Inny jest wystarczającym znakiem powstania ekstremum. Wzrost i zmiana funkcji na interwałach, ekstremach. Wystarczający znak ekstremalności

Ekstremalny punkt funkcji to punkt obszaru oznaczenia funkcji, w którym wartość funkcji jest ustawiona na wartość minimalną lub maksymalną. Wartości funkcji w tych punktach nazywane są ekstremami (minimum i maksimum) funkcji.

Wizyta, umówione spotkanie. Krapka x1 obszary przypisanej funkcji f(x) jest nazywany punkt maksymalnej funkcji mimo że wartość funkcji w tym punkcie jest większa niż wartość funkcji w punktach jej bliskich, rozkładając się w niej na prawo i lewo (aby uniknąć nierówności f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksymalny.

Wizyta, umówione spotkanie. Krapka x2 obszary przypisanej funkcji f(x) jest nazywany minimalny punkt funkcji nawet jeśli wartość funkcji w tym punkcie jest mniejsza niż wartość funkcji w punktach jej bliskich, praworęcznych i złych w środku (to f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Wszystkim wydaje się, że funkcja może być w punkcie x2 minimum.

Zróbmy kropkę x1 - punkt maksymalnej funkcji f(x). Todi w przedziale do x1 funkcja rośnie Jest to podobne do funkcji większych od zera ( f "(x) > 0 ), oraz w przedziale po x1 funkcja zmienia się teraz i podobne funkcje mniej niż zero ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Możliwe też, że punkt x2 - wskaż minimum funkcji f(x). Todi w przedziale do x2 funkcja się zmienia, a podobna funkcja jest mniejsza od zera ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcja rośnie, a podobna funkcja jest większa od zera ( f "(x) > 0). Czyj umysł ma ten sam punkt x2 Funkcje Pokhіdna są równe zeru lub nie.

Twierdzenie Fermata. Co za punkt x0 - punkt ekstremum funkcji f(x) , to w n-tym punkcie funkcja jest zbliżona do zera ( f "(x) = 0) lub nie.

Wizyta, umówione spotkanie. Punkty, które mają podobne funkcje równe zero lub nie, nazywamy punkt krytyczny .

Przykład 1. Spójrzmy na funkcję.

W punkcie x= 0 x= 0 to punkt krytyczny. Jednak, jak widać na wykresie funkcji, następuje wzrost w całym obszarze spotkania, o to chodzi x= 0 nie jest ekstremum funkcji.

W ten sposób pomyśl o tych, które są godne funkcji do punktu osiągnięcia zera lub nie są konieczne, lub niezbędne umysły ekstremum lub niewystarczające, możesz wskazać odłamki i inne zastosowania funkcji, dla niektórych z ich umysł może zostać oszukany lub może działać jako ekstremum. Tomek matka potrzebuje wystarczających znaków, który pozwala ocenić, chi є w określonym punkcie krytycznym ekstremum i samego yaky - maksimum chi, minimum.

Twierdzenie (pierwszy jest wystarczającym znakiem podstawy ekstremum funkcji). punkt krytyczny x0 f(x) tak, że przy przejściu przez ten punkt funkcja zmienia znak, ponadto jeśli znak zmieni się z „plus” na „minus”, to punkt maksymalny, a jeśli zmieni się z „minus” na „plus”, to punkt minimalny.

Jak blisko jest punkt? x0 , leworęcznych i praworęcznych w nim, jeśli przyjmuje znak, to znaczy, że funkcja albo się zmienia, albo rośnie tylko w pobliżu punktu x0 . W jakim kierunku w punkcie? x0 nie ma ekstremum.

Otzhe, w razie potrzeby przypisać punkty do ekstremum funkcji :

1. Znajdź odpowiednią funkcję.
2. Ustaw równą zero i przypisz punkty krytyczne.
3. Papiery myśli chi zaznaczają punkty krytyczne na osi liczbowej i zaznaczają znaki podobnej funkcji odejmując interwały. Jeśli znak zmienia się z „plus” na „minus”, to punktem krytycznym jest punkt maksymalny, a jeśli zmienia się z „minus” na „plus”, to punkt minimalny.
4. Oblicz wartość funkcji w punktach ekstremów.

tyłek 2. Poznaj funkcje ekstremalne .

Rozwiązanie. Znamy następujące funkcje:

Jest równy zero, aby poznać punkty krytyczne:

.

Jeśli więc dla dowolnej wartości „ix” baner nie jest równy zero, to liczba jest równa zero:

Zabierz jeden punkt krytyczny x= 3. Znak przeciwieństwa jest istotny w przedziałach wyznaczonych przez punkt:

w przedziale minusowej niezgodności do 3 - znak minusa, aby funkcja się zmieniała,

w przedziale od 3 do plus niespójności - znak plus, aby funkcja rosła.

Tobto, kropka x= 3 - minimum punktów.

Znamy wartość funkcji w punkcie minimum:

W tej kolejności znajduje się ekstremum funkcji: (3; 0), ponadto jest to punkt minimum.

Twierdzenie (drugi jest wystarczającym znakiem podstawy ekstremum funkcji). punkt krytyczny x0 є skrajny punkt funkcji f(x); f ""(x) ≠ 0); f ""(x) > 0 ), wtedy punktem jest maksimum, a odwrotnie jest mniejsze od zera ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Uwaga 1. O co chodzi? x0 zwrócić się do zera, a pierwszy, a drugi jest martwy, to w tym miejscu nie można ocenić manifestacji ekstremum na podstawie innego wystarczającego znaku. Niezbędne jest przyspieszenie tego typu nastroju przez pierwszy wystarczający znak ekstremum funkcji.

Szacunek 2. Inny wystarczający znak ekstremum funkcji nie wystarczy i nawet jeśli pierwszy nie jest dobry w punkcie stacjonarnym (nie ma innej drogi). Niezbędne jest również przyspieszenie tego typu postawy przez pierwszy wystarczający znak ekstremum funkcji.

Lokalny charakter ekstremów funkcji

Oczywistym jest, że ekstremum funkcji może mieć charakter lokalny – wartość największej i najmniejszej z wartości funkcji jest równa wartościom najbliższym.

Powiedzmy, że pewnego dnia patrzysz na swoje zarobki w czasie ślubu. Jeśli zarobiłeś 45 000 rubli z trawy, 42 000 rubli z kwartału i 39 000 rubli z czerwonych, to zarobki z trawy są maksimum funkcji zarobkowej pod względem najbliższych wartości. Ale zarobili 71 000 rubli z żółtego, 75 000 rubli z wiosny i 74 000 rubli z opadania liści, więc ten sam dochód - funkcja minimalnego dochodu jest równa najbliższym wartościom. Możesz łatwo bachitować, aby maksymalna średnia wartość wiosennej trawy-wiśni była mniejsza niż minimalna wiosna-zhovtnya-liść.

Mówiąc zagalneno, w międzyczasie funkcja może być matką ekstremów, co więcej, może się wydawać, że minimum funkcji jest większe niż maksimum. Tak więc, dla funkcji przedstawionej nieco więcej, .

Nie trzeba więc myśleć, że maksimum i minimum funkcji to najwyraźniej największe i najmniejsze wartości na wszystkich częściach, które można zobaczyć. W punkcie do maksimum funkcja ma najmniejszą wartość w zakresie tych wartości, jeśli we wszystkich punktach jest możliwe osiągnięcie punktu bliskiego maksimum, a w punkcie do minimum najmniejszą wartość w przedziale zakres tych wartości, jeśli jest zbliżony do punktów do punktu minimum.

Dlatego można wyjaśnić, aby lepiej zrozumieć punkt ekstremum funkcji i nazwać punkty minimum punktami lokalnego minimum, a punkty maksimum - punktami lokalnego maksimum.

Ekstremalne funkcje Shukaemo na raz

przykład 3.

Rozwiązanie. Funkcja jest przypisana i bez przerwy na całej linii liczbowej. pokhіdna іsnuє również na całej osi liczbowej. Tom w do tego konkretnego typu punkty krytyczne є mniej ti, dla jaka, tobto. , gwiazdy to . Punkty krytyczne i podziel cały obszar przypisanej funkcji na trzy przedziały monotoniczności: . Viberemo w skórze ich o jeden punkt kontrolny i znamy znak następnego w drugim punkcie.

Dla przedziału punkt kontrolny może być: znany. Biorąc punkt w przedziale, odejmujemy, a biorąc punkt w przedziale, możemy. Również w interwałach i oraz w interwałach . Zgіdno z pierwszym wystarczającym znakiem ekstremum, w punkcie nie ma ekstremum (odłamki częściej przyjmują znak w przedziale), a w punktach funkcja może być minimalna (odłamki są mniejsze podczas przechodzenia przez następny punkt, zmieniając znak z minus na plus). Znamy odpowiednie wartości funkcji: , a . W przedziale funkcja zmienia się, skoki w tym przedziale, a przedziały rosną, skoki w tym przedziale.

Aby wyjaśnić przyszłą grafikę, znamy punkty linii jogi z osiami współrzędnych. Gdy weźmiemy equal , którego pierwiastek i , to znajdują się dwa punkty (0; 0) i (4; 0) wykresu funkcji. Vikoristovuyuchi wszystkie otrimani vіdomosti, harmonogram budєmo (dział na kolbie kolby).

Do samodzielnej weryfikacji za pomocą rozrachunkah możesz przyspieszyć podobny kalkulator online .

tyłek 4. Poznaj ekstrema funkcji i wprowadź harmonogram.

Zakres funkcji obejmuje całą oś liczbową, z wyjątkiem punktów, tobto. .

W celu szybkiej kontynuacji możesz przyspieszyć fakt, że funkcja łaźni parowej, odłamki . Dlatego harmonogram jest symetryczny względem osi Aućże kontynuacja może być użyta tylko dla interwału.

Wiemy, że pójdę i punkty krytyczne funkcji:

1) ;

2) ,

Ale jeśli funkcja zna różnicę w tym punkcie, to nie może być punktem ekstremum.

w taki sposób, funkcja jest ustawiona ma dwa punkty krytyczne: i . Parowanie funkcji Vrahovoyuchi, perevirim dla innego wystarczającego znaku ekstremum, to tylko punkt. Dla kogo znamy przyjaciela, umrę znaczący znak її na: otrimaєmo. Ponieważ i , to є minimalny punkt funkcji, w którym .

Aby dodać więcej informacji o harmonogramie funkcji, należy śledzić zachowanie na granicach wyznaczonego obszaru:

(tutaj symbol oznacza ćwiczenia) x praworęczny do zera, zresztą x zostać przytłoczonym pozytywem; podobnie oznacza ćwiczenia x do zera zły, zresztą x zostać przytłoczony negatywem). W takiej randze, yakscho. Dali, wiemy

,

Tobto. tak.

Punkt przerwania z osiami funkcji wykresu nie może być. Mały - na kolbie.

Do samodzielnej weryfikacji za pomocą rozrachunkah możesz przyspieszyć podobny kalkulator online .

Prodovzhuєmo shukati ekstremalne funkcje na raz

Przykład 8. Znajomość funkcji ekstremów.

Rozwiązanie. Znamy zakres przypisanej funkcji. Jeśli więc nerwowość może zwyciężyć, mamy obsesję.

Poznajmy pierwsze funkcje pokhіdnu.

duje ważna informacja o zachowaniu funkcji, powodują okresy wzrostu i zaniku. Їхнє perebuvannya є część procesu funkcje uzupełniające i podpowiedzi graficzne. Do tego czasu punkty ekstremalne, w których następuje zmiana ze wzrostu na spadek lub ze zmiany na wzrost, są traktowane ze szczególnym szacunkiem, gdy wartość największej i najmniejszej wartości funkcji na bieżącym interwale.

W tym artykule istnieje potrzeba zdefiniowania, sformułowania wystarczającego znaku wzrostu tej zmiany funkcji w przedziale oraz wystarczającej przyczyny ekstremum, a stosując to zadanie doprowadzimy do perfekcji całą teorię.

Nawigacja z boku.

Wzrost i zmiana funkcji na przedziale.

Wyznaczona funkcja uprawy.

Funkcja y=f(x) rośnie na przedziale X, jak również dla czegokolwiek i nerіvnіst vykonuetsya. W przeciwnym razie wydaje się, że większa wartość argumentu jest większa niż wartość funkcji.

Wyznaczona funkcja rozpadu.

Funkcja y=f(x) zmienia się o przedział X, jak dla dowolnego i nerіvnіst . W przeciwnym razie najwyraźniej - większą wartość argumentu podaje mniejsza wartość funkcji.

UWAGA: jak funkcja jest przypisana i bez przerwy w przedziałach wzrostu lub zaniku (a; b), to przy x = a і x = b, to punkty qi są wliczane do przedziału wzrostu lub zaniku. Nie przeceniaj celu funkcji wzrostu i zaniku dla przedziału X .

Na przykład z potęg podstawowych funkcji elementarnych wiemy, że y=sinx jest przypisane i nieprzerwane przez wszystkie efektywne wartości argumentu. Dlatego na podstawie wzrostu funkcji sinus na przedziałach możemy potwierdzić wzrost funkcji sinus na przedziale.

Krapki ekstremum, funkcje ekstremum.

Nazwij punkt maksymalny punkt funkcje y=f(x) , więc wszystkie x w sąsiedztwie są sprawiedliwe. Wartość funkcji w punkcie do maksimum nazywa się funkcja maksymalna to znaczy.

Nazwij punkt punkt minimalny funkcje y=f(x) , więc wszystkie x w sąsiedztwie są sprawiedliwe. Wartość funkcji w punkcie minimum nazywa się minimalna funkcja to znaczy.

Pod obrzeżem punktu zrozum przedział , de - Zakończ małą liczbę dodatnią.

Punkty minimum i maksimum nazywają się punkty ekstremalne, a wartość funkcji, która odpowiada punktom ekstremum, nazywa się ekstrema funkcji.

Nie myl ekstremalnych funkcji z największą najniższa wartość Funkcje.

Na pierwszym małym, największa wartość funkcji na górze jest osiągana w punkcie maksimum i następnym maksimum funkcji, a na drugim małym, największa wartość funkcji jest osiągana w punkcie x = b, ale nie w punkcie maksimum.

Wystarczy, aby zrozumieć rozwój tej zmienionej funkcji.

Na podstawie wystarczających umysłów (znaków) wzrostu tej zmienionej funkcji, istnieją luki wzrostu tej zmienionej funkcji.

Oś wzoru jest znakiem wzrostu i zmiany funkcji na przedziale:

• jeśli podobna funkcja y=f(x) jest dodatnia dla dowolnego x w przedziale X, to funkcja rośnie na X;
• Jeśli podobna funkcja y=f(x) jest ujemna, niezależnie od tego, czy x jest w przedziale X , to funkcja zmienia się na X .

W tej kolejności, aby oznaczyć wzrost wzrostu i zmianę funkcji, konieczne jest:

Przyjrzyjmy się przykładowi wiedzy o interweniującym wzroście i zmianie funkcji dla wyjaśnienia algorytmu.

krupon.

Poznaj luki we wzroście i zmianach funkcji.

Rozwiązanie.

Przy pierwszym zbiorze jest to konieczne znać zakres funkcji. Na tyłku virazu, na chorążym, może później zejść do zera.

Przejdźmy do znanej funkcji:

W celu promіzhkіv zrostannya, że ​​zmenshennya funktії dla wystarczającego znaku vyrishuєmo nerіvієmі і na polu powołania. Szybko zastosuj metodę interwałową. Pojedynczy pierwiastek dziennika to є x = 2, a znamennik zamienia się w zero przy x = 0. Punkty Qi dzielą obszar przypisanego interwału, dla niektórych innych funkcji przyjmują znak. Znaczące punkty qi na osi liczbowej. Plusy i minusy to mentalnie istotne przedziały, dla których jest to pozytywne i negatywne. Strzałki na dole pokazują schematycznie wzrost lub zmianę funkcji na danym przedziale.

w taki sposób, і .

W punkcie x=2 funkcja jest przypisana i nieprzerwana, do tego należy dodać її do przedziału wzrostu i do przedziału zaniku. W punkcie x=0 funkcja nie jest przypisana, więc ten punkt nie jest wliczany do żartobliwych przedziałów.

Rysujemy wykres funkcji do wyprowadzania z niej wyników.

Sugestia:

Funkcja rośnie w , zmieniając się w przedziale (0; 2] .

Wystarczająco pamiętaj o ekstremum funkcji.

Znając maksimum i minimum funkcji, można oczywiście koristuvatisya, czy jedna z trzech jest oznaką ekstremum, ponieważ funkcja zadowala umysł. Najszersze i najbardziej poręczne są te pierwsze.

Persha wystarcza na ekstremum Umova.

Niech funkcja y=f(x) będzie zróżnicowana w pobliżu punktu, ale bez przerwy w samym punkcie.

Innymi słowy:

Algorytm znajdowania punktu do ekstremum po pierwszym znaku ekstremum funkcji.

• Znamy zakres przypisanej funkcji.
• Znamy funkcje przydzielonego obszaru.
• Wyraźnie zera tarczy numerycznej, zera sztandaru odpowiedniego punktu wyznaczonego obszaru, w którym nie ma możliwe skrajne punkty, przechodząc przez punkty qi, można zmienić swój znak).
• Kropki Qi dzielą obszar przeznaczony na funkcję promyzhki, dla niektórych lepiej jest wziąć znak. Widzimy znaki podobnego interwału skórnego (na przykład obliczanie wartości podobnej funkcji w dowolnym punkcie dobrze przyjętego interwału).
• Wybieramy punkty, w których funkcja jest nieprzerwana i przechodząc przez jaki zmienia znak - smród punkty ekstremum.

Zbyt bogate słowa, piękniej spojrzał na kіlka, zastosował znaczące punkty do ekstremum i ekstremów funkcji na pomoc pierwszego wystarczająco dużo uwagi ekstremum funkcji.

krupon.

Znajomość funkcji ekstremów.

Rozwiązanie.

Obszar funkcji jest całkowicie bezosobowy numery dni, Krim x = 2 .

Wiemy, że pójdę:

Zera licznika є punktów x = -1 і x = 5 znamennik zamieniają się w zero przy x = 2 . Znaczna liczba punktów na osi liczbowej

Widoczne są znaki o podobnym odstępie skóry, za pomocą którego obliczana jest wartość podobnego odstępu skóry np. w punktach x=-2, x=0, x=3 i x=6.

Również na interwale jest dodatnia (na maleńkim znajduje się znak plus powyżej interwału cim). podobnie

Wstawiamy minus nad innym przedziałem, minus nad trzecim przedziałem, plus nad ćwiartką.

Utracone do wyboru punktów, dla których funkcja jest nieprzerwana i її znak zmiany pokhіdna. Tse i є punkty ekstremum.

W punkcie x=-1 funkcja jest nieprzerwana i stopniowo zmienia znak z plusa na minus, następnie po pierwszym znaku do ekstremum, x=-1 to punkt do maksimum, drugi to maksimum funkcji .

W punkcie x=5 funkcja jest nieprzerwana i stopniowo zmienia znak minusa na plus, wtedy x=-1 jest punktem minimum, czyli minimum funkcji .

Ilustracje graficzne.

Sugestia:

REVERSE RESPECT: pierwszy znak jest wystarczający dla ekstremum, nie wpływa na funkcję różniczkową samego punktu.

krupon.

Znajdź punkty ekstremów i funkcje ekstremów .

Rozwiązanie.

Zakres funkcji obejmuje wszystkie bezosobowe liczby rzeczywiste. Samą funkcję można zapisać w widoku:

Znamy następujące funkcje:

W punkcie x=0 nie jest możliwe, odłamki wartości jednostronnych przerw nie mogą osiągnąć zera, gdy argument jest przesadzony:

O tej samej godzinie funkcja wyjściowa jest nieprzerwana w punkcie x=0 (podział dzieln monitorowanie funkcji pod kątem ciągłości):

Znamy znaczenie argumentu, pod którym warto zwrócić się do zera:

Wyraźnie wszystkie punkty na linii liczbowej i znacznie niższy znak na odstępach skórnych. Dla których możliwe jest obliczenie wartości względnej w określonych punktach odstępu skóry, na przykład za pomocą x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Tobto,

W tej kolejności, po pierwszym znaku ekstremum, punkty minimum , wskazuje na maksimum є .

Obliczanie funkcji minimalnych

Obliczanie maksimów funkcji

Ilustracje graficzne.

Sugestia:

.

Kolejny znak ekstremum funkcji.

Jak bacheta, na znak ekstremum funkcji będzie potrzebował podobnego, przynajmniej w innym porządku punktów.

Pierwszy wystarczający znak ekstremum jest sformułowany z poprawą zmiany znaku pierwszej dobrej godziny przejścia przez punkt krytyczny. O innym znaku ekstremum, patrz poniżej w § 6.4.

Twierdzenie (pierwszy znak ekstremum) : YakschoX 0 - Punkt krytyczny funkcjiy=f(x) i w rzeczywistym sąsiedztwie punktuX 0 , przechodząc przez to złotówkę w prawo, pokhіdna zmień znak na przedłużenie, a następnieX 0 є punkt skrajny. Co więcej, ponieważ znak przeciwny zmienia się z „+” na „-”, wtedyX 0 jest punktem maksymalnym, if(x 0 ) jest maksimum funkcji i podobnie zmieniamy znak z „-” na „+”, a następnieX 0 jest punktem minimalnym, if(x 0 ) - Minimalna funkcja.

Wyglądam ekstremalnie w noszeniu lokalny(Misceviy) charakter i podatność niewielkiego obrzeża punktu krytycznego.

Punkty ekstremum i punkty ekspansji dzielą obszar przypisanej funkcji przedziału monotoniczności.

Przykład 6.3. Na przykład 6.1. znaliśmy punkty krytyczne X 1 =0 і X 2 =2.

Oczywiście to, co jest prawdziwe w tych punktach, to funkcja y=2x 3 -6x 2 +1 może ekstremum. Wyobraź sobie w її pokhіdnu
oznaczający X, wzięty zliva i praworęczny w punkcie X 1 =0 dosiadać na obrzeżach, na przykład, x=-1і x = 1. zajęty. Oskіlki pokhіdna zmień znak z „+” na „-”, a następnie X 1 =0 - wskaż maksimum i maksimum funkcji
. Teraz bierzemy dwie wartości x = 1 i x = 3 z okolic innego punktu krytycznego X 2 =2 . Wykazano już, że
, a
. Oskіlki pokhіdna zmień znak z „-” na „+”, a następnie X 2 =2 - Punkt minimalny. A przynajmniej funkcje
.

Aby poznać największą i najmniejszą wartość funkcji bez przerywania wiatru
należy obliczyć wartości її we wszystkich krytycznych punktach i kintsy uzwojenia, aby wybrać najbardziej i najmniej.

6.3. Oznaki pęcznienia i kurczenia się wykresu funkcji. Punkty załamania

Wykres funkcji zróżnicowanej nazywa sięopuklimw przerwie, jak wina z roztashovaniya niższe za to, czy to był twój dotichnu w tej przerwie;schylać się (schylać się)yakscho vіn raztashovaniya vsshee be-yakої dotichї w przedziale.

6.3.1. Niezbędne i wystarczające oznaki pęcznienia i kurczenia się grafiki

a) Wymagane znaki

Jaki jest harmonogram funkcjiy=f(x) guz na interwale(a, b) , to przyjaciel jest dobry
w jakim odstępie; jako harmonogramzastraszenie na(a, b) , następnie
na(a, b) .

P funkcja harmonogramu st y=f(x) guz (a, b) (Rys.6.3a). Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh spuchnięte krzywe złotówki w prawo, її kut źle się zmienia (
), jednocześnie zmienia się końcowy współczynnik kropki, co oznacza, że ​​zmienia się po raz pierwszy
na (a, b) . Ale jest jednak podobny do pierwszego, ponieważ jest podobny do funkcji recesywnej, ale może być ujemny, tobto
na (a, b) .

Jaki jest harmonogram funkcji zastraszenie na (a, b) , To, mirkuyuchi podobnie, Bachimo, że podczas wykuwania krzywej dotic vzdovzh (ryc. 6.3b) wyciąć chorowity wzrost dotic (
); A nawet jeśli wygląda to na rosnącą funkcję, może być pozytywna, więc
na (a, b) .

b ) Wystarczające znaki

Jak dla funkcjiy=f(x) wszystkie punkty będą miały ten sam przedział
, to wykres funkcjizastraszenie w jakim odstępie, ale jak
, następnieguz .

„Zasada Doschu” : Aby zapamiętać jakiś znak innego pokhіdnoї pov'yazuvati z obrzękiem, a który z zakrzywionego łuku wykresu, zaleca się zapamiętać: plus woda w krzywych księżycowych, "minus woda" - w wybrzuszonych księżycowych (ryc. 6.4).

grafika krapka nieprzerwana funkcja, w którym wybrzuszenie zmienia się w wybrzuszenie chi navpak, nazywa siępunkt załamania .

Twierdzenie (wystarczające na znak punktu przegięcia).

Yakscho w punkcie funkcjonować
dvіchі rozróżnił, że przyjaciel jest podobny w punkcie do zera lub nie, a nawet podczas przechodzenia przez punkt dobry przyjaciel
zmień znak, a następnie kropkę є punkt przegięcia. Współrzędne punktu załamania
.

Punkty, dla niektórych przyjaciół, możliwe jest zwrócenie się do zera lub nie, nazywane są punktami krytycznymi innego rodzaju.

Przykład 6.4. Znać punkty przegięcia i oznaczać odstępy pęcznienia i wcięcia krzywej
(Krzywa Gausa).

R rozwiązanie. Znamy pershu tego przyjaciela pokhіdnі:
,. Przyjaciel jest dla ciebie dobry . Równe zero i virishima otrimane równe
, de
Również
, gwiazdy
,
- Punkty krytyczne innego rodzaju. Cofnięcie zmiany znaku o kolejną dobrą godzinę na przekroczenie punktu krytycznego
. Yakscho
na przykład,
, następnie
, ale
na przykład,
, następnie
Przyjaciel Tobto zmienia znak. Otzhe,
- odcięta punktu załamania, її współrzędne
. Poprzez funkcje parzystości
, cętkowany
, punkt symetryczny
, tezh będzie punktem przegięcia.

Twierdzenie (pierwsze jest wystarczające dla ekstremum Umova). Niech funkcja będzie nieprzerwana w punkcie, ale jeśli godzina mija punkt, znak się zmienia. Todi - punkt ekstremalny: maksimum, co oznacza, że ​​znak zmienia się z „+” na „-” i na minimum, co oznacza „-” na „+”.

Przynoszący. Chodź ze mną po .

Dla twierdzenia Lagrange'a , de .Todі yakshcho; do tego , otzhe, , lub . No więc; do tego , otzhe, lub .

Otzhe przyniósł, scho w dowolnym punkcie w pobliżu, tobto. jest maksymalnym punktem funkcji.

W podobny sposób przeprowadza się dowód twierdzenia o punkcie minimalnym. Twierdzenie zakończone.

Gdy tylko godzina mija punkt, nie zmienia znaku, to punkt nie jest ekstremum.

Twierdzenie (przyjaciel wystarcza do ekstremum Umova). Niech punkt ma podobną funkcję, czyli różniczkowanie, 0 (), a drugi jest podobny do punktu zerowego () i jest nieprzerwany w aktywnym sąsiedztwie punktu. Todi - punkt skrajny; w którym punkcie jest minimum, a w którym punkcie maksimum.

Algorytm rozpoznawania funkcji ekstremów po pierwszej wystarczającej przyczynie do rozwiązania ekstremum.

1. Poznaj sztuczkę.

2. Wyznacz punkty krytyczne funkcji.

3. Postępuj zgodnie ze znakiem leworęcznym i praworęcznym w punkcie krytycznym skóry i wzrostem visnovo o manifestacji skrajności.

4. Poznaj ekstremalne wartości funkcji.

Algorytm rozpoznawania funkcji ekstremum za pomocą innego wystarczającego powodu do wyeliminowania ekstremum.

1. Poznaj sztuczkę.

2. Poznaj przyjaciela pokhіdnu.

3. Poznaj punkty, u yakikh.

4. W tych punktach przypisz znak.

5. Zrobiti vysnovok o naturze ekstremów.

6. Poznaj ekstremalne wartości funkcji.

krupon. Patrzeć na . Wiemy . Daly, w ja dla. Punkty krytyczne Dolіdzhuєmo za pomoc pierwszego wystarczającego ekstremum umysłu. Może, po co ja w , ja w . W punktach i lepiej zmienić ich znak: z „+” na „-” iz „-” na „+”. Tse oznacza, że ​​funkcja punktu ma maksimum, a punkt ma minimum; . Aby wyrównać, musimy osiągnąć punkt krytyczny po pomocy innego wystarczającego umysłu i ekstremum. Wiedzmy, że umrze przyjaciel. May: , a tse oznacza, że ​​punkt pełni funkcję maksimum, a punkt ma minimum.

Zrozumienie asymptotyki wykresu funkcji. Asymptotyki poziome, słabe i pionowe. stosować.

Wizyta, umówione spotkanie. p align="justify"> Asymptota wykresu funkcji nazywana jest linią prostą, która pozwala na przejście od punktu do środka prostej do zera, gdy punkt wykresu nie jest daleko od kolba współrzędnych.

Rozróżnij asymptoty pionowe (ryc. 6.6 a), poziome (ryc. 6.6 b) i kołysanie (ryc. 6.6 c).

Na ryc. Pokazano 6.6a pionowa asymptota.

Na rysunku 6.6b - asymptota pozioma.

Na ryc. 6,6v - asymptota.

Twierdzenie 1. W punktach pionowych asymptot (np. ) funkcja zna różnicę, między prostymi a prawoskrętną drogą punktów to:

Twierdzenie 2. Niech zostanie powołana funkcja dokończenia wielkiego i ustalenia ostatecznych granic

І .

Wtedy jest prosta, nędzna asymptota wykresu funkcji.

Twierdzenie 3. Niech funkcja zostanie wyznaczona dla dosit wielkiego i nie ma między funkcjami. Wtedy linia prosta jest poziomą asymptotą wykresu funkcji.

Asymptota pozioma є nazywamy ją złą asymptotą, jeśli . Do tego, chociaż w linii prostej krzywa ma poziomą asymptotę, to w tej prostej nie ma pecha i pecha.

krupon. Poznaj asymptotykę wykresu funkcji.

Rozwiązanie. W punkcie funkcja nie jest przypisana, wiemy między funkcjami leworęcznymi i praworęcznymi w punkcie:

; .

Również jest pionową asymptotą.

Główny schemat śledzenia funkcji i zachęcania do ich harmonogramów. krupon.

Ogólny schemat funkcji kontynuacji ten monit її grafika.

1. Poznaj obszar docelowy.

2. Wykonaj funkcję parzystości - nieparzystość.

3. Znać pionową asymptotykę punktu ekspansji (np. є).

4. Śledź zachowanie funkcji w niespójności; znać poziome i chorowite asymptoty (np. є).

5. Znaleźć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji.

6. Znajdź punkty linii wykresu z osiami współrzędnych i, tak jak jest to konieczne dla schematu ideowego, aby poznać dodatkowe punkty.

7. Schematycznie zadzwoń do harmonogramu.

Szczegółowy schemat funkcje kontynuacyjne które zachęcają do grafiki .

1. Poznaj obszar docelowy .

a. Yakshcho є znamennik, vin jest winna zratatisya w 0.

b. Podrzędny pierwiastek główny sparowanego etapu może być nieujemny (większy lub równy zero).

c. Wiraza sublogarytmiczna może być dodatnia.

2. Postępuj zgodnie z funkcją parzystości - nieparzystość.

a. Yakscho , funkcja jest sparowana.

b. Yakshcho , to funkcja jest niesparowana.

c. Yakshcho nie vikonano nie, nie , to jest funkcją widoku globalnego.

3. Poznaj pionową asymptotykę punktu ekspansji (np. є).

a. Asymptota pionowa może być mniej wyraźna na obszarach międzyobszarowych przypisanej funkcji.

b. Yakscho (lub ), to asymptota wykresu jest pionowa.

4. Śledź zachowanie funkcji w niespójności; znać poziome i chorowite asymptoty (np. є).

a. Yakscho, to asymptota wykresu jest pozioma.

b. Yakshcho i wtedy linia prosta jest słabą asymptotą grafu.

c. Jeśli chodzi o granice wyznaczone w punktach a, b, to możliwe jest tylko przy jednostronnym przesadzeniu do niezgodności (lub ), to asymptotyka będzie jednostronna: lewostronna z i prawostronna z .

5. Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji.

a. Poznaj pokhidnu.

b. Poznaj punkty krytyczne (punkty ti, de chi de nemaє).

c. Na osi liczbowej wyznacz wyznaczony obszar oraz її punkty krytyczne.

d. Na skórze zawartości przedziałów liczbowych zaznacz znak następnego.

mi. Według śladów podobnych badań wąsów o przejawach skrajności w tych typach.

f. Poznaj wartości ekstremalne.

g. Według oznak marszowego wzrostu wąsów o wzroście i zmianie.

6. Znaj punkty linii wykresu z osiami współrzędnych i, ponieważ jest to konieczne dla schematu ideowego, aby znać dodatkowe punkty.

a. Schob, aby poznać punkty linii wykresu od vіssyu, konieczne jest oddzielenie linii. Punkty , de zero , będą punktami linii wykresu z vyssyu .

b. Punkt linii wykresu widać od góry. Vaughn іsnuє, to mniej jak punkt wejścia w obszar wyznaczonej funkcji.

8. Schematycznie zadzwoń do harmonogramu.

a. Wywołaj układ współrzędnych i asymptoty.

b. Wskaż skrajne punkty.

c. Określ punkty przerwania wykresu za pomocą osi współrzędnych.

d. Schematycznie indukuj wykres w taki sposób, aby przechodząc przez wyznaczone punkty i zbliżając się do asymptot.

krupon. Postępuj zgodnie z funkcją i schematycznie indukuj wykres її.

2. - funkcja dzikiego umysłu.

3. Oskіlki i , a następnie linie proste є pionowe asymptoty; kropki są przerywane. , gdy nie wchodzimy w obszar przypisanej funkcji