2. típusú integráció

Nézzük meg a 2. típusú görbevonalas integrált, ahol L az M és N pontot összekötő görbe. Legyen a P(x, y) és Q(x, y) függvények L görbe. Lényeges, hogy egyes elemzésekben a görbe integrált nem lehet lerakni az L görbe alakjában, csak az M és N pontok vannak kiterjesztve.

Rajzolunk két további MSN és MTN görbét, amelyek a D távolságban helyezkednek el, és összekötik az M és N pontot (14. ábra).

Mondjuk, mit, tobto

de L - zárt hurok, hajtogatás MSN és NTM görbékből (további is hozzáadható). Ily módon a 2. típusú görbe vonalú integrál függetlenségének elme az integráció útján egyenlő azzal az elmével, hogy egy ilyen integrál bármely zárt hurok mögött egyenlő nullával.

5. tétel (Green tétele). Adjuk meg a D valós terület minden pontjában a P(x, y) és Q(x, y) függvényeket és azok privát átmeneteit! Ekkor egy zárt L körvonal, amely a D tartományban található, legyen

szükséges és elegendő a D régió minden pontjához.

Hoz.

1) Jólét: engedd el az elmédet = vikonano. Nézzük meg a D régió zártabb L kontúrját, amely körülveszi az S régiót, és írjuk fel az új Zöld képletét:

Otzhe, elégség hozott.

2) Szükségszerűség: tegyük fel, hogy az elme a D terület bőrpontjába van írva, de ha egy pontot akarunk találni a terület közepén, akkor melyikben -? 0. Ugyan, például a P(x0, y0) pontban talán: - > 0. Tehát mivel az idegesség bal oldali része megszakítás nélkül működik, akkor egy napig pozitív és nagyobb lesz? > 0 deakіy kis régióban D`, hogy megbosszulja a pontot P. Otzhe,

Green formulájának figyelembevétele elengedhetetlen ahhoz

de L` - a körvonal, amely körülveszi a D` területet. Tsey szuperchit elme eredménye. Valamint = a D régió minden pontján, amit hozni kellett.

Tisztelet 1. Hasonlóképpen, egy trivi-világi térhez a görbe vonalú integrál függetlenségének szükséges és elégséges elméje hozható.

az integráció irányában є:

Megjegyzés 2. Amikor vykonannі gondol (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є felső differenciálmű tényleges funkciója. Ez lehetővé teszi a görbe integrál kiszámítását a megadott különbségértékig, valamint az integrációs, skálázási kontúr vég- és kukoricapontjain

Melyik i függvényre ismerhető meg a képletből

de (x0, y0, z0) - a D régió pontja, és C - eléggé vált. Valójában könnyen összetéveszthető, hogy az (53) képlet által megadott privát függvények egyenlők P, Q és R-vel.

fenék 10.

Számítsa ki a 2. típusú görbe integrált!

az (1, 1, 1) és (2, 3, 4) pontokat összekötő teljes görbe mentén.

Menjünk tovább, mit gondolnak a viconsok (52):

Otzhe, a funkció jelen van. Ismerjük meg a її-t az (53) képlet mögött, ha x0 = y0 = z0 = 0.

Ebben a rangban a funkciót és pontossággal határozzák meg, egészen a megfelelő kiküldetésig. Tegyük fel, hogy Z = 0, majd u = xyz. Otzhe,

Nézzük a görbe integrált

lapos ívű deák után szedve L, amely összeköti a pontokat Mі N. Tegyük fel, hogy a függvények P(x, y)і Q(x, y) megszakítás nélküli magánünnepek lehetnek a látható területen D. Természetesen az ilyen írástudók számára a görbe vonalú integrál nem lehet görbe formájában L, és csak a csutka és a végpont pozíciójában helyezkedjen el Mі N.

Nézzünk még két görbét MPNі MQN, amely a nyílt terület közelében fekszik Dés kapcsolódási pontok Mі N. Na gyere

(1)

Ekkor az 1. és 4. hatvány alapján a görbe integrálok lehetnek:

tobto. zárt hurkú integrál L

A képlet többi részében a zárt körvonal mentén vett felvételek görbevonalas integrálja Lívekből hajtogatva MPNі NQM. Tsey kontúr L akkor, nyilván, vvazhati dovilnym.

Ebben a rangban ne feledje:

tehát bármely két M és N pont esetében a görbe integrál nem görbe formájában, hanem csak görbe alakjában van, hanem csak ezeknek a pontoknak a helyzetében, a következő, mit bármely zárt kontúr mögötti görbe vonalú integrál egyenlő nullával .

Tisztességes és gonosz visnovok:

ha bármely zárt hurok mögötti görbe integrál nulla, akkor ez a görbe integrál nem lehet görbe alakban, amely két pont között van, és csak a tsikh táboraiban feküdj le pont . Ez igaz, az egyenértékűség scho of equivalence (2) túláradó egyenértékűség (1)

Tétel

Használjuk a P(x, y), Q(x, y) függvényeket a D deakó régió minden pontján egyszerre, saját priváttal és megszakítás nélkül. Ezután, hogy minden zárt L hurok mögött legyen egy görbe vonalú integrál, amely a szoba közepén fekszik, és eléri a nullát, akkor. shob

(2΄)

szükséges és elégséges vikonannya egyenértékűség

a D terület minden pontján.

Hoz

Nézzük meg közelebbről a zárt áramkört L a régióban D az újhoz pedig Green képletét írjuk:

Ha az elme nyer (3), akkor az alulbecsült integrál, ami rosszba kerül, szintén egyenlő nulla i-vel, akkor

ilyen módon, elégséges mosás (3) hozott.

Most hozzuk el szükségesség mind, tobto. lehetséges, hogy a (2) egyenletesség minden zárt görbe esetén győztes L a régióban D, akkor a régió bőrpontján az elme győzedelmeskedik (3).

Elfogadható viszont, hogy a féltékenység (2) nyer, tobto.

és Umov (3) nem nyer, tobto.

hot bi egy pontban. Ugyan, az énekpont például ideges lehet

Mivel az idegesség bal része megszakítás nélkül működik, pozitív lesz, és egy bizonyos számnál több minden ponton elér egy kis területet, hogy megbosszulja a pontot. Vіzmemo podvіyny іntegra in іy galluzі vіd raznitsi. A Vin matime pozitív jelentéssel bír. Igaz,

A zöld képlet mögött az egyenetlenség többi részének bal része közelebb van az interrégió feletti görbe integrálhoz, amely a ráhagyások mögött közelebb van a nullához. Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat elmék (2), otzhe, pripuschennya, scho on vіdminu vіd nulla akar lenni egy ponton, nem úgy. Sikító hangok, mi

minden ponton D.

Otzhe, a tétel ismét befejeződött.

A különbözõ egyenlõk menyegzõjének óráján ez jutott eszünkbe

egyenértékű azzal, hogy viraz pdx + Qdyє az aktuális funkció legújabb differenciája u(x, y), akkor.

Ale tsomu vipadku vektorban

є gradiens funkció u(x, y);

Funkció u(x, y), a gradiens hasonló a vektorhoz lehetséges melyik vektor.

Tudassa velünk akinek van görbe integrálja Bármely L görbe mögött, amely összeköti az M és N pontot, az i függvény értékei közötti különbség ezekben a pontokban:

Hoz

Yakscho Рdx + Qdyє a funkció felső differenciálja u(x, y), akkor megnézem a görbe integrált

Ennek az integrálnak a kiszámításához felírjuk a görbe parametrikus igazítását L, amely összeköti a pontokat Mі N:

Viraz, mi álljon a templomoknál, működjön t, ami egy teljesen hasonló függvény szerint t. Tom

Yak mi bachimo, a folytonos differenciál formájú görbe integrál nem lehet görbe alakban, amihez integráció szükséges.

Ebben az értelemben:

vegye figyelembe a második típusú görbe vonalú integrálok függetlenségét alakítsa ki az integráció módját a következőképpen:

Yakshcho a deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) megszakítás nélkül a saját i-vel együtt, akkor:

1. a területen D ne hazudj a formában az integráció módjai, yakscho yogo jelentése shmatkovo-sima görbe mögött, scho feküdni a tsіy galuzі és a mama zagalny cob і zagalny kіnets azonban.

2. integrál uzdovzh be-mint egy zárt görbe L, amely a régióban fekszik D egyenlő nullával.

3. Fő funkció u(x, y), yakoї viraz számára pdx+qdyІsnuє povny differenciálmű, akkor.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

5

a terület bőrpontjában D.

Az integrál kiszámításához, hogy ne essen bele az integráció kontúrjába

ezután válassza ki a láman integrációjának leginkább navigációs útját, hogy az összekötő pontok és a lankák párhuzamosak legyenek az Ox és Oy tengelyekkel.

Pidintegral Viraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy az elmék kinevezésére felső differenciálmű színészi funkciók u = u(x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

funkció u(x, y)(eredeti) tudja, hogyan kell kiszámítani a leggyakoribb görbe vonalú integrált lamania de - legyen az fix pont, B(x, y) – változó pont, és a pont a maximális koordináta x hogy . Todi vzdovzh maєmo that dy = 0, és vzdovzh maєmo x = állandóі dx = 0.

Vegyük ezt a képletet:

Hasonlóképpen, a lamanoy de otrimaemo integrálása

Alkalmaz

1. Kiszámítja

Ezt az integrált az integrációs kontúr mentén kell lerakni, mert

A láman integrálásának módjaként azt választjuk, hogy az egyenesek párhuzamosak a koordinátatengelyekkel. Az első ágon:

Egy másik helyen:

Otzhe,

2. Ismerje meg először u, tetszik

Gyerünk, és kontúrozzuk Előttє lamana OMN. Todi

3. Tudd, yakscho

Itt lehetetlen a koordináták cob-pontját venni, mert a funkció ezen a pontján P(x, y)і Q(x, y) nincs hozzárendelve, ehhez például pontnak vesszük. Todi

4. Ismerje meg a területet, amelyet elіp veszi körül

A HOGYAN területen fodros és zárt C vonallal körülvett ábra területét a képlet alapján számítjuk ki.

,

de kontúr Z pozitív irányban kikerülve.

Változtassuk meg a görbe vonalú integrát dallá

Paraméter tátadja az értékeket 0-tól 2-ig?

Ilyen rangot

3. Legmagasabb görbe vonalú integrál az ív hosszában L yakscho L– karfiol cikloid

FELADATOK A „CURVILINE INTEGRAL” TÉMÁBAN

1.opció

De L az XOY síkon fekvő A(0;-2) és B(4;0) pontok egyenesének háromszöge.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

A koordináták mögött, mivel L az ellipszis íve, amely az első negyedben található.

De L az A(1,1), B(2,2), C(1,3) csúcsokkal rendelkező trickó körvonala. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

és ismeri a jógát.

7. Az erőteret az F(x, y) erő hozza létre, amely lehetővé teszi több pont rögzítését a koordináták csutkájában, és a koordináták csutkára irányítását. Hogy a robot megismerje a térerősséget, egyetlen tömeg anyagi pontjának elmozdulására alkalmazva az y2 parabola íve mentén a (2; 4) ponttól a (4; 4) pontig 8x.

2. lehetőség

1. Számítsa ki az ív éle feletti görbe vonalú integrált (derékszögű koordináták).

De L egy egyenes pont összehúzódása, amely összeköti az O (0; 0) és A (1; 2) pontokat.

2. Számítsa ki a görbe integrált! ahol L egy parabolaív az A(-1;1) ponttól a B(1,1) pontig. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

3. Számítsa ki a görbe integrált! yakscho L - ívkaró mi van az 1 és 2 négyzetekben. Kerülje meg az év nyíl mögötti kontúrt.

4. Zastosovuyuchi Green képlete, számítsa ki az integrált, de L - a kontúrt, a vonal és az OX ellentétes tengely megoldásait, amikor megkerüli az anti-Godinnikov nyíl kontúrját.

5. Határozza meg, hogyan számítják ki az integrál elmefüggetlenségét az integrál integrálásának irányában és ismeri a jógát.

6. Nézze meg újra a chi є feladatokat az U(x, y) függvény új differenciáljával, és ismerje meg a її-t.

7. Az erőtér bőrpontjában az erő lehet közvetlenül negatív, és egyenlő a programpont abszcisszájának négyzetével. Ismerni a robot mezőjét, amikor egyetlen parabolatömeget mozgat az (1,0) pontból a (0,1) pontba.

3. lehetőség

1. Számítsa ki az ív éle feletti görbe vonalú integrált (derékszögű koordináták).

1. de L - a parabola ívét a parabola látja.

2. Számítsa ki a görbe integrált! A yakscho L-huzal egy egyenes, amely összeköti az A(0,1), B(2,3) pontokat. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

3. Számítsa ki a görbe integrált, mivel L a cikloid első ívének íve. Kerülje meg az év nyíl mögötti kontúrt.

4. Zastosovuyuchi Green képlete, számítsa ki az integrált de L – elіps Obkhіd kontúrja az anti-godinnikov nyila.

5. Határozza meg, hogyan számítják ki az integrál elmefüggetlenségét az integrál integrálásának irányában és ismeri a jógát.

6. Nézze meg újra a chi є feladatokat az U(x, y) függvény új differenciáljával, és ismerje meg a її-t.

7. Számítsa ki a robot erejét és az ellipszis felső felének anyagpontjának mozgásóráját A pontból (a, 0), B pontból (-a, 0).

4. lehetőség.

1. Számítsa ki az ív éle feletti görbe vonalú integrált (derékszögű koordináták).

1. de L - négyzet körvonala

2. Számítsa ki a görbe integrált! ahol L az А(0,0) pont parabolájának íve az (1,1) pontig. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

3. Számítsa ki a görbe integrált! yakscho L - az ellipszis felső fele Kerülje meg az év nyíl mögötti kontúrt.

4. A Green képlet segítségével számítsa ki a de L integrált - a trikó kontúrját az A (1; 0), B (1; 1), C (0,1) csúcsokkal. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

6. Nézze meg újra a chi є feladatokat az U(x, y) függvény új differenciáljával, és ismerje meg a її-t.

7. Erőt fejtünk ki a karó bőrpontjában, a є koordinátatengelyre vetületekkel Rendelje hozzá az erőt a robothoz arra az órára, amikor az anyagpontot a karó mentén mozgatja. Miért nulla a robot?

5. lehetőség.

1. Számítsa ki az ív éle feletti görbe vonalú integrált (derékszögű koordináták).

De L - egy egyenes, amely összeköti a 0 (0,0), і A (4; 2) pontokat

2. Számítsa ki a görbe integrált, mivel L a görbe pont íve, amely A(0,1) pontból B (-1,e) pontba megy. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

3. Számítsa ki a görbe integrált a tét L - 1 negyedeként Kerülje meg az év nyíl mögötti kontúrt.

4. Zastosovuyuchi Green képlete, számítsa ki az integrált de L - kontúr, környezet és a szemközti nyíl kontúrjának megkerülése.

5. Határozza meg, hogyan számítják ki az integrál elmefüggetlenségét az integrál integrálásának irányában és ismeri a jógát.

6. Nézze meg újra a chi є feladatokat az U(x, y) függvény új differenciáljával, és ismerje meg a її-t.

7. A mező jön létre erővel // = egyenes út, hogy állítsa be a vágást az egyenes vonal sugara - a vektor a pont її zastosuvannya. Ismerni a mezőt a robot számára, amikor az m tömegű anyagpontot a karó íve mögé mozgatjuk az (a, 0) pontból a (0, a) pontba.

6. lehetőség

1. Számítsa ki az ív éle feletti görbe vonalú integrált (derékszögű koordináták).

De L - egy negyed tét, ami az I. kvadránsban fekszik.

2. Számítsa ki a görbe integrált! yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

3. Számítsa ki a görbe integrált, mivel L a tét felső fele Kerülje meg az év nyíl mögötti kontúrt.

4. Zastosovuyuchi Green képlete, számítsa ki a de L integrált - a kontúrt, a környezetet, megkerülve az anti-godinnikov nyila kontúrját.

5. Határozza meg, hogyan számítják ki az integrál elmefüggetlenségét az integrál integrálásának irányában és ismeri a jógát.

6. Nézze meg újra a chi є feladatokat az U(x, y) függvény új differenciáljával, és ismerje meg a її-t.

7. Ismerje meg a rugóerő munkáját, irányítsa a koordináták csutkáját, mivel az erő stagnálásának pontja leírja az ellipszis évellenes nyílnegyedét mi rejlik az I kvadránsban. Az erő nagysága arányos a pont távolságával a koordináták csövétől.

7. lehetőség.

1. Számítsa ki az ív éle feletti görbe vonalú integrált (derékszögű koordináták).

De L - a parabola része az (1, 1/4) ponttól a (2; 1) pontig.

2. Számítsa ki a görbe integrált! de L - az egyenes csúcsa, amely összeköti a B (1; 2) és B (2; 4) pontokat. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

3. Számítsa ki a görbe integrált L - a cikloid első íve Az évmutató mögötti kontúr alapján.

5. Határozza meg, hogyan számítják ki az integrál elmefüggetlenségét az integrál integrálásának irányában és ismeri a jógát.

6. Nézze meg újra a chi є feladatokat az U(x, y) függvény új differenciáljával, és ismerje meg a її-t.

7. Egyetlen tömeg anyagi pontja erőirányban mozog a karó mentén, melynek vetületei a є koordinátatengelyen vannak. . Indukáljon erőt a bőr karójának csutkáján. Ismerje meg a kontúr munkáját.

8. lehetőség.

1. Számítsa ki az ív éle feletti görbe vonalú integrált (derékszögű koordináták).

De L - 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2) pontokban lévő csúcsokkal rendelkező téglalap kontúrja.

2. Számítsa ki a görbe integrált, például L a parabola íve A pontból (0; 0) B pontba (1; 2). Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

3. Számítsa ki a görbe integrált! yakscho L - egy karó része 1. Kerülje meg az éves nyíl mögötti kontúrt.

4. Zastosovuyuchi Green képlete, számítsa ki az integrált de L - a trikó kontúrja A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1) csúcsokkal. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

5. Telepítse, chi vykonuetsya elme függetlenségét az integrál a módon az integráció az integrál és tudja a jóga.

6. Nézze meg újra a chi є feladatokat az U(x, y) függvény új differenciáljával, és ismerje meg a її-t.

7. Az anyagi pont ellipszissel mozog pіd dієyu erő, amelynek értéke a legdrágább pont az ellipszis közepéig, és az ellipszis közepére van kiegyenesedve. Számítsa ki a robot erejét, mint egy pontot, amely megkerüli a teljes elіpset.

9. lehetőség.

1. Számítsa ki az ív éle feletti görbe vonalú integrált (derékszögű koordináták).

De L - a parabola íve, amely a pontok között fekszik

A, (2;2).

2. Számítsa ki a görbe integrált! ahol L egy egyenes szűkítése, amely összeköti az A (5; 0) és a B (0,5) pontot. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

3. Számítsa ki a görbe vonalú integrált, például L - az ellipszis ívét a pontok között, amely megmutatja az évnyíl mögötti kontúr kerületét.

4. Zastosovuyuchi Green képlete, számítsa ki a de L integrált - a számláló nyíl kontúrja körül.

5. Határozza meg, hogyan számítják ki az integrál elmefüggetlenségét az integrál integrálásának irányában és ismeri a jógát.

6. Nézze meg újra a chi є feladatokat az U(x, y) függvény új differenciáljával, és ismerje meg a її-t.

7. A görbe bőrpontjában olyan erőt fejtünk ki, amely a koordinátatengelyeken lévő vetületek jelzik az erő munkáját, amikor egyetlen tömeg anyagi pontját a görbe mentén az M pontból elmozdítjuk (-4; 0). az N pontig (0; 2).

10. lehetőség.

1. Számítsa ki az ív éle feletti görbe vonalú integrált (derékszögű koordináták).

De L - egy egyenes, amely összeköti az A pontokat

2. Számítsa ki a görbe integrált, például L a görbe íve az A(1;0) ponttól a B(e,5) pontig. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

3. Számítsa ki a görbe integrált, mivel L a tét íve mi fekszik az 1U négyzetben. Kerülje meg az év nyíl mögötti kontúrt.

4. A Green képlet segítségével számítsa ki a de L integrált - a trikó kontúrját az A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2) csúcsokkal. Kerülje meg az évellenes nyíl kontúrját.

5. Határozza meg, hogyan számítják ki az integrál elmefüggetlenségét az integrál integrálásának irányában és ismeri a jógát.

6. Nézze meg újra a chi є feladatokat az U(x, y) függvény új differenciáljával, és ismerje meg a її-t.

7. Az egyenes bőrpontjára erő hat, melynek vetületei a koordináta tengelyein vannak. Számítsa ki azt a robotot, amelyre akkor hat az erő, amikor az anyagi pontot az M (1; 0) vonal mentén az N pontba mozgatjuk. (0; 3).

4. előadás

Téma: Green képlete. Tisztítsa meg a görbe integrál függetlenségét az integráció útján.

Green képlete.

Green formulája kapcsolatot létesít egy síkon lévő zárt kontúr Г görbe vonalú integrálja és egy kontúrral körülvett terület alsó integrálja között.

A zárt kontúr Г görbe vonalú integrálját a Zárt kontúr Г szimbólum jelöli, amely a kontúr főpontjában kezdődik és B pontban ér véget. A zárt kontúr mentén lévő integrál nem fekszik, ha a B pontot választjuk.

Időpont 1. A G kontúr megkerülése pozitívnak minősül, mivel a G kontúr megkerülésekor a D terület balossá válik. P + - áramkör P kikerüli a pozitív irányt, P - - áramkör megkerüli a negatív irányt. ellenkező irányban

G+

x

Y

c

d

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

a

b

B

C

Y=y 2 (x)

Y = y 1 (x)

m

n

Nézzük a mögöttes integrált

.

Hasonlóképpen lehet érvelni, hogy:

Az (1) és (2) egyenlőségből szükséges:

Otzhe,

Elkészült a Green formulája a zúzott kihagyásokra.

Tisztelet 1. Green képlete igazságos marad, mivel a G régió D és a valódi egyenesek között, a tengellyel párhuzamos A 0X vagy 0Y két ponton lejjebb tolódik. Krim ts'ogo, Green képlete az n-csillagos régiókra érvényes.

Mossuk le a görbe integrál függetlenségét a síkon való integrációként.

Ebben a bekezdésben könnyen érthető, hogy például a viconaniákban a görbe vonalú integrál az integráció irányába esik, és az integráció csutka és végpontjai formájában.

1. tétel. Annak érdekében, hogy legyen görbe integrálja anélkül, hogy az integráció útjába kerülne egy egyláncú régióban, szükséges és elégséges, hogy az integrál, amely egy zárt, jól sima kontúrt vesz fel ebben a régióban, elérje a nullát.

Bizonyíték: szükségszerűség. Adva van: letétbe helyezni az integráció irányába. Azt kell hozni, hogy a zárt, sima-sima kontúr mögötti görbe integrál nullával egyenlő.

Vegyünk néhány darabonként sima zárt G kontúrt a D terület közelében. A G kontúron vegyünk még néhány B és C pontot.

G

D

n

m

B

C

Oskіlki tehát az integráció útján fekszik

, akkor.

Jólét. Adott: Görbe integrál Be-yakim zaknenim shmatkovo-sima kontúr nullára.

Bizonyítani kell, hogy az integrált az integráció irányában kell letétbe helyezni.

Nézzük meg a görbe vonalú integrált két kódolt-sima kontúr mögött, amelyek összekötik a B és C pontot. Az elme mögött:

Tobto. görbe vonalú

integrál lerakni az integráció irányába.

2. tétel. Menjen megszakítás nélkül egyidejűleg privát sétákkal és egy linkes térben D. Ahhoz, hogy legyen egy görbe integrál Az integráció útjának nem ereszkedése szükséges és elégséges, így a D divízió győzött

Bizonyíték: elégséges. Adott: . Mit kell vinni letétbe helyezni az integráció irányába. Kinek mit elég hozni dovnyuє nulla zárt, shmatkovo-sima kontúr mögött. Green formulája szerint:

Szükségesség. Adott: Az 1. tétel alapján a görbe integrál letétbe helyezni az integráció irányába. Mit kell vinni

6. Az sing integrál átlagértékének képlete.

7. Integrál a változó felső határ felett. Yogo bezperervnіst, hogy a megkülönböztetés.

8. Newton-Leibniz képlet az énekintegrálhoz.

9. Sing integrál részenkénti kiszámítása és a változás pótlása.

10. Az énekintegrál összevarrása (lapos figura területe, ívelt ív hossza, testtekercselés térfogata).

11. A ta yogo sumi számsorok megértése. Kritériumok Koshі zbіzhnostі sor. Szükséges intelligencia.

12. Delambert és Koshі zbіzhnostі ryadіv іz nevid'єmnimi tagok jelei.

13. Koshі zbіzhnostі számsor integrált jele.

14. Jelentős számú sorok. Teljesen az a mentális zbіzhnist. Jelek sorai. Leibniz jel.

15. Funkcionális sorozatok. Az összeg alacsony. Az egyenlő jövedelem értéke alacsony. Kritérium Koshі egyenlő jövedelmezősége a funkcionális sorozat.

16. Weijerstras jele az egyenletes életnek.

18. Lépéssor. Ábel tétele.

19. Statikus sor élettartam sugara. A statikus sorozat sugarának Cauchy-Hadamard képlete.

21. A gazdag változás funkciói. Az n-világú euklideszi tér megértése. Az euklideszi tér személytelen pontja. A pontok sorozata és a її határ. Kis számú változtatás kijelölt funkciói.

22. Funkciói között számos változás. Megszakítás nélküli funkció. Privát ünnepek

23. Számos változó és її differenciálfüggvényének kijelölése. Pokhіdnі és a magasabb rendű különbségek.

24. Taylor képlete a változás gazdagságáról. Kis számú változó függvényének szélsőértéke. Szükséges elme extrémum. Elég elmeszélsőség.

25. Tartós integrál és az erő jóga. Zvedennya podvіynogo іtegrális akár ismételt.

27. Változások pótlása a harmadik integrálban. Hengeres és gömbkoordináták.

28. Sima felület területének kiszámítása, paraméteresen és explicit módon megadva.

29. Az első és más típusú görbe vonalú integrálok kijelölése, fő hatványa és számítása.

30. Green képlete. Tisztítsa meg a görbe integrál függetlenségét az integráció útján.

31. Az első és más típusú felületes integrálok, fő erejük és számításuk.

32. Gaus-Ostrogradsky tétele, її jelölés koordináta és vektor (invariáns) formában.

33. Stokes-képlet, koordináta és vektoros (invariáns) formában.

34. Skalár- és vektormezők. Gradiens, divergencia, rotor. Potentiyne és szikes mezők.

35. Hamilton operátor. (Nabla) yogo zastosuvannya (jelentkezik).

36. A használt fő fogalmak az elsőrendű elsőrendű differenciálegyenletek (ódák): a globális megoldás, a globális integrál, az integrálgörbe. Zavdannya Koshі, її geometriailag jelentős.

37. Egy óda integrálása az első sorrendhez a felosztott változtatásokkal, és ugyanaz.

38. Elsőrendű lineáris ódák integrálása és Bernoulli kiegyenlítése.

39. Az első fret ódájának integrálása polárdifferenciálokban. Integráló szorzó.

40. Elsőrendű differenciálegyenlőség, változatlanul hasonló. Paraméterkérési módszer.

41. Az n-edik rendű ekvivalencia állandó együtthatókkal. Jellemzően egyenlő. A homogén illesztés alapvető megoldási rendszere (FSR), a heterogén igazítás globális megoldása.

42. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlőségek rendszere. Egy homogén rendszer FSR-je. Egy homogén rendszer kirívó víziója.

30. Green képlete. Tisztítsa meg a görbe integrál függetlenségét az integráció útján.

Green képlete: Ha C zárva van a D terület és a P(x, y) és Q(x, y) függvények között a privát elsőrendű analógjaikkal együtt megszakítás nélkül a D zárt területen (beleértve a C kordont is), akkor Green képlete érvényes: ráadásul a C kontúr körüli bypass úgy van kiválasztva, hogy a D terület balos legyen.

Három előadás: Adja meg a megadott P(x,y) és Q(x,y) függvényeket megszakítás nélküli D tartományként egyszerre az elsőrendű privát tartományokból. Integrál a kordon (L) felett, ami pontosan a D tartományban fekszik, és a D régió minden pontját lefedi: . Közvetlenül a kontúrra pozitív az, ha a kontúr egy részét bal kéz veszi körül.

Umov függetlensége a 2. típusú integrációs út görbevonalas integráljától. Elegendő észben kell tartani, hogy az M1 és M2 pontokat összekötő első típusú görbe vonalú integrál nem az integráció útján, hanem csak a csutkában és a végpontokban, egyenlőség:.

.

31. Az első és más típusú felületes integrálok, fő erejük és számításuk.

- Felületkezelő.

S egy xy síkra vetítjük, veszünk egy D táblát. Rajzolunk egy D táblát rácsvonallal az alkatrészre, amit Di-nek nevezünk. A bőrvonal bőrpontjából z párhuzamos vonalakat húzunk, majd i S-t Si-re osztjuk. Összeadjuk az integrál összeget: . A Di átmérő maximumát nullára irányítjuk:, vesszük:

Ce felületi integrál az első fajtából

Így lép életbe az első típusú felületi integrál.

Időpont röviden. Az integrálösszegnek általában van egy korlátozó határa, így az Si elemi parcellán nem lehet S felosztásában és a pontok kiválasztásában hazudni, a vin-t az első típusú felületi integrálnak nevezzük. .

Amikor a megváltozott x і y-ról u-ra és v-re váltunk:

P a felületi integrál rendelkezhet a csillagintegrál teljes erejével. A dívák magasabbak az élelmiszerekben.

A felületi integrál célja más, ami ennek a számításnak a fő ereje. Hivatkozás az első típusú integrálból.

Legyen adott az S felület, vonallal körülvéve L (3.10. ábra). Az S felületen lévő S felülethez két normált is hozzá lehet adni, ami nem lehet kettős pont az L kordonnal. Vázolja fel az L kontúr mögötti M pontot, a normál egyenest választva.

Ha az M pont helyzete ugyanazon a normál mentén forog (és nem ellentétes), akkor az S felületet kétoldalinak nevezzük. Csak kétoldali felületeket tudunk nézni. Kétoldalú felület - legyen az sima felület egyenlő.

Legyen S egy kétoldali nyitott felület, amelyet egy L vonal vesz körül, így nincs önkeresztezési pont. A felületnek ugyanazt az oldalát választjuk. Nevezzük az L kontúr pozitív közvetlen megkerülését ilyen egyenesnek, Oroszországgal a felszín túloldalán, maga a felület mentes a gonosztól. A kontúrok közvetlen megkerülésével ilyen pozitív sorrendben ráhelyezett kétoldalas felületet orientált felületnek nevezzük.

Térjünk át egy másik típusú felületi integrálra. Vegyünk egy kétoldalas S felületet, amely a végső darabszámból, bőrt néhány észszerű feladatból vagy egy hengeres felületet kielégítő párhuzamos tengelyekkel Oz.

Legyen R (x, y, z) egy függvény, hozzárendelve és megszakítás nélkül az S felületen. Számos vonallal S kellő sorrendben n "elemi" diagramra oszlik: ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi , ..., ΔSn, nem számít álmos belső pontok. A ΔSi bőrtéren ésszerű sorrendben kiválasztjuk a Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) pontot. Legyen (ΔSi)xy a ΔSi diagram Oxy koordinátasíkra vetített vetületének területe, a "+" jellel úgy, hogy az S felület normálja a Mi(xi,yi,zi) pontban. (i=1,...,n) beállítja a Visyu Oz egy ellenséges vágás, és a "-" jellel, ami azt jelenti, hogy ez a vágás hülyeség. Az R(x,y,z) függvény integrálösszegét hozzáadjuk az S felülethez, miután x,y: . Legyen λ a ΔSi átmérők közül a legnagyobb (i = 1, ..., n).

Ha van egy végső határ, hogy ne akadályozza az S felület felosztását a ΔSi "elemi" diagramon és egy pont kiválasztását, akkor vin a függvényben az S felület választott oldala mentén lévő felületi integrálnak nevezzük. R (x, y, z) az x, y koordinátákhoz (vagy egy más típusú felületi integrálhoz), és hozzá van rendelve .

Hasonlóképpen lehetséges felületi integrálokat indukálni az x, z vagy y, z koordinátákhoz a felület ellentétes oldala mentén, azaz. і .

Az összes integrál mellett bevezethet egy "magas" integrált a felület ellentétes oldalán: .

Egy másfajta felületes integrál függhet az integrál erejétől. Inkább tiszteletreméltó, hogy ha bármely másfajta felületi integrál megváltoztatja a felület oldalának változásának előjelét.

Kapcsolat az első és más típusú felületi integrálok között.

Legyen az S felület egyenlő: z \u003d f (x, y), továbbá f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - zavartalan funkciókat a τ zárt tartomány közelében (az S felület vetülete az Oxy koordinátasíkra), és az R(x,y,z) függvény folytonos az S felület S. oldalain S. Todi.

Egy zagalny vpadku maєmo:

=