подута крива zlíva надясно, нейният кут се променя зле (
), в същото време крайният коефициент на точка се променя, което означава, че първият път се променя
на (а, b) . Ale обаче е подобен на първия, тъй като е подобен на рецесивната функция, но може да бъде отрицателен, tobto
на (а, b) .

Какъв е графикът на функциите сплашванена (а, b) , Това, mirkuyuchi подобно, Bachimo, че при изковаване на дотична крива vzdovzh (фиг. 6.3b) изрязва болнав дотичен растеж (
); И дори да изглежда като нарастваща функция, тя може да бъде положителна, така че
на (а, b) .

b ) Достатъчни знаци

Като за функцияy=f(х) всички точки ще имат еднакъв интервал
, след това графиката на функциятасплашване на какъв интервал, но как
, тогаватумор .

"Правило Дошу" : За да запомните някакъв знак за друг pokhіdnoї pov'yazuvati z подути и кой от извитата дъга на графиката, се препоръчва да запомните: плюс вода при изкривени лунати, "минус вода" - при изпъкнали лунати (фиг. 6.4).

Крапка графика непрекъсната функция, при което изпъкналостта преминава в изпъкналостта на чинавпак, се наричаточка на прегъване .

Теорема (достатъчна за знака на инфлексната точка).

Якщо в точката функция
dvіchі разграничени, че приятелят е подобен в tsіy точка до нула или не, и дори когато преминава през точката добър приятел
сменете знака, след това точката е точка на инфлексия. Координати на точката на пречупване
.

Точките, за някои приятели, които е възможно да се превърнат в нула или не, се наричат ​​критични точки от различен вид.

Пример 6.4.Познайте точките на инфлексия и означете интервалите на издуване и вдлъбнатина на кривата
(Крива на Гаус).

Р решение.Ние знаем pershu този приятел pokhіdnі:
,. Един приятел е добър за вас . Равно на нула и виришима получено равно
, де
също
, звезди
,
- Критични точки от различен вид. Обръщане на смяната на знака на друг добър час за преминаване на критичната точка
. Якщо
например,
, тогава
, но
например,
, тогава
Тобто приятел смени знака. Отже,
- абсцисата на точката на прегъване, нейните координати
. Чрез паритетни функции
, петна
, симетрична точка
, tezh ще бъде точка на инфлексия.

Теорема (първата е достатъчна за екстремума на Умов). Нека функцията е непрекъсната в точката, но ако часът премине през точката, знакът се променя. Todi - точка на екстремум: максимумът, което означава, че знакът се променя от "+" на "-", и към минимумът, което означава "-" на "+".

Привеждане.Хайде с i за .

За теоремата на Лагранж , de .Todі yakshcho, тогава; към това , отже, , или . Добре тогава; към това , отже, или .

Otzhe донесе, scho във всяка точка наблизо, tobto. е максималната точка на функцията.

Доказателството на теоремата за минималната точка се извършва по подобен начин. Теоремата завършена.

Веднага след като часът премине през точката, той не променя знака, тогава точката не е екстремум.

Теорема (приятел е достатъчен за екстремума на Умов). Нека точката има подобна функция, която е двоично диференциране, получавайки 0 (), а другата е подобна в текущата точка като нула () и без прекъсване в активния съсед на точката. Тоди - точка на екстремум; в коя точка е минимумът и в коя точка е максимумът.

Алгоритъм за разпознаване на функцията на екстремума след първата достатъчна причина за решаване на екстремума.

1. Знайте трика.

2. Посочете критичните точки на функцията.

3. Следвайте знака на лявата и дясна ръка в критичната точка на кожата и растежа на висново за проявата на крайности.

4. Познайте екстремните стойности на функцията.

Алгоритъм за разпознаване на функцията на екстремума с помощта на друга достатъчна причина за елиминиране на екстремума.

1. Знайте трика.

2. Познайте приятел pokhіdnu.

3. Знайте точките, които имате.

4. На тези точки поставете знак.

5. Zrobiti vysnovok за природата на екстремумите.

6. Познайте екстремните стойности на функцията.

дупето.Вижте . Ние знаем . Дейли, при i за . Dolídzhuêmo критични точки за помощта на първия достатъчен ум екстремум. Може би, какво за аз при , аз при . В точките i е по-добре да промените знака им: при "+" на "-" и при "-" на "+". Tse означава, че точковата функция има максимум, а точката има минимум; . За изравняване трябва да достигнем критичната точка след помощта на друг достатъчен ум и екстремум. Да знаем, че един приятел ще умре. Май: , и tse означава, че точката има максимална функция, а точката има минимална.

Разбиране на асимптотиката на графиката на функция. Хоризонтална, слаба и вертикална асимптотика. Приложи.

Назначаване. p align="justify"> Асимптотата на графиката на функцията се нарича права линия, която ви позволява да се движите от точката към центъра на правата линия до нула, когато точката на графиката не е далеч от кочан от координати.

Разграничават се вертикални (фиг. 6.6 a), хоризонтални (фиг. 6.6 b) и люлеещи се (фиг. 6.6 c) асимптоти.

На фиг. 6.6a е показано вертикална асимптота.

На фигура 6.6b - хоризонтална асимптота.

На фиг. 6.6v - асимптота.

Теорема 1.В точките на вертикалните асимптоти (например ) функцията знае разликата между линиите и дясната посока на точките са:

Теорема 2.Нека бъде назначена функцията да завърши великите и да установи окончателните граници

І .

Тогава тя е права, изтъркана асимптота на графиката на функцията.

Теорема 3.Нека функцията бъде назначена за dosit great и isnuê между функциите. Тогава правата линия е хоризонталната асимптота на графиката на функцията.

Хоризонтална асимптота я наричаме лоша асимптота, ако . За това, въпреки че по права линия кривата има хоризонтална асимптота, тогава в тази права линия няма лошо и лош късмет.

дупето.Познайте асимптотиката на графиката на функцията.

Решение. В точката функцията не е присвоена, знаем между функциите за лява и дясна ръка в точката:

; .

Освен това е вертикална асимптота.

Основната схема за проследяване на функциите и насърчаване на техните графици. дупето.

Обща схема на последващата функция това подсказва нейната графика.

1. Познайте целевата област.

2. Проследете функцията за паритет - нечетност.

3. Познайте вертикалната асимптотика на точката на разширение (като є).

4. Проследяване на поведението на функцията при несъответствие; знаят хоризонталните и болни асимптоти (като є).

5. Намерете екстремуми и интервали на монотонност на функцията.

6. Намерете точките на линията на графиката с координатните оси i, тъй като е необходимо за схематична диаграма, за да знаете допълнителните точки.

7. Схематично обадете се на графика.

Подробна схемапоследващи функции които насърчават графиките .

1. Познайте местоназначението .

а. Yakshcho е znamennik, vin е виновен за zratatisya в 0.

b. Подкоренът на корена на сдвоения етап може да бъде неотрицателен (по-голям или равен на нула).

° С. Сублогаритмичната вираза може да бъде положителна.

2. Следвайте функцията за паритет - нечетност.

а. Yakscho , тогава функцията е сдвоена.

b. Yakshcho , тогава функцията не е сдвоена.

° С. Yakshcho не vikonano не, не , тогава е функцията на глобалния изглед.

3. Познайте вертикалната асимптотика на точката на разширение (като є).

а. Вертикалната асимптота може да бъде по-слабо изразена в междурегионите на зададената функция.

b. Yakscho (или ), тогава асимптотата на графиката е вертикална.

4. Следете поведението на функцията при несъответствие; знаят хоризонталните и болни асимптоти (като є).

а. Yakscho, тогава асимптотата на графиката е хоризонтална.

b. Якшчо и тогава правата линия е крехка асимптота на графиката.

° С. Що се отнася до границите, посочени в параграфи a, b, това е възможно само с едностранно преувеличение до несъответствие (или ), тогава асимптотиката ще бъде едностранна: лява с и дясна с .

5. Намерете екстремуми и интервали на монотонност на функцията.

а. Знайте pokhidnu.

b. Познайте критичните точки (ti точки, de chi de nemaє).

° С. На цифровата ос означете обозначената зона и нейните критични точки.

д. На кожата на съдържанието на числови интервали маркирайте знака на следващия.

д. Според признаците на подобни изследвания на мустаци за проявата на крайности в тези типове.

f. Познайте екстремни стойности.

ж. Според признаците на маршируващия растеж на мустаците за растежа и промяната.

6. Познайте точките на линията на графиката с координатните оси i, както е необходимо за схематична диаграма, за да знаете допълнителните точки.

а. За да знаете точките на линията на графиката от vіssyu, трябва да разширите подравняването. Точки, de zero, ще бъдат точките на линията на графиката отгоре.

b. Точката на линията на графиката може да се види отгоре. Vaughn isnuє, това е по-скоро като точка за влизане в зоната на определената функция.

8. Схематично обадете се на графика.

а. Индуцирайте координатната система и асимптотите.

b. Посочете крайни точки.

° С. Посочете точките на прекъсване на графиката с координатните оси.

д. Схематично индуцирайте графиката по такъв начин, че преминавайки през определените точки и приближавайки се до асимптотите.

дупето.Следвайте функцията и схематично индуцирайте нейния график.

2. - функцията на див ум.

3. Oskílki i , след това прави линии е вертикални асимптоти; точки и е пунктиран. , когато не влизате в областта на назначената функция