Matrixzeilenlösung. Mathematik für Teekannen Matrizen und die wichtigsten darüber. Matrix-Transpositionsoperation

Dänische methodische Hilfe hilft Ihnen zu lernen, wie man gewinnt mit Matrizen: Addition (Entfernung) von Matrizen, Transposition von Matrizen, Multiplikation von Matrizen, Bedeutung der Pivot-Matrix. Alle Materialien der Ablagerungen sind in einfacher und zugänglicher Form, sie werden auf die gleiche Weise hergestellt, in einem solchen Rang kann eine unvorbereitete Person lernen, wie man mit Matrizen arbeitet. Zur Selbstkontrolle und Selbstverifizierung können Sie kostenlos den Matrixrechner >>> nutzen.

Ich versuche, die theoretischen Nebensätze zu minimieren, wenn Sie diese nicht-wissenschaftlichen Begriffe „an den Fingern“ erklären können. Liebhaber der Grundtheorie, seien Sie freundlich, üben Sie keine Kritik aus, unsere Aufgabe ist es lernen, wie man Matrizen verwendet.

Zur oberflächlichen Vorbereitung auf das Thema (wer "brennt") - ein intensiver pdf-Kurs Matrix, vyznachnik dieser Halle!

Die Matrix ist ein rechteckiger Tisch, sei es Elemente. In der Yakost Elemente wir können uns die Zahlen ansehen, das sind die Zahlenmatrizen. ELEMENT- Tse-Termin. Der Begriff sollte in Erinnerung bleiben, die Weine werden oft gekritzelt, ich vikoristav für diese Vision nicht in Fettdruck.

Bezeichnung: Matrizen klingen in großen lateinischen Buchstaben

Hintern: Schauen wir uns die Zwei-mal-drei-Matrix an:

Diese Matrix besteht aus sechs Elemente:

Alle Zahlen (Elemente) in der Mitte der Matrix können Sie selbst finden, Sie können also nichts darüber finden:

Es ist nur eine Tabelle (ein Satz) von Zahlen!

Wir sind also zu Hause nicht umstellen Nummer, die in den Erläuterungen nicht erwähnt wird. Die Hautnummer hat ihren eigenen Verrottungsort und es ist unmöglich, sie zu mischen!

Die Matrix wird betrachtet, sie hat zwei Zeilen:

und drei Säulen:

STANDARD: wenn wir über die Erweiterung der Matrix sprechen, dann auf dem Kolben geben Sie die Anzahl der Zeilen und dann - die Anzahl der Spalten an. Nach und nach sortierten sie die „Zwei mal Drei“-Matrix mit Pinseln aus.

Wenn die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix zbіgaєtsya ist, wird die Matrix aufgerufen Quadrat, zum Beispiel: - Drei-mal-drei-Matrix.

Wie in einer Matrix eine Zeile oder eine Zeile werden solche Matrizen auch genannt Vektoren.

Wir kennen die Matrizen wirklich aus der Schule, schauen wir uns zum Beispiel einen Punkt mit den Koordinaten „iks“ und „iplayer“ an: . Tatsächlich werden die Koordinaten des Punktes in eine Eins-zu-Zwei-Matrix geschrieben. Vor der Rede ist die Achse für Sie ein Beispiel, warum die Reihenfolge der Zahlen von Bedeutung sein kann: Es sind zwei verschiedene Punkte der Ebene.

Jetzt geht es ohne Zwischenfälle weiter zur Hochzeit DIY aus Matrizen:

1) Diya perscha. Der Fehler des Minus aus der Matrix (Einführung des Minus in die Matrix).

Wenden wir uns unserer Matrix zu . Wie Sie sich mit einem Singsang erinnert haben, hat meine Matrix zu viele negative Zahlen. Noch unhandlicher ist es beim Scribbler-Look der Kleinen mit der Matrize, dem grifflosen Schreiben von Minusnoten, dass man im Design einfach hässlich aussieht.

Wir machen das Minus für die Zwischenmatrizen verantwortlich und ändern das Vorzeichen des SKIN-Elements der Matrix:

Wie Sie wissen, ändert sich bei Null das Vorzeichen nicht, Null - Wein und Null in Afrika.

Zvorotny Hintern: . Ich schaue herablassend.

Wir fügen ein Minus in die Matrix ein und ändern das Vorzeichen des SKIN-Elements der Matrix:

Nun, Achse, reich sympathischer Veyshlo. Ich, naygolovnіshe, es wird EINFACHER sein, die Matrix zu schlagen. Weil es so mathematisch ist Prikmeta der Menschen: je mehr Minuspunkte - desto mehr Betrüger und Verzeihung.

2) Dia Freund. Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl.

Hintern:

Es ist einfach, die Matrix mit einer Zahl zu multiplizieren, die Sie benötigen Leder multipliziere das Matrixelement mit ganze Zahl. Bei zu dieser besonderen Sorte- Dreier.

Noch ein brauner Hintern:

– Matrixmultiplikation mit Drib

Auf dem Hinterkopf betrachten wir diejenigen, die Robiti sind NICHT BENÖTIGT:

Das Hinzufügen von mehr Geld zur Matrix ist NICHT ERFORDERLICH. Erstens ist es einfacher, sich weiter von der Matrix zu entfernen, auf andere Weise ist es einfacher, die Lösung durch das Vikladach (insbesondere Yakscho - Restanforderung).

Tim mehr, NICHT BENÖTIGT Dilität des Hautelements der Matrix um minus sіm:

Drei Statistiken Mathematik für Dummies oder warum sonst, daran erinnern wir uns Dezimalbrüche mit denen alle anderen Mathematiker versuchen, einzigartig zu sein.

Eine Sache Bagan robiti in Ihrer Bewerbung - fügen Sie der Matrix ein Minus hinzu:

Und von Yakby ALLE Matrixelemente wurden durch 7 geteilt ohne Exzess, Dann können Sie (und Sie müssen!) Boulo b podіlit.

Hintern:

In welche Richtung kann i NOTWENDIG Multiplizieren Sie alle Elemente der Matrix mit , sodass alle Zahlen der Matrix durch 2 geteilt werden ohne Exzess.

Hinweis: Theoretisch fortgeschrittene Mathematik Es gibt keinen Schüler, der „podіl“ versteht. Anstelle des Satzes „nicht hinzufügen“ können Sie auch „mit mehr multiplizieren“ sagen. Tobto podіl - tse okremia vpadok Plural.

3) Diya Dritter. Matrixtransposition.

Um die Matrix zu transponieren, müssen Zeilen in die Spalten der transponierten Matrix geschrieben werden.

Hintern:

Transponiere eine Matrix

Hier gibt es nur eine Zeile und gemäß der Regel muss sie in die Spalte eingetragen werden:

ist die transponierte Matrix.

Die transponierte Matrix wird durch einen hochgestellten Index oder einen Strich eines rechtshändigen Aals angezeigt.

Hintern abdecken:

Transponiere eine Matrix

Auf der Rückseite schreiben wir die erste Zeile im ersten Schritt um:

Lassen Sie uns eine andere Zeile in einer anderen Zeile umschreiben:

І, nareshti, schreiben Sie die dritte Reihe bei den dritten Stovpets neu:

Bereit. Grob gesagt bedeutet transponieren, die Matrix seitwärts zu drehen.

4) Diya Vierter. Summenmatrix (Einzelhandel)..

Die Summe der Matrizen diya ist umständlich.
NICHT ALLE MATRIXEN SIND FALTBAR. Für Vykonannya-Faltmatrizen (Vіdnіmannya) ist es notwendig, dass der Gestank der Kugeln für ROZMIROM gleich ist.

Wenn zum Beispiel eine "Zwei mal Zwei"-Matrix angegeben ist, können Sie sie nur zur "Zwei mal Zwei"-Matrix hinzufügen und auf andere Weise!

Hintern:

Falten Sie die Matrizen і

Um die Matrizen zu falten, ist es notwendig, ihre erforderlichen Elemente zu falten:

Für verschiedene Matrizen ist die Regel ähnlich, Es ist notwendig, den Unterschied zwischen verschiedenen Elementen zu kennen.

Hintern:

Kennen Sie den Unterschied von Matrizen ,

Und wie können Sie diesen Hintern einfacher machen, um nicht verloren zu gehen? Zögern Sie nicht, die Minuspunkte hinzuzufügen, für die wir der Matrix ein Minus hinzufügen werden:

Hinweis: Theoretisch gibt es kein Abiturverständnis für Mathematik. Anstelle des Satzes "was auch immer Sie sehen" können Sie immer "um eine negative Zahl zu addieren" sagen. Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok gefaltet.

5) Diya p'yata. Reproduktion von Matrizen.

Welche Matrizen können multipliziert werden?

Damit die Matrix bei Bedarf mit der Matrix multipliziert werden kann, so dass die Anzahl der Spalten in der Matrix gleich der Anzahl der Zeilen in der Matrix ist.

Hintern:
Kann man eine Matrix mit einer Matrix multiplizieren?

Auch hier können Sie diese Matrizen multiplizieren.

Und ordnen Sie die Missionen aus derselben Matrix neu an, dann ist eine Multiplikation auf diese Weise bereits unmöglich!

Otzhe, Vikonati Plural ist unmöglich:

Es kommt nicht so oft vor, dass Aufgaben mit Tricks ausgetrickst werden, wenn ein Schüler dazu angehalten wird, Matrizen zu multiplizieren, deren Multiplikation offensichtlich unmöglich ist.

Slide zeigt an, dass eine Reihe von Variablen Matrizen multiplizieren können, so, so.
Zum Beispiel kann ich für Matrizen multipliziert werden, also multiplizierte ich

Die rechteckige Matrix der mxn-Erweiterung ist die Summe von mxn-Zahlen, die in einer rechteckigen Tabelle angeordnet sind, um Reihen von m und n Spalten zu rächen. Wir werden її beim Anblick aufschreiben

andernfalls, wenn man A = (a i j) (i = ; j = ) betrachtet, werden die Zahlen a i j її Elemente genannt; Der erste Index zeigt auf die Zeilennummer, der andere auf die Zeilennummer. A \u003d (a i j) und B \u003d (b i j) gleicher Größe werden als gleich bezeichnet, da die Elemente paarweise gleich sind, also an denselben Stellen stehen, dann A \u003d B, also a i j \u003d b i j.

Eine Matrix, die aus einer Zeile oder einer Spalte gefaltet wird, heißt entweder Zeilen- oder Spaltenvektor. Stow-Vektoren und Zeilenvektoren werden einfach als Vektoren bezeichnet.

Eine Matrix mit einer Zahl wird dieser Zahl zugeordnet. Ein rozmіru mxn, alle Elemente, die gleich Null sind, werden Null genannt und durch 0 zugewiesen. Elemente mit denselben Indizes werden als Elemente der Kopfdiagonale bezeichnet. Wenn die Anzahl der Reihen gleich der Anzahl der Schwellen ist, dann ist m = n, dann wird die Matrix als quadratische Ordnung n bezeichnet. Quadratische Matrizen, die null oder mehr Elemente der Kopfdiagonale haben, heißen Diagonale und werden wie folgt geschrieben:

.

Wenn sich alle Elemente a i i diagonal zu 1 addieren, wird es als einfach bezeichnet und mit dem Buchstaben E bezeichnet:

.

Eine quadratische Matrix wird Trikot genannt, weil alle Elemente, die höher (oder niedriger) als die Kopfdiagonale stehen, gleich Null sind. Eine Transposition nennt man eine solche Transformation, wenn Zeilen und Spalten bei der Einsparung ihrer Zahlen um Stellen verändert werden. Dies wird durch das Transpositionssymbol T oben angezeigt.

Da wir in (4.1) die Zeilen durch Spalten neu anordnen können, nehmen wir

,

wie von A. Zokrem transponiert, werden beim Transponieren des Vektors stovptsya der Zeilenvektor und das Navpacki angezeigt.

Unterkomponente Und die Zahl b heißt Matrix, deren Elemente aus den zweiten Elementen von A kommen, um die Zahl b zu multiplizieren: b A = (b a i j).

Die Summe A = (a i j) und B = (b i j) einer Dimension heißt C = (c i j) derselben Dimension, deren Elemente der Formel c i j = a i j + b i j zugeordnet werden.

Dobutok AB ist der Zulassung zugeordnet, daher ist die Anzahl der Spalten A gleich der Anzahl der Zeilen U.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , zugewiesen der zugewiesenen Ordnung AB, genannt C = (c i k), die Elemente werden einer solchen Regel zugewiesen:

c ich k = ein ich 1 b 1 k + ein ich 2 b 2 k + ... + ein ich m b m k = ein ich s b s k . (4.2)

Ansonsten scheint es, dass das Element der Schöpfung AB in folgender Reihenfolge zugeordnet wird: Das Element der i-ten Reihe und der k-ten Spalte gibt die schönste Summe der gestalterischen Elemente der i-ten Reihe A an die abhängigen Elemente der k-ten Spalte B.

Hintern 2.1. Kennen Sie doboot AB i .

Lösung. Mai: A rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, dann dobutok AB \u003d C іsnuє і Elemente С gleich

Z 11 = 1x1 + 2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

und tvir BA ist nicht wahr.

Hintern 2.2. Die Tabelle gibt die Anzahl der Einzelprodukte an, die täglich von den Molkereien 1 und 2 in die Geschäfte M 1, M 2 und M 3 gebracht werden, außerdem kostet die Lieferung eines einzelnen Produkts von der Hautmolkerei zum Geschäft M 1 50 den. eine, zum Laden M 2 - 70 und M 3 - 130 den. eines. Pіdrakhuvat schodennі Transport Vitrati Gerberei.

Molkerei

Lösung. Signifikant durch eine Matrix, die uns zum Verständnis gegeben wurde, und durch
B - eine Matrix, die die Variabilität der Lieferung eines einzelnen Produkts des Geschäfts charakterisiert, tobto,

,

Todo-Matrix-Vitrat auf der transportierten Matima sah aus:

Außerdem kostet die erste Buntglasfabrik derzeit 4.750 Groschen. einer, der andere - 3680 den.

Hintern 2.3. Die Näherei fertigt Wintermäntel, Übergangsmäntel und Regenmäntel an. Die geplante Freigabe für ein Jahrzehnt ist durch den Vektor X = (10, 15, 23) gekennzeichnet. Vykorivuyutsya Stoffe chotirioh Typen T1, T2, T3, T4. In der Tabelle sind die Normen der Gewebevitrati (Meter) für die Hautvibration angegeben. Der Vektor С = (40, 35, 24, 16) gibt die Variabilität des Meters des Gewebes des Hauttyps an, und der Vektor P = (5, 3, 2, 2) - die Varianz des transportierten Meters des Gewebe vom dermalen Typ.

	Vitrata-Stoffe
Wintermantel
Halbjahresmantel

Lineare Algebra

Matrizen

Matrix rozmіru m x n - tse geradlinige Zahlentabelle, um m Zeilen und n stoptsіv zu rächen. Die Zahlen, aus denen eine Matrix besteht, werden Matrixelemente genannt.

Die Matrizen sind mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, die Elemente mit denselben kleinen Buchstaben mit Bügelindexierung.

Schauen wir uns zum Beispiel die Matrix A mit 2 x 3 Dimensionen an:

Diese Matrix hat zwei Zeilen (m = 2) und drei Zeilen (n = 3), das heißt. gewonnen besteht aus sechs Elementen a ij de i - Reihennummer, j - Reihennummer. Dabei ist der Wert 1 bis 2 und der Wert eins bis drei (aufgezeichnet). Zokrema, a 11 = 3; a12 = 0; a 13 = –1; a21 = 0; a22 = 1,5; a 23 = 5.

Matrizen A und B gleicher Größe (m x n) werden aufgerufen gleich, so dass der Gestank Element für Element zbіgayutsya, tobto ist. a ij = b ij für , dann. für jedes i und j (Sie können "i, j" schreiben).

Zeilenmatrix- dieselbe Matrix, die aus einer Reihe gefaltet ist, und Matrix-Stempel- Tse-Matrix, die von einem stovptsya gefaltet wird.

Zum Beispiel, ist eine Zeilenmatrix und .

quadratische Matrix bis zur n-ten Ordnung - die Matrix, bis zu einer Zeile bis zur Anzahl der Spalten und bis zu n.

Zum Beispiel eine quadratische Matrix einer anderen Ordnung.

Diagonale Matrixelemente – Zielelemente, bei denen die Zeilennummer gleich der Spaltennummer ist (a ij, i = j). Qi-Elemente befriedigen Hauptdiagonale Matrizen. Am vorderen Stoß besteht die Hauptdiagonale aus den Elementen a 11 = 3 und a 22 = 5.

Diagonale Matrix- Dies ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente außerhalb der Diagonale gleich Null sind. Zum Beispiel, - Diagonalmatrix dritter Ordnung. Wenn ja, sind alle Diagonalelemente gleich eins, dann heißt die Matrix einsam(Töne werden mit dem Buchstaben E bezeichnet). Zum Beispiel, - Alleinmatrix dritter Ordnung.

Die Matrix wird aufgerufen Null so dass alle її Elemente gleich Null sind.

Die quadratische Matrix heißt gestrickt also sind alle Elemente unter (oder über) der Kopfdiagonale gleich Null. Zum Beispiel, - Tricut-Matrix dritter Ordnung.

Operationen auf Matrizen

Die folgenden Operationen können auf Matrizen ausgeführt werden:

1. Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl. Die zusätzliche Matrix für die Zahl l ist die Matrix B = lÀ, deren Elemente b ij = la ij für beliebige i i j sind.

Also zum Beispiel Yakscho .

2. Addition von Matrizen. Die Summe zweier Matrizen A і gleicher Größe m x n wird als Matrix C \u003d A + B bezeichnet, deren Elemente ij \u003d a ij + b ij für "i, j" sind.

Zum Beispiel wie dann

.

Es ist wichtig, dass dies durch die frontale Operation möglich ist visuelle Matrix gleiche Größe: Unterschied A-B\u003d A + (-1) * Art.-Nr.

3. Reproduktion von Matrizen. Die zusätzliche Matrix A erweitert m x n zur erweiterten Matrix n x p heißt eine solche Matrix C, deren Hautelement s ij die Summe der Elemente der i-ten Zeile der Matrix A um die sichtbaren Elemente der j-ten ergänzt Spalte der Matrix, tobto. .

Zum Beispiel wie

, dann wird die Erweiterung der Matrix-Kreation 2 x 3 sein, und achte auf die Mutter:

Auf diese Weise wird die Matrix A die eingeengte Matrix genannt.

Basierend auf der Multiplikationsoperation für quadratische Matrizen, die Operation Links an den Füßen. Die positive Sprosse Am (m > 1) der quadratischen Matrix A heißt zusätzliche m Matrizen gleich A, tobto.

Nehmen wir an, dass die Addition (Ersetzung) und die Multiplikation von Matrizen nicht für zwei Matrizen gedacht sind, sondern nur für das Singen des Meisten, was gefällt, in seinem eigenen Umfang. Für znakhodzhennya sumi chi rіznitі Matrizen können їх rozmіr obov'yazkovo gleich sein. Zur Erstellung von Matrizen kann die Anzahl der Spalten in der ersten um die Anzahl der Zeilen in der anderen erhöht werden (solche Matrizen heißen bittezhenimi).

Schauen wir uns die Potenzen der betrachteten Operationen an, analog zu den Potenzen von Operationen auf Zahlen.

1) Kommutatives (sich verschiebendes) Faltungsgesetz:

A + B = B + A

2) Assoziatives (glückliches) Faltungsgesetz:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Distributives (Spread) Gesetz der Multiplikation wie man faltet:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Assoziatives (glückliches) Gesetz der Multiplikation:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Es wird unterstützt, dass sich das Verschiebungsgesetz der Multiplikation für Matrizen nicht in die entgegengesetzte Richtung ändert, dh. AB ¹ BA. Darüber hinaus wird von der Basis AB die Basis BA nicht notwendigerweise ausgesprochen (die Matrizen sind möglicherweise nicht akzeptabel, und sogar die gleichen Dobuts werden nicht zugewiesen, wie im Fall des induzierten Butts, der Vielzahl von Matrizen). Ale navіt yakscho beleidigen, tu es, stinken brüllen raznі.

Auf gute Weise kann das Kommutativgesetz eine quadratische Matrix A zu einer einzelnen Matrix derselben Ordnung hinzufügen, außerdem ergibt dies A (die Multiplikation mit einer einzelnen Matrix ist hier ähnlich wie die Multiplikation mit 1 bei der Multiplikation von Zahlen):

AE = EA = A

WAHR,

Wir fügen zu Multiplikationen von Zahlen eine weitere Multiplizität von Matrizen hinzu. Es können entweder mehr Zahlen zu Null addiert werden oder weniger, wenn Sie möchten, dass eine von ihnen gleich Null ist. Es ist unmöglich, über Matrizen zu sagen, tobto. zusätzliche Nicht-Null-Matrizen können zu Null-Matrizen hinzugefügt werden. Zum Beispiel,

Werfen wir einen Blick auf Operationen auf Matrizen.

4. Matrixtranspositionє Übergangsoperation von der Matrix A zur Erweiterung m x n zur Matrix A T zur Erweiterung n x m, in denselben Zeilen und Spalten wurde durch Leerzeichen gedacht:

%.

Die Macht der Transpositionsoperation:

1) Wir haben folgendes gewählt, damit die Matrix auf zwei transponiert werden kann, wenden wir uns der Ausgangsmatrix zu: (AT) T = A.

2) Der konstante Multiplikator ist für das Transpositionszeichen verantwortlich: (lÀ) T = lÀ T .

3) Umsetzung distributiv multiplizierter Zusatzmatrizen: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

Matrizen

Geben Sie für die Hautquadratmatrix A die Zahl |A| ein vyznachnik. Innodi Yoga wird mit dem Buchstaben D bezeichnet.

Tse є wichtig oben auf den niedrigen praktischen Aufgaben. Deutlich Yoga durch die Methode der Berechnung.

Für eine Matrix erster Ordnung її das einzelne Element |А| = D1 = a11.

Für eine Matrix anderer Ordnung її wird eine Zahl Signifikant genannt, da sie nach der Formel |А| berechnet wird \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Für eine Matrix A dritter Ordnung її wird die Zahl als Signifikant bezeichnet, da sie nach der Formel berechnet wird

Sie stellt die Summe der Algebra dar, die aus 6 Additionen besteht, in deren Haut genau ein Element aus der Hautreihe und Hautmatrixmatrix eingeht. Zum Auswendiglernen der Formel des Vyznachnik ist es üblich, die sogenannte Regel der Tricks oder die Regel von Sarrus zu beschleunigen (Abb. 6.1).

Auf dem kleinen 6.1 wird das Schema des Bösen gezeigt, wie man Elemente für Ergänzungen mit einem Pluszeichen auswählt, - der Gestank ist perebuvayut an der Kopfdiagonale und an den Spitzen der gleichschenkeligen Trikutniks und stellt sie parallel. Das Schema von zlіva vikoristovuєtsya für dodankіv zі Zeichen "Minus"; darauf wird der Stellvertreter des Kopfes diagonal zur sogenannten Seite genommen.

Die Anführer höherer Ordnungen werden rekursiv berechnet, tobto. Nachfolger vierter Ordnung durch Nachfolger dritter Ordnung, Nachfolger fünfter Ordnung durch Nachfolger vierter Ordnung usw. Um das Verfahren zu beschreiben, ist es notwendig, den Begriff des Minors dieses algebraischen Komplementärelements der Matrix einzuführen (es ist am wichtigsten, dass das Verfahren selbst, das weiter betrachtet wird, für die dritte und andere Ordnung geeignet ist).

Unerheblich M ij Element a ij Matrix der n-ten Ordnung heißt der Anfang der Matrix der (n-1)-ten Ordnung, entnommen aus der Matrix A und dem Matching der i Zeile i der j-ten Spalte.

Die Hautmatrix der n-ten Ordnung ist n2-kleiner in der (n-1)-ten Ordnung.

Algebraische Additionen Eine ij-Element-ij-Matrix der n-ten Ordnung heißt yogo minor und nimmt das zі-Zeichen (-1) (i + j) an:

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, das ist die Summe der Zahlen in der Zeile und der Spalte des Paares, і A ij \u003d -M ij, das nicht gepaart ist.

Zum Beispiel wie , dann ; und ETC.

Methode zur Berechnung des Hauptbetrags polygaє in der Offensive: Der Signifikant der quadratischen Matrix ist die Summe der Kreationen der Elemente in beliebiger Reihenfolge (stovptsya) bei ihren Ergänzungen zur Algebra weiter fortgeschritten:

(Aufbau gem i-te Elemente Reihen; );

(Das Layout für die Elemente der j-ten Spalte;).

Zum Beispiel,

Bezeichnend ist, dass am Anfang das Urmuster der Trikotmatrix weiter fortgeschritten ist als die Elemente der Kopfdiagonale.

Lassen Sie uns die Hauptbefugnisse der Magistrate formulieren.

1. Wenn es eine Reihe gibt oder wenn die Matrix nur aus Nullen besteht, dann ist der Schiedsrichter gleich 0 (es folgt der Methode von rozrahunka).

2. Wenn Sie alle Elemente einer Art Zeile (stowptsya) der Matrix mit derselben Zahl multiplizieren, wird dieselbe Zahl mit der ganzen Zahl multipliziert).

Hinweis: Für das Vorzeichen des Signifikanten können Sie den heißen Multiplikator der Zeile selbst verantwortlich machen (für das Vorzeichen der Matrix, für dessen Vorzeichen Sie den heißen Multiplikator der Elemente verantwortlich machen können). Zum Beispiel, , .

3. Wenn die Matrix її transponiert wird, ändert sich der Signifikant nicht: | EIN T | = | Ein | (Der Beweis wird nicht geführt).

4. Beim Umordnen der Abstände zweier Zeilen (stowptsiv) der Matrix ändert der Schiedsrichter das Vorzeichen des Proleges.

Um den Wert des Kolbens zu bestätigen, ist es akzeptabel, dass zwei aufeinanderfolgende Zeilen der Matrix neu angeordnet werden: i-te und (i + 1)-te. Für rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj-Matrix ich werfe, und für die neue Matrix (mit neu angeordneten Zeilen) - um (i + 1) - th (wie in niy ist es dasselbe, also bewegt es sich Element für Element). Wenn dann das andere Zeichen erweitert wird, ergänzt die Haut die algebraische Matima mit dem Vorzeichen, sodass (-1) nicht auf die Schritte (i + j), sondern auf die Schritte (i + 1 + j) reduziert wird. und in einer anderen Formel werden die Formeln nicht hinzugefügt. Auf diese Weise wird das Vorzeichen des Primaten zum Protil geändert.

Jetzt ist es akzeptabel, dass nicht die Höfe neu angeordnet werden, sondern zwei weitere Reihen, zum Beispiel i-te und (i + t)-te. Eine solche Permutation ist als nachträgliches Verschieben der i-ten Reihe um t Reihen nach unten und der (i + t)-ten Reihe - um (t-1) Reihen nach oben möglich. Für wen ändert sich das Vorzeichen des Primaten (t + t - 1) = 2t - 1 so oft, das heißt. ungepaarte Anzahl von Malen. Otzhe, lass die Reben den Rest ändern.

Eine ähnliche Spiegelung kann für stovptsiv geändert werden.

5. Wenn die Matrix zwei identische Zeilen (stowptsya) ersetzen soll, ist die nächste gleich 0.

Richtig, wenn dieselben Zeilen (stovptsі) durch Missionen neu angeordnet werden, wird diese Matrix selbst von denselben Ernannten weggenommen. Auf der anderen Seite, hinter den vorderen Yakistyu-Adern, können Sie das Symbol tobto ändern. D = -D D = 0.

6. Da die Elemente zweier Zeilen (stowptsіv) der Matrix proportional sind, ist die Zahl eins gleich 0.

Diese Leistung basiert auf der Vorwärtsleistung dieses Weins für den Bügel des Kopfmultiplikators (wenn der Wein für den Bügel des Proportionskoeffizienten in der Matrix die gleichen Reihen von Abo Stovpts sein wird, und als Ergebnis wird der Koeffizient mit Null multipliziert werden).

7. Die Summe der kreativen Elemente einer beliebigen Zeile (stowptsya) der Matrix bei der algebraischen Addition der Elemente der nächsten Zeile (stowptsya) derselben Matrix ist immer 0: für i ¹ j.

Um Leistung zu bringen, reicht es aus, die j-te Zeile in der Matrix A durch die i-te Zeile zu ersetzen. Es gibt zwei gleiche Zeilen in der verkürzten Matrix, zu denen der nächste Schiedsrichter gleich 0 ist. Auf der anderen Seite kann es aus den Elementen der j-ten Zeile berechnet werden: .

8. Der Index der Matrix ändert sich nicht, nur zu den Elementen der Zeile oder zur Matrix addieren Sie die Elemente der nächsten Zeile (stow), multipliziert mit der gleichen Zahl.

Richtig, lassen Sie mich die Elemente der i-ten Reihe ergänzen j-tes Element Zeilen multipliziert mit l. Todi-Elemente der neuen i-ten Reihe werden zu sehen sein
(a ik + la jk , "k). Lassen Sie uns das Vorzeichen des neuen Matrixlayouts nach den Elementen der i-ten Zeile berechnen (es ist wichtig, dass sich die algebraischen Additionen der її-Elemente dabei nicht ändern):

Wir haben es weggenommen, dass dieser Primat nicht wie der Primat der äußeren Matrix aussieht.

9. Signifikante Dobutku-Matrizen teurer Dobutku їх vyznachnіv: | AB | = | Ein | * |U| (Der Beweis wird nicht geführt).

Sie sahen sich weitere Autoritäten der Vysnachniks und Victoristen an, um ihre Berechnung zu verzeihen. Zzvichay namagayutsya perevorit Matrix zu einer solchen Form, shchob be-yaky stovpets oder eine Reihe von Rache yaknabіlshe Null. Es ist leicht, den nächsten Schiedsrichter für das Auslegen der ersten Reihe oder der anderen zu kennen.

Umkehrmatrix

Matrix A-1 wird aufgerufen reversibel nach dem Verhältnis zur quadratischen Matrix A, auch wenn die Matrix mit der Matrix A multipliziert wird, ist sie rechtshändig, also kommt die einfache Matrix heraus: A -1 * A = A * A -1 = E.

Daraus folgt, dass die umgekehrte Matrix eine quadratische Matrix der gleichen Ordnung wie die Matrix A ist.

Es ist ersichtlich, dass das Verständnis der Pivot-Matrix dem Verständnis der Pivot-Zahl ähnlich ist (die ganze Zahl, wenn sie mit einer gegebenen Zahl multipliziert wird, ergibt eins: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Schnurrbartzahlen, Crim Zero, können Zahlen umbrechen.

Um die Macht herauszufinden, was die quadratische Matrix der Rendite ist, ist es notwendig, den Schiedsrichter zu kennen. Wenn die Matrix gleich Null ist, wird eine solche Matrix aufgerufen virogen, oder besonders.

Notwendig genug Verstand Die Grundlage der Serummatrix: Die Serummatrix ist die gleiche und nur, wenn die nicht-virogene Matrix nicht verwendet wird.

Wir bringen den Bedarf. Die Matrix sei dann die umgekehrte Matrix A -1. A -1 * A \u003d E. Todi | EIN -1 * EIN | = | A-1 | * |A| = | E | = 1. Später,
|A| ¹0.

Wir bringen Suffizienz. Um es zur Sprache zu bringen, ist es notwendig, einfach die Methode zur Berechnung der Serummatrix zu beschreiben, die immer für die nicht-jungfräuliche Matrix durchgeführt werden kann.

Otzhe, komm schon | Ein | ¹ 0. Transponieren Sie die Matrix A. Für das Hautelement А Т Kommen Sie(Gegenseitig, verbündet):.

Wir kennen die Realität der empfangenen Matrix und der Ausgabe. Wegbringen . In dieser Reihenfolge ist die Matrix diagonal. Auf der її-Kopfdiagonale befinden sich die Vorzeichen der Ausgangsmatrix, und die Linien der Elemente sind Nullen:

Genauso kann man das zeigen.

Wenn Sie alle Elemente der Matrix in |A| teilen, dann nehmen Sie die einzelne Matrix E weg.

So ein Rang , dann. .

Wir bringen die Einheit der Pivot-Matrix. Nehmen wir an, die Hauptumkehrmatrix für A, der Standardwert ist A -1 . Deutlich її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Einigkeit gebracht.

Auch der Algorithmus zur Berechnung der Pivot-Matrix setzt sich aus den nächsten Schritten zusammen:

1. Kennen Sie den Schiedsrichter der Matrix | Ein | . Yakscho |A| = 0, dann ist die Matrix A ein Virogen und die umgekehrte Matrix kann nicht bekannt sein. Yakscho |A| ¹ 0, dann weiter zur Stufenhäkelarbeit.

2. Förderung der Umsetzung der AT-Matrix.

3. Kenne die algebraischen Komplementärelemente der transponierten Matrix und induziere die gegebene Matrix.

4. Berechnen Sie die Wrapped-Matrix, indem Sie die empfangene Matrix in |A| dividieren.

5. Es ist möglich, die Korrektheit der Berechnung der Pivot-Matrix korrekt auf den Punkt umzukehren: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Lassen Sie uns die Nummer eins der Matrix hinter der Trickregel wissen:

Überspringen wir das Umschreiben.

Sie können die folgenden Matrizen an die Macht bringen:

1) | A-1 | = 1 / | Ein |

2) (A-1)-1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Matrix-Rang

Kleinere k-te Ordnung zu einer Matrix mit m x n Dimensionen, um den Signifikanten einer quadratischen Matrix der k-ten Ordnung zu nennen, wie er aus der Matrix A genommen wird, um zuzuordnen, ob es Zeilen und Spalten gibt.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Moll-Ordnung die kleinere tobto nicht überwiegt. k £ min (m; n). Beispielsweise ist es möglich, aus Matrizen A 5x3 quadratische Untermatrizen der ersten, anderen und dritten Ordnung zu entfernen (es ist möglich, die Nebenordnungen zu erweitern).

Rang Name der Matrizen Ordnung finden in Form von Nullen in den Minoren der Matrix (geben den Bereich A oder r(A) an).

Wow

1) Der Rang der Matrix wird aus dem kleinsten s її razmiriv, tobto ausgewählt.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 und dann, wenn die Matrix Null ist (alle Matrixelemente gleich Null), dann. r(A) = 0 A = 0;

3) für eine quadratische Matrix n-ter Ordnung, r(A) = n und dann, wenn die Matrix A nicht virogen ist, dann. r(A) = n | | ¹0.

In der Tat, für wen es ausreicht, mehr als einen solchen Minderjährigen zu berechnen (denjenigen, der von der Auferstehung der dritten Spalte weggenommen wurde (weil es in der Rescht eine dritte Spalte von Null geben wird, und dazu wird der Gestank hinzugefügt bis Null).

Hinter der Trikotregel = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Shards aller Minoren dritter Ordnung sind null, r(A) £ 2. Shards haben einen von Null verschiedenen Minor einer anderen Ordnung, zum Beispiel,

Es liegt auf der Hand, dass die von uns akzeptierten Vikoristani (ein Blick auf die verschiedenen Minoritäten) nicht für den höheren Rang in den komplexeren Tendenzen durch große Arbeit geeignet sind. Lassen Sie das Zeichen des Rangs der Matrix siegreiche Transformationstaten erklingen, wie sie rufen elementar:

eines). V_dkidannya Nullzeilen (stovpts_v).

2). Wiedergabe aller Elemente einer Zeile oder einer Matrix durch eine Zahl, wobei Null nicht mitgezählt wird.

3). Ändern der Reihenfolge der Zeilen (stovptsiv) der Matrix.

vier). Ein Zusatz zum Skin-Element einer Reihe (stovptsya) der zweiten Reihe (stovptsya), multipliziert mit einer Zahl.

5). Transponieren.

Da die Matrix A durch elementare Transformationen aus den Matrizen B genommen wird, heißen diese Matrizen gleichwertig Ich bezeichne A~B.

Satz. Elementare Transformationen der Matrix ändern den Rang nicht.

Der Beweis des Satzes ergibt sich aus der Dominanz der Matrix. Bei diesen Transformationen werden nämlich die quadratischen Matrizen entweder gespeichert oder mit einer Zahl ungleich Null multipliziert. Durch den Krieg bleibt nämlich die größte Ordnung der führenden Nullen der Minoren der äußeren Matrix von selbst übrig. її Rang wird nicht geändert.

Zur Hilfe elementarer Transformationen wird die Matrix auf den sogenannten Stepwise-Look gebracht (überarbeitet Schrittmatrix), dann. Es wird angenommen, dass die äquivalente Matrix unter der Kopfdiagonale nur Nullelemente hatte und die Kopfdiagonale Elemente ungleich Null hatte:

Der Rang der Schritt-Frequenz-Matrix ist gleich r, die Oszillatoren der querverwiesenen Werte daraus, ausgehend von der (r + 1)-ten und weit entfernten, ist es möglich, die r-te Ordnung zu nehmen Dreiwährungsmatrix, der Schiedsrichter, der die Form Null hat, die Oszillatoren sind von nicht-nullter Ordnung, ungleich Null):

Hintern. Finde den Rang einer Matrix

eines). Wenn eine 11 \u003d 0 ist (wie in unserem Fall), dann ist es durch Neuanordnung der Zeilen und stovptsіv erreichbar, dass eine 11 ¹ 0 ist. Hier erinnern wir uns an die 1. und 2. Zeile der Matrix:

2). Ist es jetzt 11? 0. Elementare Transformationen Dob'єmosja, shchob shta elementіv beim ersten stovptsi doіvnyuvali null. Die andere Reihe hat eine 21 = 0. Die dritte Reihe hat eine 31 = -4. Schluchzen (-4) steht 0, fügt der dritten Reihe die erste Reihe hinzu, Multiplikationen mit 2 (tobto mit (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Fügen Sie in ähnlicher Weise zur vierten Reihe die erste Reihe hinzu (Multiplikationen mit eins, dann mit (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). In der subtraktiven Matrix a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, dann können Sie die Zeilen wieder neu anordnen). Stellen wir sicher, dass die Diagonalen unter der anderen Seite Null waren. Fügen Sie für die 3. und 4. Reihe eine weitere Reihe hinzu, Multiplikationen mit -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

vier). In der abgekürzten Matrix sind zwei verbleibende Zeilen Null und їх kann weggelassen werden:

Die Stufenmatrix wurde entfernt, die in zwei Reihen gefaltet ist. Außerdem ist r(A) = 2.

Tse Verständnis, scho zagalnyu є alle möglichen Operationen, yakі viroblyayutsya mit Matrizen. Mathematische Matrix - Elementtabelle. Über einen solchen Tisch, de m rowkіv ta n stoptsіv, es scheint, dass die Matrix rozmirnіst sein kann m auf der n.

Der helle Look der Matrix:

Zum Lösungsmatrix Es ist notwendig zu verstehen, was die Matrix ist, und die Hauptparameter zu kennen. Die Hauptelemente der Matrix:

• Kopfdiagonale, die aus Elementen zusammengesetzt ist a 11, a 22 ..... a mn.
• Seitendiagonale, die aus Elementen zusammengesetzt ist ein 1n, ein 2n-1 …..ein m1.

Haupttypen von Matrizen:

• Square - eine solche Matrix, de Zeilenanzahl = Spaltenanzahl ( m=n).
• Null - alle Matrixelemente = 0.
• Transponierte Matrix - Matrix Bei, Yak Bula Otrimana aus der externen Matrix EIN Ersetzen Sie die Reihen auf den Säulen durch einen Pfad.
• Allein - alle Elemente der Kopfdiagonale = 1, Linie = 0.
• Eine umgekehrte Matrix ist eine Matrix, wenn sie mit einer umgekehrten Matrix multipliziert wird, ergibt sie eine einzelne Matrix als Ergebnis.

Die Matrix kann sowohl zu den Kopf- als auch zu den Seitendiagonalen symmetrisch sein. Tobto, Yakscho eine 12 = eine 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... ein m-1n = ein mn-1 dann ist die Matrix entlang der Hauptdiagonalen symmetrisch. Mehr als quadratische Matrizen können symmetrisch sein.

Methoden der Rozvyazannya-Matrizen.

Mayzhe alle Methode der Matrixtransformation liegen am berühmten її vyznachnik n Auftrag und mehr davon umständlich zu erledigen. Um die Primaten der 2. und 3. Ordnung zu kennen, gibt es andere, rationalere Wege.

Znakhodzhennya vyznachnikі in der 2. Ordnung.

Für die Berechnung der Matrix ABER 2. Ordnung, ist es für die Erstellung von Elementen in der Kopfdiagonale erforderlich, zusätzliche Elemente in der Seitendiagonale hinzuzufügen:

Erkenntnismethoden 3. Ordnung.

Nachfolgend die Regeln für die Kenntnis der 3. Ordnung.

Die Trikutnik-Regel wurde wie eine vereinfacht Cherry-Matrix-Methoden, lässt sich wie folgt darstellen:

Mit anderen Worten, der Empfang von Elementen vom ersten Arbiter, als ob sie direkt wären, wird mit dem Zeichen "+" genommen; einfach so, für den 2. Sachbearbeiter - die wichtigsten Kreationen werden mit dem Zeichen "-" übernommen, also für ein solches Schema:

Bei Lösen von Matrizen nach der Sarrus-Regel, rechtshändig, in Richtung des Unterzeichners, fügen Sie die ersten 2 Spalten hinzu und erstellen Sie die wichtigsten Elemente auf der Kopfdiagonale und auf den Diagonalen, wie der i-ten Parallele, nehmen Sie die 3 mit einem "+" -Zeichen; aber erstellen Sie zwei Elemente von Seitendiagonalen und Diagonalen, wie Parallelen, mit dem Zeichen "-":

Razkladannya vyznachnik in der Reihenfolge der Anzahl der stovptsyu pіd-Stunden vіrіshennya-Matrizen.

Der Vyznachnik ist eine bessere Summe der Kreationen der Elemente einer Reihe des Vyznachnik auf ihren Algebraanhängen. Rufen Sie auf, um diese Reihe / Stovpets auf eine Weise auszuwählen, die Null ist. Als Pfeil wird eine Reihe oder eine Reihe bezeichnet, nach der das Layout durchgeführt wird.

Bringt den Primaten zur Stunde der Kirschmatrizen in einen Trikot-Look.

Bei Lösungsmatrix Mit der Hilfe, den Primaten in einen Trikot-Look zu bringen, üben Sie wie folgt: Mit Hilfe der einfachsten Transformationen über den Gesangsreihen wird der Primat zu einem Trikot-Look und der gleichen Bedeutung, anscheinend zur Macht des Primaten, zu Dobutku-Elementen , wie auf dem Kopf diagonal zu stehen.

Satz von Laplace für die Perfektion von Matrizen.

Wenn man die Matrizen hinter dem Satz von Laplace sieht, ist es notwendig, den Satz selbst ohne Mittelweg zu kennen. Satz von Laplace: Komm schon Δ - tse vyznachnik n te Bestellung. Vibiraemo im neuen be-yakі k rowkiv (abo stovptsiv), für den Verstand k≤ n - 1. Eine solche Zeit hat eine Summe von Werken k Befehl, was die Auserwählten zu rächen k Zeilen (stowptsyah), über ihre algebraischen Ergänzungen zum Vyznachnik.

Virishennya-Matrix.

Folge für Lösung der Serummatrix:

1. Verstehe, dass eine quadratische Matrix gegeben ist. In Zeiten negativer Meinung wird deutlich, dass die Speichelmatrix nicht sein kann.
2. Additionen zur Algebra berechnen.
3. Wir schaffen eine verbündete (wechselseitig kommende) Matrix C.
4. Hinzufügen einer umgekehrten Matrix mit Zusätzen zur Algebra: alle Elemente der gegebenen Matrix C dilimo auf der Kolbenmatrix. Die Teilsummenmatrix ist eine zufällig definierte Pivot-Matrix.
5. Wir überprüfen den Vikonan-Roboter: Wir multiplizieren die Matrix der Postleitzahl und die Matrix der Matrix, das Ergebnis kann eine einzelne Matrix sein.

Virishennya-Systemmatrizen.

Zum Lösungen für Matrixsysteme Die gebräuchlichste Methode ist die Gauß-Methode.

Die Gauß-Methode ist die Standardmethode zum Ableiten von Systemen linearer Ausrichtungen der Algebra (SLAE) und vin polygaє, da Änderungen nacheinander eingeschaltet werden, sodass für zusätzliche elementare Änderungen das Ausrichtungssystem auf das Äquivalent (hinter die Nummer) kennen das Skin-Element des Systems.

Gaus-Methodeє das universellste und beste Werkzeug zum Lösen von Matrizen. So wie das System eine unpersönliche Lösung hat oder das System nicht summarisch ist, dann ist es unmöglich, die Cramersche Regel und die Matrixmethode zu verletzen.

Das Gauß-Verfahren zum Übertragen ist auch direkt (Reduzieren der erweiterten Matrix auf ein abgestuftes Aussehen, so dass Nullen unter der Kopfdiagonale entfernt werden) und umgekehrt (Nullen werden über der Kopfdiagonale der erweiterten Matrix entfernt). Direkte Überschrift ist die Gauß-Methode, umgekehrt - die Gauß-Jordan-Methode. Die Gauss-Jordan-Methode ähnelt der Gauss-Methode, mit Ausnahme der Reihenfolge der Änderungen.

Termin 1. Matrix A für die Weltm n heißt eine rechteckige Tabelle mit m Zeilen und n Spalten, die mit Zahlen oder anderen mathematischen Variablen (Rängen von Matrixelementen) aufsummiert wird, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, oder

Termin 2. Zwei Matrizen
і
heißen gleich groß gleich, die elementweise sortiert sind, d.h. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Für zusätzliche Matrizen ist es einfach, die Urkunden der Wirtschaftseinlagen aufzuschreiben, zum Beispiel Tabellen zur Verteilung der Ressourcen nach den Urkunden der Wirtschaft.

Termin 3. Somit ist die Anzahl der Zeilen in der Matrix zbіgaєtsya von її stovptsіv, also. m = n, dann heißt die Matrix quadratische Reihenfolgen, und in einem anderen Licht geradlinig.

Termin 4. Übergang von Matrix A zu Matrix A t, in der Zeilen und Spalten durch Orte aus der Sparordnung erinnert wurden, heißen sie Umsetzung Matrizen.

Siehe Matrix: quadratisch (Größe 33) -
,

gerade (Größe 25) -
,

diagonal -
, Single -
, Null -
,

Matrix-Zeile -
, Matrix-Stowpets -.

Termin 5. Elemente einer quadratischen Matrix der Ordnung n mit gleichen Indizes heißen Elemente der Kopfdiagonale, d.h. CE-Elemente:
.

Termin 6. Elemente einer quadratischen Matrix der Ordnung n werden Elemente einer Seitendiagonale genannt, da ihre Indizes n + 1 sind, das heißt. Elemente: .

1.2. Operationen auf Matrizen.

1 0 . Sumoyu zwei Matrizen
і
derselben Größe heißt Matrix С = (ç ij), deren Elemente gleich ij = a ij + b ij sind (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… ,n).

Die Macht der Operation von Faltmatrizen.

Für be-yakah Matrizen A, B, C ein rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (Kommutativität),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (Assoziativität).

2 0 . Tvorom Matrizen
pro Zahl  Matrix genannt
von der gleichen Dimension wie i ist Matrix A, außerdem b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Die Macht der Operation, eine Matrix mit einer Zahl zu multiplizieren.

(А) = ()А (Multiplikator-Assoziativität);

(А+В) = А+В (Distributivität der Multiplizität zufällig gefalteter Matrizen);

(+)А = А+А (Verteilbarkeit der Multiplikation zufällig gefalteter Zahlen).

Termin 7. Linearkombination von Matrizen
і
die gleiche Größe wird in der Form A + B, de  und  genannt - ausreichende Anzahl.

3 0 . Dobutcom A  Matrizen Ein і vіdpovіdno razmіrіv mn і nk wird als Matrix 3 expіrum mk bezeichnet, so dass das Element z ij die Summe der kreativen Elemente in der i-ten Zeile der Matrix A in der j-ten Spalte ist der Matrix B, tobto. h ij = ein ich 1 b 1 j + ein ich 2 b 2 j + ... + ein ik b kj .

Nur in diesem Fall wird Dobutok AB verwendet, da die Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Anzahl der Zeilen der Matrix variiert.

Die Macht der Operation der Multiplikation von Matrizen:

(АВ)С = А(ВС) (Assoziativität);

(А+В)С = АС+ВС (Verteilbarkeit zufällig gefalteter Matrizen);

А(В+С) = АВ+АС (Verteilbarkeit zufällig gefalteter Matrizen);

АВВА (nicht kommutativ).

Termin 8. Die Matrizen A und B, für die AB = BA, heißen Pendeln oder Pendeln.

Die Reproduktion einer quadratischen Matrix, egal in welcher Reihenfolge auf einer anderen Einzelmatrix, ändert die Matrix nicht.

Termin 9. Elementare Transformationen Matrizen heißen solche Operationen:

Ersetzen von zwei Zeilen (stovptsiv) durch die Missionen.

Reproduktion des Hautelements einer Zeile (stovptsya) durch eine Zahl ungleich Null.

Ergänzung der Elemente einer Reihe (stowptsya) der Elemente der zweiten Reihe der nächsten Reihe (stowptsya).

Termin 10. Matrix, otrimana aus Matrizen und zur Hilfe elementarer Transformationen wird genannt gleichwertig(signiert BA).

Hintern 1.1. Kennen Sie die Linearkombination der Matrizen 2A-3B, wie

,
.

,
,

.

Hintern 1.2. Doboot-Matrix kennen
, wie

.

Lösung: Die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix wird von der Anzahl der Zeilen in einer anderen Matrix geändert, dann wird die zusätzliche Matrix verwendet. Als Ergebnis nehmen wir eine neue Matrix
, de

Als Ergebnis nehmen wir
.

Vortrag 2. Ernannte. Berechnung der Vyznachniki in einer anderen, dritten Ordnung. Die Macht der Ernanntennte Bestellung.