Poznaj najważniejszą funkcję liczby. Najważniejsze i najmniej ważne funkcje nielicznych zmian w regionie. Funkcje wielu zmian

Spotkanie 1.11 Niech zostanie ustawiona funkcja dwóch zmieniarek z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 ) - punkt wewnętrzny terenu D .

Yakscho w D є takie sąsiedztwo UM 0 plamki M 0 , co dla wszystkich punktów

potem drobinka M 0 nazywany jest lokalnym punktem maksymalnym. A znaczenie z(M 0 ) - lokalne maksimum.

A co do wszystkich punktów

potem drobinka M 0 nazywana jest punktem lokalnego minimum funkcji z(x,y) . A znaczenie z(M 0 ) - Lokalne minimum.

Lokalne maksimum i lokalne minimum nazywamy lokalnymi ekstremami funkcji z(x,y) . Na ryc. 1.4 wyjaśnione geometryczny zmist lokalne maksimum: M 0 - wskaż maksymalnie, co jest na powierzchni z = z(x, y) jasny punkt C 0 wiedzieć lepiej z jakiegokolwiek innego powodu C (Który ma maksymalną lokalizację).

Z szacunkiem, na powierzchni znajdują się kropki (na przykład Na ), jeśli wiesz więcej C 0 , ale kropki qi (na przykład Na ) nie є „sądowe” z kropką C 0 .

Zocrema, punkt Na potwierdza zrozumienie globalnego maksimum:

Podobnie wyznacza się globalne minimum:

Znajomość globalnych maksimów i minimów zostanie omówiona w paragrafie 1.10.

Twierdzenie 1.3 (wymagane ekstremum).

Niech funkcja zostanie ustawiona z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 D - Lokalny punkt ekstremum.

Co masz z" x і z" tak , następnie

Potwierdzenie geometryczne to „oczywiście”. Co dalej C 0 na (rys. 1.4) narysować punktowo płaską powierzchnię, tam „naturalnie” przebiega poziomo, czyli pod maską 0° do osi Oh ja do osi OU .

To samo dotyczy geometrycznej zmiany krewnych prywatnych (ryc. 1.3):

co trzeba było przynieść.

Spotkanie 1.12.

Co dalej M 0 pomyśl (1.41), to nazywamy to punktem stacjonarnym funkcji z (x, y) .

Twierdzenie 1.4 (umysł wystarczający do ekstremum).

Pozwól, że zapytam z = z (x, y), (x, y) D , ponieważ w pobliżu punktu mogą odbywać się imprezy prywatne o innej kolejności M 0 (x 0 tak 0 ) D . I dlaczego M 0 - Nieruchomy punkt Obliczmy:

Dowód twierdzenia Vicorist przez te (formuła Taylora funkcji wielu zmiennych i teoria form kwadratowych), który nie jest rozważany przez żadnego pomocnika.

tyłek 1.13.

Idź do ekstremum:

1. Znamy punkty stacjonarne, które łamią system (1.41):

więc znaleźliśmy kilka punktów stacjonarnych. 2.

po Twierdzeniu 1.4 punkty mają minimum. I dlaczego

zgodnie z Twierdzeniem 1.4 w punkcie

Maksymalny. I dlaczego

§10 Największa i najmniejsza wartość funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkniętym

Twierdzenie 1.5 Puść w pobliżu zamkniętego obszaru D funkcja jest ustawiona z = z(x, y) , czyli bez przerwy prywatne wyjazdy pierwszego rzędu. Kordon G regiony D є shmatkovo smooth (złożone z krzywych shmatkіv „gładkich na dotik” lub linii prostych). Todi w regionie D funkcjonować z(x,y) osiągnij swojego największego M i najmniej m wartość.

Bez potwierdzenia.

Możesz propagować kolejny plan nagany M і m . 1. Będziemy krzesłami, będziemy mogli zobaczyć wszystkie części kordonu regionu D i znamy wszystkie "kutovі" punkty kordonu. 2. Znamy punkty stacjonarne pośrodku D . 3. Znane są stacjonarne punkty skóry z kordonów. 4. Oblicz we wszystkich punktach stacjonarnych i wierzchołkowych, a następnie wybierz najbardziej M i najmniej m oznaczający.

Przypadek 1.14 Dowiedz się więcej M i najmniej m wartość funkcji z = 4x2-2xy+y2-8x w pobliżu zamkniętego obszaru D , opisany: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Przenieśmy teren D (rys. 1.5) na mieszkaniu Ohu .

Punkty Kutovі: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Kordon G regiony D składa się z trzech części:

2. Znamy punkty stacjonarne w środku regionu D :

3. Punkty stacjonarne na kordonach ja 1 ja 2 ja 3 :

4. Liczy się sześć wartości:

Z pominięcia sześciu wartości wybierz najwięcej i najmniej.

Twierdzenie 1.5 Puść w pobliżu zamkniętego obszaru D funkcja jest ustawiona z = z(x, y) , czyli bez przerwy prywatne wyjazdy pierwszego rzędu. Kordon G regiony D є shmatkovo smooth (złożone z krzywych shmatkіv „gładkich na dotik” lub linii prostych). Todi w regionie D funkcjonować z (x, y) osiągnij swojego największego M i najmniej m wartość.

Bez potwierdzenia.

Możesz propagować kolejny plan nagany M і m .
1. Będziemy krzesłami, będziemy mogli zobaczyć wszystkie części kordonu regionu D i znamy wszystkie "kutovі" punkty kordonu.
2. Znamy punkty stacjonarne pośrodku D .
3. Znane są stacjonarne punkty skóry z kordonów.
4. Oblicz we wszystkich punktach stacjonarnych i wierzchołkowych, a następnie wybierz najbardziej M i najmniej m oznaczający.

Przypadek 1.14 Dowiedz się więcej M i najmniej m wartość funkcji z = 4x2-2xy+y2-8x w pobliżu zamkniętego obszaru D , opisany: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Przenieśmy teren D (rys. 1.5) na mieszkaniu Ohu .

Punkty Kutovі: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Kordon G regiony D składa się z trzech części:

2. Znamy punkty stacjonarne w środku regionu D :

3. Punkty stacjonarne na kordonach l 1 , l 2 , l 3 :

4. Liczy się sześć wartości:

Stosować

Przykład 1.

Ta funkcja jest przypisywana przy wszystkich zmieniających się wartościach x і tak , zaprawić kolbę współrzędnych, de znamennik zwraca się do zera.

Bogaty członek x2+y2 nieprzerwane usudi, a zatem nieprzerwany pierwiastek kwadratowy z nieprzerwanej funkcji.

Drib będzie nieprzerwany wszędzie, Krym kropka, de banner do zera. Ta funkcja, na którą patrzymy, jest nieprzerwana na całej płaszczyźnie współrzędnych Ohu , w tym kolbę współrzędnych.

tyłek 2.

Postępuj zgodnie z funkcją dla bezpieczeństwa z=tg (x, y) . Styczna wartości i bez przerwy dla wszystkich ostateczne znaczenia argument, wartość crim, równa niesparowanej liczbie wielkości π /2 , następnie. w tym punkty, de

Z utrwaloną skórą „k” Równanie (1.11) oznacza hiperbolę. Dlatego funkcja є nieprzerwana funkcja x i ty w tym punkty leżące na krzywych (1.11).

przykład 3.

Poznaj prywatne funkcje na świeżym powietrzu u=z-xy , z > 0 .

tyłek 4.

Pokaż, jaka jest funkcja

zadowolony z identyczności:

– ta równość obowiązuje dla wszystkich punktów M(x; y; z) kremowy punkt M 0 (a; b; c) .

Przyjrzyjmy się funkcji z=f(x,y) dwóch zmiennych niezależnych i zainstalujmy podstawienie geometryczne zmiennych prywatnych z" x = f" x (x, y) і z" y = f" y (x, y) .

Czyj umysł jest równy z=f (x, y) є wyrównanie powierzchni (rys. 1.3). Trzymany na płasko tak = const . Na pererizі tsієї powierzchowne powierzchnie z=f (x, y) vide deyka line l 1 peretina, vzdovzh, które zmieniają mniej niż rozmiar X і z .

Prywatna wycieczka z" x (її przesunięcie geometryczne bez środkowego vyplyaє z znany nam sens geometryczny podobnej funkcji jednej zmiennej) jest liczbowo lepszy od tangensa kuty α chorowity, przez rozszerzenie do osi Oh shodo L1 do krzywej l 1 , scho iść blisko powierzchni z=f (x, y) mieszkanie tak = const w punkcie M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

Na siatkówce i powierzchni z=f (x, y) mieszkanie X = const szeroka linia peretina l 2 , vzdovzh, które zmieniają się mniej niż wielkość w і z . Prywatna zabawa Todiego z” y liczbowo wyższy od stycznej kuta β nahilu przez przedłużenie do osi OU shodo L2 do określonej linii l 2 peretina w kropkach M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Przykład 5.

Jaki rodzaj kutvoruє іz vіssyu Oh dotichna do linii:

w punkcie M(2,4,5) ?

Vikoristovuєmo geometryczne zastąpienie prywatnego zamiennika na zamiennik X (szybko w ):

Przykład 6.

Zgidno (1.31):

Przykład 7.

Vvayayuchi, scho równy

niejawnie zdefiniuj funkcję

wiedzieć z" x , z" y .

Z tego powodu (1.37) potrzebujemy dowodów.

Przykład 8.

Idź do ekstremum:

1. Znamy punkty stacjonarne, które łamią system (1.41):

więc znaleźliśmy kilka punktów stacjonarnych.
2.

po Twierdzeniu 1.4 punkty mają minimum.

I dlaczego

4. Liczy się sześć wartości:

Z pominięcia sześciu wartości wybierz najwięcej i najmniej.

Lista literatury:

ü Belko I. W., Kuźmicz K.K. Świetna matematyka dla ekonomistów I semestr: Kurs ekspresowy. - M.: Nowa wiedza, 2002. - 140 s.

ü Gusak A.A. Analiza matematyczna i wyrównanie różnicowe. - Mińsk: TetraSystems, 1998. - 416 s.

ü Matematyka Gusak A. A. Vishcha. Przewodnik po kursach dla studentów w 2 tomach. - Mn., 1998. - 544 s. (1 tom), 448 s. (2 tony).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Matematyka dla ekonomistów: podręcznik dla uniwersytetów / wyd. prof. N. Sz. Kremera. - M.: UNITI, 2002. - 471 s.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. to w. Matematyka Vishcha. Kurs Zagalniy: Pidruchnik / Zag. wyd. SA Samal. - Mn.: Wisz. szkoła, 2000r. - 351 s.

Coraz mniej znaczenia

Funkcja otoczona zamkniętym obszarem osiąga największe i najmniejsze wartości albo w punktach stacjonarnych, albo w punktach leżących na obszarze brzegowym.

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji konieczne jest:

1. Znajdź punkty stacjonarne leżące w środku tego obszaru i oblicz dla nich wartości funkcji.

2. Znać największą (najmniejszą) wartość funkcji międzyregionalnej.

3. Wyrównaj wszystkie ujemne wartości funkcji: największe (mniejsze) i będą największymi (najmniejszymi) wartościami funkcji dla tej galerii.

tyłek 2. Znajdź największą (najmniejszą) wartość funkcji: y .

Rozwiązanie.

punkt jest nieruchomy; .

2 . Granicą obszaru zamkniętego jest pierścień, de.

Funkcja międzyregionalna staje się funkcją jednej zmiany: , de . Znamy najważniejsze i najmniej ważne funkcje.

Dla x = 0; (0,-3) i (0,3) to punkty krytyczne.

Oblicz wartość funkcji na końcach wieńca

3 . Porivnyuyuchi mizh sam otrimuemo,

W punktach A i B.

W punktach C i D.

przykład 3. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w obszarze zamkniętym, biorąc pod uwagę nierówności:

Rozwiązanie. Obszar є trikutnik, otoczymy osie współrzędnych і linią prostą x + y = 1.

1. Znamy punkty stacjonarne w środku regionu:

; ; y = - 1/8; x = 1/8.

Punkt stacjonarny nie należy do tego obszaru, więc wartość z w nim nie jest obliczana.

2 Funkcja .Doslіdzhuєmo na kordonie. Odłamki granicy powstają z trzech dіlyanki, opisanych przez trzy różne równe, funkcja doslіdzhuєmo skóry dіlantsі okremo:

a) div 0A: y=0 - równe 0A, to ; z równego widać, że funkcja wzrasta o 0A od 0 do 1. Średnia .

b) na odległości 0B: x = 0 - odległość 0B, to; -6 lat + 1 = 0; - Punkt krytyczny.

w) do prostej x + y = 1: y = 1-x, to bierzemy funkcję

Obliczamy wartość funkcji z w punkcie B(0,1).

3 .Liczby Perіvnyuyuchi otrimuemo, scho

Do prostego AB.

W punkcie B.

Test na wiedzę o samokontroli.

jeden . Ekstremum funkcji – ce

a) її pokhіdnі pierwsze zamówienie

b) її równe

c) її harmonogram

d) її maksimum i minimum

2. Ekstremum funkcji można osiągnąć jak najwięcej:

a) tylko w punktach leżących pośrodku wyznaczonego obszaru, w takim przypadku wartości prywatne pierwszego rzędu są większe od zera

b) tylko w punktach leżących pośrodku wyznaczonego obszaru, w takim przypadku wartości prywatne pierwszego rzędu są mniejsze od zera

c) tylko w punktach leżących pośrodku wyznaczonego obszaru, w takim przypadku wartości prywatne pierwszego rzędu nie są równe zeru

d) tylko w punktach leżących w środku wyznaczonego obszaru, w którym to przypadku podobieństwa prywatne pierwszego rzędu są równe zeru

3. Funkcja nieprzerwana w obszarze zamkniętym, osiągająca najwyższe i najniższe wartości:

a) w punktach stacjonarnych

b) albo w punktach stacjonarnych, albo w punktach leżących na obszarze międzyregionalnym

c) w punktach leżących na obszarze międzyregionalnym

d) we wszystkich punktach

4. Punkty stacjonarne dla funkcji ile zmiennych nazywamy punktami:

a) dla niektórych u

b) niektóre z nich mają prywatne różnice pierwszego rzędu większe od zera

c) dla niektórych z nich prywatne zmiany pierwszego rzędu są równe zeru

d) dla niektórych z nich zachowania prywatne pierwszego rzędu są mniejsze od zera

Niech funkcja y = f (x) zostanie przerwana przez wiatr. Podobno taka funkcja osiąga swoje największe rozmiary. że zatrudnianie. wartość. Ta funkcja może być wykonywana w wewnętrznym punkcie okna lub na granicy okna, tobto. w = a lub = b. Jak punkt do śledzenia środka krytycznych punktów danej funkcji.

Regułę wartości największej i najmniejszej wartości funkcji przyjmujemy jako:

1) wyznaczyć punkty krytyczne funkcji na przedziale (a, b);

2) obliczyć wartości funkcji w znalezionych punktach krytycznych;

3) obliczyć wartość funkcji kintsyah vіdrіzka, tobto. w punktach x=a i x=b;

4) średnia z obliczonych wartości funkcji to wybrać najwięcej i najmniej.

Szacunek:

1. Jeśli funkcja y = f (x) ma więcej niż jeden punkt krytyczny na vdrіzku i wygrała є punkt maksimum (minimum), to w tym momencie funkcja zyskuje największą (najmniejszą) wartość.

2. Skoro funkcja y=f(x) nie ma punktów krytycznych, oznacza to, że funkcja jednostajnie rośnie i maleje dla nowej. Ponadto funkcja przyjmuje maksymalną wartość (M) do jednego końca skoku, a najmniejszą (m) do drugiego.

60. Liczby zespolone. Formuła Moivre'a.
Liczba zespolona Nazwa viraz umysł z = x + iy, de x i y - numery diysnі, a ja - tzw. oczywista samotność. Jeśli x=0, to liczba 0+iy=iy ranguje. pokażmy to po numerze; chociaż y=0, liczba x+i0=x jest odwzorowywana na bieżącą liczbę x, ale oznacza to, że bezosobowe R wszystkich funkcji. numery yavl. pod wielością bezosobowego Z usikh Liczby zespolone, następnie. . Liczba x nazwiska część dziesiętna z, . Dwie liczby zespolone są nazywane równymi (z1=z2) parzystymi i tylko raz, jeśli równe części i równe części są równe: x1=x2, y1=y2. Zocrema, liczba zespolona Z=x+iy jest równa zeru, a następnie jeśli x=y=0. Nie wprowadzono pojęć „większy” i „mniejszy” dla liczb zespolonych. Otrzymane są dwie liczby zespolone z \u003d x + iy і, które są uważane tylko za znak części wyraźnej.

Reprezentacja geometryczna liczb zespolonych.

Czy liczba zespolona z = x + iy może być reprezentowana przez punkt M(x,y) płaszczyzny Oxy taki, że x=Re z, y=Im z. Po pierwsze, punkt skóry M(x;y) płaszczyzny współrzędnych może być użyty jako obraz liczby zespolonej z = x + iy. Obszar, w którym wyświetlane są liczby zespolone, nazywany jest obszarem zespolonym, ponieważ musi kłamać liczby rzeczywiste z = x + 0i = x. Wszystkie rzędne nazywane są wyraźnymi wierzchołkami, z tym, że leżą na nich pozorne liczby zespolone z = 0 + iy. Liczbę zespoloną Z=x+iy można wstawić za wektorem promienia pomocniczego r=OM=(x,y). Długość wektora r reprezentującego liczbę zespoloną z nazywamy modułem tej liczby i oznaczamy | z | lub r. Rozmir kuta mizh poklade. Bezpośrednio na osi rzeczywistej wektor r reprezentujący liczbę zespoloną nazywamy argumentem liczby zespolonej, oznaczanym przez Arg z lub . Argument liczby zespolonej Z = 0 nie jest przypisany. Argument liczby zespolonej - wartość jest bogato znacząca i jest mierzona z dokładnością do dodanku, de arg z - główna wartość argumentu, umieszczana w spacji (), a następnie. - (Czasami jako nagłówek argumentu należy przyjąć wartość, która powinna zawierać przerwę (0; )).

Zapisanie liczby z jako z=x+iy nazywamy formą algebraiczną liczby zespolonej.

Dії nad liczbami zespolonymi

Uzupełnienie. Suma dwóch liczb zespolonych z1=x1+iy1 oraz z2=x2+iy2 jest liczbą zespoloną równą: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Dodawanie liczb zespolonych może zmieniać i zmieniać potęgę: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vіdnіmannya. Vіdnіmannya vyznaєtsya jaka dіya, zvorotne dodavannya. Różnicę między liczbami zespolonymi z1 i z2 nazywamy taką liczbą zespoloną z, że dodanie do z2 daje liczbę z1, czyli. z = z1-z2, więc z + z2 = z1. Podobnie jak z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, łatwo jest usunąć z tego przypisania: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). mnogi. Uzupełnienie liczb zespolonych z1=x1+iy1 oraz z2=x2+iy2 jest liczbą zespoloną równą z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Zvіdsi, zokrema, i vyplyaє: . Podobnie jak liczba przypisań dla postaci trygonometrycznej: .

Gdy mnoży się liczby zespolone, mnoży się ich moduły i dodawane są argumenty. Formuła De Moivre(jak również є n mnożników i śmierdzi tak samo): .

Do końca 2020 roku NASA rozpoczyna wyprawę na Marsa. Dostarcz statek kosmiczny na Marsa z elektronicznym nośnikiem z nazwiskami wszystkich zarejestrowanych uczestników wyprawy.

Rejestracja uczestników głosowania. Zabierz swój bilet na Marsa po błogosławieństwa.

Polub ten post, po rozwiązaniu problemu lub po prostu będąc na ciebie godnym, podziel się swoją siłą ze znajomymi w sieciach społecznościowych.

Musisz skopiować i wkleić jedną z tych opcji kodu do kodu swojej strony internetowej, między tagami і lub zaraz po tagu . Za pierwszą wersją MathJaxa preferowana jest mniejsza i mniej tandetna strona. Kolejna opcja Natomist automatycznie wybiera i aktualizuje do najnowszej wersji MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on musiał być okresowo aktualizowany. Jeśli wstawisz inny kod, strony będą bardziej zainteresowane, więc nie będziesz musiał stale śledzić aktualizacji MathJax.

Włącz MathJax w najprostszy sposób w Bloggerze lub WordPressie: dodaj widżet w panelu kasy witryny, miejsca docelowe wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj pierwszą lub inną opcję do kodu zaangażowania przedstawionego powyżej i zmień rozmiar widżetu bliżej na górze szablonu (przed mową nie potrzebujemy nowego 'języka) , skrypty skryptu MathJax są wywoływane asynchronicznie). Od wszystkich. Teraz sprawdź składnię MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz wstawić formuły matematyczne na stronach internetowych swojej witryny.

Chergovy przed New Rock... mroźna pogoda i duże rabaty... Wszystko skłoniło mnie do ponownego napisania o... fraktalach io tych, którzy wiedzą o Wolfram Alpha. Іz thogo drive є tsіkava stattya, w yakіy є pośladkach dwuwymiarowych struktur fraktalnych. Natychmiast świat może zobaczyć złożone kolby trywialnych fraktali.

Fraktal może być wizualnie zamanifestowany (opisany), jak figura geometryczna lub ciało (wznoszące się w powietrzu, które również jest bezosobowe, do tego konkretnego typu, bezosobowa kropka), szczegóły, które tworzą taki kształt, jak sama figura. Tobto tse samopodobna struktura, patrząc na szczegóły jakby w powiększeniu, naśladuje samą formę, która jest bez powiększenia. Podobnie w przypadku uderzającej wizualnie figury geometrycznej (nie fraktala), z drobniejszymi szczegółami, jak gdyby można było wykonać prostą formę, widoczna jest niższa figura. Na przykład, kiedy skończysz dużą część elipsy, wygląda ona jak proste drzewo. Inaczej jest w przypadku fraktali: dla jakiejkolwiek poprawy, odnowimy tę samą składaną formę, jakbyśmy powtarzali się w kółko z ulepszeniami skóry.

Benoit Mandelbrot, twórca nauki o fraktalach, napisał w swoim artykule Fractale and Mystery w imię nauki: formalna forma. Oznacza to, że jeśli część fraktala zostanie powiększona do rozmiarów całości, będzie postrzegana jako całość lub dokładnie, lub ewentualnie z niewielką deformacją.