Независимост на криволинейния интеграл върху контура. Измийте независимостта на криволинейния интеграл от втори род по пътя на интегрирането. Измийте независимостта на криволинейния интеграл в посока на интегриране

2-ри вид начин на интеграция

Нека разгледаме криволинейния интеграл от 2-ри вид, където L е крива, която свързва точките M и N. Нека функциите P(x, y) и Q(x, y) могат да се движат непрекъснато частно в реалната област D, в която повърхност лежи крива L. Показателно е, че в някои анализи криволинейният интеграл не може да бъде депозиран във формата на кривата L, само точките M и N са разширени.

Начертаваме две допълнителни криви MSN и MTN, които лежат в разстоянието D и свързват точките M и N (фиг. 14).

Да кажем какво, tobto

de L - затворен контур, сгъване от MSN и NTM криви (също така, може да се добави още). По този начин независимостта на ума от криволинейния интеграл от 2-ри род по пътя на интегриране е равна на ума, че такъв интеграл зад всеки затворен контур е равен на нула.

Теорема 5 (теорема на Грийн). Дайте във всички точки на реалната област D функциите P(x, y) и Q(x, y) и техните частни преходи. Тогава, за да има затворен контур L, който лежи в областта D

необходими и достатъчни за всички точки на района Г.

Привеждане.

1) Просперитет: пуснете ума си = vikonano. Нека да разгледаме по-затворен контур L на областта D, която обгражда областта S, и да напишем формулата на Грийн за новата:

Otzhe, достатъчно донесе.

2) Необходимост: да кажем, че умът е вписан в точката на кожата на зона D, но ако искате да намерите една точка в центъра на зоната, в която -? 0. Хайде, например, в точката P(x0, y0) може би: - > 0. Значи, тъй като лявата част на нервността има непрекъсната функция, ще бъде ли положителна и по-голяма за един ден? > 0 в deakіy малък регион D`, за да отмъсти за точката P. Otzhe,

Разглеждането на формулата на Грийн е от съществено значение

de L` - контурът, който огражда площта D`. Tsey резултат superchit ум. Също така, = във всички точки на регион D, което беше необходимо да се донесе.

Уважение 1. По подобен начин, за триви-световно пространство, човек може да донесе необходимите и достатъчни умове на независимостта на криволинейния интеграл

в посока на интеграция е:

Забележка 2. Когато vykonanní умове (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz е горен диференциалдействителна функция. Това ви позволява да изчислите изчислението на криволинейния интеграл до определената стойност на разликата и в крайните и зърнените точки на контура на интегриране, мащабиране

За коя функция i може да се знае от формулата

de (x0, y0, z0) - точката на областта D, а C - стана достатъчно. Наистина е лесно да се обърка, че частните функции, дадени с формула (53), са равни на P, Q и R.

дупе 10.

Изчислете криволинейния интеграл от 2-ри род

по пълната крива, която свързва точките (1, 1, 1) и (2, 3, 4).

Нека да продължим, какво мислят vicons (52):

Otzhe, функцията е налице. Познаваме я зад формула (53), като зададем x0 = y0 = z0 = 0. Тогава

В този ранг функцията и се определя с точност до достатъчна публикуваща доданку. Да приемем, че Z = 0, тогава u = xyz. Отже,

Нека разгледаме криволинейния интеграл

като след деак с плоска крива Л, който свързва точките Мі н. Да приемем, че функциите P(x, y)і Q(x, y)може да има непрекъснати частни празници в района, който можете да видите д. Разбира се, за такива умове на писане криволинейният интеграл не може да лежи под формата на крива Л, и да се отлага само в позицията на кочана и крайната точка Мі н.

Нека разгледаме още две криви MPNі MQN, който се намира близо до откритата площ ди свързващи точки Мі н. Хайде

(1)

Тогава на базата на степени 1 и 4 криволинейните интеграли могат да бъдат:

тобто. интеграл със затворен контур Л

В останалата част от формулата, криволинейният интеграл на вземания по затворен контур Лсгънати от криви MPNі NQM. Tsey контур Лможете, очевидно, да vvazhati dovilnym.

В този ранг, имайте предвид:

така че за всеки две точки M и N криволинейният интеграл не лежи под формата на крива, а само във формата на крива, но лежи само в позицията на тези точки, следващи, Какво криволинейният интеграл зад всеки затворен контур е равен на нула .

Справедлив и зъл висновок:

ако криволинейният интеграл зад всеки затворен контур е равен на нула, тогава този криволинеен интеграл не може да лежи под формата на крива, която е между две точки, и лягат само в лагерите на цих точка . Вярно е, scho на еквивалентност (2) изобилна еквивалентност (1)

Теорема

Нека функциите P(x, y), Q(x, y) се използват във всички точки на деако региона D наведнъж със собствен частен и без прекъсване. След това, за да има криволинейни интеграли зад всеки затворен контур L, който лежи в центъра на стаята, достигайки нула, тогава. шоб

(2΄)

необходимо и достатъчно vikonannya еквивалентност

във всички точки на зона D.

Привеждане

Нека разгледаме по-отблизо затворената верига Лв региона ди за новия записваме формулата на Грийн:

Ако умът победи (3), тогава подценения интеграл, който струва зло, също е равен на нула i, тогава,

по такъв начин, достатъчностизмиване (3) донесено.

Нека го донесем сега необходимостум, тобто. възможно е равномерността (2) да е победител за всяка затворена крива Лв региона д, тогава в кожната точка на региона умът е победител (3).

Приемливо е, от друга страна, че ревността (2) печели, tobto.

и Umov (3) не печели, tobto.

горещ би в една точка. Хайде, например, пеещата точка може да е нервна

Тъй като лявата част на нервността има непрекъсната функция, тя ще бъде положителна и повече от определен брой във всички точки, за да достигне малка област, за да отмъсти за точката. Vіzmemo podvіyny іntegrа іn іy galluzі víd raznitsi. Vin matime има положително значение. Вярно,

Зад формулата на Грийн лявата част на останалата неравномерност е по-близо до криволинейния интеграл върху междурегиона, който зад допустимите стойности е по-близо до нула. Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat умове (2), otzhe, pripuschennya, scho на vіdminu от нула, които искат да бъдат в една точка, не така. Звучи крещящо, какво

във всички точки д.

Otzhe, теоремата отново е завършена.

В часа на сватбата на диференциалните равни се припомни

е еквивалентен на факта, че вираз pdf + Qdyе последният диференциал на текущата функция u(x, y), тогава.

Ale в tsomu vipadku вектор

е градиентна функция u(x, y);

функция u(x, y), градиентът е подобен на вектора потенциалкой вектор.

Уведомете ни това който има криволинеен интеграл Зад всяка крива L, която свързва точките M и N, разликата между стойностите на функцията i в тези точки:

Привеждане

Якщо Рdx + Qdyе горният диференциал на функцията u(x, y), тогава ще разгледам криволинейния интеграл

За изчисляването на този интеграл записваме параметричното подравняване на кривата Л, който свързва точките Мі н:

Viraz, какво да стои в храмовете, функция в T, което е напълно подобна функция според T. Том

Yak mi bachimo, криволинейният интеграл под формата на непрекъснат диференциал не може да лежи под формата на крива, за което е необходимо интегриране.

По този начин:

имайте предвид независимостта на криволинейните интеграли от втори родформира начина на интеграция по този начин:

Yakshcho в deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) без прекъсванезаедно със собственото им аз, тогава:

1. в района D не лъжат във форматаначини на интеграция, yakscho yogo, което означава зад shmatkovo-плавна крива, scho да лежи в tsіy galuzі и мама zagalny cob и zagalny kínets въпреки това.

2. интегрален въздовж е като затворена крива Л, който се намира в обл D е равно на нула.

3. Основна функция u(x, y), за yakoї viraz pdx+qdyИснуе povny диференциал, тогава.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

в кожната точка на зоната д.

За изчисляване на интеграла, за да не попадне в контура на интегрирането

след това изберете като най-навигационен път на интегриране на ламана, че свързващите точки и ланките са успоредни на осите Ox и Oy.

Пидинтеграл Вираз P(x, y)dx + Q(x, y)dyза назначаване на умове горен диференциалактьорски функции u = u(x, y)тобто.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

функция u(x, y)(оригинал) можете да знаете как да изчислите най-често срещания криволинеен интеграл от lamania de - било то фиксирана точка, B(x, y) – променяща се точка, а точката е максималната координата хче . Todi vzdovzh maєmo това dy = 0, и vzdovzh maєmo x = constі dx = 0.

Да вземем тази формула:

По същия начин, интегриране на lamanoy de otrimaemo

Приложи

1. Изчисли

Този интеграл трябва да се депозира по интеграционния контур, т.к

Избираме като начин за интегриране на ламана, линиите да са успоредни на координатните оси. На първия клон:

На друго място:

Отже,

2. Знайте първо u, като

Хайде и контур Предие ламана OMN. Тоди

3. Знайте, yakscho

Тук е невъзможно да се вземе кочанът на координатите, защото в тази точка на функция P(x, y)і Q(x, y)не е присвоено, за това го приемаме за точка, например. Тоди

4. Познайте района, заобиколен от елипси

Площта на фигурата, разрошена в областта КАК и заобиколена от затворена линия C, се изчислява по формулата

de contour Z се заобикаля в положителна посока.

Нека превърнем криволинейната интегра в песен, създавайки промяна

Параметър Tпредаване на стойности от 0 до 2?

Такъв ранг

3. Най-високият криволинеен интеграл по дължината на дъгата Л yakscho Л– карфиол циклоид

ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КРИВОЛИНИЕН ИНТЕГРАЛ“

Опция 1

De L е триъгълник от правата линия на точката A(0;-2) и B(4;0), лежащ на равнината XOY.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

Зад координатите, тъй като L е дъгата на елипсата, която лежи в първата четвърт.

De L е контурът на трико с върхове A(1,1), B(2,2), C(1,3). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

и да познаваш йога.

7. Силовото поле се създава от силата F(x, y), което позволява повече точки да бъдат фиксирани в кочана от координати и насочени към кочана от координати. Да знае на робота силата на полето, приложено към преместването на материалната точка от единична маса по дъгата на параболата y2 = 8x от точка (2; 4) до точка (4; 4).

Вариант 2

1. Изчислете криволинейния интеграл по ръба на дъгата (декартови координати).

De L е свиване на права точка, която свързва O (0; 0) и A (1; 2).

2. Изчислете криволинейния интеграл където L е параболична дъга от точка A(-1;1) до точка B(1,1). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

3. Изчислете криволинейния интеграл yakscho L - дъгов кол какво се намира в 1 и 2 квадрата. Заобикаляйте контура зад стрелката на годината.

4. Zastosovuyuchi формула на Грийн, изчислете интеграла, de L - контура, решенията на линията и противоположната ос OX при заобикаляне на контура на анти-Godinnikov стрелка.

5. Установете как независимостта на ума на интеграла се изчислява в посока на интегриране за интеграла и да познаваш йога.

6. Прегледайте, чи е задачи с нов диференциал на функцията U(x, y) и я познавайте.

7. В скин точката на силовото поле силата може да бъде директно отрицателна и равна на квадрата на абсцисата на програмната точка. Да се знае полето за робота при преместване на единична параболична маса от точка (1,0) до точка (0,1).

Вариант 3

1. Изчислете криволинейния интеграл по ръба на дъгата (декартови координати).

1. de L - дъгата на параболата се вижда от параболата.

2. Изчислете криволинейния интеграл yakscho L-проводник е права линия, свързваща точки A(0,1), B(2,3). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

3. Изчислете криволинейния интеграл като L е дъгата на първата дъга на циклоидата. Заобикаляйте контура зад стрелката на годината.

4. Zastosovuyuchi формула на Грийн, изчислете интеграла de L – elíps Obkhіd контур на стрелата на анти-godinnikov.

6. Прегледайте, чи е задачи с нов диференциал на функцията U(x, y) и я познавайте.

7. Изчислете силата на робота и часа на движение на материалната точка на горната половина на елипсата от точка A (a, 0), точка B (-a, 0).

Вариант 4.

1. Изчислете криволинейния интеграл по ръба на дъгата (декартови координати).

1. de L - очертание на квадрат

2. Изчислете криволинейния интеграл където L е дъгата на параболата на точката А(0,0), до точката (1,1). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

3. Изчислете криволинейния интеграл yakscho L - горната половина на елипсата Заобикаляйте контура зад стрелката на годината.

4. Използвайки формулата на Грийн, изчислете интеграла de L - контура на трико с върхове A (1; 0), B (1; 1), C (0.1). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

6. Прегледайте, чи е задачи с нов диференциал на функцията U(x, y) и я познавайте.

7. Сила се прилага в точката на кожата на кол, с проекции върху координатната ос є Задайте силата на робота за часа на преместване на материалната точка по протежение на кол. Защо роботът струва нула?

Вариант 5.

1. Изчислете криволинейния интеграл по ръба на дъгата (декартови координати).

De L - права линия, която свързва точките 0 (0.0), і A (4; 2)

2. Изчислете криволинейния интеграл като L е дъгата на извитата точка, която преминава от A(0.1) до точка B (-1,e). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

3. Изчислете криволинейния интеграл като L - 1 четвърт от залога Заобикаляйте контура зад стрелката на годината.

4. Zastosovuyuchi формула на Грийн, изчислете интеграла de L - контур, обкръжение и заобикаляне на контура на противоположната стрелка.

6. Прегледайте, чи е задачи с нов диференциал на функцията U(x, y) и я познавайте.

7. Полето е създадено със сила // = прав начин за задаване на разреза от радиуса на правата линия - векторът на точката й zastosuvannya. Да се знае полето за робота, когато материалната точка с маса m се премести зад дъгата на кол от точка (a, 0) до точка (0, a).

Вариант 6

1. Изчислете криволинейния интеграл по ръба на дъгата (декартови координати).

De L - една четвърт от залог, който се намира в I квадрант.

2. Изчислете криволинейния интеграл якчо L - ламан ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

3. Изчислете криволинейния интеграл като L е горната половина на залога Заобикаляйте контура зад стрелката на годината.

4. Използвайки формулата на Грийн, изчислете интеграла de L - контура, околностите, заобикаляйки контура на стрелката на анти-godinnikov.

6. Прегледайте, чи е задачи с нов диференциал на функцията U(x, y) и я познавайте.

7. Познайте работата на силата на пружината, директно върху кочана от координати, тъй като точката на стагнация на силата описва противоположната стрелка на четвъртината на елипсата какво се намира в I квадрант. Големината на силата е пропорционална на разстоянието на точката до кочана от координати.

Вариант 7.

1. Изчислете криволинейния интеграл по ръба на дъгата (декартови координати).

De L - част от параболата от точка (1, 1/4) до точка (2; 1).

2. Изчислете криволинейния интеграл de L - връх на правата линия, която свързва точките B (1; 2) и B (2; 4). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

3. Изчислете криволинейния интеграл като L - първата дъга на циклоидата По контура зад годишната стрелка.

6. Прегледайте, чи е задачи с нов диференциал на функцията U(x, y) и я познавайте.

7. Материалната точка на единична маса се движи по колчето под посоката на силата, чиито проекции са върху координатната ос . Индуцирайте силата на кочана на кожата. Познайте работата на контура.

Вариант 8.

1. Изчислете криволинейния интеграл по ръба на дъгата (декартови координати).

De L - контур на правоъгълник с върхове в точки 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Изчислете криволинейния интеграл, например L е дъгата на параболата от точка A (0; 0) до точка B (1; 2). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

3. Изчислете криволинейния интеграл yakscho L - част от кол 1. Заобиколете контура зад годишната стрелка.

4. Zastosovuyuchi формула на Грийн, изчислете интеграла de L - контурът на трико с върхове A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

5. Инсталирайте, чи vykonuetsya ума независимост на интеграла в начина на интеграция за интеграла и знаят йога.

6. Прегледайте, чи е задачи с нов диференциал на функцията U(x, y) и я познавайте.

7. Материалната точка се движи по елипса pіd dієyu сила, чиято стойност е най-скъпата точка към центъра на елипсата и се изправя към центъра на елипсата. Изчислете силата на робота, като точка за заобикаляне на целия елипс.

Вариант 9.

1. Изчислете криволинейния интеграл по ръба на дъгата (декартови координати).

De L - дъгата на параболата, която лежи между точките

A , (2; 2).

2. Изчислете криволинейния интеграл където L е стеснение на права линия, която свързва точките A (5; 0) и B (0.5). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

3. Изчислете криволинейния интеграл, като L - дъгата на елипсата между точките, която ще показва обиколката на контура зад стрелката за годината.

4. Използвайки формулата на Грийн, изчислете интеграла de L - около контура на стрелката на брояча.

6. Прегледайте, чи е задачи с нов диференциал на функцията U(x, y) и я познавайте.

7. В кожната точка на кривата се прилага сила, чиито проекции върху координатните оси показват работата на силата, когато материалната точка на единична маса се премества по кривата от точката M (-4; 0) до точка N (0; 2).

Вариант 10.

1. Изчислете криволинейния интеграл по ръба на дъгата (декартови координати).

De L - права линия, която свързва точки А

2. Изчислете криволинейния интеграл, например L е дъгата на кривата от точка A(1;0) до B(e,5). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

3. Изчислете криволинейния интеграл като L е дъгата на залога какво се намира на 1U квадрат. Заобикаляйте контура зад стрелката на годината.

4. Използвайки формулата на Грийн, изчислете интеграла de L - контура на трико с върхове A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Заобикаляйте контура на стрелката против година.

6. Прегледайте, чи е задачи с нов диференциал на функцията U(x, y) и я познавайте.

7. Сила е приложена към повърхностната точка на линията, чиито проекции са върху координатната ос. Изчислете робота, засегнат от силата, когато материалната точка се премести по правата от M (1; 0) до точка N (0; 3).

Лекция 4

Тема: Формула на Грийн. Изчистете независимостта на криволинейния интеграл в начина на интегриране.

Формулата на Грийн.

Формулата на Грийн установява връзка между криволинейния интеграл върху затворен контур Г на равнина и долния интеграл върху област, оградена от контур.

Криволинейният интеграл по затворен контур Г се обозначава със символа. Затвореният контур Г започва от основната точка на контура и завършва в точка В. Интегралът по затворен контур не лежи, ако е избрана точка В.

Назначаване 1. Заобикалянето на контура G се счита за положително, тъй като при заобикаляне на контура G областта D става лява. P + - веригата P заобикаля положителната посока, P - - веригата заобикаля отрицателната посока. в обратна посока

G+

° С

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

° С

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

Нека разгледаме основния интеграл

По същия начин може да се твърди, че:

От равенства (1) и (2) е необходимо:

Отже,

Формулата на Грийн за смачкани пропуски е завършена.

уважение 1. Формулата на Грийн остава справедлива, тъй като между G областта D и реалните прави линии, успоредна на оста 0X или 0Y се измества по-надолу в две точки. Освен това, формулата на Грийн е валидна за n-звездни региони.

Измийте независимостта на криволинейния интеграл като интеграция в равнината.

В този параграф е лесно да се разбере, че при виконанистите, например, криволинейният интеграл трябва да пада в посоката на интегриране и да попада във формата на кочана и крайните точки на интегриране.

Теорема 1. За да има криволинеен интеграл без да лежи в пътя на интегриране в еднозвена област, е необходимо и достатъчно, така че интегралът, поемайки по затворен, многократно-гладък контур в тази област, да достигне нула.

Доказателство: Необходимост.Дава се: да се внесе в направление интеграция. Необходимо е да се докаже, че криволинейният интеграл зад затворен, гладко-гладък контур е равен на нула.

Нека вземем някакъв късово-гладък затворен контур G близо до областта D. На контура G вземете още няколко точки B и C.

° С

Oskílki лежат по пътя на интеграцията, тогава

, тогава.

просперитет. Дадено: Криволинеен интеграл Be-yakim zaknenim shmatkovo-гладък контур до нула.

Необходимо е да се докаже, че интегралът трябва да бъде депозиран в посока на интегриране.

Нека да разгледаме криволинейния интеграл зад два разбъркани гладки контура, които свързват точки B и C. Зад ума:

Tobto. криволинейна

интегрална за депозиране в посока на интеграция.

Теорема 2.Вървете без прекъсване едновременно с частни разходки и в пространство с една връзка D. За да имате криволинеен интеграл необходимо и достатъчно да не се отлага по пътя на интеграцията, така че дивизия D да е победоносна

Доказателство: Достатъчност.Дадено: . Необходимо е да се донесе какво да депозира в посока интеграция. За кого е достатъчно да донесе какво dovnyuє нула зад затворен, shmatkovo-гладък контур. Според формулата на Грийн можем:

Необходимост.Дадено: Съгласно теорема 1, криволинейният интеграл да депозира в посока интеграция. Необходимо е да се донесе какво

6. Формулата за средната стойност на единичния интеграл.

7. Интеграл върху променящата се горна граница. Yogo bezperervnіst тази диференциация.

8. Формула на Нютон-Лайбниц за интеграла на Зинг.

9. Изчисляване на единичния интеграл по части и заместване на промяната.

10. Зашиване на пеещия интеграл (площ на плоска фигура, дължина на извита дъга, обем на обвивката на тялото).

11. Разбиране на редицата числа ta yogo sumi. Критерии Koshі zbízhnostі ред. Необходима интелигентност.

12. Признаци на Delambert и Koshі zbízhnostі ryadіv іz nevid'êmnimi членове.

13. Интегрален знак на Koshі zbízhností числови серии.

14. Значителен брой редове. Абсолютно това психическо zbízhnist. Редове от знаци. Знак на Лайбниц.

15. Функционална серия. Сумата е ниска. Стойността на равния доход е ниска. Критерият Koshі е равен на рентабилността на функционалната серия.

16. Weijerstras знак за дори живеене.

18. Стъпка ред. Теорема на Абел.

19. Радиус на живот на статичен ред. Формулата на Коши-Адамар за радиуса на радиуса на статичната серия.

21. Функции на богата промяна. Разбиране на n-святовото евклидово пространство. Безлична точка от евклидовото пространство. Последователността на точките и нейната граница. Определени функции с малък брой промени.

22. Между функциите на редица промени. Непрекъсната функция. Частни празници

23. Обозначаване на диференциалната функция на редица променливи и нейния диференциал. Pokhіdní и диференциали от по-високи поръчки.

24. Формулата на Тейлър за богатството на промяната. Екстремумът на функцията на малък брой променливи. Необходим екстремум на ума. Стига екстремум на ума.

25. Устойчив интеграл и йога на силата. Zvedennya podvíynogo интеграл до повторен.

27. Замяна на промени в третия интеграл. Цилиндрични и сферични координати.

28. Изчисляване на площта на гладка повърхност, зададена параметрично и изрично.

29. Назначаване на криволинейни интеграли от първи и друг вид, тяхната основна мощност и изчисляване.

30. Формула на Грийн. Изчистете независимостта на криволинейния интеграл в начина на интегриране.

31. Повърхностни интеграли от първи и друг вид, тяхната основна степен и изчисляване.

32. Теорема на Гаус-Остроградски, нейната нотация в координатни и векторни (инвариантни) форми.

33. Формула на Стокс, записана в координатна и векторна (инвариантна) форма.

34. Скаларни и векторни полета. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциални и солни полета.

35. Оператор Хамилтън. (Nabla) yogo zastosuvannya (прилагане).

36. Основните понятия, които се използват са диференциалните уравнения (ода) от първи ред от първи ред: глобално решение, глобален интеграл, интегрална крива. Zavdannya Koshі, тя е геометрично значима.

37. Интегриране на ода на първия ред с промените, които са разделени и същите.

38. Интегриране на линейни оди от първи ред и изравняване на Бернули.

39. Интегриране на ода на първия праг в полярните диференциали. Интегриращ множител.

40. Диференциални равенства от първи ред, неизменно подобни. Метод за заявка на параметър.

41. Еквивалентност от n-ти ред с постоянни коефициенти. Характерно равни. Фундаментална система за решение (FSR) на хомогенно подреждане, глобално решение на разнородно подреждане.

42. Система от линейни диференциални равенства от първи ред. FSR на хомогенна система. Ярка визия за хомогенна система.

30. Формула на Грийн. Изчистете независимостта на криволинейния интеграл в начина на интегриране.

Формула на Грийн: Ако C е затворен между областта D и функциите P(x, y) и Q(x, y) заедно с техните частни аналози от първи ред без прекъсване в затворената област D (включително кордона C), тогава Формулата на Грийн е валидна: освен това заобикалянето около контур C е избрано така, че зона D да е лява.

Три лекции: Задайте дадените функции P(x,y) и Q(x,y) като непрекъснати области D едновременно от частните от първи ред. Интеграл над кордона (L), който трябва точно да лежи в зоната D и да обхваща всички точки в зоната D: . Позитив директно към контура е такъв, ако частта от контура е заобиколена от лява ръка.

Независимостта на Умов от криволинейния интеграл на пътя на интегриране от 2-ри вид. Необходимо е да се има предвид, че криволинейният интеграл от първи род, който свързва точките M1 и M2, не лежи в пътя на интегриране, а лежи само в кочана и крайните точки, равновесие:.

31. Повърхностни интеграли от първи и друг вид, тяхната основна степен и изчисляване.

- Повърхностен мениджър.

Проектираме S върху равнина xy, вземаме дъска D. Начертаваме дъска D с мрежова линия върху частта, която се нарича Di. От точката на кожата на линията на кожата изчертаваме успоредни линии z, след което i S се разделя на Si. Нека съберем интегралната сума: . Насочваме максимума на диаметъра Di към нула:, вземаме:

Ce повърхностен интеграл от първи род

Ето как повърхностният интеграл от първи род влиза в действие.

Назначаване накратко. По правило има ограничаваща граница на интегралната сума, така че не може да се лъже в начина на разделяне на S на елементарния участък Si и при избора на точки, vin се нарича повърхностен интеграл от първи род.

При преминаване от променените x і y към u и v:

П повърхностният интеграл може да има цялата сила на звездния интеграл. Самодивите са по-високи в храната.

Целта на повърхностния интеграл е от различен вид, което е основната сила на това изчисление. Връзка от интеграл от първи род.

Нека повърхността S е дадена, заобиколен от линия L (фиг. 3.10). Възможно е да се добавят две нормали към повърхността S върху повърхността S, която не може да бъде двойна точка с кордона L. Очертайте точката M зад контура L, като изберете правата нормала.

Ако позицията на точката M се върти по същата тази нормала (а не срещуположно), тогава повърхността S се нарича двустранна. Можем да гледаме само двустранни повърхности. Двустранна повърхност - независимо дали е гладка повърхност с равен.

Нека S е двустранна отворена повърхност, заобиколена от линия L, така че да няма точка на самопресичане. Избираме същата страна на повърхността. Нека наречем положителния директен байпас на контура L такава права линия, с Русия от другата страна на повърхността, самата повърхност е лишена от зло. Двустранна повърхност, която е монтирана върху нея в такъв положителен ред чрез директно заобикаляне на контурите, се нарича ориентирана повърхност.

Нека преминем към повърхностен интеграл от различен вид. Да вземем двустранна повърхност S, която се формира от крайния брой парчета, кожа от някои задачи, равни на ума, или цилиндрична повърхност със задоволителни успоредни оси Oz.

Нека R (x, y, z) - функция, зададена и без прекъсване на повърхността S. Чрез редица линии S е разделена с достатъчен ред на n "елементарни" графики ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi , ..., ΔSn, без значение сънливи вътрешни точки. В пространството на кожата ΔSi избираме точката Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) в разумен ред. Нека (ΔSi)xy е площта на проекцията на графиката ΔSi върху координатната равнина Oxy, взета със знака "+", така че нормалата към повърхността S в точката Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) определя Vísyu Oz да е враждебно разрязване и със знака "-", което означава, че това разрязване е глупаво. Добавяме интегралната сума за функцията R(x,y,z) върху повърхността S след промяна на x,y: . Нека λ е най-големият от диаметрите ΔSi (i = 1, ..., n).

Ако има крайна граница, така че да не лежи на пътя на разделянето на повърхността S върху "елементарния" график ΔSi и избирането на точка, тогава vin се нарича повърхностен интеграл по протежение на избраната страна на повърхността S във функцията R (x, y, z) за координатите x, y (или повърхностен интеграл от друг вид) и се присвоява .

По подобен начин е възможно да се индуцират повърхностни интеграли за координатите x, z или y, z по противоположната страна на повърхността, т.е. і .

Както и всички интеграли, можете да въведете "висок" интеграл на противоположната страна на повърхността: .

Повърхностен интеграл от друг вид може да зависи от мощността на интеграла. По-уважително е, ако някой повърхностен интеграл от друг вид промени знака на промяната на страната на повърхността.

Връзка между повърхностни интеграли от първи и друг вид.

Нека повърхността S е дадена равна: z \u003d f (x, y), освен това f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - непрекъснати функцииблизо до затворената област τ (проекцията на повърхността S върху координатната равнина Oxy), а функцията R(x,y,z) е непрекъсната върху повърхността S. страни на повърхността S. Todi.

За zagalny vpadku maêmo: