2. tür entegrasyon

L'nin M ve N noktalarını birleştiren bir eğri olduğu 2. tür eğrisel integrale bakalım. P(x, y) ve Q(x, y) fonksiyonları gerçek alanda kesintisiz olarak özel olarak yürüyebilsin Yüzeyin L Eğrisi olduğu D. Önemli bir şekilde, bazı analizlerde eğrisel integral L eğrisi şeklinde biriktirilemez, sadece M ve N noktaları genişletilir.

D mesafesinde uzanan ve M ve N noktalarını birleştiren iki ek MSN ve MTN eğrisi çiziyoruz (Şekil 14).

Ne diyelim, tobto

de L - kapalı döngü, MSN ve NTM eğrilerinden katlama (ayrıca daha fazla eklenebilir). Bu şekilde, integrasyon yolunda 2. tür eğrisel integralden zihnin bağımsızlığı, herhangi bir kapalı döngünün arkasındaki böyle bir integralin sıfıra eşit olduğu akıla eşittir.

Teorem 5 (Green teoremi). D gerçek alanının tüm noktalarında P(x, y) ve Q(x, y) fonksiyonlarını ve bunların özel geçişlerini verin. Daha sonra, D bölgesinde yer alan kapalı bir L konturunun olması için

D bölgesinin tüm noktaları için gerekli ve yeterlidir.

getiriyor.

1) Refah: Zihninizi bırakın = vikonano. S bölgesini çevreleyen D bölgesinin daha kapalı bir L konturuna bakalım ve yenisi için Green formülünü yazalım:

Otzhe, yeterlilik getirdi.

2) Gereklilik: Diyelim ki zihin D alanının cilt noktasına yazılmıştır, ancak alanın merkezinde bir nokta bulmak istiyorsanız, hangi -? 0. Hadi mesela P(x0, y0) noktasında belki: - > 0. Peki sinirliliğin sol tarafı kesintisiz bir fonksiyona sahip olduğu için bir gün için pozitif ve büyük olur mu? > 0, çok küçük D` bölgesinde, P. Otzhe noktasının intikamını almak için,

Green formülünün dikkate alınması,

de L` - D` alanını çevreleyen kontur. Tsey sonucu superchit zihin. Ayrıca, = D bölgesinin tüm noktalarında getirilmesi gerekliydi.

Saygı 1. Benzer şekilde, önemsiz bir uzay için, eğrisel integralin bağımsızlığının gerekli ve yeterli zihinleri getirilebilir.

entegrasyon yönünde є:

Not 2. Ne zaman vykonannі zihinleri (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є üst diferansiyel gerçek işlev. Bu, belirtilen fark değerine kadar eğrisel integralin hesaplanmasını ve integrasyon konturu sonunda ve mısır noktalarında hesaplamanızı sağlar, ölçekleme

Hangi fonksiyon için formülden bilinebilirim

de (x0, y0, z0) - D bölgesinin noktası ve C - yeterli hale geldi. Gerçekten de, formül (53) tarafından verilen özel fonksiyonların P, Q ve R'ye eşit olduğu konusunda kafa karıştırmak kolaydır.

popo 10.

2. türün eğrisel integralini hesaplayın

(1, 1, 1) ve (2, 3, 4) noktalarını birleştiren tam eğri boyunca.

Devam edelim, viconlar ne düşünüyor (52):

Otzhe, fonksiyon mevcut. x0 = y0 = z0 = 0 olarak ayarlayarak formülün (53) arkasını biliyoruz. Sonra

Bu sıralamada, işlev ve yeterli bir dodanku ilanına kadar doğrulukla belirlenir. Z = 0, ardından u = xyz olduğunu varsayın. otze,

Eğrisel integrale bakalım

düz bir eğri ile bir deak sonra alarak L noktaları birbirine bağlayan Mі N. fonksiyonların olduğunu varsayalım P(x, y)і Q(x, y) görebileceğiniz alanda kesintisiz özel tatil olabilir D. Tabii ki, bu tür zihinler için eğrisel bir integral yazmak bir eğri şeklinde olamaz. L, ve yalnızca koçanı ve bitiş noktası konumunda yatırmak için Mі N.

İki eğriye daha bakalım MPNі MQN açık alana yakın olan D ve bağlantı noktaları Mі N. Hadi

(1)

O zaman 1 ve 4'ün kuvvetleri temelinde eğrisel integraller şunlar olabilir:

tobto. kapalı döngü integrali L

Formülün geri kalanında, kapalı bir kontur boyunca alınanların eğrisel integrali L kıvrımlardan katlanmış MPNі NQM. Tsey kontur L Açıkçası, vvazhati dovilnym yapabilirsiniz.

Bu sıralamada dikkat edin:

yani herhangi iki M ve N noktası için eğrisel integral bir eğri biçiminde değil, yalnızca bir eğri biçimindedir, ancak yalnızca bu noktaların konumunda bulunur, sonra, ne herhangi bir kapalı konturun arkasındaki eğrisel integral sıfıra eşittir .

Adil ve kötü visnovok:

Herhangi bir kapalı döngünün arkasındaki eğrisel integral sıfıra eşitse, bu eğrisel integral iki nokta arasındaki bir eğri şeklinde olamaz., ve sadece tsikh kamplarında uzan nokta . Bu doğru, denklik okulu (2) coşkulu denklik (1)

teorem

P(x, y), Q(x, y) fonksiyonları, D deaco bölgesinin tüm noktalarında bir kerede kendi özelleriyle ve kesintisiz olarak kullanılsın. Ardından, odanın kenarında bulunan ve sıfıra ulaşan herhangi bir kapalı döngü L'nin arkasında eğrisel bir integral elde etmek için, o zaman. aşağılık

(2΄)

gerekli ve yeterli vikonannya denkliği

D alanının tüm noktalarında

getirmek

Kapalı devreye daha yakından bakalım L bölgede D ve yenisi için Green'in formülünü yazıyoruz:

Eğer akıl (3) kazanırsa, o zaman kötülüğe mal olan hafife alınan integral de sıfır i'ye eşittir, o zaman,

bu şekilde, yeterlilik yıkama (3) getirdi.

şimdi getirelim gereklilik akıl, tobto. herhangi bir kapalı eğri için düzgünlüğün (2) galip gelmesi mümkündür L bölgede D, daha sonra bölgenin cilt noktasında, akıl galip gelir (3).

Öte yandan, kıskançlığın (2) kazanması kabul edilebilir, tobto.

ve Umov (3) kazanmaz, tobto.

bir noktada sıcak bi. Hadi, örneğin, şarkı söyleme noktası gergin olabilir

Sinirliliğin sol tarafı kesintisiz bir işleve sahip olduğundan, noktanın intikamını almak için küçük bir alana ulaşmak her noktada pozitif ve belirli bir sayıdan fazla olacaktır. Vіzmemo podvіyny, raznitsi ile bütünleşir. Vin matime'nin olumlu bir anlamı var. Doğru,

Yeşil formülün arkasındaki Ale, eşitsizliğin geri kalanının sol kısmı, izinlerin arkasında sıfıra daha yakın olan bölgeler arası eğrisel integrale daha yakındır. Otzhe, ostannya süper hile zihinlerinde (2), otzhe, pripuschennya, scho on vіdminu ve sıfır bir noktada olmak istiyor, öyle değil. Çığlık sesleri, ne

her noktada D.

Otzhe, teorem tekrar bitti.

Diferansiyel eşittirlerin düğünü saatinde, akla getirildi

viraz gerçeğine eşdeğerdir pdx + Qdyє mevcut fonksiyonun en son diferansiyeli u(x, y), sonra.

Ale tsomu vipadku vektöründe

є gradyan işlevi u(x, y);

İşlev u(x, y), gradyan vektöre benzer potansiyel hangi vektör.

bize bildirin eğrisel integrali olan M ve N noktalarını birleştiren herhangi bir L eğrisinin arkasında, bu noktalarda i fonksiyonunun değerleri arasındaki fark:

getirmek

Yakscho Рdx + Qdyє fonksiyonun üst diferansiyeli u(x, y), sonra eğrisel integrale bakacağım

Bu integralin hesaplanması için eğrinin parametrik hizalamasını yazıyoruz. L noktaları birbirine bağlayan Mі N:

Viraz, tapınaklarda ne duracak, işlev t göre tamamen benzer bir fonksiyon olan t. Tom

Yak mi bachimo, sürekli bir diferansiyel şeklindeki eğrisel integral, entegrasyonun gerekli olduğu bir eğri şeklinde olamaz..

Bu şekilde:

ikinci tür eğrisel integrallerin bağımsızlığını göz önünde bulundurun entegrasyon yolunu şu şekilde oluşturun:

Yakshcho deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) kesintisiz kendi i'leriyle birlikte, o zaman:

1. bölgede D şeklinde yalan söyleme entegrasyon yolları, shmatkovo-pürüzsüz bir eğrinin arkasındaki yakscho yogo anlamı, scho galuzі'da yalan söylemek ve anne zagalny koçanı zagalny kіnets fakat.

2. kapalı bir eğri gibi integral uzdovzh L, bölgede yer alan D sıfıra eşittir.

3. Ana işlev u(x, y), yakoї viraz için pdx+qdyІsnuє povny diferansiyel, o zaman.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

5

bölgenin cilt noktasında D.

İntegrali hesaplamak için, integralin konturuna düşmemek için

Daha sonra, bağlantı noktalarının ve lankaların Ox ve Oy eksenlerine paralel olduğunu, lamanın entegrasyon yolu olarak seçin.

Pidintegral Viraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy zihinlerin atanması için üst diferansiyel oyunculuk fonksiyonları u = u(x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

işlev u(x, y)(orijinal) lamania de tarafından en yaygın eğrisel integralin nasıl hesaplanacağını bilebilirsiniz - sabit bir nokta olsun, B(x, y) – değişen nokta, ve nokta maksimum koordinattır X o . Todi vzdovzh maєmo bu gün = 0, ve vzdovzh maєmo x = sabitі dx = 0.

Bu formülü alalım:

Benzer şekilde, lamanoy de otrimaemo'yu entegre etmek

Uygulamak

1. Hesaplamak

Bu integral, entegrasyon konturu boyunca yerleştirilmelidir, çünkü

Laman'ı entegre etmenin bir yolu olarak seçiyoruz, çizgiler koordinat eksenlerine paralel. İlk şubede:

Başka bir konumda:

otze,

2. Önce bil sen, beğenmek

Hadi ve kontür Öncekiє lamana OMN. Todi

3. Bil, yakscho

Burada koordinatların koçanı noktasını almak imkansızdır, çünkü bu fonksiyon noktasında P(x, y)і Q(x, y) atanmamış, bunun için, örneğin, bir nokta için alıyoruz. Todi

4. Elіps ile çevrili alanı bilin

NASIL alanında karıştırılmış ve kapalı bir çizgi C ile çevrelenmiş şeklin alanı, formüle göre hesaplanır.

,

de konturu Z pozitif yönde atlanır.

Eğrisel integrali bir şarkıya dönüştürelim, bir değişiklik yaratalım

Parametre t 0'dan 2'ye değerleri geçmek?

Böyle bir rütbe

3. Yayın uzunluğu boyunca en yüksek eğrisel integral L yakscho L- karnabahar sikloid

“CURVILINE INTEGRAL” TEMASI ÜZERİNDEKİ GÖREVLER

seçenek 1

De L, XOY düzleminde uzanan A(0;-2) ve B(4;0) noktalarının düz çizgisinin bir üçgenidir.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Yıl karşıtı okun dış hatlarını atlayın.

Koordinatların arkasında, L ilk çeyrekte yer alan elipsin yayı olduğu için.

De L, A(1,1), B(2,2), C(1,3) köşeleri olan bir triko konturudur. Yıl karşıtı okun dış hatlarını atlayın.

ve yogayı bilmek.

7. Kuvvet alanı, koordinat koçanı içinde daha fazla noktanın sabitlenmesine ve koordinatların koçana yönlendirilmesine izin veren F(x, y) kuvveti tarafından oluşturulur. Robota, tek bir kütlenin malzeme noktasının y2 = 8x parabolünün yayı boyunca (2; 4) noktasından (4; 4) noktasına yer değiştirmesine uygulanan alanın gücünü bilmek.

seçenek 2

1. Yayın kenarı üzerindeki eğrisel integrali hesaplayın (Kartezyen koordinatlar).

De L, O (0; 0) ve A'yı (1; 2) birleştiren düz bir noktanın daralmasıdır.

2. Eğrisel integrali hesaplayın burada L, A(-1;1) noktasından B(1,1) noktasına bir parabolik yaydır. Yıl karşıtı okun konturunu atlayın.

3. Eğrisel integrali hesaplayın yakscho L - ark hissesi 1 ve 2 karelerde ne yatıyor. Yıl okunun arkasındaki konturu atlayın.

4. Zastosovuyuchi Green'in formülü, integrali hesaplayın, de L - kontur, doğrunun çözümleri ve anti-Godinnikov okunun konturunu atlarken OX karşı ekseni.

5. İntegralin zihin bağımsızlığının integral için integral yönünde nasıl hesaplandığını belirleyin ve yogayı bilmek.

6. U(x, y) fonksiyonunun yeni bir diferansiyeli ile chi є görevlerini tekrar ziyaret edin ve її'yi bilin.

7. Kuvvet alanının cilt noktasında, kuvvet doğrudan negatif olabilir ve program noktasının apsisinin karesine eşit olabilir. Tek bir parabolik kütleyi (1,0) noktasından (0,1) noktasına hareket ettirirken robotun alanını bilmek.

Seçenek 3

1. Yayın kenarı üzerindeki eğrisel integrali hesaplayın (Kartezyen koordinatlar).

1. de L - parabolün yayı parabol tarafından görülür.

2. Eğrisel integrali hesaplayın yakscho L-teli, A(0,1) ve B(2,3) noktalarını birleştiren düz bir çizgidir. Yıl karşıtı okun konturunu atlayın.

3. L, sikloidin ilk yayının yayı olduğu için eğrisel integrali hesaplayın. Yıl okunun arkasındaki konturu atlayın.

4. Zastosovuyuchi Green formülü, integrali hesaplayın de L - anti-godinnikov'un okunun Obkhіd konturunu elіps.

5. İntegralin zihin bağımsızlığının integral için integral yönünde nasıl hesaplandığını belirleyin ve yogayı bilmek.

6. U(x, y) fonksiyonunun yeni bir diferansiyeli ile chi є görevlerini tekrar ziyaret edin ve її'yi bilin.

7. Elipsin üst yarısının malzeme noktasının robotun gücünü ve hareket saatini hesaplayın. A noktasından (a, 0), B noktasından (-a, 0).

Seçenek 4.

1. Yayın kenarı üzerindeki eğrisel integrali hesaplayın (Kartezyen koordinatlar).

1. de L - bir karenin ana hatları

2. Eğrisel integrali hesaplayın burada L, А(0,0) noktasının (1,1) noktasına kadar olan parabolün yayıdır. Yıl karşıtı okun konturunu atlayın.

3. Eğrisel integrali hesaplayın yakscho L - elipsin üst yarısı Yıl okunun arkasındaki konturu atlayın.

4. Yeşil formülü kullanarak, integral de L'yi hesaplayın - trikonun A (1; 0), B (1; 1), C (0,1) köşeleriyle konturu. Yıl karşıtı okun konturunu atlayın.

6. U(x, y) fonksiyonunun yeni bir diferansiyeli ile chi є görevlerini tekrar ziyaret edin ve її'yi bilin.

7. Koordinat ekseninde izdüşümlerle kazıkların cilt noktasına bir kuvvet uygulanır є Malzeme noktasını kazık boyunca hareket ettirme saati için kuvveti robota atayın. Robot neden sıfıra mal oluyor?

Seçenek 5.

1. Yayın kenarı üzerindeki eğrisel integrali hesaplayın (Kartezyen koordinatlar).

De L - 0 (0.0), A (4; 2) noktalarını birleştiren düz bir çizgi

2. L, A(0.1) noktasından B (-1,e) noktasına giden eğri noktanın yayı olduğu için eğrisel integrali hesaplayın. Yıl karşıtı okun dış hatlarını atlayın.

3. Eğrisel integrali L - 1 çeyreği olarak hesaplayın Yıl okunun arkasındaki konturu atlayın.

4. Zastosovuyuchi Green formülü, integrali hesaplayın de L - kontur, çevre ve karşı okun konturunu atlayarak.

5. İntegralin zihin bağımsızlığının integral için integral yönünde nasıl hesaplandığını belirleyin ve yogayı bilmek.

6. U(x, y) fonksiyonunun yeni bir diferansiyeli ile chi є görevlerini tekrar ziyaret edin ve її'yi bilin.

7. Alan zorla // = kesimi düz çizgi yarıçapından ayarlamak için düz yol - її zastosuvannya noktasının vektörü. m kütleli malzeme noktası kazık yayının arkasına (a, 0) noktasından (0, a) noktasına hareket ettirildiğinde robotun alanını bilmek.

Seçenek 6

1. Yayın kenarı üzerindeki eğrisel integrali hesaplayın (Kartezyen koordinatlar).

De L - I çeyreğinde yer alan bir hissenin çeyreği.

2. Eğrisel integrali hesaplayın yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Yıl karşıtı okun dış hatlarını atlayın.

3. L hissenin üst yarısı olduğu için eğrisel integrali hesaplayın Yıl okunun arkasındaki konturu atlayın.

4. Zastosovuyuchi Green'in formülü, integral de L'yi hesaplayın - kontur, çevre, anti-godinnikov okunun konturunu atlayarak.

5. İntegralin zihin bağımsızlığının integral için integral yönünde nasıl hesaplandığını belirleyin ve yogayı bilmek.

6. U(x, y) fonksiyonunun yeni bir diferansiyeli ile chi є görevlerini tekrar ziyaret edin ve її'yi bilin.

7. Kuvvetin durma noktası elipsin çeyreğinin karşı okunu tanımladığı için, yay kuvvetinin işini doğrudan koordinatların koçanı üzerinde bilin. I kadranında ne yatıyor. Kuvvetin büyüklüğü, noktanın koordinatların koçanına olan mesafesiyle orantılıdır.

Seçenek 7.

1. Yayın kenarı üzerindeki eğrisel integrali hesaplayın (Kartezyen koordinatlar).

De L - (1, 1/4) noktasından (2; 1) noktasına kadar parabolün bir parçası.

2. Eğrisel integrali hesaplayın de L - B (1; 2) ve B (2; 4) noktalarını birleştiren düz çizginin tepe noktası. Yıl karşıtı okun konturunu atlayın.

3. Eğrisel integrali L olarak hesaplayın - sikloidin ilk yayı Yıl ibresinin arkasındaki kontura göre.

5. İntegralin zihin bağımsızlığının integral için integral yönünde nasıl hesaplandığını belirleyin ve yogayı bilmek.

6. U(x, y) fonksiyonunun yeni bir diferansiyeli ile chi є görevlerini tekrar ziyaret edin ve її'yi bilin.

7. Tek bir kütlenin maddi noktası, çıkıntıları koordinat ekseninde olan kuvvet yönü altında kazık boyunca hareket eder є . Deri hissesinin koçanı üzerinde güç oluşturun. Konturun çalışmasını bilin.

Seçenek 8.

1. Yayın kenarı üzerindeki eğrisel integrali hesaplayın (Kartezyen koordinatlar).

De L - 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2) noktalarında köşeleri olan bir dikdörtgenin konturu.

2. Eğrisel integrali hesaplayın, örneğin L, A noktasından (0; 0) B noktasına (1; 2) kadar olan parabolün yayıdır. Yıl karşıtı okun dış hatlarını atlayın.

3. Eğrisel integrali hesaplayın yakscho L - bir hissenin parçası 1. Yıllık okun arkasındaki konturu atlayın.

4. Zastosovuyuchi Green formülü, integrali hesaplayın de L - A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1) köşeleri olan triko konturu. Yıl karşıtı okun dış hatlarını atlayın.

5. Yükleyin, chi vykonuetsya entegral için integralin zihin bağımsızlığını bütünleştirme yolunda ve yogayı bilir.

6. U(x, y) fonksiyonunun yeni bir diferansiyeli ile chi є görevlerini tekrar ziyaret edin ve її'yi bilin.

7. Malzeme noktası bir elips ile hareket eder değeri elipsin merkezine en pahalı nokta olan ve elipsin merkezine doğrultulmuş bir kuvvettir. Tüm elіps'i atlamak için robotun gücünü hesaplayın.

Seçenek 9.

1. Yayın kenarı üzerindeki eğrisel integrali hesaplayın (Kartezyen koordinatlar).

De L - noktalar arasında uzanan parabolün yayı

A, (2;2).

2. Eğrisel integrali hesaplayın burada L, A (5; 0) ve B (0.5) noktalarını birleştiren düz bir çizginin daralmasıdır. Yıl karşıtı okun konturunu atlayın.

3. Yıl okunun arkasındaki konturun çevresini gösterecek olan L - noktalar arasındaki elipsin yayı gibi eğrisel integrali hesaplayın.

4. Zastosovuyuchi Green'in formülü, L integralini hesaplayın - karşı okun konturu etrafında.

5. İntegralin zihin bağımsızlığının integral için integral yönünde nasıl hesaplandığını belirleyin ve yogayı bilmek.

6. U(x, y) fonksiyonunun yeni bir diferansiyeli ile chi є görevlerini tekrar ziyaret edin ve її'yi bilin.

7. Eğrinin cilt noktasında, tek bir kütlenin malzeme noktası M noktasından eğri boyunca hareket ettirildiğinde, koordinat eksenlerindeki çıkıntılar kuvvetin işini gösteren bir kuvvet uygulanır (-4; 0) N noktasına (0; 2).

Seçenek 10.

1. Yayın kenarı üzerindeki eğrisel integrali hesaplayın (Kartezyen koordinatlar).

De L - A noktalarını birleştiren düz bir çizgi

2. Eğrisel integrali hesaplayın, örneğin L, A(1;0) noktasından B(e,5) arasındaki eğrinin yayıdır. Yıl karşıtı okun dış hatlarını atlayın.

3. L, payın yayı olduğu için eğrisel integrali hesaplayın 1U karede ne yatıyor. Yıl okunun arkasındaki konturu atlayın.

4. Yeşil formülü kullanarak, integral de L'yi hesaplayın - trikonun A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2) köşeleriyle konturu. Yıl karşıtı okun konturunu atlayın.

5. İntegralin zihin bağımsızlığının integral için integral yönünde nasıl hesaplandığını belirleyin ve yogayı bilmek.

6. U(x, y) fonksiyonunun yeni bir diferansiyeli ile chi є görevlerini tekrar ziyaret edin ve її'yi bilin.

7. İzdüşümleri koordinat ekseninde olan çizginin cilt noktasına bir kuvvet uygulanır Malzeme noktası çizgi boyunca M (1; 0) noktasından N noktasına hareket ettirildiğinde kuvvetten etkilenen robotu hesaplayın (0; 3).

ders 4

Konu: Green'in formülü. İntegrasyon yolunda eğrisel integralin bağımsızlığını temizleyin.

Green'in formülü.

Green'in formülü, bir düzlemde kapalı bir kontur Г üzerindeki eğrisel bir integral ile bir konturla çevrili bir alan üzerindeki daha düşük bir integral arasında bir bağlantı kurar.

Kapalı kontur Г üzerindeki eğrisel integral, Kapalı kontur Г sembolü ile gösterilir, konturun ana noktasında başlar ve B noktasında biter. B noktası seçilirse, kapalı bir kontur boyunca integral yalan söylemez.

Randevu 1. G konturunun baypas edilmesi pozitif olarak kabul edilir, çünkü G konturunu baypas ederken, D alanı solak olur. P + - devresi P pozitif yönü atlar, P - - devresi negatif yönü atlar. ters yönde

Google+

X

Y

c

d

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

a

b

B

C

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

m

n

Altta yatan integrale bakalım

.

Benzer şekilde şu söylenebilir:

(1) ve (2) eşitliklerinden şu gereklidir:

otze,

Green'in ezilmiş eksiklikler için formülü tamamlandı.

saygı 1. Green'in formülü, G bölgesi D ile gerçek düz çizgiler arasında olduğu gibi adil kalır, eksene paralel 0X veya 0Y, iki noktada daha düşük kayar. Krim ts'ogo, Green'in formülü n-yıldız bölgeleri için geçerlidir.

Düzlemde bir integral olarak eğrisel integralin bağımsızlığını yıkayın.

Bu paragrafta, örneğin viconannistlerde, eğrisel integralin entegrasyon yönüne düşmek ve koçan ve entegrasyonun uç noktaları şeklinde düşmek olduğunu anlamak kolaydır.

Teorem 1. Eğrisel bir integral almak için bir tek-bağ bölgesinde entegrasyon yolunda yatmadan, bu bölgede kapalı, shmatkovo-pürüzsüz bir kontur boyunca alma integralinin sıfıra ulaşması için gerekli ve yeterlidir.

Kanıt: Gereklilik. Verilmiştir: entegrasyon yönünde yatırmak. Kapalı, düzgün-pürüzsüz bir konturun arkasındaki eğrisel integralin sıfıra eşit olmasını sağlamak gerekir.

D alanının yakınında parça parça düzgün bir kapalı G konturunu alalım. G konturunda biraz daha B ve C noktası alalım.

G

D

n

m

B

C

Oskіlki entegrasyon yolunda yatıyor, o zaman

, sonra.

Refah. Verilen: Eğrisel integral Be-yakim zaknenim shmatkovo-pürüzsüz kontur sıfıra.

İntegralin integrasyon yönünde yatırılması gerektiğini kanıtlamak gerekir.

B ve C noktalarını birbirine bağlayan iki karıştırılmış düzgün konturun arkasındaki eğrisel integrale bakalım.

Tobto. eğrisel

İntegral yönünde yatırmak için integral.

Teorem 2.Özel yürüyüşlerle aynı anda ve tek bağlantılı uzayda kesintisiz gidin D. Eğrisel bir integrale sahip olmak için D tümeninin galip gelmesi için entegrasyon yolunda geri adım atmamak gerekli ve yeterlidir.

Kanıt: Yeterlilik. Verilen: . ne getirmek lazım entegrasyon yönünde yatırmak. Kimin için ne getirmek yeterlidir kapalı, shmatkovo-pürüzsüz bir konturun arkasında dovnyuє sıfır. Green formülüne göre şunları yapabiliriz:

Gereklilik. Verilen: Teorem 1'e göre eğrisel integral entegrasyon yönünde yatırmak. ne getirmek lazım

6. Sing integralinin ortalama değeri için formül.

7. Değişen üst sınır üzerinde integral. Yogo bu farklılaşmayı engeller.

8. Sing integrali için Newton-Leibniz formülü.

9. Şarkı integralinin parçalara göre hesaplanması ve değişimin değiştirilmesi.

10. Şarkı integralinin dikilmesi (düz bir şeklin alanı, kavisli bir yayın uzunluğu, gövde sargısının hacmi).

11. Ta yogo sumi sayı dizisini anlama. Kriterler Koshі zbіzhnostі satır. Gerekli zeka.

12. Delambert ve Koshі belirtileri nevid'єmnimi üyeleridir.

13. Koshі zbіzhnostі sayı serisinin integral işareti.

14. Önemli sayıda satır. Kesinlikle bu zihinsel zbіzhnist. Satır işaretleri. Leibniz işareti.

15. Fonksiyonel seriler. Miktar düşük. Eşit gelirin değeri düşüktür. Kriter Koshі, fonksiyonel serinin eşit karlılığına sahiptir.

16. Weijerstras bile yaşamanın işareti.

18. Adım satırı. Abel teoremi.

19. Statik bir satırın yaşam yarıçapı. Statik serinin yarıçapının yarıçapı için Cauchy-Hadamard formülü.

21. Zengin değişimin işlevleri. n-dünya Öklid uzayını anlamak. Öklid uzayının kişisel olmayan bir noktası. Noktaların sırası ve її sınırı. Az sayıda değişikliğin belirlenmiş işlevleri.

22. Bir dizi değişikliğin işlevleri arasında. Kesintisiz işlev. özel tatiller

23. Bir dizi değişkenin diferansiyel fonksiyonunun ve її diferansiyelinin belirlenmesi. Pokhіdnі ve daha yüksek siparişlerin farklılıkları.

24. Taylor'ın değişim zenginliği formülü. Az sayıda değişkenin fonksiyonunun ekstremumu. Gerekli zihin ekstremumu. Yeterli zihin ekstremumu.

25. Sürekli integral ve güç yogası. Zvedennya podvіynogo tekrarlanana kadar entegredir.

27. Üçüncü integraldeki değişikliklerin değiştirilmesi. Silindirik ve küresel koordinatlar.

28. Parametrik ve açıkça verilen pürüzsüz bir yüzey alanının hesaplanması.

29. Birinci ve diğer türden eğrisel integrallerin atanması, ana güçleri ve hesaplanması.

30. Green'in formülü. İntegrasyon yolunda eğrisel integralin bağımsızlığını temizleyin.

31. Birinci ve diğer türden yüzeysel integraller, ana güçleri ve hesaplamaları.

32. Gaus-Ostrogradsky Teoremi, її koordinat ve vektör (değişmez) formlarında notasyon.

33. Stokes formülü, koordinat ve vektör (değişmez) formlarında yazılır.

34. Skaler ve vektör alanları. Gradyan, sapma, rotor. Potentiyne ve tuzlu alanlar.

35. Hamilton operatörü. (Nabla) yogo zastosuvannya (uygulayın).

36. Kullanılan ana kavramlar, birinci dereceden birinci dereceden diferansiyel denklemlerdir (ode): global çözüm, global integral, integral eğrisi. Zavdannya Koshі, geometrik olarak önemlidir.

37. Bir kasidenin bölünen ve aynı olan değişikliklerle birinci mertebeye entegrasyonu.

38. Birinci mertebeden lineer kasidelerin integrali ve Bernoulli'nin denkleştirilmesi.

39. Polar diferansiyellerde bir kasidenin ilk perdeye entegrasyonu. Entegre çarpan.

40. Birinci mertebeden diferansiyel eşitlikler, her zaman benzer. Parametre istek yöntemi.

41. n. mertebenin sabit katsayılarla denkliği. Karakteristik olarak eşit. Homojen hizalamanın temel çözüm sistemi (FSR), heterojen hizalamanın küresel çözümü.

42. Birinci mertebeden lineer diferansiyel eşitlikler sistemi. Homojen bir sistemin FSR'si. Homojen bir sistemin göze batan bir vizyonu.

30. Green'in formülü. İntegrasyon yolunda eğrisel integralin bağımsızlığını temizleyin.

Green'in formülü: Eğer C, D alanı ile P(x, y) ve Q(x, y) fonksiyonları arasında, kapalı D alanında (C kordonu dahil) kesinti olmaksızın özel birinci dereceden analoglarıyla birlikte kapalıysa, o zaman Green'in formülü geçerlidir: ayrıca, D alanı solak olacak şekilde C konturu etrafında baypas seçilir.

Üç ders: Verilen P(x,y) ve Q(x,y) fonksiyonlarını birinci mertebeden özel olanlardan aynı anda kesintisiz D alanları olarak verin. Tam olarak D bölgesinde yer alacak ve D bölgesindeki tüm noktaları kapsayacak olan kordon (L) üzerindeki integral: . Konturun bir kısmı sol el ile çevriliyse, doğrudan kontura pozitiftir.

Umov'un 2. tür integral yolunun eğrisel integralinden bağımsızlığı. M1 ve M2 noktalarını birleştiren birinci türden eğrisel integralin, entegrasyon yolunda değil, yalnızca koçanı ve bitiş noktalarında, sükunette yattığı konusunda yeterli akıl gereklidir:.

.

31. Birinci ve diğer türden yüzeysel integraller, ana güçleri ve hesaplamaları.

- Yüzey yöneticisi.

S'yi bir xy düzlemine yansıtıyoruz, bir D tahtası alıyoruz. Di adı verilen parçanın üzerine ızgara çizgili bir D tahtası çiziyoruz. Deri çizgisinin deri noktasından z paralel çizgileri çiziyoruz, sonra i S, Si'ye bölünüyor. İntegral toplamı ekliyoruz: . Di çapının maksimumunu sıfıra yönlendiririz:, şunları alırız:

Birinci türden Ce yüzey integrali

Birinci türden yüzey integrali bu şekilde devreye girer.

Randevu kısaca. Kural olarak, integral toplamının sınırlayıcı bir sınırı vardır, bu nedenle, S'yi temel arsa Si üzerinde bölme yolunda yalan söyleyemez ve noktaların seçiminde, vin'e birinci türün yüzeysel integrali denir.

Değiştirilen x і y'den u ve v'ye geçerken:

P yüzey integrali yıldız integralinin tüm gücüne sahip olabilir. Divalar yemekte daha yüksektir.

Yüzey integralinin amacı, bu hesaplamanın ana gücü olan farklı türdendir. Birinci tür integralden bağlantı.

Yüzey S verilsin, bir çizgi ile çevrili L (Şekil 3.10). L kordonu ile çift nokta olamayan S yüzeyindeki S yüzeyine iki normal eklemek mümkündür. Normal düz çizgiyi seçerek M noktasını L konturunun arkasından çizin.

M noktasının konumu bu aynı normal (ve zıt değil) boyunca dönüyorsa, o zaman S yüzeyine iki taraflı denir. Sadece iki taraflı yüzeylere bakabiliriz. İkili yüzey - eşit düz yüzey olsun.

S, bir L çizgisi ile çevrili, iki taraflı açık bir yüzey olsun, böylece kendi kendine kesişme noktası olmaz. Yüzeyin aynı tarafını seçiyoruz. L konturunun pozitif doğrudan bypassını böyle düz bir çizgi olarak adlandıralım, Rusya yüzeyin diğer tarafındadır, yüzeyin kendisi kötülükten yoksundur. Konturların doğrudan baypas edilmesiyle bu kadar pozitif bir sırayla üzerine monte edilen iki taraflı bir yüzeye yönlendirilmiş yüzey denir.

Farklı türden bir yüzey integraline geçelim. Son parça sayısından oluşan çift taraflı bir yüzey S, akla eşit bazı görevlerden deri veya tatmin edici paralel eksenlere sahip silindirik bir yüzey Oz alalım.

R (x, y, z) - S yüzeyinde atanan ve kesintisiz bir fonksiyon olsun. Birkaç satırla S, yeterli bir sıra ile n "temel" grafiklere bölünür ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi , ..., ΔSn, uykulu iç noktalar ne olursa olsun. ΔSi yüzey uzayında, makul bir sırayla Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) noktasını seçiyoruz. (ΔSi)xy, ΔSi grafiğinin "+" işaretiyle alınan Oxy koordinat düzlemine izdüşümü alanı olsun, böylece Mi(xi,yi,zi) noktasında S yüzeyine normal olsun (i=1,...,n) Vіsyu Oz'un düşmanca bir kesim olduğunu ve "-" işaretiyle bu kesimin aptalca olduğu anlamına gelir. x,y: değiştirdikten sonra R(x,y,z) fonksiyonunun integral toplamını S yüzeyi üzerine ekliyoruz. λ, ΔSi (i = 1, ..., n) çaplarının en büyüğü olsun.

S yüzeyini "temel" ΔSi grafiğinde bölme ve bir nokta seçme yolunda uzanmamak için son bir sınır varsa, o zaman vin, fonksiyonda S yüzeyinin seçilen tarafı boyunca yüzey integrali olarak adlandırılır. x, y koordinatları için R (x, y, z) (veya başka türden bir yüzeysel integral) ve atanır .

Benzer şekilde, yüzeyin karşı tarafı boyunca x, z veya y, z koordinatları üzerinden yüzey integrallerini indüklemek mümkündür, yani. і .

Tüm integrallerin yanı sıra, yüzeyin karşı tarafında "yüksek" bir integral tanıtabilirsiniz: .

Başka türden bir yüzeysel integral, integralin gücüne bağlı olabilir. Başka türden herhangi bir yüzey integrali, yüzeyin kenarının değişiminin işaretini değiştirirse daha saygılıdır.

Birinci ve diğer türden yüzey integralleri arasındaki bağlantı.

S yüzeyine eşit verilsin: z \u003d f (x, y), ayrıca, f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - kesintisiz fonksiyonlar kapalı bölge τ yakınında (S yüzeyinin Oxy koordinat düzlemine izdüşümü) ve R(x,y,z) fonksiyonu S yüzeyinin S yüzeyi üzerinde süreklidir. Todi.

Bir zagalny vpadku maєmo için:

=