Wyznaczenie momentu bezwładności przekroju z równoległym przeniesieniem osi. Zmiana momentu bezwładności przy równoległym przesuwaniu osi współrzędnych Wzory na przesuwanie osi

Chodź z h, y z– centralna oś peryzywu; – momenty bezwładności na osiach chodo. Znaczące momenty bezwładności na nowych osiach z1, 1, równolegle do osi środkowych i miejsc, w których się znajdują na stoisku aі d. Daj spokój dA- elementarny majdan na obrzeżach punktu M ze współrzędnymi takі z w centralnym układzie współrzędnych. 3 rys. 4.3 widać, że współrzędne punktu Z nowego układu współrzędnych są aktualizowane, .

Znaczący moment bezwładności w poprzek osi y 1 :

Rys.4.3

zc

yc

z1

tak 1

d

a

C

Oczywiście pierwsza całka to tak, druga to , odłamki zewnętrznego układu współrzędnych są centralne, a trzecia to obszar cięcia ALE.

w taki sposób,

podobnie

Zmiana momentów bezwładności wcięcia podczas obracania osi

Znamy ugór między momentami bezwładności i o osiach tak, z i momenty bezwładności wokół osi tak 1, z1, włączył cięcie a. Daj spokój Jy> J z ta pozytywne kut a skończyć w osi tak strzałka antyroczna. Wyślij punkty współrzędnych M przed zakrętem tak, z, po skręceniu - tak 1, z1(Rysunek 4.4).

Od malucha skomle:

Teraz dla osi istotne są momenty bezwładności tak 1і z1:

Ryż. 4.4

M

z

z1

tak 1

tak

a

tak

tak 1

z1

z

. (4.13)

Podobnie:

Dodając wyraz po wyrazie równy (4.13) i (4.14), bierzemy:

Tobto. suma momentów bezwładności, jeśli występują, wzajemnie prostopadłych osi, jest ustalona na stałe i nie zmienia się przy obrocie układu współrzędnych.

Osie bezwładności głowicy i momenty bezwładności głowicy

Zі zmіnoyu kuta obracają osie a wartości skóry zmieniają się, ale suma pozostaje bez zmian. Otzhe, nie ma tego samego znaczenia

a = a 0 , dla których momenty bezwładności osiągają wartości skrajne, czyli. jeden z nich osiąga wartość maksymalną, a drugi wartość minimalną. Dla znaczenia a 0 spójrzmy na to (w przeciwnym razie) i przyrównajmy do zera:

Pokazano, że po odjęciu osi środkowy moment bezwładności jest równy zeru. Z prawej strony część równania (4.15) równa się zero: , gwiazdki, tobto. wziął ten sam wzór na a 0 .

Oś, w której jakiś centralny moment bezwładności jest bliski zeru, a osiowe momenty bezwładności osiągają ekstremalne wartości, nazywamy osiami głowicy. Yakscho tsi osі є w centrum, wszystkie smród nazywane są centralnymi osiami głowy. momenty bezwładności osi, podobnie jak osie głowicy, nazywane są momentami bezwładności głowicy.

Znacznie nagłówek osi przez r 0і z0. Todi

Jeśli siatkówka może być całkowicie symetryczna, to wszystko jest jedną z głównych osi bezwładności perezu.

Przyjrzyjmy się momentowi bezwładności figury płaskiej (rys.) dla osi $(Z_1)$ i $(Y_1)$ dla danych momentów bezwładności dla osi $X$ i $Y$.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

z $(S_x)$ - moment statyczny figury leży wokół osi $X$.

Podobny do osi $(Y_1)$

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Centralny moment bezwładności dla osi $(X_1)$ i $(Y_1)$

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A(ydA) + ab\int\limits_A(dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Najczęściej dochodzi do przejścia od osi środkowych (górnych osi figury płaskiej) do pełnych, równoległych. Wtedy $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, fragmenty osi $X$ i $Y$ są centralne. Pozostały majonez

de, - momenty bezwładności mocy, czyli momenty bezwładności według mocy osi centralnych;

$a$, $b$ - vіdstanі vіd centralne osie do analіzovanih;

$A$ - powierzchnia figury.

Należy zauważyć, że gdy centralny moment bezwładności przyporządkujemy wielkościom $a$ i $b$, winę ponosi znak, tak że smród jest w rzeczywistości współrzędnymi środka ciężkości figury w oglądane osie. Po przypisaniu osiowych momentów bezwładności i wartości wartości są prezentowane za modułem (jak w standardzie), jednak odłamki smrodu unoszą się do kwadratu.

Po formuły pomocy transfer równoległy możliwa jest zmiana przejścia z osi środkowych na górne lub navpak- w poprzednich osiach centralnych Pierwsze przejście jest oznaczone znakiem „+”. Kolejne przejście jest oznaczone znakiem- ".

Zastosuj różne formuły do ​​przejścia między osiami równoległymi

Siatkówka prostokątna

Co istotne, centralny moment bezwładności prostokąta jest proporcjonalny do głównych momentów bezwładności wokół osi $Z$ i $Y$.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

Podobnie $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

Trikutny Pereriz

Co istotne, centralny moment bezwładności trikotera nad zadanym momentem bezwładności podstawy $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

.

Jeżeli oś środkowa $(Y_c)$ ma inną konfigurację, to również możemy na nią spojrzeć. Moment bezwładności wszystkich figur wzdłuż osi $(Y_c)$ jest większy niż suma momentu bezwładności trykotu $ABD$ wzdłuż osi $(Y_c)$ i momentu bezwładności trykotu $CBD$ wzdłuż osi $(Y_c)$, tobto

.

Wyznaczenie na moment bezwładności złożonej szyny

Zbierzmy peratin, który składa się z elementów okremih, cech geometrycznych każdego z nich. Powierzchnia, moment statyczny i moment bezwładności figury magazynowej składają się na sumę odpowiednich cech magazynu. Podobnie jak fałdy obwodu można sprawić, by wyglądała jak jedna z figur z zewnątrz, widoczne są geometryczne cechy figury. Na przykład momenty bezwładności figury magazynowej, pokazane na ryc. będzie wyglądać tak

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12 )) = 72 \, 300 $ cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3))) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \right) = 1\.490\.000$cm 4

Pokaż mi ciebie i Ix, Iy, Ixy. Równolegle do osi xy rysujemy nową linię x1, y1.

І znaczący moment bezwładności samego cięcia nowych osi.

X 1 \u003d x-a; y 1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2przy + b 3) dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix - 2b Sx + b 2A.

Jeżeli wszystko przechodzi przez środek ciężkości przecięcia, to moment statyczny Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Podobnie jak w przypadku nowej osi y 1, możemy obliczyć wzór I y 1 = Iy + a 2 A

Centralny moment bezwładności dla nowych osi

Ix 1 y 1 \u003d Ixy - b Sx -a Sy + abA.

Jeżeli oś xy przechodzi przez środek ciężkości cięcia, to Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Jeśli wiązka jest symetryczna, jeśli jedna z osi centralnych porusza się wokół całej symetrii, to Ixy \u003d 0, również Ix 1 y 1 \u003d abA

Zmiana momentu bezwładności poniżej godziny obrotu osi.

Daj nam znać osiowe momenty bezwładności wokół osi xy.

Nowy układ współrzędnych xy jest usuwany przez włączenie starego układu na kut (a> 0), czyli obrócenie strzałki anty-Rok.

Zainstalujmy ugór między starymi i nowymi współrzędnymi Maidanchik

y 1 \u003d ab \u003d ac - bc \u003d ab-de

z kwasu trykotowego:

ac/ad \u003d cos α ac \u003d reklama * cos α

z trykotu oed:

de/od=sinα dc=od*sinα

Reprezentujmy wartość virasy dla y

y 1 \u003d ad cos α - od sin α \u003d y cos α - x sin α.

podobnie

x 1 \u003d x cos α + y sin α.

Obliczamy osiowy moment bezwładności dla nowej osi x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA = ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α) dA = = cos 2 α ∫ y 2 dA - sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Podobnie Iy 1 \u003d Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Połączyliśmy lewą i prawą część zabranego wirusa:

Ix 1 + Iy 1 \u003d Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Suma osiowych momentów bezwładności nie zmienia się podczas toczenia.

Znaczący jest centralny moment bezwładności dla nowych osi. Widoczna jest wartość x 1 ,y 1 .

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Główne momenty i główne osie bezwładności.

Momenty bezwładności głowy nazwij ich skrajne wartości.

Osie, które mają pewne skrajne wartości, nazywane są czołowymi osiami bezwładności. Smród jest zawsze do siebie prostopadły.

Vіdtsentrovy moment іnertsії schodo osie głowy zavzhdі dorivnyuє 0. Oskіlki vіdomo, scho shcho mają є w stosunku do symetrii, a następnie vіdtsentrovy moment іvіvnyuє 0, także cała symetria є głowa vіssyu. Jeśli przyjmiemy pierwszą linię w viraz I x 1, a następnie przyrównamy її do „0”, wtedy przyjmiemy wartość kuta = odpowiadające położenie osi bezwładności głowy.

tg2 α 0 = -

Jeżeli α 0 >0, to stara stacja osi głowicy musi być obrócona w kierunku strzałki roku. Jedną z głównych osi jest є max, a insha - min. Przy pomocy wagi max wiatr wieje mniejszy kut tієї vypadkovoї, vyssyu schodo kakoї może mieć większy osiowy moment bezwładności. Ekstremalne wartości osiowego momentu bezwładności określa następujący wzór:

Rozdział 2. Podstawowe zrozumienie obsługi materiałów. Zadanie tej metody.

W ciągu godziny projektowania różnych zarodników konieczne jest wirowanie różnych wartości odżywczych, zhorstkost, wytrzymałości.

Mitsnist- Budowanie tego ciała pokaże różnicę w próżności bez ruiny.

Twardość- budowanie konstrukcji do wykorzystania bez większych deformacji (przemieszczeń). Przesyłane dopuszczalne wartości odkształceń regulują przyszłe normy i zasady (SNIP).

wytrwałość

Możemy spojrzeć na uchwyt nożyc gnuchka

Jeśli chcesz zwiększać krok po kroku, na plecach nastąpi szybka fryzura. Gdy siła F osiągnie wartość krytyczną, ścinanie ulegnie wybrzuszeniu. - Absolutnie krótki.

Dzięki temu ścinanie nie zapada się, ale gwałtownie zmienia swój kształt. Takie zjawisko nazywa się wytrzymałością vtratoy i prowadzi do ruiny.

Sopromat- Tse podstawy nauk o mіtsnіst, zhorstkіst, stіykіst konstrukcji inżynierskich. Metody Spivpromatі vikoristovuyutsya mechanika teoretyczna, fizycy, matematycy Na vіdmіnu vіd teoreticії mekhanіki spromat vrakhovuє zminі rozmirіv tworzę do pіd ієyu navantazhennya tej temperatury.

Znacząco ugorów między różnymi momentami bezwładności w dwóch równoległych osiach (ryc. 6.7), połączonych ugorami

1. Dla statycznych momentów bezwładności

Dobrze,

2. Dla osiowych momentów bezwładności

otzhe,

Yakshcho wszystko z przejść przez środek ciężkości cięcia, a następnie

Z wymaganych momentów bezwładności, gdy są równoległe do osi, osiowy moment bezwładności może mieć najmniejsze znaczenie dla przejścia osi przez środek ciężkości przekroju.

Podobnie dla osi

Spadam tak przejść przez środek ciężkości

3. Dla momentów bezwładności centrum wodnego należy wziąć

Resztę można napisać

Czasami, jeśli kolba układu współrzędnych yz być w środku ciężkości cięcia, zabierz go

Miej vipadku, jeśli jedno lub drugie obraża oś osiami symetrii,

6.7. Zmieniające się momenty bezwładności podczas toczenia osi

Niech zadanie momentu bezwładności będzie cięte wzdłuż osi współrzędnych zy.

Należy wyznaczyć moment bezwładności tego samego przekroju osi obróconych o kropkę dziesiętną względem układu współrzędnych zy(Rysunek 6.8).

Kut vvazhaetsya pozytywny, podobnie jak stary układ współrzędnych do przejścia do nowego, konieczne jest obrócenie strzałki przeciw-roku (dla prawego prostokątnego układu współrzędnych kartezjańskich). Nowe i stare zy układy współrzędnych po'yazanі odłogi, yakі vyplyvayut z rys. 6.8:

1. Istotnie dla osiowych momentów bezwładności wzdłuż osi nowego układu współrzędnych:

Podobny do systemu operacyjnego

Jeśli zsumujemy wielkość momentu bezwładności wzdłuż osi i, to weźmiemy

tzn. gdy osie są obracane, suma osiowych momentów bezwładności jest wartością stałą.

2. Zobaczmy wzory na środkowy moment bezwładności.

.

6.8. Główne momenty bezwładności. Główne osie bezwładności

Ekstremalne wartości osiowych momentów bezwładności skrawania nazywane są momentami bezwładności głowicy.

Dwie wzajemnie prostopadłe do osi, w których takie osie momentu bezwładności mogą mieć skrajne wartości, nazywane są czołowymi osiami bezwładności.

Dla istotności głównych momentów bezwładności i położenia osi bezwładności głowy ma to znaczenie najpierw wzdłuż ogona w momencie bezwładności przypisanym do wzoru (6.27)

Zrównaj ten wynik do zera:

de - Kut, na którym należy obrócić osie współrzędnych takі z schob smród zbіglisya z topory głowy.

Porіvnyuyuchi vrazi (6.30 i (6.31), możesz zainstalować, scho

,

Otzhe, zrób główne osie bezwładności vydtsentrovy moment bezwładności do zera.

Wzajemnie prostopadłe do osi, z których jedna lub druga narusza osie symetrii obwodu i osie bezwładności głowy.

Rozv'yazhemo rivnyannya (6.31) shodo kuta:

.

Jeżeli >0, to konieczne jest przyporządkowanie położenia jednej z głównych osi bezwładności dla prawego (lewego) prostokątnego układu współrzędnych kartezjańskich z włącz kut przeciw przebiegowi owijania (wzdłuż owijania) strzały roku. Yakscho<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz zwróć się do kut wzdłuż opakowania (przeciwnie do kierunku owijania) strzałki roku.

Oś maksymalna zavzhdi skladє mniejszy kut z tієї osі ( tak lub z), aby osiowy moment bezwładności mógł być większy od wartości (rys. 6.9).

Całe maksimum jest wyprostowane pod cięciem do osi (), yaksho () i złożone w sparowane (niesparowane) ćwiartki osi, yaksho ().

Istotne są główne momenty bezwładności. Wzory Vicorist z trygonometrii, które łączą funkcje z funkcjami, brane są wzory (6.27)

,