Poznaj bezpośrednio współrzędne rzutu ortogonalnego punktu. Rzut punktu na prostą Współrzędne rzutu punktu na prostą. Rzut punktu na prostą - teoria, zastosuj to rozwiązanie

Artykuł Tsya dotyczący zrozumienia rzutu punktu na linię prostą (wszystkie). Mi damo yoma został wyznaczony dla małego vikoristannya, co wyjaśniam; Vivchimo sposób przypisywania współrzędnych rzutu punktu na linii prostej (na płaskiej lub trywialnej przestrzeni); Wypróbujmy to.

W artykule „Rzut punktu na płaszczyznę, współrzędne” zastanawialiśmy się, czy przez projektowanie figury należy rozumieć pojęcia projektowania prostopadłego czy ortogonalnego.

Wszystkie figury geometryczne są złożone w punkty; Dlatego, aby móc rzutować figurę na linii prostej, konieczne jest uwzględnienie możliwości rzutowania punktu na linię prostą.

Spotkanie 1

Rzut punktu na linii prostej- tse lub sam punkt, jak powinien leżeć na danej prostej, lub podstawa prostopadłej opuszczonej z punktu na danej prostej.

Spójrzmy na maluchy poniżej: punkt H 1 służy jako rzut punktu M 1 na prostą a, a leżący na prostej punkt M 2 jest rzutem na siebie.

Oznaczenie jest bardziej poprawne dla vipadki na powierzchni i w przestrzeni trivimera.

Aby wziąć rzut punktu M 1 na prostą a na płaszczyznę, narysuj prostą b tak, aby przechodziła przez dany punkt M 1 i była prostopadła do prostej a. W tej kolejności punkt przecięcia prostych a i b będzie rzutem punktu M 1 na prostą a.

W przestrzeni trywialnej rzut punktu na prostą będzie obsługiwany przez punkt przecięcia prostej a i płaszczyznę α, która przejdzie przez punkt M 1 prostopadły do prostej a.

Wartość współrzędnych rzutu punktu na linię prostą

Przyjrzyjmy się łańcuszkom w pejzażach projektu na mieszkaniu iw błahej przestrzeni.

Daj nam zadanie prostokątnego układu współrzędnych O x y, punkt M1 (x1, y1) i prosta a. Konieczna jest znajomość współrzędnych rzutu punktu M1 na prostą a.

Przejdźmy przez dany punkt M 1 (x 1, y 1) prostą b prostopadłą do prostej a. Punkt przerwania jest oznaczony jako H1. Punkt H 1 będzie punktem rzutu punktu M 1 na prostej a.

Z opisu można sformułować algorytm, który pozwala poznać współrzędne rzutu punktu M 1 (x 1 y 1) na prostą a:

Składanie linii prostych (jak nie określono). Dla zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya główny rivnyan w mieszkaniu;

Zapisz ustawienie linii prostej b (przechodzącej przez punkt M 1 i prostopadle do linii prostej a). W tym miejscu uzupełniony zostanie artykuł o ułożeniu linii prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej prostej;

Jest oczywiste, że za współrzędne rzutu przyjmuje się współrzędne punktu przecięcia prostych a i b. I do tego sprawdzony jest system równości, magazyny jak - wyrównanie linii prostych a i b.

tyłek 1

Na płaszczyźnie O x y dany punkt M 1 (1, 0) jest linią prostą a (wyższe wyrównanie - 3 x + y + 7 = 0). Konieczne jest podanie współrzędnych rzutu punktu M1 na prostą a.

Rozwiązanie

Wyrównanie podane przez linię prostą, którą zgodnie z algorytmem przekazujemy do najkrótszego rekordu ułożenia prostej b. Prosta b jest prostopadła do prostej a, a zatem wektor normalny prostej a jest wektorem prostym prostej b. Wtedy wektor bezpośredni prostych b można zapisać jako b → = (3, 1). Zapiszmy kanoniczne ustawienie prostej b, ale musimy też ustawić współrzędne punktu M 1 przez drogę do przejścia prostej b:

Ostateczny krój pokazuje współrzędne punktu przecięcia prostych a i b. Przejdźmy dalej kanoniczny rivnyan bezpośrednie b do zagalnego її równe:

x - 1 3 = y 1 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Stwórzmy układ wyrównań z górnych wyrównań prostych a i b

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Otóż odjęliśmy współrzędne rzutu punktu M 1 (1, 0) na prostą 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1 ).

Sugestia: (- 2 , - 1) .

Raport zostanie zweryfikowany w przypadku konieczności wskazania współrzędnych projekcji punkt nastawy na liniach współrzędnych i liniach do nich równoległych.

Niech podane linie współrzędnych O x і O y, a także punkt M 1 (x 1, y 1). Zdałem sobie sprawę, że rzut danego punktu na prostą współrzędną O x postaci y = 0 będzie punktem o współrzędnych (x 1, 0). Zatem rzut danego punktu na współrzędną linii O y będzie współrzędną 0 , y 1 .

Be-yaku dość proste, równolegle do osi odcięta, możesz to pomylić dziki zazdrosny B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B i prosto, równolegle do osi y - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Następnie rzuty punktu M 1 (x 1, y 1) na linię prostą y \u003d - C B i x \u003d - CA stają się punktami o współrzędnych x 1, - C B i - CA A, y 1.

tyłek 2

Weź współrzędne rzutu punktu M 1 (7, - 5) na prostą współrzędną O y , a także na prostą równoległą do prostej O y 2 y - 3 = 0 .

Rozwiązanie

Zapiszmy współrzędne rzutu danego punktu na prostą O y: (0 - 5) .

Zapiszmy wyrównanie prostej 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 . Staje się jasne, że rzut danego punktu na prostą y = 3 2 z macierzą współrzędnych 7 3 2 .

Sugestia:(0 , - 5) i 7 , 3 2 .

Niech przestrzeń trywialna ma prostokątny układ współrzędnych O x y z , punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i prostą a . Znamy współrzędne rzutu punktu M1 na prostą a.

Przepuścimy płaszczyznę α przez punkt M1 i prostopadły do prostej a. Rzut danego punktu na prostą a staje się punktem na prostej a i płaszczyzną α. Na tej podstawie wprowadzamy algorytm wartości współrzędnych rzutu punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) na prostą a:

Zapisujemy wyrównanie linii prostej a (ponieważ nie jest określone). Aby zrozumieć to zadanie, należy zapoznać się z tym artykułem o wyrównaniu linii prostych w przestrzeni;

Czy możemy przechowywać płaskość?

Znamy współrzędne rzutu punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) na prostą a - będą współrzędne punktu przecięcia prostej α i płaszczyzny α (o pomoc - artykuł „Współrzędne punktu przecięcia linii prostej płaszczyzny”).

tyłek 3

Biorąc pod uwagę układ współrzędnych prostokątnych O x y z , ja w nіy - punkt М 1 (0, 1, - 1) i linia prosta a . Prosta a odpowiada ustawieniu kanonicznemu: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Wyznacz współrzędne rzutu punktu M1 na prostą a.

Rozwiązanie

Algorytm Vykoristovuёmo vkazyvshee. Linia prosta Rivnyannya, pierwszy krok jest pomijany przez algorytm. Zapiszmy wyrównanie obszaru α. Dla których istotne są współrzędne wektora normalnego obszaru. Z podanych wyrównań kanonicznych prostej a widzimy współrzędne wektora prostego prostej: (3, - 4, 1), który będzie wektorem normalnym pola α, prostopadłym do linii prostej a. Todi n → = (3, - 4, 1) jest wektorem normalnym obszaru α. W tej kolejności samolot matime α wyglądał jednakowo:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Teraz znamy współrzędne punktu przecięcia prostej i płaszczyzny α, dla których istnieją dwa sposoby:

Zadania wyrównania kanonicznego pozwalają na wykonanie wyrównania dwóch nakładających się płaszczyzn, które reprezentują linię prostą a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Aby poznać punkty linii poprzecznej linii prostej 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 i płaszczyzny 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

Na do tego konkretnego typu Metoda vikoristovuєmo Cramera, ale możesz zasosuvat, czy to ruchny:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

W ten sposób rzut danego punktu na prostą a jest punktem o współrzędnych (1, 2, 0)

Na podstawie zadań wyrównań kanonicznych łatwo jest zapisać parametryczne wyrównanie prostej w przestrzeni:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Wyobraźmy sobie na poziomie płaszczyzny, która może być postrzegana jako 3 x - 4 y + z + 5 = 0 zamiast x , y і z їх wyrażenie przez parametr:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Obliczmy współrzędne punktu przecięcia prostej a i płaszczyzny α za ustawieniami parametrycznymi prostej a przy λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Zatem rzut danego punktu na prostą a ma współrzędne (1, 2, 0)

Sugestia: (1 , 2 , 0)

Istotne jest to, że rzuty punktu M 1 (x 1 , y 1 , z 1) na linie współrzędnych O x , O y і O z będą punktami o współrzędnych (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) i (0 , 0 , z 1) jest prawidłowy.

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

pomóż komuś innemu kalkulator online możesz poznać rzut punktu na linię prostą. Mamy nadzieję zgłosić rozwiązanie wraz z wyjaśnieniami. Aby obliczyć rzut punktu na prostą, ustaw wymiar (2- wygląda jak prosta na płaszczyźnie, 3- wygląda jak prosta w przestrzeni), wprowadź współrzędne tego punktu element wyrównania w polu i naciśnij przycisk "Verishity".

Osiągnięcie

Wyczyścić wszystkie pokoje?

Zamknij Wyczyść

Instrukcja wprowadzania danych. Liczby są wprowadzane jako liczby całkowite (dotyczy: 487, 5, -7623 cienkie.), liczby dziesiąte (np. 67., 102.54 cienkie.) lub ułamki. Ułamek należy wpisać na widok a / b, de a і b (b> 0) tsіlі lub dziesiątki liczb. Nałożyć cienką warstwę 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7.

Rzut punktu na prostą - teoria, zastosuj to rozwiązanie

Przyjrzyjmy się zadaniu w dwu- i trójświatowej przestrzeni.

1. Niech zostanie przyznany punkt przestrzeni dwóch światów M 0 (x 0 , tak 0) ja prosto L:

Algorytm rzutowania punktu na linię prostą L zemścić się w ten sposób:

monit bezpośrednio L 1 przejść przez punkt M 0 i prostopadle do linii prostej L,
znać rozpiętość linii prostych Lі L 1 (punkt M 1)

Linia prosta do przejścia przez punkt M 0 (x 0 , tak 0) może wyglądać tak:

Vіdkrієmo łuki

(5)

Przyjmijmy wartość xі tak o 4):

de x 1 =mt"+x", tak 1 =pkt"+y".

Przykład 1. Poznaj rzut punktu M 0 (1, 3) prosto

Tobto. m=4, p=5. Z wyrównania linii prostej (6) widać, że przejdzie ona przez punkt M" (x", y")=(2, −3)(co łatwo zmienić - podstawienie wartości (6) przyjmuje tożsamość 0=0). x"=2, y"=-3. Przyjmijmy wartość m, p, x 0 , tak 0 ,x", y" przy 5"):

2. Niech nadany zostanie punkt przestrzeni trywialnej świata M 0 (x 0 , tak 0 , z 0) ja prosto L:

Znaczenie rzutowania punktu na linię prostą L zemścić się w ten sposób:

zachęcać do mieszkania α , aby przejść przez punkt M 0 i prostopadle do linii prostej L,
znać obszar siatkówki α ja prosto L(plamka M 1)

Płaskość płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 0 (x 0 , tak 0 , z 0) może wyglądać tak:

Vіdkrієmo łuki

(10)

Przyjmijmy wartość xі tak około 9):

m(mt+x")+p(pt+y")+ja(to+z")−mx 0 −ptak 0 −jaz 0 =0

m 2 t+mx"+p 2 t+py"+ja 2 t+leżeć−mx 0 −ptak 0 −jaz 0 =0

Rzut punktu na linię prostą jest łatwy do wykonania, a dla kilku ostatnich operacji bliskość zera jest obliczana jako rzut punktu na linię kropkowaną. Przyjrzyjmy się tej liczbie aspektów wspólnego zadania.

Niech pójdzie prosto

plamki. Co ważne, wektor prostych w może być dość długi. Linia prosta przechodzi przez punkt , w którym parametr t jest równy zero, a wektor w jest prosty. Konieczna jest znajomość rzutu punktu na linię prostą. Jest tylko jedno rozwiązanie. Indukujemy wektor od punktu linii prostej do punktu i obliczalny skalarny wektor sztywny oraz wektor prostej w. Na ryc. 4.5.1 pokazujący wektor prosty prostych w, danego punktu. Jeśli podzielimy to rozszerzenie skalarne na długość wektora w, odejmiemy długość rzutu wektora na linię prostą.

Ryż. 4.5.1. Rzut punktu na linii prostej

Jeśli podzielimy wydłużenie skalarne przez kwadrat wektora w, to odejmiemy rzut wektora na prostą w jednostkach przedłużenia wektora w, czyli przyjmiemy parametr t dla rzutu punktu na linia prosta.

Zatem parametr rzutowania punktu na prostej i wektor promienia rzutu ; obliczyć za pomocą formuł

(4.5.3)

Jeżeli długość wektora w jest równa 1, to (4.5.2) nie jest konieczne odejmowanie od punktu do rzutu na krzywą o stromym nachyleniu, oblicza się ją jako długość wektora. Możesz obliczyć odległość od punktu do її rzutów na linii prostej bez obliczania rzutu punktu, ale przyspieszając formułę

Okremі spada.

Rzut punktu na krzywe analityczne może być również znany bez znajomości metod numerycznych. Na przykład, aby poznać rzut punktu na nacięcie końcowe, należy przełożyć rzutowany punkt na układ współrzędnych nacięcia końcowego, rzutować punkt na płaszczyznę nacięcia końcowego i znać parametr dwuwymiarowego rzutu danego punktu.

Zagalny vpadok.

Niech będzie konieczne poznanie wszystkich rzutów punktu na zakrzywionej linii.

(4.5.5)

Celem jest zemsta na jednej nieznanej wartości - parametrze t. Jak już zostało powiedziane, realizacja tego zadania została rozłożona na dwa etapy. Na pierwszym etapie oznaczamy zerowe przybliżenie parametrów w rzutach punktu na krzywej, a na drugim etapie znamy dokładne wartości parametrów na krzywej, które przypisujemy rzuty danego punktu na krzywej do linii z