Designazione del momento d'inerzia della sezione trasversale con trasferimento parallelo degli assi. Modifica del momento di inerzia durante lo spostamento degli assi delle coordinate in parallelo Formule per lo spostamento degli assi

Dai z h, yz– asse centrale di pereriziv; – momenti di inerzia attraverso gli assi chodo. Momenti di inerzia significativi su nuovi assi z1, 1, parallelamente agli assi centrali e ai punti in cui si trovano sul cavalletto unі d. Avanti dA- cameriera elementare alla periferia del punto M con coordinate yі z al sistema di coordinate centrale. 3 fig. 4.3 si può notare che le coordinate del punto Z del nuovo sistema di coordinate sono aggiornate, .

Momento d'inerzia significativo lungo l'asse y 1 :

Fig.4.3

e c

si 1

Ovviamente il primo integrale è sì, l'altro è , i frammenti del sistema di coordinate esterne sono centrali e il terzo è l'area del taglio MA.

In modo tale,

Allo stesso modo

Modifica dei momenti di inerzia del sovrasquadro durante la rotazione degli assi

Conosciamo il maggese tra i momenti di inerzia e gli assi y, z e momenti di inerzia rispetto agli assi si 1, z1, acceso il taglio un. Avanti Jy> Jz ta positivo un finire in asse y freccia anti-anno. Invia punti di coordinate M prima del turno y, z, dopo aver girato - si 1, z1(Figura 4.4).

Dal piccolo piagnucola:

Ora i momenti di inerzia sono significativi per gli assi si 1і z1:

Riso. 4.4

si 1

. (4.13)

Allo stesso modo:

Sommando termine per termine uguale (4.13) e (4.14), prendiamo:

tobto. la somma del momento d'inerzia, se presente, assi reciprocamente perpendicolari, è costante e non cambia quando il sistema di coordinate viene ruotato.

Assi di inerzia di testa e momenti di inerzia di testa

Zі zmіnoyu kuta gira gli assi un i valori della pelle cambiano, ma la somma rimane invariata. Otzhe, ha lo stesso significato

a = a 0 , per cui i momenti di inerzia raggiungono valori estremi, cioè. uno di essi raggiunge il suo valore massimo e l'altro raggiunge il suo valore minimo. Per il significato un 0 diamo un'occhiata (altrimenti) e uguagliamolo a zero:

Si mostra che quando gli assi vengono rimossi, il momento di inerzia centrale è uguale a zero. A questa destra, parte dell'equazione (4.15) è uguale a zero: , stars, tobto. ha preso la stessa formula per un 0 .

L'asse, in cui un momento di inerzia centrale è vicino a zero e i momenti di inerzia dell'asse ottengono valori estremi, sono chiamati assi della testa. Yakshcho tsi osі є і centrale, tutte le puzze sono chiamate assi centrali della testa. i momenti di inerzia dell'asse come gli assi della testa sono chiamati momenti di inerzia della testa.

Significativamente asse attraverso il titolo si 0і z0. Todi

Se la retina può essere tutta simmetrica, allora tutto è uno degli assi centrali della testa dell'inerzia perezu.

Consideriamo il momento di inerzia della figura piatta (Fig) per gli assi $(Z_1)$ e $(Y_1)$ per i momenti di inerzia dati per gli assi $X$ e $Y$.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limiti_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

de $(S_x)$ - il momento statico della figura è attorno all'asse $X$.

Simile all'asse $(Y_1)$

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Momento d'inerzia centrale per gli assi $(X_1)$ e $(Y_1)$

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + di + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A(ydA) + ab\int\limits_A(dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Molto spesso, c'è una transizione dagli assi centrali (gli assi superiori della figura piatta) a quelli completi e paralleli. Allora $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, i frammenti dell'asse $X$ e $Y$ sono centrali. Maionese rimanente

de, - i momenti di inerzia di potenza, ovvero i momenti di inerzia in funzione della potenza degli assi centrali;

$a$, $b$ - vіdstanі con assi centrali per analіzovanih;

$A$ - area delle cifre.

Si noti che quando il momento d'inerzia centrale è assegnato alle quantità $a$ e $b$, il segno è da biasimare, per cui il fetore è, appunto, le coordinate del baricentro della figura in gli assi che vengono esaminati. Con i momenti di inerzia assiali assegnati e i valori sostitutivi del modulo (come nella norma), le schegge della puzza salgono però al quadrato.

Per le formule di aiuto trasferimento paralleloè possibile modificare la transizione dagli assi centrali a quelli superiori, o navpak- negli assi centrali precedenti La prima transizione è contrassegnata da un segno "+". Un altro incrocio è contrassegnato da un cartello- ".

Applicare formule diverse alla transizione tra assi paralleli

Retina rettangolare

Significativamente il momento di inerzia centrale di un rettangolo è proporzionale ai principali momenti di inerzia attorno agli assi $Z$ e $Y$.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

Allo stesso modo, $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

Trikutny Pereriz

Significativamente, il momento d'inerzia centrale del tricoutter sul dato momento d'inerzia della base $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

Se l'asse centrale $(Y_c)$ ha una configurazione diversa, possiamo anche osservarlo. Il momento di inerzia di tutte le figure lungo l'asse $(Y_c)$ è maggiore della somma del momento di inerzia del tricot $ABD$ lungo l'asse $(Y_c)$ e del momento di inerzia del tricot $CBD$ lungo l'asse $(Y_c)$, tobto

Appuntamento al momento d'inerzia del binario piegato

Mettiamo insieme un peratin, che è composto da elementi okremih, le caratteristiche geometriche di ognuno di essi. L'area, il momento statico e il momento d'inerzia della figura del magazzino si sommano alla somma delle caratteristiche rilevanti del magazzino. Come piegare i perimetri, puoi farlo sembrare un modello di una figura dall'esterno, le caratteristiche geometriche della figura sono visibili. Ad esempio, i momenti di inerzia di una figura di magazzino, mostrata in fig. apparirà così

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12 )) = 72 \, 300 $ cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \right) = 1\.490\.000$cm 4

Fammi vedere te e Ix, Iy, Ixy. Parallelamente agli assi xy, tracciamo una nuova linea x1, y1.

І momento di inerzia significativo del taglio stesso dei nuovi assi.

X 1 \u003d x-a; y 1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3) dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix - 2b Sx + b 2A.

Se tutto passa per il baricentro del taglio, allora il momento statico Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Analogamente al nuovo asse y 1, possiamo calcolare la formula I y 1 = Iy + a 2 A

Momento d'inerzia centrale per nuovi assi

Ix 1 y 1 \u003d Ixy - b Sx -a Sy + abA.

Se l'asse xy passa per il baricentro del taglio, allora Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Se il raggio è simmetrico, se uno degli assi centrali si sposta attorno all'intera simmetria, allora Ixy \u003d 0, anche Ix 1 y 1 \u003d abA

Modifica del momento di inerzia sotto l'ora di rotazione degli assi.

Facci conoscere i momenti di inerzia assiali attorno agli assi xy.

Il nuovo sistema di coordinate xy viene tolto ruotando il vecchio sistema su kut (a> 0), ovvero ruotando la freccia anti-anno.

Installiamo il maggese tra le vecchie e le nuove coordinate del Maidanchik

y 1 \u003d ab \u003d ac - bc \u003d ab-de

da tricot acd:

ac/ad \u003d cos α ac \u003d ad * cos α

da tricot ed.:

de/od=sinα dc=od*sinα

Rappresentiamo il valore di virasi per y

y 1 \u003d ad cos α - od sin α \u003d y cos α - x sin α.

Allo stesso modo

x 1 \u003d x cos α + y sin α.

Calcoliamo il momento di inerzia assiale per il nuovo asse x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA = ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α) dA = = cos 2 α ∫ y 2 dA - sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Allo stesso modo, Iy 1 \u003d Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Mettiamo insieme le parti sinistra e destra del virus portato via:

Ix 1 + Iy 1 \u003d Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

La somma dei momenti di inerzia assiali non cambia durante la rotazione.

Significativamente è il momento d'inerzia centrale per i nuovi assi. Il valore x 1 ,y 1 è visibile.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*peccato 2 α + Ixy cos 2 α .

Momenti principali e assi di inerzia principali.

Momenti di inerzia della testa nominare i loro valori estremi.

Gli assi, che hanno alcuni valori estremi, sono chiamati assi di inerzia della testa. Il fetore è sempre reciprocamente perpendicolare.

Vіdtsentrovy moment іnertsії schodo head axis zavzhdі dorivnyuє 0. Oskіlki vіdomo, scho shcho hanno є vіs simmetria, quindi vіdtsentrovy moment іvіvnyuє 0, anche tutta la simmetria є testa vіssyu. Se prendiamo la prima riga del virus I x 1, uguagliamo її a "0", prendiamo il valore di kuta = la posizione corrispondente degli assi di inerzia della testa.

tg2 α 0 = -

Se α 0 >0, la vecchia stazione degli assi della testa deve essere ruotata nella direzione della freccia dell'anno. Uno degli assi principali è є max e іnsha - min. Con l'aiuto del peso massimo, il vento soffia un kut più piccolo tієї vypadkovoї, vyssyu schodo kakoї può avere un maggiore momento di inerzia assiale. I valori estremi del momento di inerzia assiale sono determinati dalla seguente formula:

Capitolo 2. Conoscenza di base del supporto dei materiali. Il compito di quel metodo.

Sotto l'ora di progettare diverse spore, è necessario virishuvate diversi valori nutrizionali, zhorstkost, resistenza.

Mitsnist- La costruzione di questo corpo mostrerà la differenza di vanità senza rovinarsi.

Durezza- la costruzione della struttura da sfruttare senza grandi deformazioni (spostamento). I valori di deformazione ammissibili in avanti regolano le norme e le regole future (SNIP).

resistenza

Possiamo guardare la presa della cesoia gnuchka

Se vuoi aumentare passo dopo passo, ci sarà un rapido taglio di capelli sulla schiena. Quando la forza F raggiunge il valore critico, il taglio si rigonfia. - Assolutamente corto.

Con questo, il taglio non crolla, ma cambia bruscamente la sua forma. Un tale fenomeno è chiamato vtratoy stamina e porta alla rovina.

Sopromat- Tse fondamenti delle scienze sulle strutture ingegneristiche, più zhorstkіst, stіykіst. Metodi di Spivpromatі vikoristovuyutsya meccanica teorica, fisici, matematici Sul vіdmіnu con teoreticії mekhanіki spromat vrakhovuє zminі rozmirіv formo fino a ієyu navantazhennya quella temperatura.

Significativamente maggese tra diversi momenti di inerzia su due assi paralleli (Fig. 6.7), collegati da maggese

1. Per momenti di inerzia statici

Bene,

2. Per momenti di inerzia assiali

otzhe,

Yakshcho tutto z passare attraverso il baricentro del taglio, quindi

Dai momenti di inerzia dati quando è parallelo agli assi, il momento di inerzia assiale può essere il meno importante affinché l'asse passi attraverso il baricentro della sezione trasversale.

Allo stesso modo per l'asse

Cado y passare per il baricentro

3. Per i momenti di inerzia del centro d'acqua, è necessario prendere

Il resto si può scrivere

A volte, se la pannocchia del sistema di coordinate yz essere nel baricentro del taglio, portarlo via

Avere un vipadku, se l'uno o l'altro offende l'asse con gli assi di simmetria,

6.7. Momenti di inerzia variabili durante la rotazione degli assi

Lascia che il compito del momento d'inerzia venga tagliato lungo gli assi delle coordinate zy.

È necessario designare il momento d'inerzia della stessa sezione trasversale degli assi ruotati di un punto decimale rispetto al sistema di coordinate zy(Figura 6.8).

Kut vvazhaetsya positivo, come il vecchio sistema di coordinate per il passaggio a quello nuovo, è necessario ruotare la freccia del controanno (per il sistema di coordinate cartesiane rettangolari di destra). Nuovo e vecchio zy sistemi di coordinate po'yazanі maggese, yakі vyplyvayut іz fig. 6.8:

1. Significativamente per i momenti di inerzia assiali lungo gli assi del nuovo sistema di coordinate:

Simile al sistema operativo

Se sommiamo la grandezza del momento di inerzia lungo gli assi i, prendiamo

cioè, quando gli assi vengono ruotati, la somma dei momenti di inerzia assiali è un valore costante.

2. Vediamo le formule per il momento d'inerzia centrale.

6.8. Principali momenti di inerzia. Principali assi di inerzia

I valori estremi dei momenti d'inerzia assiali del taglio sono detti momenti d'inerzia di testa.

Due assi tra loro perpendicolari agli assi, dove tali assi di momento d'inerzia possono avere valori estremi, sono detti assi d'inerzia della testa.

Per il significato dei principali momenti di inerzia e della posizione degli assi di inerzia della testa, è significativo dapprima lungo la coda nel momento di inerzia assegnato alla formula (6.27)

Uguaglia questo risultato a zero:

de - Kut, su quale è necessario ruotare gli assi delle coordinate yі z schob puzza zbіglisya z assi della testa.

Porіvnyuyuchi vrazi (6.30) e (6.31), puoi installare, scho

Otzhe, shdo gli assi principali d'inerzia vydtsentrovy momento d'inerzia a zero.

Mutuamente perpendicolari agli assi, dai quali l'uno o l'altro offende gli assi di simmetria del perimetro, e gli assi di inerzia della testa.

Rozv'yazhemo rivnyannya (6.31) shodo kuta:

Se >0, è necessaria l'assegnazione della posizione di uno degli assi di inerzia della testa per il sistema di coordinate rettangolari cartesiane destro (sinistro) z accendere il kut contro il percorso dell'avvolgimento (lungo l'avvolgimento) della freccia dell'anno. Yakscho<0, то для определения положения одной из главных осей инерции для правой (левой) декартовой прямоугольной системы координат необходимо осьz girare al kut lungo l'avvolgimento (contro la direzione dell'avvolgimento) della freccia dell'anno.

Asse massimo zavzhdi skladє più piccolo kut z tієї osі ( y o z), in modo che il momento d'inerzia assiale possa essere maggiore del valore (Fig. 6.9).

L'intero massimo viene raddrizzato sotto il taglio all'asse (), yaksho () e piegato in quarti accoppiati (non accoppiati) degli assi, yaksho ().

I principali momenti di inerzia sono significativi. Si prendono le formule vicoristiche della trigonometria, che collegano le funzioni, con le funzioni, le formule (6.27).