Podgrupy grup cyklicznych. Grupy cykliczne. Sumіzhni classi, twierdzenie Lagrange'a

Grupa O jest nazywana cykliczną, ponieważ wszystkie elementy są etapami jednego i tego samego elementu.Ten element nazywa się twierdzącą grupą cykliczną O. Czy grupa cykliczna jest oczywiście abelowa.

Grupa cykliczna to na przykład grupa liczb całkowitych do dodawania. Grupa Qiu mi jest oznaczona symbolem 2. ї tvirnoy є numer 1 (w numer navit - 1). Grupa cykliczna to również grupa składająca się tylko z jednego elementu (pojedynczego).

W dużej grupie O żebrach dowolnego pierwiastka g, aby stać się cykliczną podgrupą o stałej g. Kolejność podgrup, zrozumіlo, zbіgaєtsya z porządkiem elementu g. Wyniki twierdzenia Lagrange'a (div. str. 32) pokazują, że należy podzielić kolejność dowolnego elementu grupy, porządek grupy (odpowiednio, że wszystkie elementy grupy końcowej są elementami porządku ostatecznego).

Do tego, dla dowolnego elementu g końcowej grupy, kolejność może być równa

Ten prosty szacunek jest często błędny.

Oczywiście, skoro grupa jest cykliczna i її ustala się, to kolejność elementu jest poprawna. Wróć, jako grupa elementów volody w kolejności, a następnie wśród kroków tego elementu są różne, a do tego kroku cała grupa Pro.

Mi bachimo, w takiej randze, że grupa cykliczna może matkować dekilka o różnych utvoryuyuchih (sama być jakimś elementem porządku є tvernoy).

Menedżer. Doprowadzenie do tego, że grupa prostego porządku jest grupą cykliczną.

Menedżer. Przynieś to, co może zamówić grupa cykliczna, równomiernie zatwierdzaj, rozbieraj liczby dodatnie, mniejsze i wzajemnie prostsze s .

W kolejności, czy to grupa kіntsevіy, możesz dodać liczbę - najmniej znaczącą wielokrotność kolejności wszystkich elementów її.

Menedżer. Aby przynieść, niezależnie od końca grupy, liczbę, aby podzielić kolejność grupy.

Oczywistym jest, że w grupie cyklicznej liczba ta rośnie w kolejności. Powrót, pozornie vzagali, nieprawda. Tim jest nie mniej, może hartować, co charakteryzuje grupy cykliczne w klasie końcowych grup abelowych:

koniec grupa abelowa, dla której liczba jest bardziej zaawansowana w rzędzie, є grupa cykliczna.

Racja, nie róbmy tego

Zamówienia wszystkich vіdmіnkh vіd odinі elementі v kіntseї аbelії ї ї ї O zamówieniu, і nehay - їх przynajmniej zagalne wielokrotność.

Rozłóżmy liczbę dodatkowych kroków różnych liczb pierwszych:

Niech liczba Oskіlki є jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb (1), spośród liczb, które chcesz mieć jedną liczbę, która dzieli się dokładnie przez ie. Niech liczba є będzie porządkiem elementu g. Ten sam element jest w kolejności (sekwencja dywizji 1) na stronie 29).

W takim rankingu, dla każdego w grupie Pro nie chce się użyć jednego elementu w kolejności. Wibrowanie dla skóry to jeden z takich elementów, spójrzmy na twoją twarz. Zgidno z firmzhennyam, sprowadź na bok. 29-30; Oskіlki reszta liczby dla umysłu jest dobra, sam Tim przyniósł, że w grupie jest element w kolejności pozycji Otzhe, ta grupa jest grupą cykliczną.

Chodź teraz O - dość cykliczna grupa ze skręconą i H - deak її podgrupa. Oskіlki, czy element podgrupy H jest elementem grupy Pro, możesz na to spojrzeć, de d - może to być bardziej dodatnia lub ujemna liczba (vzagali, sevne jest niejednoznaczne). Możemy przyjrzeć się bezosobowości wszystkich liczb dodatnich, który element należy do podgrupy N. Oskilki ce bezosobowość nie jest pusta (dlaczego?), wtedy pokazana jest najmniejsza liczba, czy element h podgrupa H jest stopniem elementu. W rzeczywistości, ze względu na argument, istnieje ta sama liczba d, która (liczba może być ujemna). Podziel (zbyt dużo) liczbę d przez liczbę

Tak więc, ze względu na minimalną liczbę nadwyżek, jest winny osiągnięcia zera. W taki sposób,

Sam Tim ujawnił, że pierwiastek jest stałą grupą H, więc grupa H jest cykliczna. Otzhe, bądź podgrupą grupy cyklicznej grupy cyklicznej.

Menedżer. Wprowadź numer do indeksu podgrupy H, a następnie podziel kolejność grupy (jak grupa O Kintsev).

Z poważaniem, dla każdego dilnika kolejność ostatniej cyklicznej grupy Q w grupie Pro to jedna i więcej niż jedna podgrupa H w kolejności (a sama podgrupa jest

Jest oczywiste, że endian cykliczna grupa jest prosta, że porządek jest liczbą pierwszą (lub jednością).

Istotne jest, czy czynnik (grupa tego samego, czy obraz homomorficzny) cyklicznej grupy Q jest grupą cykliczną.

Aby to udowodnić, pamiętaj, że grupa tvirnoi powinna służyć inteligentnej klasie, która pomści grupę tvirno Pro.

Zocrema, czy czynnik grupy grupy liczb całkowitych Z jest grupą cykliczną. Vivchimo tsі tsіchіchіchі grupі prіknіshe.

Ponieważ grupa Z to Abelian, to czy podgrupa Z jest normalnym dilnikem. Z drugiej strony, z punktu widzenia wniesienia więcej, podgrupa H jest grupą cykliczną. Ponieważ czynnik grupy stojącej za trywialnymi podgrupami jest nam znany, możemy uznać podgrupę H za nietrywialną. Niech liczba є spełniająca podgrupę N. Możemy uczynić liczbę dodatnią (dlaczego?) і, również większą niż jeden.

Podgrupa N. jest oczywiście utworzona ze wszystkich liczb, które są podzielone. Dlatego dwie liczby nadal należą tylko do jednej klasy sumy dla podgrupy H, jeśli różnica jest podzielona przez , to jeśli smród może być równy modułowi (dział Kurs, strona 277). W tej randze sumy klasy dla podgrupy H to nic innego, jak klasy liczb, dzięki czemu można się równać dla modułu.

Innymi słowy, czynnikiem grupy grupy Z dla podgrupy H jest grupa (dla dodatków) klas liczb, które są sobie równe dla modułu . Wyznaczymy tę grupę przez klasę Її zatwierdzającą є, która pomści numer 1.

Okazuje się, czy grupa cykliczna jest izomorficzna, czy grupa Z (ponieważ nie jest ograniczona) lub jedna z grup (ponieważ kolejność jest oddzielona od skóry).

To prawda, powiedz mi - tworzę grupę O. Co ważne, ekspresja grupy 2 w grupie O, jednak

Przyjrzyjmy się multiplikatywnej grupie wszystkich dwóch etapów (2Z, ), gdzie 2Z = (2 n | P eZ). Analogiem grupy addytywnej my є jest grupa addytywna bliźniaczych liczb całkowitych (2Z, +), 2Z = (2n | pe Z). Grupy Damo zagalne vyznachennya, okremi kolby takich grup є danі.

Powołanie 1.8. Grupa multiplikatywna (G,) (Grupa dodatków (G, +)) nazywa się cykliczny jak jest sumowany z kolejnych poziomów (wszystkich wielokrotności) jednego elementu a e G, Tobto. G=(Ap | pe Z) (vіdpovіdno, G - (pa | pe Z)). Oznaczenie: (a), czytać: grupa cykliczna generowana przez element a.

Przyjrzyjmy się temu.

1. Końcówka multiplikatywnej nieskalującej grupy cyklicznej może być grupą wszystkich etapów cyklu o stałej liczbie całkowitej a F±1, wygrana wskazana i r. w taki sposób, i d - (a).
2. Kolbą multiplikatywnej końcowej grupy cyklicznej jest grupa C pierwiastek n-ty krok od samotności. Zgadnij co pierwiastek n-ty krok od jednego do poznania

za formułą e k= cos---hisin^-, de przed = 0, 1, ..., P - 1. Slajd- p p

naprawdę, З „ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Zgadnij co Liczby zespolone e do, do = 1, ..., P - 1, są przedstawione za pomocą punktów pojedynczej stawki, jaka P równe części.

3. Charakterystycznym przykładem addytywnej nieskalującej grupy cyklicznej jest addytywna grupa liczb całkowitych Z, która jest generowana przez liczbę 1, czyli. Z = (1). Geometrycznie pojawia się na widok całych punktów linii numerycznej. W rzeczywistości tak przedstawia się sama grupa multiplikatywna 2 7 - = (2) a z \u003d (a), numer decyla a F±1 (podział rys. 1.3). Jakość obrazów omówiono w paragrafie 1.6.
4. Vibero w dużej grupie multiplikatywnej G aktywny element a. Wtedy wszystkie cykle etapów elementu spełniają cykliczną podgrupę (a) = (a pp e Z G.
5. Można wykazać, że addytywna grupa liczb wymiernych Q sama w sobie nie jest cykliczna, ale niezależnie od tego, czy dwa pierwiastki leżą w podgrupie cyklicznej.

A. Udowadniamy, że grupa dodatków Q nie jest cykliczna. Dopuszczalne niedopuszczalne: niech Q = (-). Podstawowa liczba docelowa b,

nie udostępniaj t. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, a następnie rzeczownik-

b t/ (t J

є numer tsile gs 0 więc sho - \u003d n 0 -. Ale todi m = n 0 kb,

gwiazdy t:- superostrość dіyshli.

B. Powiedzmy, że jeszcze dwa liczby wymierne -

h „ /1

i - nakładają się na podgrupę cykliczną (-), de tє znaleźć- d t/

mniej niż duża wielokrotność liczb bі d. Racja, nie róbmy tego m-bi

, a 1 /1 h cv 1/1

ja m = śr, u, v e Z, wtedy ja - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b ja t t/ a dv t t/

Twierdzenie 1.3. Kolejność grupy cyklicznej jest taka sama jak kolejność elementu macierzystego grupy, tobto.|(a)| = | |.

Przynoszący. 1. Chodź | = ">. Wiemy, że wszystkie naturalne kroki żywiołu a różne. Dopuszczalne niedopuszczalne: chodź ak = a tі 0 do Todi t - zanim - Liczba naturalnaі a t ~ do = e. Ale tse superechit z tego scho | a = ° °. W ten sposób wszystkie naturalne kroki żywiołu a raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst group (a). Otzhe, | (a)| = ° ° = | |.

2. Chodź | | = n. (a) \u003d (e - 0, a, 2,..., a "-1). Od oznaczenia grupy cyklicznej, włączenie (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). Włączmy to. Dodatkowy element grupy cyklicznej (a) może wyglądać w, de ti Z. Udostępnianie sznapsów w nadmiarze: m-nq + r, de 0 p. Oskilki a n = e, następnie w = a p ja + g \u003d p h? a r = a r e(o 0, o 2 ,..., a "- 1). Zvіdsi (a) s (a 0, a, a 2, ..., W tej kolejności (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" -jeden).

Konieczne jest, aby wszystkie elementy były pomnożone (a 0, a, 2 ,..., a "-1) różne. Dopuszczalne niedopuszczalne: niech 0 i P, ale a" = a). To samo wino - e ta 0 j - i - dіyshli super-ostrość z umovoy | | = P. Twierdzenie zostało zakończone.

Podgrupy grup cyklicznych

Nadchodzi twierdzenie, które definiuje istnienie podgrupy grup cyklicznych.

Twierdzenie 1.4. Podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna. Yakscho G = (a)uH - niesamodzielna podgrupa grupy G, moH = (i mi) de P - najmniejsza liczba naturalna, taka jak a p e N.

Przynoszący. No dalej G = (a) to H- podgrupa grupy G. Jak podgrupa H singiel, więc H =(f) – grupa cykliczna. Daj spokój H- podgrupa niesamodzielna. Znacząco przez P najmniejsza liczba naturalna, więc długopis, i daj nam znać, że H \u003d (p). Włączenie ( PI) h H oczywiście. Włączmy to. Daj spokój h e H. Oskilki G = (a), to jest prawdziwy show zanim, Więc co h = a do. Podzielmy się zanim na P za dużo: zanim = nq+ g, de 0 pkt. g F 0, to weź h = a do = a pa p h a g, gwiazdy a r \u003d a ~ p hN e N. Doszedł do doskonałości z minimalnym wyświetlaczem P. Również r = 0 i do - nq. Zwіdsi h = a k = a p h e a"). W tej randze H h ( a n), później, H = (a mi). Twierdzenie zostało zakończone.

Elementy macierzyste grupy cyklicznej

Jakie pierwiastki mogą dać początek grupie cyklicznej? Istnieją dwa twierdzenia, które wspierają te dwa twierdzenia.

Twierdzenie 1.5. Niech grupa cykliczna G = (a) otrzyma niezredukowany porządek. Todi (a) - (a do) wtedy i tylko wtedy, jeśli do - ± 1.

Przynoszący. Daj spokój G = (a),|a| = ° ° i (a) = (Ak). Todі іsnuє tіla kіlkіst P, Więc co a = kp. Zvіdsi a * "-1 \u003d mi, i oskolki | a = następnie kp - 1 = 0. Alethodi kp = 1 ich-± 1. Poważne utwardzenie jest bardziej oczywiste.

Twierdzenie 1.6. Podajmy cykliczną grupę G = (a) do rzędu m. gcd(/s, t) = 1.

Przynoszący.(=>) No dalej (a) = (a przed), daj nam znać, że GCD(/s, t) - 1. Znacząco SNDC, t) – d. Oskilki a mi (a) - (a do), następnie a = kp z obecną całością P. Dla dokładnej kolejności elementów gwiazdy śpiewają, scho (1 - kp) : t, Tobto. jeden - kp = mt dla liczby całkowitej t. Ale todi 1 = (kp + mt) : d, gwiazdki d = 1 w GCD (/s, t)= 1.

(Chodźmy NID (k, t) = 1. Dowiedzmy się co (a) = (Ak). Zauważyć (a przed) h (a) jest oczywiste. Z powrotem, myśl GCD nr, t) = 1 kolejne numery і i v, takie Ki + mw= 1. Koristuyuchis tim sho | | - t, do przyjęcia a = a ku + mv = a ku a mv = a kі e (a to). Otzhe, (a) = (a do). Twierdzenie zostało zakończone.

Zgadnij co Funkcja Eulera f(t) oznacza liczbę liczb naturalnych, która nie zmienia liczby naturalnej t i wzajemnie proste t. Brzmi jak obsesyjna konsekwencja.

Konsekwencja. Grupa cykliczna (a) zamówienie t maє f(t) różnych elementów, które są generowane.

Dla danej dokładności geometrycznej Twierdzenia 1.5 reprezentujemy grupę cykliczną G = (a) zamówienie t stawiać punkty A 0, A b ..., A t _ b podziel to na t równe części. element do podane grupy, które pokazują punkty A wcześniej wygeneruje niektóre i tylko niektóre, jeśli kolejno punkty A 0, Ak, A 2k itd., dojdziemy do punktu A]. Dowiedzmy się wszystkiego zanim w t= 10 po prostu wyliczmy vipadkіv (ryc. 1.5). W rezultacie bierzemy przed =1,3, 7, 9. Dla grupy cyklicznej (a) tse oznacza, że (a) \u003d (a 3) \u003d (a 7) \u003d (a 9). powrót: wiem zanim, wzajemnie proste z tym samym numerem t, możesz łaskawie vikreslyuvat vodpovidnu „mała gwiazdka”, mocno wiedząc, że wcześniej wypijesz chi pizno w punkcie skóry, więcej (a) \u003d ( a do).

Daj spokój G– pogrupuj ten element a G. Rząd elementu a (oznaczony przez ׀а׀) nazywany jest najmniejszą liczbą naturalną nN, Co

a n = a . . . . a =1.

Jeśli taka liczba nie jest znana, to wydaje się, że a- Element niespójnego porządku.

Lemat 6.2. Yakscho a k= 1 , wtedy k dziel według kolejności elementów a.

Wizyta, umówione spotkanie. Daj spokój G- ta grupa a G. Todi bezlich

H = (ak ׀ k }

є podgrupa grupy G, jak to się nazywa podgrupa cykliczna generowana przez element a (oznaczona przez H =< а >).

Lemat 6.3. Podgrupa cykliczna H, generowany przez element a zamówienie n, єzakończ kolejność grupową n, co więcej

H = (1 = a 0, a, ..., a n-1).

Lemat 6.4. Daj spokój a- Element niespójnego porządku. Ta sama podgrupa cykliczna H = <a> - nieoskórowany i dowolny element s H zarejestruj się na widok a k , zanimZ, co więcej, w jednym szeregu.

Grupa nazywa się cykliczny yakscho wygrał zbіgaєtsya z odnієyu zіh svoїkh tsіchnyh podgrup.

tyłek 1. Grupa dodatków Z wszystkich liczb całkowitych jest nieskończoną grupą cykliczną generowaną przez element 1.

tyłek 2. Bezosobowe korzenie n-ty krok od 1 rzędu cyklicznej grupy n.

Twierdzenie 6.2. Czy podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.

Twierdzenie 6.3. Czy nieskończenie cykliczna grupa jest izomorficzna z addytywną grupą liczb całkowitych Z. Czy jest to system cykliczny kіntseva n izomorficzny z grupą wszystkich korzeni n-ty krok od 1.

Podgrupa normalna. czynnik grupowy.

Lemat 6.5. Daj spokój H- Podgrupa grupy G, na podstawie wszystkich lewych klas sum jednocześnie є i prawych klas sum_. Todi

aH=Ha, a G.

Wizyta, umówione spotkanie. Podgrupa H groupie G nazywany normalnym w G(wskazany HG), ponieważ wszystkie i lewe klasy summіzhnі mają rację, więc

aH=Ha, aG.

Twierdzenie 6.4. Daj spokój H
G, G/N– bez twarzy ze wszystkich sumatywnych klas grupy G według podgrupy H. Jak pomnożyć G/N operacja mnożenia

(aH)(bH) = (ab)H,

następnie G/N staje się grupą, ponieważ czynnik nazywa się grupą grupową G według podgrupy H.

Homomorfizm grupowy

Wizyta, umówione spotkanie. Daj spokój G 1 ja G 2 - grupy. Fermentacja Todi f: G 1
G 2 nazywa się homomorfizmem G 1 w G 2, jak

F(ab) = f(a)f(b) , a,b G 1 .

Lemat 6.6. Daj spokój f– homomorfizm grupowy G 1 do grupy G 2. Todi:

1) f(1) - pojedyncza grupa G 2 ;

2) f(a -1) = f(a) -1 ,aG 1 ;

3) f(G 1) - podgrupa grupy G 2 ;

Wizyta, umówione spotkanie. Daj spokój f– homomorfizm grupowy G 1 do grupy G 2. Todi bezlich

kerf = {aG 1 ׀f(a) = 1G 2 }

nazywa się jądrem homomorfizmu f .

Twierdzenie 6.5. ker f
G.

Twierdzenie 6.6. Bądź normalną podgrupą grupy G rdzeń dowolnego homomorfizmu.

Kiltsya

Wizyta, umówione spotkanie. Pusty bez twarzy Zanim nazywa kіltsem, jakby dwie operacje binarne zostały przypisane do nowej operacji, ponieważ nazywają się dodawaniem i mnożeniem i zadowalają postępujące umysły:

Zanim- grupa Abla do dalszych operacji;

liczba mnoga skojarzona;

prawa dystrybucji vikonuyutsya

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x, y, zK.

krupon 1. Bezlicza Qі R- Kilcya.

Kіltse nazywa się przemienny, tak jak

xy=yx, x,yK.

tyłek 2. (Porivniannia). Daj spokój m- stała liczba naturalna, aі b- Numer Dovіlnі tsіlі. Ten sam numer a dopasowane do numeru b za modułem m jako detalista a – b być podzielonym na m(pisemny: ab(mod m)).

Ocena równa ustaleniu równoważności bezosobowej Z co się psuje Z w klasie, yakі call class vіdrahuvan dla modułu m i oznaczać Z m. Bezlich Z mє przemienny pierścień z jednością.

pola

Wizyta, umówione spotkanie. Pole nazywa się puste, bezosobowe R, Aby nie pomścić 2 elementów, za pomocą dwóch binarnych operacji składania i mnożenia w taki sposób, że:

tyłek 1. Bezlich Qі R nieograniczone pola.

tyłek 2. Bezlich Z r- Pole Kincewe.

Dwa elementy aі b pola R vіdminnі vіd 0 nazywane są dilerami zera, jak ab = 0.

Lemat 6.7. Pole nie ma liczby zer.

Niech g będzie dodatkowym elementem grupy G. Todi, przyjmując podgrupę minimalną
, generowany przez jeden element
.

Wizyta, umówione spotkanie. Minimalna podgrupa
, generowany przez jeden element g grupy G, nazywa się podgrupa cykliczna grupa G.

Wizyta, umówione spotkanie. Jak cała grupa G rodzi się z jednego elementu, czyli.
, to nazywa się grupa cykliczna.

Daj spokój element grupy multiplikatywnej G, ta sama podgrupa minimalna, generowana przez ten element, jest tworzona z tego elementu

Spójrzmy na krok elementu , następnie. elementy

Dwie możliwości:

1. Element kroku Usі g raznі, tobto.

, to tutaj powiem, że element g nie może być redukowany w kolejności.

2. Є kroki zbіgi, tobto. , ale
.

І tutaj element g jest ostatecznym porządkiem.

Dobrze, powiedz mi na przykład,
і
Todi,
, następnie. ustal pozytywne kroki
element
, równy jednemu elementowi.

Niech d - najmniej dodatni wskaźnik poziomu pierwiastka , dla którego
. Wtedy wydaje się, że żywioł
Maj ostatnie zamówienie, równe d.

Visnovok. Mieć rodzaj grupy G ostatniego rzędu (
) wszystkie elementy będą w ostatecznej kolejności.

Niech g będzie elementem grupy multiplikatywnej G lub podgrupy multiplikatywnej
sumuje się ze wszystkich różnych etapów elementu g. Otzhe, liczba elementów w podgrupie
zbigaєtsya z kolejnością elementu Tobto.

liczba elementów w grupie
popraw kolejność elementu ,

Z drugiej strony może być taka sama twardość.

Jędrność. Zamówienie bez względu na żywioł
do rzędu minimalnej podgrupy generowanej przez ten element
.

Przynoszący. 1.Yakscho - Element ostatecznego zamówienia , następnie

2. Jakscho - Element niespójnego porządku, a potem nic nie wnosić.

Element Yakscho może zamówić , a następnie, w tym celu, wszystkie elementy

inny i być krokiem zbіgaєtsya z jednym z tych elementów.

To prawda, niech ostentacyjny krok!
, następnie. - wystarczy numer i nie idź
. Ten sam numer widać na pierwszy rzut oka
, de
,
. Todі, vikoristuuuuuuuuuuuu poziom mocy elementu g,

Zokrema, Yakshcho.

krupon. Daj spokój
- Abelowa grupa liczb całkowitych jest addytywna. Grupa G składa się z minimalnej podgrupy, generowanej przez jeden z elementów 1 lub –1:

otzhe,
- Grupa Bezkіnechna tsiklіchna.

Grupy cykliczne ostatecznej kolejności

Jak przykład cyklicznej grupy ostatniego rzędu, jest to jasne grupa owijająca właściwe n-kutnik shodo yogo do środka
.

Elementy grupy

є obrócić n-kutnik przeciwko strzałce godinnikova na kuti.

Elementy grupy
є

a z odbicia geometrycznego jasno wynika, że

Grupa
zemścić się na żywiołach, tobto.
, ale satysfakcjonujący element grupy
є , następnie.

Daj spokój
todi (dział rys. 1)

Ryż. jeden – Grupa - opakowanie prawidłowego trikutnika ABC shodo do środka O.

Operacja algebraiczna  w grupie - Ostatnie owinięcie przeciwko strzałce roku, na kut, wielokrotność , następnie.

Zvorotny element
- zawijanie za strzałką roku na kut 1, tobto.

Tabela Kmichi

Analiza ostatnich grup najprawdopodobniej zostanie wykorzystana do tabel uzupełniających Keli, jako przewodnik po „tabliczce mnożenia”.

Niech grupa G zemści się na elementach n.

Moim zdaniem stół Keli є macierz kwadratowa jest n wierszy i n wierszy.

Do rzędu karnacji i warstwy karnacji jeden lub więcej niż jeden element grupy.

element tabela Kelі, scho, aby stanąć na siatkówce i-tego rzędu i j-tej kolumny, do wyniku operacji „mnożenia” i-tego elementu z j-tym elementem grupy.

krupon. Niech grupa G pomści trzy elementy (g1, g2, g3). Działanie w grupie „mnożenie”. W tym momencie stół Keli może wyglądać:

Szacunek. W rzędzie skórek i kolumnie skórek tabeli Keli znajdują się wszystkie elementy grupy i nie ma smrodu. Tabela Keli do zastąpienia wszystkich informacji o grupie. Co możesz powiedzieć o sile tej grupy?

1. Jedynym elementem tej grupy jest g1.

2. Grupa jest abelowa, ponieważ stół jest symetryczny wzdłuż głównej przekątnej.

3. W przypadku elementu skóry grupy konieczne jest:

dla g 1 okład є element g 1 dla g 2 element g 3 .

Chodźmy na grupy Tabele komórek.

Dla znaczenia kluczowego elementu dla elementu, na przykład, , niezbędny dla rzędu, dla konkretnego elementu znać element zemsty piecyków . element vidpovіdny przekazany stovptsyu i є vorotnym do elementu , dlatego
.

Podobnie jak stół Keli jest symetryczny jak przekątna głowy, tse oznacza, że

- Tobto. działanie analizowanej grupy jest przemienne. Dla wywodu, stół Keli jest symetryczny, chociaż przekątna głowy oznacza, że operacja jest w to znaczy przemienne.
,

Grupa - Abiełowa.

Widać całą grupę przekształceń symetrii poprawnego n - cosin po dodaniu do operacji zawinięcia dodatkowej operacji przestrzennego zakrętu wokół osi symetrii.