Scopri la funzione più importante del numero. Le funzioni più e meno importanti dei pochi cambiamenti nella regione. Funzioni di molti cambiamenti

Appuntamento 1.11 Si imposti la funzione di due cambiavalute z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (X 0 ;y 0 ) - punto interno dell'area D .

Yakscho dentro D є un tale quartiere UM 0 macchioline M 0 , che per tutti i punti

poi un granello M 0 è detto punto di massimo locale. E il significato z(M 0 ) - massimo locale.

E come per tutti i punti

poi un granello M 0 è chiamato il punto del minimo locale della funzione z(x,y) . E il significato z(M 0 ) - Minimo locale.

Il massimo locale e il minimo locale sono detti estremi locali della funzione z(x,y) . Sulla fig. 1.4 spiegato zmist geometrico massimo locale: M 0 - puntare al massimo, a ciò che c'è in superficie z = z(x, y) punto chiaro C 0 per conoscere meglio per qualsiasi altro motivo C (Che ha la località massima).

Rispettosamente, ci sono dei punti sulla superficie (ad esempio, In ), se ne sai di più C 0 , puntini ale qi (ad esempio, In ) non є "giudiziario" con un punto C 0 .

Zocrema, punto In conferma la comprensione del massimo globale:

Allo stesso modo, il minimo globale è determinato:

La conoscenza dei massimi e minimi globali sarà discussa nel paragrafo 1.10.

Teorema 1.3 (estremo richiesto).

Lascia che la funzione sia impostata z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (X 0 ;y 0 D - Punto estremo locale.

Cosa hai z" X і z" y , poi

La conferma geometrica è "ovviamente". Qual è il prossimo C 0 su (Fig. 1.4) per disegnare un'area doticamente piatta, lì "naturalmente" passa orizzontalmente, cioè sotto il cofano 0° all'asse Oh io all'asse UO .

Lo stesso vale per un cambio geometrico dei parenti privati ​​(Fig. 1.3):

cosa era necessario portare.

Appuntamento 1.12.

Qual è il prossimo M 0 pensa (1.41), allora è chiamato il punto stazionario della funzione z (x, y) .

Teorema 1.4 (mente sufficiente per l'estremo).

Fammi chiedere z = z (x, y), (x, y) D , in quanto potrebbero esserci eventi privati ​​di ordine diverso nelle vicinanze del punto M 0 (X 0 ,y 0 ) D . E perché M 0 - Punto fermo Calcoliamo:

La dimostrazione del teorema vicorista da parte di quelli (formula di Taylor della funzione di un numero di variabili e teoria delle forme quadratiche), che non è considerata da nessun aiutante.

culo 1.13.

Vai all'estremo:

1. Conosciamo i punti stazionari che rompono il sistema (1.41):

quindi abbiamo trovato alcuni punti stazionari. 2.

dopo il Teorema 1.4, i punti hanno un minimo. E perché

secondo il Teorema 1.4 al punto

Massimo. E perché

§10 Il valore più grande e più piccolo della funzione di due variabili in un'area chiusa

Teorema 1.5 Andiamo vicino a una regione chiusa D la funzione è impostata z = z(x, y) , che possono essere senza interruzione viaggi privati ​​di prim'ordine. Cordone G regioni D є shmatkovo smooth (che è piegato da curve o linee rette shmatkіv "smooth on dotik"). Todi in regione D funzione z(x,y) raggiungi il tuo massimo M e meno m valore.

Senza conferma.

Puoi propagare il prossimo piano di rimprovero M і m . 1. Saremo sedie, potremo vedere tutte le parti del cordone della regione D e conosciamo tutti i punti "kutovі" del cordone. 2. Conosciamo i punti stazionari nel mezzo D . 3. Sono noti i punti stazionari della pelle dei cordoni. 4. Calcola in tutti i punti stazionari e apicali, quindi scegli il massimo M e meno m significato.

Caso 1.14 Saperne di più M e meno m valore della funzione z = 4x2-2xy+y2-8x vicino alla zona chiusa D , circoscritto: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Spostiamo l'area D (Fig. 1.5) in piano Oh .

Punti Kutovі: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Cordone G regioni D si compone di tre parti:

2. Conosciamo i punti stazionari al centro della regione D :

3. Punti stazionari sui cordoni l 1 , l 2 , l 3 :

4. Vengono contati sei valori:

Dall'omissione di sei valori, scegli il massimo e il minimo.

Teorema 1.5 Andiamo vicino a una regione chiusa D la funzione è impostata z = z(x, y) , che possono essere senza interruzione viaggi privati ​​di prim'ordine. Cordone G regioni D є shmatkovo smooth (che è piegato da curve o linee rette shmatkіv "smooth on dotik"). Todi in regione D funzione z (x, y) raggiungi il tuo massimo M e meno m valore.

Senza conferma.

Puoi propagare il prossimo piano di rimprovero M і m .
1. Saremo sedie, potremo vedere tutte le parti del cordone della regione D e conosciamo tutti i punti "kutovі" del cordone.
2. Conosciamo i punti stazionari nel mezzo D .
3. Sono noti i punti stazionari della pelle dei cordoni.
4. Calcola in tutti i punti stazionari e apicali, quindi scegli il massimo M e meno m significato.

Caso 1.14 Saperne di più M e meno m valore della funzione z = 4x2-2xy+y2-8x vicino alla zona chiusa D , circoscritto: X = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Spostiamo l'area D (Fig. 1.5) in piano Oh .

Punti Kutovі: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Cordone G regioni D si compone di tre parti:

2. Conosciamo i punti stazionari al centro della regione D :

3. Punti stazionari sui cordoni l 1 , l 2 , l 3 :

4. Vengono contati sei valori:

Applicare

Esempio 1.

Questa funzione è assegnata a tutti i valori che cambiano X і y , crim la pannocchia di coordinate, de znamennik gira a zero.

Membro ricco x2+y2 usudi ininterrotto, e quindi i radice quadrata ininterrotta di una funzione ininterrotta.

Il drib sarà ininterrotto ovunque, Crimea dot, de banner a zero. Quella funzione, che viene esaminata, è ininterrotta sull'intero piano delle coordinate Oh , inclusa la pannocchia di coordinate.

culo 2.

Seguire la funzione per la sicurezza z=tg (x, y) . Tangente di valori e senza interruzione per tutti significati finali argomento, valore crim, uguale al numero di magnitudo spaiato π /2 , poi. compresi i punti, de

Con fissaggio cutaneo "K" L'equazione (1.11) indica un'iperbole. Pertanto, la funzione є funzione ininterrotta X e y compresi i punti che giacciono sulle curve (1.11).

esempio 3.

Conoscere le funzioni private all'aperto u=z-xy , z > 0 .

culo 4.

Mostra qual è la funzione

soddisfatto dell'uniformità:

– questa uguaglianza vale per tutti i punti M(x; y; z) punto crema M 0 (a; b; c) .

Diamo un'occhiata alla funzione z=f(x, y) di due variabili indipendenti e installiamo la sostituzione geometrica delle variabili private z"x = f"x (x, y) і z"y = f"y (x, y) .

La cui mente è uguale z=f (x, y) є livellamento della superficie (Fig. 1.3). Tenuto piatto y = cost . A pererizі tsієї superfici superficiali z=f (x, y) linea vide deyka l 1 peretina, vzdovzh che cambiano meno delle dimensioni X і z .

Viaggio privato z"x (її spostamento geometrico senza un mezzo vyplyaє z noto a noi senso geometrico di una funzione simile di una variabile) è numericamente superiore alla tangente del kuta α malaticcio, per estensione all'asse Oh , scarpa L1 alla curva l 1 , scho per avvicinarsi alla superficie z=f (x, y) piatto y = cost al punto M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

Alla retina e alla superficie z=f (x, y) piatto X = cost peretina a linea larga l 2 , vzdovzh che cambiano meno della grandezza a і z . Todi divertimento privato z" y numericamente superiore alla tangente del kuta β nahilu per estensione all'asse UO , scarpa L2 alla riga specificata l 2 peretina a punti M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Esempio 5.

Che tipo di kutvoruє è vіssyu Oh dotichna alla linea:

al punto M(2,4,5) ?

Vikoristovuєmo sostituzione geometrica di un sostituto privato per un sostituto X (a digiuno a ):

Esempio 6.

Zgidno (1.31):

Esempio 7.

Vvayayuchi, scho uguale

definire implicitamente una funzione

sapere z"x , z" y .

Per questo motivo (1.37) abbiamo bisogno di prove.

Esempio 8.

Vai all'estremo:

1. Conosciamo i punti stazionari che rompono il sistema (1.41):

quindi abbiamo trovato alcuni punti stazionari.
2.

dopo il Teorema 1.4, i punti hanno un minimo.

E perché

4. Vengono contati sei valori:

Dall'omissione di sei valori, scegli il massimo e il minimo.

Elenco della letteratura:

ü Belko I. V., Kuzmich K. K. Ottima matematica per economisti I semestre: corso Express. - M.: Nuove conoscenze, 2002. - 140 p.

ü Gusak A.A. Analisi matematica e allineamento differenziale. - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 pag.

ü Matematica di Gusak A. A. Vishcha. Intestazione guida per studenti universitari in 2 volumi. - Mn., 1998. - 544 pag. (1 vol.), 448 pag. (2 tonnellate).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Mathematics for Economists: A Handbook for Universities / Ed. prof. N. Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 p.

ü Yablonsky A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E. IO. che dentro Matematica di Vishcha. Corso Zagalniy: Pidruchnik / Zag. ed. SA Samal. - Mn.: Vish. scuola, 2000. - 351 p.

Sempre meno significato

La funzione, che è racchiusa in un'area chiusa, raggiunge il suo valore più grande e più piccolo, sia in punti stazionari, sia in punti che giacciono sull'area di confine.

Per trovare il valore più grande e più piccolo della funzione, è necessario:

1. Trova i punti stazionari che si trovano nel mezzo di questa regione e calcola i valori della funzione per loro.

2. Conoscere il valore più (minore) della funzione dell'interregione.

3. Equalizza tutti i valori negativi della funzione: i valori più grandi (meno) e saranno i più grandi (minimi) della funzione per questa galleria.

culo 2. Trova il valore più grande (minimo) della funzione: y .

Soluzione.

il punto è fermo; .

2 . Il confine dell'area chiusa è l'anello, de.

La funzione dell'interregione diventa la funzione di un cambiamento: , de . Conosciamo le funzioni più e meno importanti.

Per x = 0; (0,-3) e (0,3) sono punti critici.

Calcola il valore della funzione alle estremità della corona

3 . Porivnyuyuchi mizh stesso otrimuemo,

Ai punti A e B.

Ai punti C e D.

esempio 3. Trova il valore più grande e più piccolo della funzione nell'area chiusa, data l'irregolarità:

Soluzione. L'area є trikutnik, circonderemo gli assi delle coordinate і con una linea retta x + y = 1.

1. Conosciamo punti stazionari nel mezzo della regione:

; ; y = - 1/8; x = 1/8.

Il punto stazionario non appartiene a quest'area, quindi il valore di z in esso non viene calcolato.

2 Funzione .Doslіdzhuєmo sul cordone. I frammenti del confine sono formati da tre dіlyanki, descritti da tre diversi uguali, funzione doslіdzhuєmo della pelle dіlantsі okremo:

un) div 0A: y=0- uguale a 0A, quindi ; da uguale è chiaro che la funzione aumenta di 0A da 0 a 1. Media .

b) sulla distanza 0B: x = 0 - la distanza 0B, quindi; -6 anni + 1 = 0; - Punto critico.

in) alla diretta x + y = 1: y = 1-x, quindi prendiamo la funzione

Calcoliamo il valore della funzione z nel punto B(0,1).

3 .Perіvnyuyuchi numeri otrimuemo, scho

A dritto AB.

Al punto B.

Test per la conoscenza dell'autocontrollo.

uno . Funzione estrema – ce

a) її pokhіdnі primo ordine

b) її uguale

c) її programma

d) її massimo e minimo

2. L'estremo della funzione può essere raggiunto il più possibile:

a) solo nei punti che giacciono al centro dell'area designata, nel qual caso i valori privati ​​del primo ordine sono maggiori di zero

b) solo in punti che si trovano al centro dell'area designata, nel qual caso i valori privati ​​del primo ordine sono inferiori a zero

c) solo nei punti che giacciono al centro dell'area designata, nel qual caso i valori privati ​​del primo ordine non sono uguali a zero

d) solo in punti che si trovano al centro dell'area designata, nel qual caso le somiglianze private di primo ordine sono pari a zero

3. Una funzione che è ininterrotta in un'area chiusa, raggiungendo i suoi valori più alti e più bassi:

a) in punti stazionari

b) sia in punti stazionari, sia in punti che giacciono sull'interregione

c) nei punti che giacciono sull'interregione

d) in tutti i punti

4. Punti stazionari per la funzione di quante variabili si chiamano punti:

a) per alcuni di voi

b) alcuni di essi hanno differenze private del primo ordine maggiori di zero

c) per alcuni di essi le modifiche private del primo ordine sono pari a zero

d) per alcuni di essi i comportamenti privati ​​di prim'ordine sono inferiori a zero

Sia la funzione y = f (x) interrotta dal vento. Apparentemente, una tale funzione raggiunge il suo massimo. quell'assunzione. valore. Questa funzione può essere eseguita nel punto interno della finestra, o sul bordo della finestra, tobto. a = a o = b. Come un punto per tracciare il centro dei punti critici di una data funzione.

Prendiamo la regola del valore del valore più grande e più piccolo della funzione per:

1) determinare i punti critici della funzione sull'intervallo (a, b);

2) calcolare i valori della funzione nei punti critici trovati;

3) calcola il valore della funzione del kintsyah vіdrіzka, tobto. nei punti x=a e x=b;

4) la media dei valori calcolati della funzione è scegliere il massimo e il minimo.

Rispetto:

1. Se la funzione y = f (x) ha più di un punto critico per vdrіzku e ha vinto є il punto di massimo (minimo), a questo punto la funzione ottiene il valore più grande (minimo).

2. Poiché la funzione y=f(x) non ha punti critici, significa che la funzione aumenta e diminuisce in modo monotono per quella nuova. Inoltre, la funzione porta il suo valore massimo (M) a un'estremità della corsa e il minimo (m) all'altra.

60. Numeri complessi. Formula di movimento.
numero complesso nome mente viraz z = x + iy, de x e y - numeri disordinati, e io - così chiamato. solitudine evidente. Se x=0, allora il numero 0+iy=iy è classificato. mostriamolo per numero; anche se y=0, il numero x+i0=x è mappato al numero corrente x, ma significa che la R impersonale di tutte le funzioni. numeri yavl. sotto la molteplicità dell'impersonale Z usikh numeri complessi, poi. . Numero x nomi la parte decimale z, . Due numeri complessi і si dicono uguali (z1=z2) pari e una sola volta, se parti uguali e parti uguali sono uguali: x1=x2, y1=y2. Zocrema, il numero complesso Z=x+iy è uguale a zero e quindi se x=y=0. Non vengono introdotti i concetti di "maggiore" e "minore" per i numeri complessi. Si chiamano ottenuti due numeri complessi z \u003d x + iy і, che sono considerati solo dal segno della parte esplicita.

Rappresentazione geometrica di numeri complessi.

Se un numero complesso z = x + iy può essere rappresentato da un punto M(x,y) del piano Oxy tale che x=Re z, y=Im z. In primo luogo, il punto skin M(x;y) del piano delle coordinate può essere utilizzato come immagine del numero complesso z = x + iy. L'area in cui vengono visualizzati i numeri complessi è chiamata area complessa, perché deve mentire i numeri reali z = x + 0i = x. Tutte le ordinate sono dette vertici espliciti, per il fatto che su di essa giacciono i numeri complessi apparenti z = 0 + iy. Il numero complesso Z=x+iy può essere inserito dietro il vettore raggio ausiliario r=OM=(x,y). La lunghezza del vettore r, che rappresenta il numero complesso z, è chiamata modulo di questo numero ed è indicata con | z | o r. Rozmir kuta mizh poklade. Direttamente sull'asse reale, il vettore r, che rappresenta un numero complesso, è chiamato argomento del numero complesso, indicato con Arg z o . L'argomento del numero complesso Z = 0 non è assegnato. L'argomento di un numero complesso - il valore è riccamente significativo e viene misurato con precisione fino al dodanku, de arg z - il valore principale dell'argomento, messo nello spazio (), quindi. - (A volte come valore head dell'argomento, prendi il valore che dovrebbe contenere lo spazio vuoto (0; )).

Scrivere il numero z come z=x+iy è chiamato forma algebrica di un numero complesso.

Dії su numeri complessi

Addendum. La somma di due numeri complessi z1=x1+iy1 e z2=x2+iy2 è un numero complesso uguale: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). L'addizione di numeri complessi può cambiare e modificare la potenza: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vidnіmannya. Vіdnіmannya vyznaєtsya yak dіya, zvorotne dodavannya. La differenza tra i numeri complessi z1 e z2 è chiamata numero z così complesso che, sommato a z2, dà il numero z1, cioè. z = z1-z2, quindi z + z2 = z1. Come z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, è facile eliminare z da questo compito: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). plurale. Il complemento dei numeri complessi z1=x1+iy1 e z2=x2+iy2 è un numero complesso uguale a z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Zvіdsi, zokrema, io vyplyaє: . Come il numero di incarichi per la forma trigonometrica: .

Quando i numeri complessi vengono moltiplicati, i loro moduli vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti. Formula di De Moivre(oltre a є n moltiplicatori e puzza lo stesso): .

Entro la fine del 2020, la NASA avvierà una spedizione su Marte. Consegna la navicella spaziale su Marte con un vettore elettronico che riporta i nomi di tutti i partecipanti registrati alla spedizione.

Registrazione dei partecipanti al voto. Porta via il tuo biglietto per Marte per le benedizioni.

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Chergovy prima del New Rock... il tempo è gelido, quegli snizhinki su shibtsі... Tutto mi ha spinto a scrivere di nuovo di... frattali e di coloro che conoscono Wolfram Alpha. Іz thogo drive є tsіkava stattya, in yakіy є glutei di strutture frattali bidimensionali. Immediatamente, il mondo può vedere i mozziconi piegati di banali frattali.

Un frattale può essere visivamente manifestato (descritto), come una figura geometrica o un corpo (che incombe nell'aria, che è anche impersonale, a questo particolare tipo, punto impersonale), i dettagli che danno forma a tale forma, come la figura stessa. Tobto tse struttura auto-simile, guardando i dettagli come se ingranditi, imita la stessa forma che è senza ingrandimento. Allo stesso modo, in una figura geometrica di grande impatto visivo (non un frattale), con dettagli più minori, come se si potesse realizzare una forma semplice, è visibile una figura inferiore. Ad esempio, quando finisci la gran parte dell'ellisse, sembra un albero dritto. Questo non è il caso dei frattali: per qualsiasi tipo di miglioramento, ripeteremo la stessa forma di piegatura, come se con i miglioramenti della pelle, ripeteremo ancora e ancora.

Benoit Mandelbrot, il fondatore della scienza dei frattali, ha scritto nel suo articolo Fractals and Mystery in the name of science: forma formale. Cioè, se una parte del frattale sarà ingrandita nella misura del tutto, sarà vista nel suo insieme, o esattamente, o, eventualmente, con una leggera deformazione.