Drugi rodzaj integracji

Spójrzmy na całkę krzywoliniową drugiego rodzaju, gdzie L jest krzywą łączącą punkty M i N. Niech funkcje P(x, y) i Q(x, y) będą krzywą L. Co istotne, w niektórych analizach Całka krzywoliniowa nie może być umieszczona w kształcie krzywej L, tylko punkty M i N są rozszerzane.

Rysujemy dwie dodatkowe krzywe MSN i MTN, które leżą w odległości D i łączą punkty M i N (rys. 14).

Powiedzmy, co, tobto

de L - zamknięta pętla, składanie z krzywych MSN i NTM (można je dodać więcej). W ten sposób umysł niezależności całki krzywoliniowej II rodzaju na drodze całkowania jest równy umysłowi, że taka całka za jakąkolwiek zamkniętą pętlą jest równa zeru.

Twierdzenie 5 (Twierdzenie Greena). Podaj we wszystkich punktach obszaru rzeczywistego D funkcje P(x, y) i Q(x, y) oraz ich prywatne przejścia. Następnie, aby kontur zamknięty L, leżący w obszarze D, był

niezbędne i wystarczające dla wszystkich punktów regionu D.

Przynoszący.

1) Dobrobyt: pozwól swojemu umysłowi iść = vikonano. Przyjrzyjmy się bardziej zamkniętemu konturowi L obszaru D, który otacza obszar S, i napiszmy wzór Greena na nowy:

Otzhe, przyniosła wystarczalność.

2) Konieczność: powiedzmy, że umysł został wpisany w punkt skóry obszaru D, ale jeśli chcesz znaleźć jeden punkt środka obszaru, w którym -? 0. No, na przykład, w punkcie P(x0, y0) może: - > 0. Skoro lewa część nerwowości pełni nieprzerwaną funkcję, to czy przez jeden dzień będzie dodatnia i większa? > 0 w deakіy małym regionie D`, aby pomścić punkt P. Otzhe,

Rozważenie wzoru Greena jest niezbędne, aby

de L` - kontur otaczający obszar D`. Tsey wynik superchit umysł. Również = we wszystkich punktach regionu D, co było konieczne do doprowadzenia.

Szacunek 1. Podobnie, dla przestrzeni trywialnej świata, można wprowadzić niezbędne i wystarczające umysły niezależności całki krzywoliniowej

w kierunku integracji є:

Uwaga 2. Kiedy myśli vykonannі (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є górna różnica rzeczywista funkcja. Pozwala to na obliczenie całki krzywoliniowej do określonej wartości różnicy oraz w punktach końcowych i narożnych konturu całkowania, skalowanie

Dla jakiej funkcji i można poznać ze wzoru

de (x0, y0, z0) - punkt obszaru D i C - stał się wystarczający. Rzeczywiście, łatwo jest pomylić, że prywatne funkcje podane wzorem (53) są równe P, Q i R.

tyłek 10.

Oblicz całkę krzywoliniową drugiego rodzaju

wzdłuż całej krzywej, która łączy punkty (1, 1, 1) i (2, 3, 4).

Przejdźmy dalej, co myślą wikony (52):

Otzhe, funkcja jest obecna. Znamy її za formułą (53) przez ustawienie x0 = y0 = z0 = 0. Wtedy

W tej randze funkcja i jest określana z dokładnością do wystarczającego księgowania dodanku. Załóżmy, że Z = 0, a następnie u = xyz. Otzhe,

Spójrzmy na całkę krzywoliniową

biorąc po deaksie z płaską krzywą L, który łączy punkty Mі N. Załóżmy, że funkcje P(x, y)і Q(x, y) mogą być niezakłócone prywatne wakacje w okolicy, którą możesz zobaczyć D. Oczywiście dla takich umysłów pisanie całki krzywoliniowej nie może leżeć w formie krzywej L, a odkładanie tylko w pozycji kolby i punktu końcowego Mі N.

Spójrzmy na jeszcze dwie krzywe MPNі MQN, który leży w pobliżu otwartej przestrzeni D i punkty łączące Mі N. Daj spokój

(1)

Wtedy na podstawie potęg 1 i 4 całki krzywoliniowe mogą być:

Tobto. całka w pętli zamkniętej L

W pozostałej części wzoru całka krzywoliniowa utargów wzdłuż konturu zamkniętego L złożony z krzywych MPNі NQM. Kontur Tsey L możesz oczywiście vvazhati dovilnym.

W tym rankingu pamiętaj:

więc dla dowolnych dwóch punktów M i N całka krzywoliniowa nie leży w postaci krzywej, a tylko w postaci krzywej, a leży tylko w położeniu tych punktów, następnie, Co Całka krzywoliniowa za dowolnym zamkniętym konturem jest równa zero .

Sprawiedliwy i nikczemny visnovok:

jeżeli całka krzywoliniowa za jakąkolwiek zamkniętą pętlą jest równa zero, to tej całki krzywoliniowej nie można znaleźć w postaci krzywej, która przecina dwa punkty, i leżeć tylko w obozach tsikh kropka . To prawda, scho równoważności (2) wybujała równoważność (1)

Twierdzenie

Niech funkcje P(x, y), Q(x, y) będą używane we wszystkich punktach obszaru D deaco jednocześnie, z ich własnym prywatnym i bez przerw. Następnie, aby uzyskać całkę krzywoliniową za dowolną zamkniętą pętlą L, która leży w środku pokoju, osiągając zero. shob

(2΄)

niezbędna i wystarczająca równoważność vikonannya

we wszystkich punktach obszaru D.

Przynoszący

Przyjrzyjmy się bliżej obiegowi zamkniętemu L w regionie D a dla nowego piszemy wzór Greena:

Jeśli umysł wygrywa (3), to niedoszacowana całka, która kosztuje zło, jest również równa zero

w taki sposób, dostateczność umyć (3) przyniósł.

Przynieśmy to teraz konieczność umysł, tobto. możliwe, że równość (2) jest zwycięska dla dowolnej krzywej zamkniętej L w regionie D, wtedy w punkcie skóry regionu zwycięża umysł (3).

Z drugiej strony dopuszczalne jest, że zazdrość (2) wygrywa, tobto.

a Umov (3) nie wygrywa, tobto.

gorący bi w jednym punkcie. Daj spokój, na przykład punkt śpiewania może być zdenerwowany

Ponieważ lewa część nerwowości ma nieprzerwaną funkcję, będzie dodatnia i większa niż pewna liczba we wszystkich punktach, aby dotrzeć do małego obszaru, aby pomścić punkt. Vіzmemo podvіyny іntegrа w іy galluzі vіd raznitsi. Vin matime ma pozytywne znaczenie. Prawdziwe,

Ale za formułą Greena, lewa część reszty nierówności jest bliższa całce krzywoliniowej nad międzyregionem, która za dodatkami jest bliższa zeru. Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat minds (2), otzhe, pripuschennya, scho na vіdminu vіd zero, chcąc być w jednym punkcie, nie tak. Brzmi krzyczeć, co?

we wszystkich punktach D.

Otzhe, twierdzenie jest znowu skończone.

W godzinie ślubu dyferencjału przyszło mi to na myśl

jest równoznaczne z faktem, że viraz pdx + Qdyє ostatnia różnica aktualnej funkcji u(x, y), następnie.

Ale w wektorze tsomu vipadku

є funkcja gradientu u(x, y);

Funkcjonować u(x, y), gradient jest podobny do wektora potencjał który wektor.

Daj nam znać, że kto ma całkę krzywoliniową Za dowolną krzywą L, która łączy punkty M i N, różnica między wartościami funkcji i w tych punktach:

Przynoszący

Yakscho Рdx + Qdyє górna różnica funkcji u(x, y), wtedy przyjrzę się całce krzywoliniowej

Do obliczenia tej całki piszemy parametryczne wyrównanie krzywej L, który łączy punkty Mі N:

Viraz, co stać przy świątyniach, funkcjonować w t, co jest zupełnie podobną funkcją według t. Tomek

Jak mi bachimo, całka krzywoliniowa w postaci różniczki ciągłej nie może leżeć w postaci krzywej, dla której całkowanie jest konieczne.

W ten sposób:

pamiętaj o niezależności całek krzywoliniowych drugiego rodzaju sformułuj sposób integracji w ten sposób:

Yakshcho w deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) bez przerwy razem z własnym i, to:

1. w okolicy D nie kłam w formie sposoby integracji, yakscho yogo oznacza krzywą shmatkovo-gładką, scho leżeć w tsіy galuzі i mama zagalny cob w zagalny kіnets jednakże.

2. integralny uzdovzh być jak zamknięta krzywa L, który leży w regionie D jest równe zeru.

3. Główna funkcja u(x, y), dla yakoї viraz pdx+qdyІsnuє povny dyferencjał, więc.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

5

w punkcie skóry obszaru D.

Do obliczenia całki, aby nie wpaść w kontur całkowania

następnie wybierz jako najbardziej nawigacyjną ścieżkę integracji lamana, aby punkty łączące i lanki były równoległe do osi Ox i Oy.

Pidintegral Viraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy o powołanie umysłów górna różnica działające funkcje u = u(x, y) Tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

funkcjonować u(x, y)(oryginał) możesz wiedzieć jak obliczyć najczęstszą całkę krzywoliniową przez lamania de - czy to punkt stały, B(x, y) – punkt przesiadkowy, a punktem jest maksymalna współrzędna Xże . Todi vzdovzh maєmo że dy = 0 i vzdovzh maєmo x = constі dx = 0.

Weźmy tę formułę:

Podobnie, całkowanie lamanoy de otrimaemo

Stosować

1. Oblicz

Całkę tę należy złożyć wzdłuż konturu całkowania, ponieważ

Wybieramy jako sposób integracji lamana, linie są równoległe do osi współrzędnych. Na pierwszej gałęzi:

W innej lokalizacji:

Otzhe,

2. Wiedz pierwszy ty, tak jak

Chodź i konturuj Zanim lamana OMN. Todi

3. Wiedz, yakscho

Tutaj nie można wziąć punktu współrzędnych kolby, ponieważ w tym punkcie funkcji P(x, y)і Q(x, y) nie przypisane, za to bierzemy to za punkt, na przykład. Todi

4. Poznaj obszar otoczony wielokropkami

Powierzchnia figury, pomarszczona w obszarze JAK i otoczona zamkniętą linią C, jest obliczana zgodnie ze wzorem

,

kontur Z jest omijany w kierunku dodatnim.

Zamieńmy całkę krzywoliniową w piosenkę, tworząc zmianę

Parametr t przekazać wartości od 0 do 2?

Taka ranga

3. Najwyższa całka krzywoliniowa na długości łuku L yakscho L– cykloid kalafiorowy

ZADANIA NA TEMAT „INTEGRALNOŚĆ KRZYWOLINI”

opcja 1

De L jest trójkątem linii prostej punktu A(0;-2) i B(4;0) leżącej na płaszczyźnie XOY.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Omiń kontur strzałki antyroku.

Za współrzędnymi, jak L, jest łuk elipsy, która leży w pierwszej ćwiartce.

De L to kontur trykotu o wierzchołkach A(1,1), B(2,2), C(1,3). Omiń kontur strzałki antyroku.

i poznaj jogę.

7. Pole siłowe jest tworzone przez siłę F(x, y), która pozwala na ustalenie większej liczby punktów w kolbie współrzędnych i skierowanie do kolby współrzędnych. Znać robotowi siłę pola, przyłożoną do przemieszczenia punktu materialnego pojedynczej masy po łuku paraboli y2 = 8x od punktu (2; 4) do punktu (4; 4).

Opcja 2

1. Oblicz całkę krzywoliniową nad krawędzią łuku (współrzędne kartezjańskie).

De L jest skróceniem prostego punktu, który łączy O (0; 0) i A (1; 2).

2. Oblicz całkę krzywoliniową gdzie L jest łukiem parabolicznym od punktu A(-1;1) do punktu B(1,1). Omiń kontur strzałki antyroku.

3. Oblicz całkę krzywoliniową yakscho L - kołek łukowy co leży w 1 i 2 kwadratach. Omiń kontur za strzałką roku.

4. Wzór Zastosovuyuchiego Greena, oblicz całkę, de L - kontur, rozwiązania linii i przeciwnej osi OX przy omijaniu konturu strzałki anty-Godinnikova.

5. Ustal, w jaki sposób obliczana jest niezależność umysłu od całki w kierunku integracji dla całki i poznaj jogę.

6. Powtórz zadania chi є z nową różniczką funkcji U(x, y) i poznaj її.

7. W punkcie naskórkowym pola sił siła może być bezpośrednio ujemna i równa kwadratowi odciętej punktu programu. Znajomość pola dla robota podczas przesuwania pojedynczej masy parabolicznej z punktu (1,0) do punktu (0,1).

Opcja 3

1. Oblicz całkę krzywoliniową nad krawędzią łuku (współrzędne kartezjańskie).

1. de L - łuk paraboli widzi parabola.

2. Oblicz całkę krzywoliniową Yakscho L-wire to linia prosta, łącząca punkty A(0,1), B(2,3). Omiń kontur strzałki antyroku.

3. Oblicz całkę krzywoliniową, ponieważ L jest łukiem pierwszego łuku cykloidy. Omiń kontur za strzałką roku.

4. Wzór Zastosovuyuchiego Greena, obliczyć całkę de L - elіps Obkhіd kontur strzały anty-godinnikova.

5. Ustal, w jaki sposób obliczana jest niezależność umysłu od całki w kierunku integracji dla całki i poznaj jogę.

6. Powtórz zadania chi є z nową różniczką funkcji U(x, y) i poznaj її.

7. Oblicz siłę robota i godzinę ruchu punktu materialnego górnej połowy elipsy od punktu A (a, 0), punktu B (-a, 0).

Opcja 4.

1. Oblicz całkę krzywoliniową nad krawędzią łuku (współrzędne kartezjańskie).

1. de L - zarys kwadratu

2. Oblicz całkę krzywoliniową gdzie L jest łukiem paraboli punktu А(0,0), aż do punktu (1,1). Omiń kontur strzałki antyroku.

3. Oblicz całkę krzywoliniową yakscho L - górna połowa elipsy Omiń kontur za strzałką roku.

4. Korzystając ze wzoru Greena oblicz całkę de L - kontur trykotu z wierzchołkami A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Omiń kontur strzałki antyroku.

6. Powtórz zadania chi є z nową różniczką funkcji U(x, y) i poznaj її.

7. Siła jest przyłożona w punkcie naskórka pala, z rzutami na oś współrzędnych є Przypisz robotowi siłę na godzinę przesuwania punktu materialnego po paliku. Dlaczego robot kosztuje zero?

Opcja 5.

1. Oblicz całkę krzywoliniową nad krawędzią łuku (współrzędne kartezjańskie).

De L - linia prosta łącząca punkty 0 (0,0), w A (4; 2)

2. Oblicz całkę krzywoliniową, ponieważ L jest łukiem zakrzywionego punktu, który przechodzi od A(0.1) do punktu B (-1,e). Omiń kontur strzałki antyroku.

3. Oblicz całkę krzywoliniową jako L - 1 czwarta stawki Omiń kontur za strzałką roku.

4. Wzór Zastosovuyuchiego Greena, obliczyć całkę de L - kontur, otoczenie i ominięcie konturu przeciwnej strzałki.

5. Ustal, w jaki sposób obliczana jest niezależność umysłu od całki w kierunku integracji dla całki i poznaj jogę.

6. Powtórz zadania chi є z nową różniczką funkcji U(x, y) i poznaj її.

7. Pole jest tworzone siłą // = prosty sposób, aby ustawić cięcie od promienia linii prostej - wektor punktu її zastosuvannya. Poznanie pola dla robota, gdy punkt materialny o masie m zostanie przesunięty za łuk tyczki z punktu (a, 0) do punktu (0, a).

Opcja 6

1. Oblicz całkę krzywoliniową nad krawędzią łuku (współrzędne kartezjańskie).

De L - ćwierć stawki, która leży w kwadrancie I.

2. Oblicz całkę krzywoliniową yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Omiń kontur strzałki antyroku.

3. Oblicz całkę krzywoliniową, ponieważ L jest górną połową stawki Omiń kontur za strzałką roku.

4. Wzór Zastosovuyuchiego Greena, oblicz całkę de L - kontur, otoczenie, z pominięciem konturu strzały anty-godinnikova.

5. Ustal, w jaki sposób obliczana jest niezależność umysłu od całki w kierunku integracji dla całki i poznaj jogę.

6. Powtórz zadania chi є z nową różniczką funkcji U(x, y) i poznaj її.

7. Poznaj pracę siły sprężyny, bezpośrednio na kolbie współrzędnych, ponieważ punkt stagnacji siły opisuje przeciwną strzałkę ćwiartki elipsy co leży w kwadrancie I. Wielkość siły jest proporcjonalna do odległości punktu od kolby współrzędnych.

Opcja 7.

1. Oblicz całkę krzywoliniową nad krawędzią łuku (współrzędne kartezjańskie).

De L - część paraboli od punktu (1, 1/4) do punktu (2; 1).

2. Oblicz całkę krzywoliniową de L - wierzchołek prostej, która łączy punkty B (1; 2) i B (2; 4). Omiń kontur strzałki antyroku.

3. Oblicz całkę krzywoliniową jako L - pierwszy łuk cykloidy Po konturze za wskazówką roku.

5. Ustal, w jaki sposób obliczana jest niezależność umysłu od całki w kierunku integracji dla całki i poznaj jogę.

6. Powtórz zadania chi є z nową różniczką funkcji U(x, y) i poznaj її.

7. Punkt materialny pojedynczej masy porusza się wzdłuż palika pod kierunkiem siły, której rzuty znajdują się na osi współrzędnych є . Wzmocnij kolbę palika skórnego. Poznaj pracę konturu.

Opcja 8.

1. Oblicz całkę krzywoliniową nad krawędzią łuku (współrzędne kartezjańskie).

De L - kontur prostokąta z wierzchołkami w punktach 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Oblicz całkę krzywoliniową, np. L jest łukiem paraboli od punktu A (0; 0) do punktu B (1; 2). Omiń kontur strzałki antyroku.

3. Oblicz całkę krzywoliniową yakscho L - część stawki 1. Omiń kontur za strzałką roczną.

4. Wzór Zastosovuyuchiego Greena, obliczyć całkę de L - kontur trykotu z wierzchołkami A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Omiń kontur strzałki antyroku.

5. Zainstalować, chi vykonuetsya niezależność umysłu od integralności na drodze integracji na integralną i poznać jogę.

6. Powtórz zadania chi є z nową różniczką funkcji U(x, y) i poznaj її.

7. Punkt materialny porusza się po elipsie siła pіd dієyu, której wartość jest najdroższym punktem do środka elipsy i jest wyprostowana do środka elipsy. Oblicz siłę robota, jako punkt do ominięcia całego elipsy.

Opcja 9.

1. Oblicz całkę krzywoliniową nad krawędzią łuku (współrzędne kartezjańskie).

De L - łuk paraboli, który leży między punktami

A, (2;2).

2. Oblicz całkę krzywoliniową gdzie L jest zwężeniem linii prostej, która łączy punkty A (5; 0) i B (0,5). Omiń kontur strzałki antyroku.

3. Oblicz całkę krzywoliniową, np. L - łuk elipsy między punktami, która pokaże obwód konturu za strzałką roku.

4. Wzór Zastosovuyuchiego Greena, obliczyć całkę de L - wokół konturu przeciwstrzałki.

5. Ustal, w jaki sposób obliczana jest niezależność umysłu od całki w kierunku integracji dla całki i poznaj jogę.

6. Powtórz zadania chi є z nową różniczką funkcji U(x, y) i poznaj її.

7. W punkcie naskórkowym krzywej przykładana jest siła, której rzuty na osie współrzędnych wskazują pracę siły przy przemieszczeniu punktu materialnego pojedynczej masy wzdłuż krzywej od punktu M (-4; 0) do punktu N (0; 2).

Opcja 10.

1. Oblicz całkę krzywoliniową nad krawędzią łuku (współrzędne kartezjańskie).

De L - prosta łącząca punkty A

2. Oblicz całkę krzywoliniową, np. L jest łukiem krzywej od punktu A(1;0) do B(e,5). Omiń kontur strzałki antyroku.

3. Oblicz całkę krzywoliniową, ponieważ L jest łukiem tyczki co leży na 1U kwadratu. Omiń kontur za strzałką roku.

4. Korzystając ze wzoru Greena oblicz całkę de L - kontur trykotu z wierzchołkami A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Omiń kontur strzałki antyroku.

5. Ustal, w jaki sposób obliczana jest niezależność umysłu od całki w kierunku integracji dla całki i poznaj jogę.

6. Powtórz zadania chi є z nową różniczką funkcji U(x, y) i poznaj її.

7. Siła jest przyłożona do punktu skóry linii, której rzuty znajdują się na osiach współrzędnych Oblicz robota, na który działa siła, gdy punkt materiału jest przesuwany wzdłuż linii od M (1; 0) do punktu N (0; 3).

Wykład 4

Temat: Formuła Greena. Oczyścić niezależność całki krzywoliniowej na drodze integracji.

Formuła Greena.

Wzór Greena ustala związek między całką krzywoliniową po konturze zamkniętym Г na płaszczyźnie a całką dolną po obszarze otoczonym konturem.

Całka krzywoliniowa po zamkniętym konturze Г jest oznaczona symbolem Zamknięty kontur Г zaczyna się w głównym punkcie konturu i kończy się w punkcie B. Całka wzdłuż zamkniętego konturu nie leży, jeśli wybrano punkt B.

Spotkanie 1. Obejście konturu G jest uważane za dodatnie, ponieważ przy ominięciu konturu G obszar D staje się lewoskrętny. P + - obwód P omija kierunek dodatni, P - - obwód omija kierunek ujemny. w przeciwnym kierunku

G+

X

Tak

c

d

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

a

b

B

C

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

m

n

Spójrzmy na całkę bazową

.

Podobnie można argumentować, że:

Z równości (1) i (2) konieczne jest:

Otzhe,

Formuła Greena na zmiażdżone zaniedbania została zakończona.

Szacunek 1. Formuła Greena pozostaje sprawiedliwa, ponieważ między regionem G D a prawdziwymi liniami prostymi, równolegle do osi 0X lub 0Y przesuwa się bardziej niżej w dwóch punktach. Krim ts'ogo, wzór Greena jest ważny dla regionów n-gwiazdowych.

Umyj niezależność całki krzywoliniowej jako całkę na płaszczyźnie.

W tym akapicie łatwo zrozumieć, na przykład w wikonaniach, całka krzywoliniowa ma spaść w kierunku całkowania i spaść w postaci kolby i końcowych punktów całkowania.

Twierdzenie 1. Aby mieć całkę krzywoliniową bez leżenia na ścieżce integracji w obszarze z jednym ogniwem, jest to konieczne i wystarczające, aby całka, biorąc wzdłuż zamkniętego, gładkiego konturu shmatkovo w tym obszarze, osiągnęła zero.

Dowód: Konieczność. Daje się: złożyć w kierunku integracji. Konieczne jest doprowadzenie, aby całka krzywoliniowa za zamkniętym, gładko-gładkim konturem była równa zeru.

Weźmy odcinkowo gładki kontur zamknięty G w pobliżu obszaru D. Na konturze G weźmy jeszcze kilka punktów B i C.

G

D

n

m

B

C

Oskіlki leżą na ścieżce integracji

, następnie.

Dobrobyt. Dane: Całka krzywoliniowa Be-yakim zaknenim shmatkovo-gładki kontur do zera.

Konieczne jest wykazanie, że całka powinna być złożona w kierunku całkowania.

Spójrzmy na całkę krzywoliniową za dwoma rozszyfrowanymi, gładkimi konturami, które łączą punkty B i C. Za umysłem:

Tobto. krzywolinijny

integralny do depozytu w kierunku integracji.

Twierdzenie 2. Idź bez przerwy w tym samym czasie z prywatnymi spacerami i w przestrzeni jednoogniwowej D. Aby mieć całkę krzywoliniową nie kładzenie się na ścieżce integracji jest konieczne i wystarczające, aby dywizja D zwyciężyła

Dowód: wystarczalność. Dany: . Trzeba zabrać ze sobą to, co do złożenia w kierunku integracji. Komu wystarczy przynieść co? dovnyuє zero za zamkniętym, gładkim konturem shmatkovo. Zgodnie z formułą Greena możemy:

Konieczność. Dane: Z Twierdzenia 1, całka krzywoliniowa do złożenia w kierunku integracji. Trzeba zabrać ze sobą to, co

6. Wzór na wartość średnią całki znakującej.

7. Całka nad zmieniającą się górną granicą. Yogo bezperervnіst to zróżnicowanie.

8. Wzór Newtona-Leibniza na całkę znakowaną.

9. Obliczanie całki znaku przez części i zamiana zmiany.

10. Zszycie całki sing (powierzchnia płaskiej figury, długość zakrzywionego łuku, objętość owinięcia ciała).

11. Zrozumienie szeregu liczb ta Yogo sumi. Kryteria Koshі zbіzhnostі wiersz. Niezbędna inteligencja.

12. Znaki członków Delamberta i Koshі zbіzhnostі ryadіv іz nevid'єmnimi.

13. Znak integralny serii liczb Koshі zbіzhnostі.

14. Znaczna liczba wierszy. Absolutnie ten mentalny zbіzhnist. Rzędy znaków. Znak Leibniza.

15. Szereg funkcjonalny. Kwota jest niska. Wartość równego dochodu jest niska. Kryterium Koshі równa opłacalność serii funkcjonalnej.

16. Znak Weijerstras nawet życia.

18. Rząd stopniowy. Twierdzenie Abla.

19. Promień życia statycznego rzędu. Wzór Cauchy'ego-Hadamarda na promień promienia szeregu statycznego.

21. Funkcje bogatej zmiany. Zrozumienie n-światowej przestrzeni euklidesowej. Bezosobowy punkt przestrzeni euklidesowej. Ciąg punktów i granica її. Wyznaczone funkcje małej liczby zmian.

22. Między funkcjami wielu zmian. Nieprzerwana funkcja. Prywatne wakacje

23. Wyznaczenie funkcji różniczkowej wielu zmiennych i różniczki її. Pokhіdnі i różnice wyższych rzędów.

24. Wzór Taylora na bogactwo zmian. Ekstremum funkcji małej liczby zmiennych. Niezbędne ekstremum umysłu. Dość ekstremum umysłu.

25. Całość trwała i joga mocy. Zvedennya podvіynogo іntegral do powtórzenia.

27. Zastąpienie zmian w trzeciej całce. Współrzędne cylindryczne i sferyczne.

28. Obliczanie pola powierzchni gładkiej podanej parametrycznie i jednoznacznie.

29. Wyznaczanie całek krzywoliniowych pierwszego i drugiego rodzaju, ich potęga główna i obliczanie.

30. Formuła Greena. Oczyścić niezależność całki krzywoliniowej na drodze integracji.

31. Całki powierzchniowe pierwszego i drugiego rodzaju, ich główna potęga i obliczenia.

32. Twierdzenie Gaus-Ostrogradsky'ego, zapis її w postaciach współrzędnych i wektorów (niezmienniczych).

33. Wzór Stokesa zapisany w postaci współrzędnych i wektorów (niezmienniczych).

34. Pola skalarne i wektorowe. Gradient, dywergencja, rotor. Pola potencji i soli.

35. Operator Hamiltona. (Nabla) Yogo zastosuvannya (zastosuj).

36. Główne pojęcia, które są używane, to równania różniczkowe pierwszego rzędu (ode) pierwszego rzędu: rozwiązanie globalne, całka globalna, krzywa całkowa. Zavdannya Koshі, її geometrycznie znaczące.

37. Integracja ody do pierwszego rzędu ze zmianami, które są podzielone i to samo.

38. Całkowanie odów liniowych pierwszego rzędu i równanie Bernoulliego.

39. Całkowanie ody do pierwszego progu w różniczkach biegunowych. Mnożnik całkujący.

40. Równości różniczkowe pierwszego rzędu, niezmiennie podobne. Metoda żądania parametru.

41. Równoważność n-tego rzędu o stałych współczynnikach. Charakterystycznie równe. System podstawowych rozwiązań (FSR) wyrównania jednorodnego, globalne rozwiązanie wyrównania heterogenicznego.

42. Układ liniowych równości różniczkowych pierwszego rzędu. FSR układu jednorodnego. Jaskrawa wizja jednorodnego systemu.

30. Formuła Greena. Oczyścić niezależność całki krzywoliniowej na drodze integracji.

Wzór Greena: Jeśli C jest domknięty między obszarem D a funkcjami P(x,y) i Q(x,y) wraz z ich prywatnymi analogami pierwszego rzędu bez przerwy w obszarze zamkniętym D (włącznie z kordonem C), to Wzór Greena jest prawidłowy: ponadto wybrano obejście wokół konturu C tak, aby obszar D był lewoskrętny.

Trzy wykłady: Podaj podane funkcje P(x,y) i Q(x,y) jako nieprzerwane dziedziny D jednocześnie z prywatnych pierwszego rzędu. Całka nad kordonem (L), która ma dokładnie leżeć w obszarze D i obejmować wszystkie punkty obszaru D: . Dodatni bezpośrednio do konturu jest taki, gdy część konturu jest otoczona lewą ręką.

Niezależność Umova od całki krzywoliniowej drugiego rodzaju ścieżki integracji. Należy pamiętać, że całka krzywoliniowa pierwszego rodzaju, która łączy punkty M1 i M2, nie leży na ścieżce całkowania, ale leży tylko w kolbie i punktach końcowych, zrównoważenie:.

.

31. Całki powierzchniowe pierwszego i drugiego rodzaju, ich główna potęga i obliczenia.

- Menedżer powierzchni.

Rzutujemy S na płaszczyznę xy, bierzemy deskę D. Rysujemy deskę D z linią siatki na części, która nazywa się Di. Od punktu skóry linii skóry rysujemy równoległe linie z, a następnie i S dzieli się na Si. Dodajemy sumę całkowitą: . Maksymalną średnicę Di kierujemy na zero :, bierzemy:

Całka powierzchniowa Ce pierwszego rodzaju

W ten sposób wchodzi w grę całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

Spotkanie krótko. Z reguły istnieje graniczna granica sumy całkowitej, tak że nie można leżeć na drodze podziału S na wykresie elementarnym Si i przy wyborze punktów vin nazywa się całką powierzchniową pierwszego rodzaju .

Przechodząc od zmienionego x і y do u i v:

P całka powierzchniowa może mieć całą moc całki gwiaździstej. Divy są bogatsze w jedzenie.

Cel całki powierzchniowej jest innego rodzaju, co jest główną siłą tego obliczenia. Link z całki pierwszego rodzaju.

Niech zostanie podana powierzchnia S, otoczony linią L (rys. 3.10). Możliwe jest dodanie dwóch normalnych do powierzchni S na powierzchni S, która nie może być podwójnym punktem z kordonem L. Nakreśl punkt M za konturem L, wybierając linię prostą normalną.

Jeśli położenie punktu M obraca się wzdłuż tej samej normalnej (a nie przeciwnej), to powierzchnia S nazywana jest dwustronną. Możemy patrzeć tylko na dwustronne powierzchnie. Powierzchnia dwustronna - czy będzie to powierzchnia gładka z równą.

Niech S będzie obustronną otwartą powierzchnią, otoczoną prostą L, tak aby nie było punktu samoprzecinania się. Wybieramy tę samą stronę powierzchni. Dodatnie bezpośrednie obejście konturu L nazwijmy taką linią prostą, z Rosją po drugiej stronie powierzchni, sama powierzchnia jest pozbawiona zła. Dwustronna powierzchnia, która jest na nim zainstalowana w tak pozytywnym porządku przez bezpośrednie obejście konturów, nazywana jest powierzchnią zorientowaną.

Przejdźmy do całki powierzchniowej innego rodzaju. Weźmy dwustronną powierzchnię S, która powstaje z ostatecznej liczby kawałków, skórę z niektórych zadań równych umysłowi lub cylindryczną powierzchnię o zadowalających równoległych osiach Oz.

Niech R (x, y, z) - funkcja, przypisana i bez przerwy na powierzchni S. Przez liczbę linii, S jest dzielona przez wystarczający porządek na n "elementarnych" wykresów ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi , ..., ΔSn, bez względu na senne punkty wewnętrzne. Na przestrzeni skóry ΔSi wybieramy punkt Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) w rozsądnym porządku. Niech (ΔSi)xy będzie polem rzutu wykresu ΔSi na płaszczyznę współrzędnych Oxy, wziętym ze znakiem „+”, tak aby normalna do powierzchni S w punkcie Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) określa, że ​​Vіsyu Oz jest wrogim cięciem i ze znakiem "-", co oznacza, że ​​to cięcie jest głupie. Dodajemy sumę całkową funkcji R(x,y,z) nad powierzchnią S po zmianie x,y: . Niech λ będzie największą ze średnic ΔSi (i = 1, ..., n).

Jeśli istnieje ostateczna granica, aby nie przeszkadzać w podziale powierzchni S na „elementarnym” wykresie ΔSi i wybraniu punktu, to vin nazywamy całką powierzchniową po wybranej stronie powierzchni S w funkcji R (x, y, z) dla współrzędnych x, y (lub całka powierzchniowa innego rodzaju) i jest przypisana .

Podobnie, możliwe jest indukowanie całek powierzchniowych nad współrzędnymi x, z lub y, z po przeciwnej stronie powierzchni, czyli. і .

Oprócz wszystkich całek możesz wprowadzić całkę „wysoką” po przeciwnej stronie powierzchni: .

Całka powierzchowna innego rodzaju może zależeć od potęgi całki. Bardziej godne szacunku jest to, że jeśli jakakolwiek całka powierzchniowa innego rodzaju zmienia znak zmiany strony powierzchni.

Związek między całkami powierzchniowymi pierwszego i drugiego rodzaju.

Niech powierzchnia S będzie równa: z \u003d f (x, y), ponadto f (x, y), f „x (x, y), f” y (x, y) - nieprzerwane funkcje w pobliżu obszaru zamkniętego τ (rzut powierzchni S na płaszczyznę współrzędnych Oxy), a funkcja R(x,y,z) jest ciągła na powierzchni S. boki powierzchni S. Todi.

Dla zagalnego vpadku maєmo:

=