Conoscere direttamente le coordinate della proiezione ortogonale di un punto. Proiezione di un punto su una retta Coordinate di una proiezione di un punto su una retta. Proiezione di un punto su una retta - teoria, applica quella soluzione

Articolo di Tsya che esamina la comprensione della proiezione di un punto su una linea retta (tutti). Mi damo yoma è stato nominato per il piccolo vikoristannya, che spiego; Vivchimo modo di assegnare le coordinate della proiezione di un punto su una retta (su uno spazio piatto o banale); Proviamolo.

Nell'articolo "Proiezione di un punto su un piano, coordinate" ci siamo chiesti se il disegno di una figura debba essere inteso dai concetti di disegno perpendicolare o ortogonale.

Tutte le figure geometriche sono piegate in punti; Pertanto, per poter proiettare una figura su una retta, è necessario tenere conto della capacità di proiettare un punto su una retta.

Appuntamento 1

Proiezione di un punto su una retta- tse o il punto stesso, in quanto dovrebbe giacere sulla retta data, o la base della perpendicolare caduta dal punto sulla retta data.

Diamo un'occhiata ai piccoli qui sotto: il punto H 1 serve come proiezione del punto M 1 sulla retta a, e il punto M 2, che giace sulla retta, è la proiezione a se stesso.

La designazione è più corretta per il vipadka in superficie e nello spazio trivimer.

Per prendere la proiezione del punto M 1 sulla retta a del piano, tracciare una retta b, in modo che passi per un dato punto M 1 i sia perpendicolare alla retta a. In questo ordine, il punto di intersezione delle rette aeb sarà la proiezione del punto M 1 sulla retta a.

In uno spazio banale, la proiezione di un punto su una retta servirà da punto all'incrocio della retta a e del piano α, che passerà per il punto M 1 perpendicolare alla retta a.

Il valore delle coordinate della proiezione di un punto su una retta

Diamo un'occhiata alle catene nei paesaggi del design in piano e nella banale distesa.

Dacci il compito di un sistema di coordinate rettangolare O x y, punto M1 (x1, y1) i retta a. È necessario conoscere le coordinate della proiezione del punto M1 sulla retta a.

Passiamo per il punto dato M 1 (x 1, y 1) la retta b perpendicolare alla retta a. Il punto di interruzione è contrassegnato come H1. Il punto H 1 sarà il punto di proiezione del punto M 1 sulla retta a.

Dalla descrizione è possibile formulare un algoritmo che permette di conoscere le coordinate della proiezione del punto M 1 (x 1 y 1) sulla retta a:

Piegare linee rette (poiché non è specificato). Per zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya main rivnyan in piano;

Registrare l'allineamento della retta b (passare per il punto M 1 e perpendicolare alla retta a). Qui verrà integrato l'articolo sull'allineamento della retta, per passare per un dato punto perpendicolarmente alla retta data;

È ovvio che le coordinate della proiezione sono assunte come coordinate del punto di incrocio delle rette aeb. E a questo, si dimostra il sistema delle uguaglianze, magazzini come - equalizzazione delle rette aeb.

culo 1

Sul piano O x y, il punto dato M 1 (1, 0) è la retta a (allineamento superiore - 3 x + y + 7 = 0). È necessario specificare le coordinate della proiezione del punto M1 sulla retta a.

Soluzione

L'allineamento dato dalla retta, che, secondo l'algoritmo, passiamo al record più breve dell'allineamento della retta b. La retta b è perpendicolare alla retta a, e quindi il vettore normale della retta a è il vettore diretto della retta b. Allora il vettore diretto delle rette b può essere scritto come b → = (3, 1). Scriviamo l'allineamento canonico della retta b, ma dobbiamo anche impostare le coordinate del punto M 1 attraverso il percorso per passare la retta b:

Il taglio finale mostra le coordinate del punto di incrocio delle rette aeb. Andiamo avanti canonico rivnyan diretto b a zagalny її uguale:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Facciamo un sistema di equalizzazioni dalle equalizzazioni superiori delle rette aeb

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Bene, abbiamo tolto le coordinate della proiezione del punto M 1 (1, 0) sulla retta 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Suggerimento: (- 2 , - 1) .

La relazione sarà riesaminata se è necessario indicare le coordinate della proiezione punto di riferimento su linee coordinate e parallele ad esse.

Lascia che le linee coordinate date O x і O y, così come il punto M 1 (x 1, y 1). Mi sono reso conto che la proiezione di un dato punto su una coordinata di retta O x della forma y = 0 sarà un punto con coordinate (x 1, 0) . Quindi la proiezione del punto dato sulla coordinata della retta O y sarà la coordinata 0 , y 1 .

Be-yaku abbastanza diretto, parallelo all'asse ascissa, puoi metterla male geloso selvaggio B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B, e dritto, parallelo all'asse y - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Quindi le proiezioni del punto M 1 (x 1, y 1) sulla retta y \u003d - C B i x \u003d - CA diventano punti con coordinate x 1, - C B i - CA A, y 1.

culo 2

Prendi le coordinate della proiezione del punto M 1 (7, - 5) sulla retta delle coordinate O y , e anche sulla retta parallela alla retta O y 2 y - 3 = 0 .

Soluzione

Scriviamo le coordinate della proiezione del punto dato sulla retta O y: (0 - 5) .

Scriviamo l'allineamento della retta 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 . Diventa chiaro che la proiezione del punto dato sulla retta y = 3 2 con la matrice di coordinate 7 3 2 .

Suggerimento:(0 , - 5) e 7 , 3 2 .

Lascia che lo spazio banale abbia un sistema di coordinate rettangolare O x y z , punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e retta a . Conosciamo le coordinate della proiezione del punto M1 sulla retta a.

Lasciamo passare il piano α per il punto M1 i perpendicolare alla retta a. La proiezione di un dato punto su una retta a diventa un punto su una retta a e un piano α. Sulla base di ciò, introduciamo un algoritmo per il valore delle coordinate della proiezione del punto M 1 (x 1, y 1, z 1) sulla retta a:

Annotiamo l'allineamento della retta a (poiché non è specificato). Per comprendere questo compito, è necessario familiarizzare con questo articolo sull'allineamento delle linee rette nello spazio;

Possiamo memorizzare la planarità?

Conosciamo le coordinate della proiezione del punto M 1 (x 1, y 1, z 1) sulla retta a - ci saranno le coordinate del punto della retta trasversale della retta α e del piano di α (per aiuto - l'articolo "Coordinate del punto della linea trasversale della retta del piano").

culo 3

Dato un sistema di coordinate ad angolo retto O x y z , i in nіy - punto М 1 (0, 1, - 1) i retta a . La retta a corrisponde all'allineamento canonico: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Determinare le coordinate della proiezione del punto M1 sulla retta a.

Soluzione

Algoritmo di Vykoristovuёmo vkazyvshee. Rivnyannya linea retta, il primo passaggio viene saltato dall'algoritmo. Scriviamo l'allineamento dell'area α. Per cui sono significative le coordinate del vettore normale dell'area. Dagli allineamenti canonici dati della retta a, possiamo vedere le coordinate del vettore diretto della retta: (3, - 4, 1), che sarà il vettore normale dell'area α, perpendicolare alla retta un. Todi n → = (3, - 4, 1) è il vettore normale dell'area α. In questo ordine, il piano dell'α matime sembrava uguale:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Ora conosciamo le coordinate del punto di incrocio della retta e quella del piano α, per le quali ci sono due modi:

1. I compiti dell'allineamento canonico consentono di prendere l'allineamento di due piani, che si sovrappongono, che rappresentano la retta a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Per conoscere i punti della linea trasversale della retta 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 e piani 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

In a questo particolare tipo vikoristovuєmo il metodo di Cramer, ma puoi zasosuvat se è ruchny:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

In questo modo la proiezione di un dato punto su una retta a è un punto di coordinate (1, 2, 0)

1. Sulla base dei compiti degli allineamenti canonici, è facile annotare l'allineamento parametrico della retta nello spazio:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Immaginiamo nel livello del piano, che può essere visto come 3 x - 4 y + z + 5 = 0 invece x , y і z їх espressione tramite il parametro:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Calcoliamo le coordinate del punto di incrocio della retta a e del piano α dietro gli allineamenti parametrici della retta a a λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Pertanto, la proiezione di un dato punto su una retta a ha coordinate (1, 2, 0)

Suggerimento: (1 , 2 , 0)

È significativo che le proiezioni del punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) sulle linee di coordinate O x , O y і O z saranno punti con coordinate (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) e (0 , 0 , z 1) sono validi.

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aiutare qualcun altro calcolatrice online puoi conoscere la proiezione di un punto su una retta. Speriamo di riportare una soluzione con spiegazioni. Per calcolare la proiezione di un punto su una retta, impostare la distanza (2- sembra una retta sul piano, 3- sembra una retta nello spazio), inserire le coordinate del punto di quello elemento di allineamento nella casella e premere il pulsante "Verishity".

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Istruzioni per l'inserimento dei dati. I numeri vengono inseriti come numeri interi (applica: 487, 5, -7623 sottile.), decimali (es. 67., 102,54 sottile.) o frazioni. La frazione deve essere digitata alla vista di a / b, de a і b (b> 0) tsіlі o decine di numeri. Applicare 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 sottile.

Proiezione di un punto su una retta - teoria, applica quella soluzione

Diamo un'occhiata al compito delle distese di due e tre mondi.

1. Sia dato un punto allo spazio dei due mondi M 0 (X 0 , y 0) io dritto l:

Algoritmo per la proiezione di un punto su una retta l vendicarsi così:

• chiedere direttamente l 1 per passare per il punto M 0 i perpendicolare alla retta l,
• conoscere l'estensione delle rette lі l 1 (punto M 1)

Retta per passare per il punto M 0 (X 0 , y 0) potrebbe assomigliare a questo:

Vіdkrієmo si inchina

(5)

Assumiamo il valore Xі y a 4):

de X 1 =mt"+X", y 1 =pt"+si".

Esempio 1. Conosci la proiezione di un punto M 0 (1, 3) dritto

Totò. m=4, p=5. Dall'allineamento della retta (6) è chiaro che passerà per il punto M" (X", si")=(2, −3)(che è facile da cambiare - sostituendo il valore (6) assume l'identità 0=0), quindi. X"=2, si"=-3. Assumiamo il valore m, p, x 0 , y 0 ,x", y" alle 5"):

2. Sia dato un punto allo spazio trivi-mondano M 0 (X 0 , y 0 , z 0) io dritto l:

Il significato della proiezione di un punto su una retta l vendicarsi così:

• incoraggiare l'appartamento α , per passare per il punto M 0 i perpendicolare alla retta l,
• conoscere l'area retin α io dritto l(macchiolina M 1)

Planarità del piano per passare per il punto M 0 (X 0 , y 0 , z 0) potrebbe assomigliare a questo:

Vіdkrієmo si inchina

Assumiamo il valore Xі y circa 9):

La proiezione di un punto su una linea retta è facile da eseguire e, per le ultime operazioni, la prossimità zero viene calcolata come proiezione di un punto su una linea retta tratteggiata. Diamo un'occhiata a questo numero di aspetti del compito comune.

Lascia che vada dritto

io macchio. È importante sottolineare che il vettore di rette w può essere piuttosto lungo. La retta passa per il punto , dove il parametro t è uguale a zero, e il vettore w può essere rettilineo. È necessario conoscere la proiezione di un punto su una retta. C'è solo una soluzione. Indurremo un vettore da un punto di una retta a un punto e un vettore rigido scalare computabilmente e un vettore di una retta w. Sulla fig. 4.5.1 che mostra il vettore diretto delle linee w, dato punto. Se dividiamo questa estensione scalare nella lunghezza del vettore w, togliamo la lunghezza della proiezione del vettore su una retta.

Riso. 4.5.1. Proiezione di un punto su una retta

Se dividiamo l'estensione scalare per il quadrato del vettore w, togliamo la proiezione del vettore sulla retta in unità dell'estensione del vettore w, quindi prendiamo il parametro t per la proiezione del punto su la retta.

Quindi, il parametro di proiezione di un punto su una retta e il raggio-vettore della proiezione; calcola con le formule

(4.5.3)

Se la lunghezza del vettore w è uguale a 1, allora (4.5.2) non è necessario sottrarre dal punto alla proiezione sulla curva in forte pendenza, viene calcolata come la lunghezza del vettore. Puoi calcolare la distanza dal punto alla proiezione її su una linea retta, non calcolando la proiezione del punto, ma accelerando la formula

Okremi cade.

La proiezione di un punto su curve analitiche può essere conosciuta anche senza la conoscenza di metodi numerici. Ad esempio, per conoscere la proiezione del punto sul taglio finale, è necessario tradurre il punto che si sta proiettando nel sistema di coordinate del taglio finale, proiettare il punto sul piano del taglio finale e conoscere il parametro della proiezione bidimensionale del punto dato.

Zagalny Vpadok.

Sia necessario conoscere tutte le proiezioni di un punto su una linea curva.

(4.5.5)

L'obiettivo è vendicarsi di un valore sconosciuto: il parametro t. Come è già stato detto, il completamento del quale compito è stato suddiviso in due fasi. Nella prima fase, indichiamo l'approssimazione zero dei parametri nelle proiezioni del punto sulla curva, e nell'altra fase, conosciamo i valori esatti dei parametri nella curva, che assegnano le proiezioni del punto dato sulla curva alla retta z