Ciklikus csoportok alcsoportjai. Ciklikus csoportok. Sumіzhni classi, Lagrange-tétel

Az O csoportot ciklikusnak nevezzük, mivel minden elem egy és ugyanannak az elemnek a lépései, ezt az elemet affirmatív ciklikus O csoportnak nevezzük.

A ciklikus csoport például egész számok csoportja összeadásokhoz. A Qiu csoport mi a 2-es szimbólummal van jelölve. ї tvirnoy є szám 1 (і navit number - 1). A ciklikus csoport olyan csoport is, amely csak egy elemből áll (egyetlen).

Egy nagy csoportban Bármely g elem bordáiról ciklikus alcsoporttá válni szilárd g-vel. Az alcsoportok sorrendje, zrozumіlo, zbіgaєtsya a g elem sorrendjével. A Lagrange-tétel (div. 32. oldal) eredményei azt mutatják, hogy egy csoport bármely elemének sorrendjét fel kell osztani, egy csoport sorrendjét (tisztelettel, hogy a végső csoport minden eleme a végső sorrend eleme).

Ehhez a végső csoport bármely g elemére a sorrend egyenlő lehet

Ez az egyszerű tisztelet gyakran rossz.

Nyilvánvaló, hogy mivel a csoport ciklikus és її létesít, akkor az elem sorrendje helyes. Vissza, mint a volody elemek csoportja sorrendben, akkor ennek az elemnek a lépései között különböznek, és ahhoz a lépéshez a teljes csoport Pro.

Mi bachimo, olyan rangot, hogy egy ciklikus csoport anya egy dekilka különböző utvoryuyuchih (maga, legyen valamilyen eleme a rend є tvernoy).

Menedzser. Ha azt akarjuk elérni, hogy egy egyszerű sorrendű csoport ciklikus csoport.

Menedzser. Hozd, amit egy ciklikus csoport rendelhet, egyenletesen jóváhagyja, de - szám pozitív számok, kisebb és kölcsönösen egyszerűbb s .

A sorrend sorrendjében, legyen az egy kіntsevіy csoport, hozzáadhat egy számot - az összes її elem sorrendjének legkisebb jelentőségű többszörösét.

Menedzser. Ahhoz, hogy a csoport végétől függetlenül hozza meg azt a számot, amely felosztja a csoport sorrendjét.

Nyilvánvaló, hogy a ciklikus csoportban a szám sorrendben növekszik. Hát, vzagali látszólag, nem igaz. Tim nem kisebb, megkeményedhet, ami a végső Abel-csoportok osztályának ciklikus csoportjait jellemzi:

vége Abel-csoport, amelynél a szám előrehaladottabb a sorrendben, є ciklikus csoport.

Rendben, ne hagyjuk

Megrendelések vіdmіnkh vіd odinі elementі v kіntseї аbelії ї ї ї A megrendelésről: і nehay - їх legalább zagalne többszörös.

Bontsuk fel a különböző prímszámok további lépéseinek számát:

Legyen Oskіlki szám є, abból a célból, hogy a számok legkisebb közös többszöröse (1), a kívánt számok között legyen egy szám, amely pontosan osztható ie-vel. Legyen a є szám a g elem sorrendje. Ugyanez az elem sorrendben (1. oszt. sorrend) a 29. oldalon).

Ilyen rangban a Pro csoportból bárki, aki egy elemet szeretne sorrendben használni. A bőrrezgés az egyik ilyen elem, nézzük az arcodat. Zgidno z firmzhennyam, hozd oldalra. 29-30; Oskіlki a többi szám az elme számára jó, Tim maga hozta, hogy a csoportban van egy elem a tételek sorrendjében.Otzhe, ez a csoport ciklikus csoport.

Ugyan már O - elég ciklikus csoport egy csavart és H - deak її alcsoporttal. Oskіlki, hogy a H alcsoport egy eleme a Pro csoport eleme, megnézheti, de d - lehet pozitív vagy negatív szám (a vzagali, sevne kétértelmű). Megnézhetjük az összes pozitív szám személytelenségét, mely elem tartozik az N alcsoportba. Oskilki ce a személytelenség nem üres (miért?), ekkor megjelenik a legkevesebb szám, hogy a h elem H alcsoport az elem lépése. Valójában az érvelés kedvéért ugyanaz a d szám, amely (a szám lehet negatív is). Oszd el (túl sok) a d számot a számmal

Tehát a többlet minimális száma miatt a nulla elérése a bűnös. Ilyen módon,

Tim maga hozta napvilágra, hogy az elem egy szilárd H csoport, tehát a H csoport ciklikus. Otzhe, egy ciklusos csoport ciklikus csoportjának alcsoportja.

Menedzser. Hozza be a számot a H alcsoport indexébe, majd ossza el a csoport sorrendjét (mint az O Kintsev csoport).

Tisztelettel, bármely dilnik esetében a Pro csoport utolsó Q ciklikus csoportjának sorrendje egy és több H alcsoport sorrendben (és maga az alcsoport

Nyilvánvaló, hogy az endian ciklikus csoport egyszerű, a sorrend egy prímszám (vagy egység).

Lényeges, hogy egy Q ciklikus csoport faktora (azonos csoport, homomorf kép) ciklikus csoport-e.

Ennek bizonyításához ne feledje, hogy a tvirnoi csoportnak az okos osztályt kell szolgálnia, amely bosszút áll a tvirno csoport Pro-n.

Zocrema, hogy a Z egész számok csoportjának faktora ciklikus csoport-e. Vivchimo tsі tsіchіchіchі grupі prіknіshe.

Mivel a Z csoport Abeli, akkor a Z alcsoport normál dilnik-e. A másik oldalról a több hozás szempontjából a H alcsoport ciklikus csoport. Mivel a triviális alcsoportok mögött álló csoport faktorát ismerjük, ezért a H alcsoportot tekinthetjük nemtriviálisnak. Legyen az N alcsoportot kielégítő є szám. Tehetjük a pozitív (miért?) і számot egynél nagyobbra is.

Az N. alcsoport nyilvánvalóan az összes felosztott számból jön létre. Ezért van az, hogy két szám továbbra is csak egy összegosztályba tartozik a H alcsoporthoz, ha a különbséget elosztjuk -vel, akkor ha a bűz egyenlő lehet a modullal (div. Course, 277. oldal). Ebben a rangban a H alcsoport osztályösszegei nem más, mint a számok osztályai, így a modulnál egyenlő lehet egymással.

Más szóval, a Z csoport csoportjának faktora a H részcsoporthoz a modulban egymással egyenlő számosztályok csoportja (összeadások esetén). Ezt a csoportot a Її jóváhagyó є osztályon keresztül fogjuk kijelölni, amely megbosszulja az 1-es számot.

Megjelenik, hogy a ciklusos csoport izomorf vagy a Z csoport (mivel nincs korlátozva), vagy valamelyik csoport (ahogy a sorrend le van nyírva).

Igaz, mondja meg nekem, hogy én az O csoportot alkotom. Lényeges, hogy a 2. csoport kifejezése az O csoportban

Nézzük meg a kettő (2Z, ) mind a két lépésének multiplikatív csoportját, ahol 2Z = (2 n | P e Z). A my є additív csoport analógja az iker egész számok (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Damo zagalne vyznachennya csoportok, ilyen є danі csoportok okremi csikkjei.

Kinevezés 1.8. Multiplikatív csoport (G,) (Az adalékanyag csoport (G, +)) ún ciklikus hogyan adódik össze egy elem egymást követő szintjeiből (minden többszörösének). a e G, tobto. G=(A p | p e Z) (vіdpovidno, G - (pa | p e Z)). Megnevezés: (a), olvassa el: az a elem által generált ciklikus csoport.

Vessünk egy pillantást rá.

1. Egy multiplikatív, nem skálázó ciklikus csoport csonkja lehet egy rögzített egész szám összes cikluslépésének csoportja egy F±1, won jelezve és r. ilyen módon, és d-(a).
2. A multiplikatív terminális ciklikus csoport feneke a C csoport gyökér n-edik lépés egyedül. Találd ki gyökér n-edik lépés az egyiktől a tudás felé

a képlet mögött e k= cos---hisin^-, de előtt = 0, 1, ..., P - 1. Csúszda- p o

valóban: З „ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Találd ki, mit komplex számok e to, to = 1, ..., P - 1, egyetlen karó, a jak pontjai ábrázolják P egyenlő részek.

3. Az additív, nem skálázó ciklikus csoport jellegzetes példája a Z egész számok összeadódó csoportja, amelyet az 1-es szám generál, azaz. Z = (1). Geometriailag a numerikus egyenes teljes pontjainak láttán jelenik meg. Valójában magát a multiplikatív csoportot is így ábrázolják 2 7 - = (2) a z \u003d (a), decilis szám egy F±1 (oszt. 1.3. ábra). A képek minőségét az 1.6. bekezdés tárgyalja.
4. Vibero egy nagy multiplikatív csoportban G aktív elem a. Ekkor az elem lépéseinek összes ciklusa kielégíti az (a) = ciklikus részcsoportot (a p p e Z)G.
5. Megmutatható, hogy a Q racionális számok additív csoportja nem önmagában ciklikus, hanem attól, hogy két elem található-e a ciklikus részcsoportban vagy sem.

V. Bebizonyítjuk, hogy a Q additív csoport nem ciklikus. Megengedett elfogadhatatlan: legyen Q = (-). Alapvető célszám b,

ne oszd meg t. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, majd főnév-

b t/ (t J

є tsile száma gs 0 tehát sho - \u003d n 0 -. Ale todi m = n 0 kb,

csillagok t:- dіyshli szuperélesség.

B. Mondjuk, hogy még kettő racionális számok -

h „ /1

i - átfedés ciklikus alcsoport (-), de t találok- d t/

kisebb, mint a számok nagy többszöröse bі d. Rendben, ne hagyjuk m-bi

, a 1 /1 h cv 1/1

i m = av, u, v e Z, akkor i - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b i t t/ a dv t t/

Tétel 1.3. A ciklikus csoport sorrendje megegyezik a csoport szülőelemének a tobto sorrendjével.|(a)| = | a |.

Hoz. 1. Gyerünk | = ">. Tudjuk, hogy az elem minden természetes lépése a különböző. Elfogadható elfogadhatatlan: gyerünk ak = a tі 0 Todinak t - előtt - természetes számі a t ~ to = e. Ale tse superechit abból a scho | a = ° °. Ily módon az elem minden természetes lépése a raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst csoport (a). Otzhe, | (a)| = ° ° = | a |.

2. Gyerünk | a | = n. (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). A ciklikus csoport megjelöléséből a zárvány (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). Kapcsoljuk be. A ciklikus csoport további eleme (a) nézhet nál nél, de ti Z. Túlzott pálinka megosztása: m-nq + r, de 0 p. Oskilki a n = e, akkor nál nél = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0, a, egy 2,..., a "- 1). Zvіdsi (a) s (a 0, a, a 2, ..., Ebben a sorrendben, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" -egy).

Meg kell hozni, hogy az összes elem szorozva legyen (a 0, a, egy 2,..., és "-1) eltérő. Megengedett nem elfogadható: legyen 0 i P, ale a" = a) Ugyanaz a bor - e ta 0 j - i - dіyshli szuperélesség z umovoy | a | = P. A tétel elkészült.

Ciklikus csoportok alcsoportjai

Jön egy tétel, amely meghatározza a ciklikus csoportok egy alcsoportjának létezését.

Tétel 1.4. A ciklikus csoportok alcsoportja ciklikus. Yakscho G = (a)uH - a G csoport nem önálló alcsoportja, moH = (és e) de p - a legkisebb természetes szám, például egy p e N.

Hoz. Ugyan G = (a) ez H- egy csoport alcsoportja G. Mint egy alcsoport H akkor egyedülálló H =(f) – ciklikus csoport. Na gyere H- nem önálló alcsoport. Jelentősen át P a legkisebb természetes szám, tehát toll,és tudassa velünk H \u003d (a p). Befogadás ( a p) h H nyilvánvalóan. Kapcsoljuk be. Na gyere h e H. Oskilki G = (a), akkor ez egy igazi show előtt,és akkor mi van h = a to. Osszuk meg előtt a P túl sok: előtt = nq+ g, de 0 p. g F 0, akkor vedd h = a = a pa p h a g, csillagok a r \u003d a ~ p hN e N. Csodálatos volt a minimális kijelzővel P. Továbbá r = 0 i to - nq. Zvіdsi h = a k = a p h e a"). Ebben a rangban H h ( a n), később, H = (a e). A tétel elkészült.

A ciklikus csoport szülőelemei

Milyen elemek hozhatnak létre ciklikus csoportot? Két tétel támasztja alá ezt a két tételt.

Tétel 1.5. Adjunk nem redukált sorrendet egy G = (a) ciklikus csoportnak. Todi (a) - (a nak nek) akkor, és csak akkor, ha legfeljebb - ± 1.

Hoz. Na gyere G = (a),|a| = ° ° i (a) = (Ak). Todі іsnuє tіla kіlkіst P,és akkor mi van a = a kp. Zvіdsi a * "-1 \u003d e,és oskolki | a = akkor kp - 1 = 0. Alethodi kp = 1 ich-± 1. A komoly keményedés szembetűnőbb.

Tétel 1.6. Adjunk meg egy G = (a) ciklikus csoportot az m rendnek. gcd(/s, t) = 1.

Hoz.(=>) Ugyan (a) = (előtte), tudassa velünk, hogy a GCD(/s, t) - 1. Jelentősen SNDC-k, t) – d. Oskilki a e (a) - (a-ig), akkor a = a kp a jelenlegi egésszel P. Az elemek pontos sorrendjéért a csillagok énekelnek, scho (1 - kp) : t, tobto. egy - kp = mt valós egész számra t. Ale todi 1 = (kp + mt) : d, csillagok d = 1 × GCD(/s, t)= 1.

(Menjünk NID-re (k, t) = 1. Tudjuk, mit (a) = (Ak).Értesítés (a előtte) h (a) nyilvánvaló. Vissza, észben a GCD No. t) = 1 következő számok іés v, ilyen ki + mv= 1. Koristuyuchis tim sho | a | - t, elfogadható a = a ku + mv = a ku a mv = a kі e (a to). Otzhe, (a) = (a to). A tétel elkészült.

Találd ki Euler függvény f(t) a természetes számok számát jelenti, amely nem változtatja meg a természetes számot tés kölcsönösen egyszerű t. Megszállott következménynek hangzik.

Következmény. Ciklikus csoport (a) rendelés t maє f(t) különböző elemekből, amelyek generálódnak.

Az 1.5. Tétel adott geometriai pontosságára a ciklikus csoportot ábrázoljuk G = (a) rendelés t tétpontok A 0, A b ..., A t _ b oszd be t egyenlő részek. elem a to adott csoportok, amelyek pontokat mutatnak És előtte néhányat és csak néhányat generál, ha egymás után az A 0 pontot, Ak, A 2k stb., eljutunk az A ponthoz]. Tudjunk meg mindent előtt nál nél t= 10 soroljuk csak fel a vipadkіv-t (1.5. ábra). Ennek eredményeként vesszük előtt =1,3, 7, 9. Ciklikus csoporthoz (a) A tse azt jelenti, hogy (a) \u003d (a 3) \u003d (a 7) \u003d (a 9). vissza: tudja előtt, kölcsönösen egyszerű ugyanazzal a számmal t, akkor kedvesen vikreslyuvaty vodpovidnu "zirochka", határozottan tudva, hogy a korai chi pizno korty a bőr ponton, több (a) = ( a nak nek).

Na gyere G– csoportosítsa azt az elemet a G. Az a elem sorrendjét (a ׀а׀ jelöli) a legkisebb természetes számnak nevezzük nN, mit

a n = a . . . . a =1.

Ha egy ilyen szám nem ismert, akkor úgy tűnik a- A következetlen rend eleme.

Lemma 6.2. Yakscho a k= 1, akkor k elemsorrenddel osztani a.

Időpont egyeztetés. Na gyere G- az a csoport a G. Todi bezlich

H = (ak ׀ k }

є a G csoport alcsoportja, ahogyan ezt az a elem által generált ciklikus alcsoportnak nevezik (jelezve H =< а >).

Lemma 6.3. Ciklikus alcsoport H, amelyet az elem generál a rendelés n, є csoportos sorrend vége n, ráadásul

H = (1 = a 0, a, ..., a n-1).

Lemma 6.4. Na gyere a- A következetlen rend eleme. Ugyanaz a ciklikus alcsoport H = <a> - nyúzatlan és be-bármilyen elem s H iratkozz fel a látványnál a k , előttZ, ráadásul egyetlen rangban.

A csoport ún ciklikus A yakscho megnyerte a zbіgaєtsya z odnієyu zіh svoїkh tsіchnyh alcsoportokat.

fenék 1. Adalékanyag csoport Z az összes egész számból az 1 elem által generált végtelen ciklikus csoport.

fenék 2. Személytelen gyökerek n-edik lépés az 1. ciklikus csoportos sorrendből n.

6.2. Tétel. Hogy egy ciklikus csoport egy alcsoportja ciklikus-e.

6.3. Tétel. Egy végtelenül ciklikus csoport izomorf-e az egész számok additív csoportjával Z. Akár egy kіntseva ciklikus rendszer n izomorf az összes gyökér csoportjával n-adik lépés 1-től.

Normál alcsoport. csoportfaktor.

Lemma 6.5. Na gyere H- Egy csoport alcsoportja G, az összes baloldali összegosztály alapján egyszerre є i jobbos összeg_ osztályok. Todi

aH=Ha, a G.

Időpont egyeztetés. Alcsoport H csoportos G normálnak hívják G(jelzett HG), mert minden és bal oldali summіzhnі classi helyes, tehát

aH=Ha, aG.

Tétel 6.4. Na gyere H
G, G/N– arctalan a csoport összes összegző osztályától G alcsoportonként H. Hogyan kell szorozni G/N szorzási művelet

(aH)(bH) = (ab)H,

akkor G/N csoporttá válik, mivel a faktort csoportcsoportnak nevezik G alcsoportonként H.

Csoporthomomorfizmus

Időpont egyeztetés. Na gyere G 1 i G 2 - csoportok. Todi fermentáció f: G 1
G 2-t homomorfizmusnak nevezzük G 1 hüvelyk G 2, pl

F(ab) = f(a)f(b) , a,b G 1 .

Lemma 6.6. Na gyere f– csoporthomomorfizmus G 1 a csoporthoz G 2. Todi:

1) f(1) - egyetlen csoport G 2 ;

2) f(a -1) = f(a) -1 ,aG 1 ;

3) f(G 1) - egy csoport alcsoportja G 2 ;

Időpont egyeztetés. Na gyere f– csoporthomomorfizmus G 1 a csoporthoz G 2. Todi bezlich

kerf = {aG 1 ׀f(a) = 1G 2 }

a homomorfizmus magjának nevezzük f .

6.5. Tétel. ker f
G.

6.6. Tétel. Legyen egy csoport normál alcsoportja Gє minden homomorfizmus magja.

Kiltsya

Időpont egyeztetés.Üres arctalan Előtt hívott kiltsem, mint az újon, két bináris művelet van hozzárendelve, amelyeket összeadásnak és szorzásnak neveznek, és kielégítik a haladó elméket:

Előtt- Ábel csoportja a további műveletekhez;

többes szám asszociatív;

vikonuyutsya eloszlási törvények

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zK.

csikk 1. Bezlich Kі R- Kiltsya.

Kіltse hívják kommutatív, tetszik

xy=yx, x,yK.

fenék 2. (Porivnyannia). Na gyere m- rögzített természetes szám, aі b- Dovіlnі tsіlі szám. Ugyanaz a szám a számmal egyeztetve b a modul mögött m mint kiskereskedelmi a – b részre kell osztani m(írott: ab(mod m)).

Az értékelés megegyezik a személytelen ekvivalenciájának beállításával Z, mi törik Z az osztályon, yakі hívja az osztályokat vіdrahuvan a modulhoz més jelezze Z m. Bezlich Z mє kommutatív gyűrű egységgel.

mezőket

Időpont egyeztetés. A mezőt üresnek, személytelennek nevezik R, Nem 2 elem megbosszulásához, két bináris hajtogatási és szorzási művelettel úgy, hogy:

fenék 1. Bezlich Kі R korlátlan mezők.

fenék 2. Bezlich Z r- Kіntseve mező.

Két elem aі b mezőket R vіdminnі vіd 0 hívják dilers of zero, mint ab = 0.

Lemma 6.7. A mezőben nincs nullák száma.

Legyen g a G. Todi csoport további eleme, elfogadva a minimális alcsoportot
, amelyet egy elem generál
.

Időpont egyeztetés. Minimális alcsoport
, amelyet a G csoport egyik g eleme generál, ún ciklikus alcsoport G csoport.

Időpont egyeztetés. Mint az egész G csoport egy elemből születik, azaz.
, akkor úgy hívják ciklikus csoport.

Na gyere a G multiplikatív csoport eleme, ugyanaz a minimális részcsoport, amelyet ez az elem generál, a szem előtt lévő elemből jön létre

Nézzük az elem lépését , akkor. elemeket

Két lehetőség:

1. Usі step elem g raznі, tobto.

, akkor itt azt mondjuk, hogy a g elem nem redukálható sorrendben.

2. Є zbіgi lépések, tobto. , ale
.

І itt a g elem a végső sorrend.

Jól van, mondd meg pl.
і
todi,
, akkor. pozitív lépéseket tenni
elem
, egyenlő egyetlen elemmel.

Legyen d - az elem szintjének legkevésbé pozitív mutatója , amelyekre
. Aztán úgy tűnik, hogy az elem
Május utolsó rendelése egyenlő d.

Visnovok. Legyen egyfajta G csoport az utolsó sorrendben (
) minden elem a végső sorrendben lesz.

Legyen g a G multiplikatív csoport eleme, vagy egy multiplikatív részcsoport
összeadódik a g elem különböző lépéseiből. Otzhe, az alcsoport elemeinek száma
zbigaєtsya az elem sorrendjével tobto.

elemek száma egy csoportban
javítsa az elem sorrendjét ,

A másik oldalról ugyanolyan keménységű lehet.

Szilárdság. Rendelés bármi legyen is az elem
az elem által generált minimális alcsoport sorrendjében
.

Hoz. 1.Yakscho - A végső sorrend eleme , akkor

2. Yakscho - A következetlen rend eleme, akkor ne hozz semmit.

Yakscho elem rendelhet , akkor a cél érdekében az összes elemet

más és legyen egy lépés zbіgaєtsya ezen elemek egyikével.

Igaz, legyen a hivalkodó lépés
, akkor. - elég szám és ne menj
. Ugyanaz a szám egy pillantással látható
, de
,
. Todі, vikoristuuuuuuuuuuuu a g elem teljesítményszintje,

Zokrema, jakscso.

csikk. Na gyere
- Az egész számok Abel-csoportja additív. A G csoport egy minimális alcsoportból áll, amelyet az 1 vagy –1 elemek egyike generál:

otzhe,
- Bezkіnechna tsiklіchna csoport.

A végső sorrend ciklikus csoportjai

Mint egy példa a végső sorrend ciklikus csoportjára, világos egy csoport a megfelelő n-kutnik shodo yogo becsomagolása a központba
.

Groupi elemek

є fordítsa az n-kutnikot a kuti Godinnikov nyila ellen.

Groupi elemek
є

és a geometriai tükrözésből világosan látszik, hogy

csoport
bosszút állni az elemeken, tobto.
, hanem a csoport kielégítő eleme
є , akkor.

Na gyere
todi (div. 1. ábra)

Rizs. egy – csoport - a megfelelő trikutnik ABC shodo csomagolóanyaga az O közepére.

Algebrai művelet  csoportban - Az utolsó pakolás az év nyila ellen, a kut-on, többszörös , akkor.

Zvorotny elem
- az év nyíl mögé a kut 1-en, tobto.

K. táblázatechi

A kіntsevyh csoportok elemzését nagy valószínűséggel előre kell használni a Keli további tábláihoz, valamint a "szorzótábla" bevezetéséhez.

A G csoport álljon bosszút az n elemeken.

Véleményem szerint az asztal Keli є négyzetmátrix van n sor és n sor.

A bőrsorhoz és a bőrréteghez a csoport egy vagy több eleme.

elem táblázat Kelі, scho az i-edik sor és a j-edik oszlop retináján állni, az i-edik elem "szorzása" a csoport j-edik elemével végzett művelet eredményéhez.

csikk. Legyen G csoport megbosszulva három elemet (g1, g2, g3). Művelet a "szorzás" csoportban. Ezen a ponton Keli táblázata így nézhet ki:

Tisztelet. A Keli tábla bőrsoránál és bőroszlopánál a csoport összes eleme megtalálható, és nincs bűz. A Keli táblázat a csoportra vonatkozó összes információt helyettesíti. Mit tud mondani ennek a csoportnak az erejéről?

1. Ennek a csoportnak az egyetlen eleme a g1.

2. A csoport abeli, mert a táblázat szimmetrikus a főátló mentén.

3. A csoport bőreleméhez szükséges

g-hez 1 csomagolóanyag є elem g 1 g 2 elem g 3 .

Menjünk csoportokba Cellatáblázatok.

A kulcselemnek az elem szempontjából való jelentőségéhez pl. , szükséges egy sorhoz, egy adott elemhez ismeri a tűzhelyek bosszú elemét . elem vidpovіdny adott stovptsyu i є vorotnym az elemhez , mert
.

Ahogy a Keli asztal szimmetrikus, mint a fej átlója, a tse azt jelenti

- Tobto. az elemzett csoport működése kommutatív. Az érvelés kedvéért a Keli tábla szimmetrikus, bár a fejátló azt jelenti, hogy a művelet in kommutatív, vagyis.
,

egy csoport - Abelova.

A helyes n - koszin szimmetriájának transzformációinak egész csoportja látható a művelethez hozzáadva egy tágas fordulat járulékos műveletének a szimmetriatengelyek köré tekerését.