Un altro è segno sufficiente della fondazione dell'estremo. La crescita e il cambiamento di funzioni su intervalli, estremi. Abbastanza segno di estremo

Il punto estremo di una funzione è il punto dell'area di designazione della funzione, in cui il valore della funzione è impostato sul valore minimo o massimo. I valori della funzione in questi punti sono detti estremi (minimo e massimo) della funzione.

Appuntamento. Krapka X1 aree di funzione assegnata f(X) è chiamato punto di massima funzione anche se il valore della funzione a questo punto è maggiore del valore della funzione nei punti ad essa vicini, diffondendosi in essa destrorsi e mancini (per evitare irregolarità f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 massimo.

Appuntamento. Krapka X2 aree di funzione assegnata f(X) è chiamato il punto minimo della funzione anche se il valore della funzione a questo punto è inferiore al valore della funzione nei punti ad essa vicini, il destrorso e il malvagio nel mezzo (questo f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). A tutti sembra che la funzione possa essere al punto X2 minimo.

Puntiamo X1 - punto di massima funzione f(X). Todi nell'intervallo fino a X1 la funzione cresce Questo è simile a funzioni maggiori di zero ( f "(X) > 0 ), e nell'intervallo successivo X1 la funzione cambia, ora, e funzioni simili minore di zero ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

È anche possibile che il punto X2 - punta al minimo della funzione f(X). Todi nell'intervallo fino a X2 la funzione cambia e la funzione simile è minore di zero ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 la funzione cresce e la funzione simile è maggiore di zero ( f "(X) > 0). La cui mente ha lo stesso punto X2 Le funzioni di Pokhіdna sono uguali a zero o meno.

Il teorema di Fermat. Che punto X0 - punto di estremo della funzione f(X) , allora all'ennesimo punto la funzione è simile a zero ( f "(X) = 0) oppure no.

Appuntamento. Vengono chiamati i punti che hanno funzioni simili uguali a zero o meno punti critici .

Esempio 1. Diamo un'occhiata alla funzione.

Al punto X= 0 X= 0 è il punto critico. Tuttavia, come si può vedere sul grafico della funzione, c'è un aumento dell'intera area dell'appuntamento, ecco il punto X= 0 non è un estremo della funzione.

In questo modo, pensa a quelli che sono degni di una funzione fino al punto da raggiungere lo zero, o non necessari, o le menti necessarie di un extremum, o non sufficienti, puoi puntare i frammenti e altre applicazioni di funzioni, per alcuni di loro, la mente può essere imbrogliata, oppure la funzione di un extremum. Tom la madre ha bisogno di segni sufficienti, che ti consente di giudicare, chi є in un punto critico specifico dell'estremo e lo stesso yaky - minimo chi massimo.

Teorema (il primo è segno sufficiente della base dell'estremo della funzione). punto critico X0 f(X) in modo che passando per questo punto, la funzione cambia il segno, inoltre, se il segno cambia da "più" a "meno", quindi il punto massimo, e se cambia da "meno" a "più", allora il punto minimo.

Quanto è vicino il punto X0 , mancino e destrorso, se prende un segno, significa che la funzione o cambia o cresce solo in prossimità del punto X0 . In che direzione al punto X0 non c'è l'estremo.

Otzhe, assegnare punti all'estremo della funzione, secondo necessità :

1. Trova una funzione adatta.
2. Impostare uguale a zero e assegnare punti critici.
3. Le carte dei pensieri segnano punti critici sull'asse numerico e segnano i segni di una funzione simile sottraendo intervalli. Se il segno cambia da "più" a "meno", il punto critico è il punto massimo e se cambia da "meno" a "più", il punto minimo.
4. Calcola il valore della funzione nei punti estremi.

culo 2. Conoscere le funzioni estreme .

Soluzione. Conosciamo le seguenti funzioni:

È uguale a zero, per conoscere i punti critici:

.

Quindi, se per qualsiasi valore di "ix" il banner non è uguale a zero, il numero è uguale a zero:

Togli un punto critico X= 3. Il segno opposto è significativo negli intervalli delimitati dal punto:

nell'intervallo di incoerenza meno fino a 3 - segno meno, in modo che la funzione cambi,

nell'intervallo da 3 a più incoerenze - un segno più, in modo che la funzione cresca.

Tobto, punto X= 3 punti minimo.

Conosciamo il valore della funzione nel punto minimo:

In quest'ordine si trova il punto estremo della funzione: (3; 0), inoltre, è il punto minimo.

Teorema (l'altro è sufficiente segno della base dell'estremo della funzione). punto critico X0 є punto estremo della funzione f(X); f ""(X) ≠ 0); f ""(X) > 0 ), allora il punto è il massimo e il contrario è minore di zero ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Nota 1. Qual è il punto X0 gira a zero e il primo, e l'altro è morto, quindi a questo punto è impossibile giudicare la manifestazione di un estremo sulla base di un altro segno sufficiente. È necessario che questo tipo di umore sia ravvivato dal primo segno sufficiente dell'estremo della funzione.

Rispetto 2. Un altro segno sufficiente dell'estremo della funzione non basta e anche se il primo non va bene nel punto stazionario (non c'è altro modo). Occorre anche che questo tipo di atteggiamento sia ravvivato dal primo segno sufficiente dell'estremo della funzione.

Natura locale degli estremi della funzione

È ovvio che l'estremo della funzione può avere un carattere locale: il valore del massimo e del minimo dei valori della funzione è uguale ai valori più vicini.

Diciamo che un giorno guardi i tuoi guadagni al momento del matrimonio. Se hai guadagnato 45.000 rubli dall'erba e 42.000 rubli dal trimestre e 39.000 rubli da quelli rossi, i guadagni dell'erba sono il massimo della funzione di guadagno in termini di valori più vicini. Ale ha guadagnato 71.000 rubli dal giallo, 75.000 rubli dalla primavera e 74.000 rubli dalla caduta delle foglie, quindi lo stesso reddito: la funzione del reddito minimo è uguale ai valori più vicini. Puoi facilmente bachite, in modo che il valore medio massimo di erba-ciliegia primaverile sia inferiore al minimo di caduta di foglie primaverili-zhovtnya.

Parlando zagalneno, nel frattempo, la funzione può essere madre di una spolverata di estremi, inoltre, può sembrare che il minimo della funzione sia maggiore del massimo. Quindi, per la funzione illustrata un po' di più, .

Quindi non è necessario pensare che il massimo e il minimo della funzione siano, a quanto pare, i valori più grandi e più piccoli su tutte le parti che si possono vedere. Nel punto al massimo, la funzione ha il valore minimo nell'intervallo di questi valori, se è possibile in tutti i punti, raggiungere il punto vicino al massimo, e nel punto al minimo - il valore minimo nel intervallo di questi valori, se è vicino ai punti al punto minimo.

Pertanto, può essere chiarito per comprendere meglio il punto dell'estremo della funzione e chiamare i punti del minimo i punti del minimo locale ei punti del massimo - i punti del massimo locale.

Shukaemo Extreme funziona contemporaneamente

esempio 3.

Soluzione. La funzione è assegnata e senza interruzioni su tutta la riga numerica. Її pokhіdna іsnuє anche sull'intera linea dei numeri. Tom dentro a questo particolare tipo punti critici є meno ti, per yak, tobto. , stelle che . Punti critici e dividere l'intera area di funzione assegnata in tre intervalli di monotonia: . Viberemo nella pelle di loro da un punto di controllo e conosciamo il segno del prossimo al secondo punto.

Per un intervallo, un punto di controllo può essere: noto. Prendendo un punto nell'intervallo, sottraiamo e prendendo un punto nell'intervallo, possiamo. Inoltre, negli intervalli i e negli intervalli . Zgіdno con il primo segno sufficiente dell'estremo, nel punto non c'è l'estremo (è più probabile che i frammenti prendano il segno nell'intervallo), e nei punti la funzione può essere minima (i frammenti sono meno quando passano attraverso il successivo punto, cambiando il segno da meno a più). Conosciamo i valori rilevanti della funzione: , a . All'intervallo, la funzione cambia, i picchi in questo intervallo e gli intervalli aumentano, i picchi in quell'intervallo.

Per chiarire la grafica futura, conosciamo i punti della linea dello yoga con gli assi coordinati. Quando prendiamo equal , la cui radice i , si trovano due punti (0; 0) e (4; 0) del grafico della funzione. Vikoristovuyuchi tutti gli otrimani vіdomosti, programma budєmo (div. sul sedere della pannocchia).

Per l'autoverifica con rozrachunkah, puoi accelerare calcolatrice simile online .

culo 4. Conoscere gli estremi della funzione e indurre il programma.

Lo scopo della funzione è l'intera linea dei numeri, ad eccezione dei punti, tobto. .

Per un rapido follow-up, puoi accelerare il fatto che la funzione del bagno turco, frammenti . Pertanto, la pianificazione è simmetrica rispetto all'asse Ahia quel follow-up può essere utilizzato solo per l'intervallo.

Sappiamo che andrò e punti critici della funzione:

1) ;

2) ,

Ma se la funzione conosce la differenza in questo punto, allora non può essere un punto estremo.

In modo tale, la funzione è impostata maє due punti critici: i . L'abbinamento di funzioni Vrahovoyuchi, perevirim per un altro segno sufficiente di estremo è solo un punto. Per chi conosciamo un amico morirò і significativo її segno a: otrimaєmo. Poiché i , allora є il punto minimo della funzione, in cui .

Per aggiungere ulteriori informazioni sulla pianificazione della funzione, è necessario seguire il comportamento ai confini dell'area designata:

(qui il simbolo indica esercizio X destrorso a zero, inoltre X essere sopraffatto dal positivo; allo stesso modo significa esercizio X a zero arrabbiato, inoltre X essere sopraffatto dal negativo). In un tale grado, yakscho, quindi. Dalì, lo sappiamo

,

tobto. come quello.

Il punto di interruzione con gli assi della funzione grafica non può essere. Piccolo - sul sedere della pannocchia.

Per l'autoverifica con rozrachunkah, puoi accelerare calcolatrice simile online .

Prodovzhuєmo shukati funzioni estreme contemporaneamente

Esempio 8. Conoscere le funzioni estreme.

Soluzione. Conosciamo l'ambito della funzione assegnata. Quindi se il nervosismo può vincere, allora siamo ossessionati.

Conosciamo le prime funzioni pokhіdnu.

duje Informazioni importanti sul comportamento della funzione, danno luogo a periodi di crescita e decadimento. Їхнє perebuvannya є parte del processo funzioni di follow-up e grafica dei prompt. Fino ad allora, i punti estremi, in cui vi è un passaggio dalla crescita al declino, o da un cambiamento alla crescita, ricevono un rispetto speciale quando valore del valore più grande e più piccolo della funzione sull'intervallo corrente.

In questo articolo è necessario definire, formulare un segno sufficiente di un aumento di quel cambiamento di funzione su un intervallo e una ragione sufficiente per un extremum, metteremo alla perfezione l'intera teoria applicando quel compito.

Navigazione a lato.

La crescita e il cambiamento della funzione sull'intervallo.

Funzione di crescita designata.

La funzione y=f(x) cresce sull'intervallo X, così come per qualunque i nerіvnіst vykonuetsya. Altrimenti, sembra: il valore maggiore dell'argomento è maggiore del valore della funzione.

Funzione di decadimento designata.

La funzione y=f(x) cambia dell'intervallo X, come per ogni i nervnіst . Altrimenti, a quanto pare, il valore maggiore dell'argomento è dato dal valore minore della funzione.

NOTA: poiché la funzione è assegnata e senza interruzione negli intervalli di crescita o decadimento (a; b), allora a x = a і x = b, allora i punti qi sono inclusi nell'intervallo di crescita o decadimento. Non sopravvalutare lo scopo della funzione di crescita e decadimento per l'intervallo X .

Ad esempio, dalle potenze delle funzioni elementari di base, sappiamo che y=sinx è assegnato e non è interrotto da tutti i valori effettivi dell'argomento. Pertanto, dalla crescita della funzione seno sugli intervalli, possiamo confermare la crescita della funzione seno sull'intervallo.

Krapki extremum, funzioni estreme.

Dai un nome al punto punto massimo functions y=f(x) , quindi tutto x nelle vicinanze è giusto. Viene chiamato il valore della funzione nel punto al massimo funzione massima intendo.

Dai un nome al punto punto minimo functions y=f(x) , quindi tutto x nelle vicinanze è giusto. Viene chiamato il valore della funzione nel punto del minimo funzione minima intendo.

Sotto la periferia del punto, comprendi l'intervallo , de - Termina un piccolo numero positivo.

Vengono chiamati i punti di minimo e massimo punti estremi, e viene chiamato il valore della funzione, che corrisponde ai punti estremi funzione estrema.

Non confondere le funzioni estreme con quelle più grandi valore più basso funzioni.

Sul primo piccolo si raggiunge il massimo valore della funzione in alto nel punto di massimo e successivo massimo della funzione, e sull'altro piccolo si raggiunge il valore massimo della funzione nel punto x = b, ma non nel punto di massimo.

Abbastanza per capire la crescita di quella funzione mutata.

Sulla base di menti (segno) sufficienti della crescita di quella funzione modificata, ci sono lacune nella crescita di quella funzione modificata.

L'asse della formula è un segno della crescita e del cambiamento della funzione sull'intervallo:

• se una funzione simile y=f(x) è positiva per ogni x nell'intervallo X, allora la funzione cresce su X;
• Se una funzione simile y=f(x) è negativa, se x è all'interno dell'intervallo X , la funzione cambia in X .

In quest'ordine, per significare la crescita della crescita e il cambiamento nella funzione, è necessario:

Diamo un'occhiata all'esempio della conoscenza della crescita intermedia e del cambio della funzione per la spiegazione dell'algoritmo.

culo.

Conoscere le lacune nella crescita e il cambiamento nella funzione.

Soluzione.

Sul primo raccolto è necessario conoscere lo scopo della funzione. Al calcio del viraz, all'alfiere, può girare a zero, in seguito.

Passiamo alla funzione familiare:

Ai fini di promіzhkіv zrostannya che zmenshennya funktії per un segno sufficiente vyrishuєmo nerіvієmі і sul campo dell'appuntamento. Sii veloce nell'usare il metodo dell'intervallo. La singola radice del diario è є x = 2 e lo znamennik diventa zero a x = 0. I punti Qi dividono l'area dell'intervallo assegnato, per alcune altre funzioni prendono il segno. Significativamente punti qi sulla linea dei numeri. I vantaggi e gli svantaggi sono intervalli mentalmente significativi, per i quali è positivo e negativo. Le frecce in basso mostrano schematicamente l'aumento o la modifica della funzione su un determinato intervallo.

In modo tale, і .

Al punto x=2 la funzione è assegnata e ininterrotta, a ciò її va aggiunto all'intervallo di crescita e all'intervallo di decadimento. Al punto x=0, la funzione non è assegnata, quindi questo punto non è compreso negli intervalli che si scherzano.

Tracciamo un grafico della funzione per ricavarne i risultati.

Suggerimento:

La funzione cresce a , modificando l'intervallo (0; 2] .

Mente sufficiente l'estremo della funzione.

Per conoscere il massimo e il minimo della funzione, si può koristuvatisya se uno dei tre è un segno di un estremo, ovviamente, poiché la funzione soddisfa la tua mente. I più larghi e maneggevoli sono i primi.

Persha è sufficiente per l'estremo di Umov.

Sia differenziata la funzione y=f(x) in prossimità del punto, ma senza interruzione nel punto stesso.

In altre parole:

Algoritmo per trovare il punto all'estremo dopo il primo segno dell'estremo della funzione.

• Conosciamo l'ambito della funzione assegnata.
• Conosciamo le funzioni dell'area assegnata.
• Significativamente zeri del quadrante numerico, zeri del banner del punto corrispondente dell'area designata, in cui non sono presenti possibili punti estremi, passando per i punti qi, è possibile cambiare il proprio segno).
• I punti Qi dividono l'area designata per la funzione di promyzhki, per alcuni è meglio prendere il segno. Possiamo vedere i segni di un intervallo di pelle simile (ad esempio, calcolando il valore di una funzione simile in qualsiasi punto di un intervallo ben preso).
• Selezioniamo i punti, in cui la funzione è ininterrotta e, passando per gli yak, cambia il segno: puzza punti estremi.

Parole troppo ricche, guardate in modo più bello il kіlka ha applicato i punti significativi all'estremo e agli estremi della funzione per l'aiuto del primo mente abbastanza estremo della funzione.

culo.

Conoscere le funzioni estreme.

Soluzione.

L'area della funzione è tutta impersonale numeri del giorno, Crim x = 2 .

Sappiamo che andrò:

Gli zeri del numeratore є punti x = -1 і x = 5 znamennik diventano zero a x = 2 . Numero significativo di punti sull'asse numerico

Sono visibili i segni di un intervallo cutaneo simile, con i quali viene calcolato il valore di un intervallo cutaneo simile, ad esempio nei punti x=-2, x=0, x=3 e x=6.

Inoltre, sull'intervallo è positivo (sul piccolo sopra l'intervallo cim viene messo un segno più). Allo stesso modo

Mettiamo un meno su un altro intervallo, un meno su un terzo intervallo, un più su un quarto.

Perso per scegliere i punti, per i quali la funzione è ininterrotta e її pokhіdna cambia segno. Tse i є punti estremi.

Al punto x=-1 la funzione è ininterrotta e cambia gradualmente il segno da più a meno, quindi, dopo il primo segno all'estremo, x=-1 è il punto al massimo, il secondo è il massimo della funzione .

Al punto x=5 la funzione è ininterrotta e cambia gradualmente il segno del meno in un più, quindi x=-1 è il punto del minimo, che significa il minimo della funzione .

Illustrazioni grafiche.

Suggerimento:

RISPETTO INVERSO: il primo segno è sufficiente per l'estremo, non pregiudica la funzione differenziale del punto stesso.

culo.

Trova i punti estremi e le funzioni estreme .

Soluzione.

Lo scopo della funzione sono tutti i numeri reali impersonali. La funzione stessa può essere scritta nella vista:

Conosciamo le seguenti funzioni:

Al punto x=0 non è possibile, i frammenti dei valori degli inter unilaterali non possono raggiungere lo zero quando l'argomento è esagerato:

Alla stessa ora, la funzione di uscita è ininterrotta nel punto x=0 (div. split follow-up della funzione per la continuità):

Conosciamo il significato dell'argomento, in base al quale vale la pena di azzerare:

Significativamente tutti i punti sulla linea dei numeri e segno significativamente più basso sugli intervalli della pelle. Per cui è possibile calcolare il valore del relativo in determinati punti dell'intervallo della pelle, ad esempio con x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Totò,

In quest'ordine, dopo il primo segno dell'estremo, i punti del minimo , punta al massimo є .

Calcolo delle funzioni minime

Calcolo dei massimi della funzione

Illustrazioni grafiche.

Suggerimento:

.

Un altro segno dell'estremo della funzione.

Come un bachete, per un segno di un estremo di una funzione, ne richiederà uno simile, almeno con un diverso ordine in punti.

Il primo segno sufficiente dell'estremo si formula con il miglioramento del cambio del segno della prima ora buona del passaggio attraverso il punto critico. Su un altro segno dell'estremo, vedi sotto al § 6.4.

Teorema (il primo segno dell'estremo) : YakschoX 0 - Punto critico della funzioney=f(X) e nelle immediate vicinanze del puntoX 0 , passando attraverso di esso zlіva a destra, pokhіdna cambia il segno nel prolungamento, quindiX 0 є punto estremo. Inoltre, poiché il segno del contrario viene cambiato da "+" a "-", quindiX 0 è il punto massimo, ef(X 0 ) è il massimo della funzione, ed è simile cambiare il segno da “-” a “+”, quindiX 0 è il punto minimo, ef(X 0 ) - Funzione minima.

Sembra estremo da indossare Locale(Misceviy) carattere e suscettibilità di una piccola periferia del punto critico.

Punti di estremo e punti di espansione dividono l'area della funzione assegnata dell'intervallo di monotonia.

Esempio 6.3. Ad esempio 6.1. conoscevamo i punti critici X 1 =0 і X 2 =2.

Naturalmente, ciò che è vero in questi punti è la funzione y=2x 3 -6x 2 +1 può estremo. Immagina in її pokhіdnu
significato X, preso zliva e destrorso al punto X 1 =0 da dosare vicino alla periferia, ad esempio, x=-1і x = 1. prese. Oskіlki pokhіdna cambia il segno da "+" a "-", quindi X 1 =0 - puntare al massimo e al massimo della funzione
. Ora prendiamo due valori x = 1 i x = 3 dalla vicinanza di un altro punto critico X 2 =2 . È già stato dimostrato
, un
. Oskіlki pokhіdna cambia il segno da "-" a "+", quindi X 2 =2 - Il punto minimo. E almeno funzioni
.

Per conoscere il massimo e il minimo valore della funzione senza interruzione al vento
è necessario calcolare її valori in tutti i punti critici e kintsy dell'avvolgimento, che bv scelgono il più e il meno.

6.3. Segni di rigonfiamento e restringimento del grafico della funzione. Punti di piega

Viene chiamato il grafico della funzione differenziataopuklimall'intervallo, come i vini del roztashovaniya inferiore per se era il tuo dotichnu in quell'intervallo;piegarsi (abbassarsi)yakscho da raztashovaniya vshee be-yakої dotichї sull'intervallo.

6.3.1. Necessari e sufficienti segni di rigonfiamento e restringimento della grafica

a) Segnali obbligatori

Qual è il programma delle funzioniy=f(X) tumore sull'intervallo(un, b) , allora l'amico è bravo
a quale intervallo; come programmaintimidazione sul(un, b) , poi
sul(un, b) .

P st funzione di pianificazione y=f(X) tumore (un, b) (Fig.6.3a). Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh gonfio storto zlіva a destra, її kut cambia male (
), allo stesso tempo, il coefficiente di punto finale sta cambiando, il che significa che sta cambiando la prima volta
sul (un, b) . Ale, invece, è simile alla prima, in quanto è simile alla funzione recessiva, ma può essere negativa, tobto
sul (un, b) .

Qual è il programma delle funzioni intimidazione sul (un, b) , Quello, mirkuyuchi allo stesso modo, Bachimo, che quando si forgia una curva dotica vzdovzh (Fig. 6.3b) taglia una crescita dotica malaticcia (
); E anche se sembra una funzione in crescita, può essere positivo, quindi
sul (un, b) .

b ) Segni sufficienti

Come per la funzioney=f(X) tutti i punti avranno lo stesso intervallo
, quindi il grafico della funzioneintimidazione a che intervallo, ma come
, poitumore .

"Regola Doshu" : Per ricordare qualche segno di un altro pokhіdnoї pov'yazuvati z gonfio, e quale dall'arco curvo del grafico, si consiglia di ricordare: più acqua nei lunati storti, "meno acqua" - nei lunari sporgenti (Fig. 6.4).

Grafica Krapka funzione ininterrotta, in cui il rigonfiamento cambia nel rigonfiamento del chi navpak, è chiamatopunto di piega .

Teorema (sufficiente per il segno del punto di flesso).

Yakscho al punto funzione
dvіchі ha differenziato quell'amico è simile nel punto a zero o meno, e anche quando si passa per il punto buon amico
cambia il segno, poi il punto є punto di flesso. Coordinate del punto di piega
.

I punti, per qualche amico, si può girare a zero o meno, sono detti punti critici di tipo diverso.

Esempio 6.4. Conoscere i punti di flesso e indicare gli intervalli di rigonfiamento e rientro della curva
(Curva Gaus).

R soluzione. Conosciamo pershu quell'amico pokhіdnі:
,. Un amico ti fa bene . Uguale a zero e virishima otrimane uguale
, de
anche
, stelle
,
- Punti critici di diverso tipo. Invertire il cambio di segno di un'altra ora buona per il superamento del punto critico
. Yakscho
Per esempio,
, poi
, ma
Per esempio,
, poi
Tobto amico cambia il segno. Otzhe,
- ascissa del punto di piega, її coordinate
. Attraverso funzioni di parità
, screziato
, punto simmetrico
, tezh sarà un punto di flesso.

Teorema (il primo è sufficiente per l'estremo di Umov). Lascia che la funzione sia ininterrotta nel punto, ma se l'ora passa per il punto, il segno cambia. Todi - punto estremo: il massimo, che significa che il segno cambia da "+" a "-", e al minimo, che significa "-" a "+".

Portare. Vieni con io per .

Per il teorema di Lagrange , de .Todі yakshcho, quindi; a tale , otzhe, , o . Bene allora; a tale , otzhe, o .

Otzhe ha portato, scho in qualsiasi punto vicino, tobto. è il punto massimo della funzione.

La dimostrazione del teorema del punto minimo viene eseguita in modo simile. Teorema finito.

Non appena l'ora passa attraverso il punto, non cambia il segno, quindi il punto non è estremo.

Teorema (un amico è sufficiente per l'estremo di Umov). Lascia che il punto abbia una funzione simile, che è differenziante, 0 (), e l'altra è simile al punto zero () ed è ininterrotta nell'intorno attivo del punto. Todi - punto estremo; in quale punto è il minimo e in quale punto è il massimo.

Algoritmo per il riconoscimento della funzione estrema dopo il primo motivo sufficiente per risolvere l'estremo.

1. Conosci il trucco.

2. Designare i punti critici della funzione.

3. Segui il segno dei mancini e dei destri nel punto critico della pelle e la crescita del visnovo sulla manifestazione degli estremi.

4. Conoscere i valori estremi della funzione.

Algoritmo per il riconoscimento della funzione estrema per l'aiuto di un altro motivo sufficiente per eliminare l'estremo.

1. Conosci il trucco.

2. Conosci l'amico pokhіdnu.

3. Conosci i punti, u yakikh.

4. A questi punti assegnare un segno.

5. Zrobiti vysnovok sulla natura degli estremi.

6. Conoscere i valori estremi della funzione.

culo. Guarda a . Sappiamo . Daly, a i per . Dolіdzhuєmo punti critici per l'aiuto del primo estremo mentale sufficiente. Forse, cosa per me, io a. Nei punti i è meglio cambiarne il segno: in "+" in "-" e in "-" in "+". Tse significa che la funzione punto ha un massimo e il punto ha un minimo; . Per l'equalizzazione, dobbiamo raggiungere il punto critico con l'aiuto di un'altra mente ed extremum sufficiente. Sappiamo che un amico morirà. May: , e tse significa che il punto ha una funzione massima e il punto ha una funzione minima.

Comprendere gli asintotici del grafico di una funzione. Asintotici orizzontali, deboli e verticali. applicare.

Appuntamento. p align="justify"> L'asintoto del grafico della funzione è chiamato retta, che permette di spostarsi dal punto al centro della retta fino a zero quando il punto del grafico non è lontano dal pannocchia di coordinate.

Distinguere gli asintoti verticali (Fig. 6.6 a), orizzontali (Fig. 6.6 b) e ondeggianti (Fig. 6.6 c).

Sulla fig. 6.6a è mostrato asintoto verticale.

Nella Figura 6.6b - asintoto orizzontale.

Sulla fig. 6.6v - asintoto.

Teorema 1. Nei punti degli asintoti verticali (ad esempio ) la funzione conosce la differenza, tra le linee e la via destrorsa dei punti sono:

Teorema 2. Che la funzione sia nominata per portare a termine il grande e stabilire i confini finali

І .

Allora è dritto, uno squallido asintoto del grafico della funzione.

Teorema 3. Lascia che la funzione sia nominata per dosit grande e іsnuє tra le funzioni. Allora la retta è l'asintoto orizzontale del grafico della funzione.

Asintoto orizzontale є lo chiamiamo un cattivo asintoto, se . Per questo, sebbene in una linea retta la curva abbia un asintoto orizzontale, allora in quella linea retta non c'è sfortuna e sfortuna.

culo. Conoscere gli asintotici del grafico della funzione.

Soluzione. Al punto la funzione non è assegnata, sappiamo tra le funzioni mancini e destrorsi al punto:

; .

Inoltre, è un asintoto verticale.

Lo schema principale per il follow-up delle funzioni e l'incoraggiamento dei loro orari. culo.

Schema generale della funzione di follow-up quel prompt її grafico.

1. Conoscere l'area di destinazione.

2. Seguire la funzione di parità - disuguaglianza.

3. Conoscere gli asintotici verticali del punto di espansione (come є).

4. Seguire il comportamento della funzione nell'incoerenza; conosci gli asintoti orizzontali e malaticci (come є).

5. Trova gli estremi e gli intervalli di monotonia della funzione.

6. Trova i punti della linea del grafico con le coordinate assi i, come è necessario per un diagramma schematico, per conoscere i punti aggiuntivi.

7. Chiamare schematicamente il programma.

Schema dettagliato funzioni di follow-up che incoraggiano la grafica .

1. Conoscere l'area di destinazione .

un. Yakshcho є znamennik, vin è colpevole di zratatisya in 0.

b. La sottoradice della radice dello stadio accoppiato può essere non negativa (più di chi è uguale a zero).

c. La virasi sublogaritmica può essere positiva.

2. Segui la funzione per la parità - non parità.

un. Yakscho , quindi la funzione è accoppiata.

b. Yakshcho , quindi la funzione non è accoppiata.

c. Yakshcho non vikonano no, no , allora è la funzione della vista globale.

3. Conoscere gli asintotici verticali del punto di espansione (come є).

un. L'asintoto verticale può essere meno pronunciato nelle interregioni della funzione assegnata.

b. Yakscho (o ), quindi l'asintoto del grafico è verticale.

4. Seguire il comportamento della funzione nell'incoerenza; conosci gli asintoti orizzontali e malaticci (come є).

un. Yakscho, quindi l'asintoto del grafico è orizzontale.

b. Yakshcho i allora la retta è un fragile asintoto del grafico.

c. Quanto ai confini, designati nei paragrafi a, b, è possibile solo con esagerazione unilaterale per incoerenza (o ), allora gli asintotici saranno unilaterali: lato sinistro con e lato destro con .

5. Trova gli estremi e gli intervalli di monotonia della funzione.

un. Conosci pokhidnu.

b. Conoscere i punti critici (punti ti, de chi de nemaє).

c. Sull'asse numerico, designare l'area designata e її punti critici.

d. Sulla pelle del contenuto degli intervalli numerici, segna il segno del successivo.

e. Secondo i segni di ricerche simili di visnovoks sulla manifestazione di estremi in quei tipi.

f. Conosci i valori estremi.

g. Secondo i segni della crescita in marcia dei baffi circa la crescita e il cambiamento.

6. Conoscere i punti della linea del grafico con gli assi coordinati i, come è necessario per un diagramma schematico, conoscere i punti aggiuntivi.

un. Schob per conoscere i punti della linea del grafico dal vіssyu, è necessario separare la linea. I punti, de zero, saranno i punti della linea del grafico z vyssyu.

b. Il punto della linea del grafico può essere visto dall'alto. Vaughn іsnuє, è meno simile a un punto per entrare nell'area della funzione designata.

8. Schematicamente chiamare il programma.

un. Indurre il sistema di coordinate e gli asintoti.

b. Indica i punti estremi.

c. Specificare i punti di interruzione del grafico con gli assi delle coordinate.

d. Schematicamente indurre il grafico in modo tale che, passando per i punti designati e avvicinandosi agli asintoti.

culo. Seguire la funzione e indurre schematicamente il grafico її.

2. - la funzione di una mente selvaggia.

3. Oskіlki i , quindi linee rette є asintoti verticali; punti і є tratteggiati. , quando non si accede all'area di funzione assegnata