Indipendenza dell'integrale curvilineo sul contorno. Lavare l'indipendenza dell'integrale curvilineo del secondo tipo nel modo di integrazione. Lavare l'indipendenza dell'integrale curvilineo nella direzione di integrazione

2° tipo di integrazione

Diamo un'occhiata all'integrale curvilineo del 2° tipo, dove L è una curva che collega i punti M e N. Sia le funzioni P(x, y) e Q(x, y) curva L. Significativamente, in alcune analisi, il l'integrale curvilineo non può essere depositato nella forma della curva L, vengono espansi solo i punti M e N.

Disegniamo due curve aggiuntive MSN e MTN, che si trovano nella distanza D e collegano i punti M e N (Fig. 14).

Diciamo, cosa, tobto

de L - anello chiuso, piegatura dalle curve MSN e NTM (inoltre, può essere aggiunto altro). In questo modo, la mente dell'indipendenza dell'integrale curvilineo di 2° tipo nel modo di integrazione è uguale alla mente, che tale integrale dietro ogni anello chiuso è uguale a zero.

Teorema 5 (teorema di Green). Fornire in tutti i punti dell'area reale D le funzioni P(x, y) e Q(x, y) e le loro transizioni private. Quindi, affinché sia un contorno chiuso L, che si trova nella regione D

necessario e sufficiente per tutti i punti della regione D.

Portare.

1) Prosperità: lascia andare la tua mente = vikonano. Diamo un'occhiata a un contorno L più chiuso della regione D, che circonda la regione S, e scriviamo la formula di Green per quella nuova:

Otzhe, la sufficienza portata.

2) Necessità: diciamo che la mente è stata inscritta nel punto della pelle dell'area D, ma se si vuole trovare un punto del centro dell'area, in quale -? 0. Andiamo, ad esempio, nel punto P(x0, y0) forse: - > 0. Quindi, poiché la parte sinistra del nervosismo ha una funzione ininterrotta, sarà positiva e maggiore per un giorno? > 0 nella piccola regione deakіy D`, per vendicare il punto P. Otzhe,

La considerazione per la formula di Green è essenziale

de L` - il contorno che circonda l'area D`. Tsey risultato mente superchit. Inoltre, = in tutti i punti della regione D, che era necessario portare.

Rispetto 1. Allo stesso modo, per uno spazio trivi-mondano, si può portare che le menti necessarie e sufficienti dell'indipendenza dell'integrale curvilineo

nella direzione dell'integrazione є:

Nota 2. Quando vykonannі mente (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є differenziale superiore funzione reale. Ciò consente di calcolare il calcolo dell'integrale curvilineo fino al valore di differenza specificato e ai punti finali e mais del contorno di integrazione, ridimensionando

Per quale funzione posso essere conosciuto dalla formula

de (x0, y0, z0) - il punto della regione D e C - è diventato sufficiente. Infatti, è facile confondere che le funzioni private date dalla formula (53) siano uguali a P, Q e R.

culo 10.

Calcola l'integrale curvilineo del 2° tipo

lungo l'intera curva, che collega i punti (1, 1, 1) e (2, 3, 4).

Andiamo avanti, cosa ne pensano le vicon (52):

Otzhe, la funzione è presente. Sappiamo її dietro la formula (53) impostando x0 = y0 = z0 = 0. Quindi

In questo rango, la funzione e viene determinata con precisione fino a un dodanku di affissione sufficiente. Assume Z = 0, quindi u = xyz. Otzhe,

Consideriamo l'integrale curvilineo

prendendo dopo una carezza con una curva piatta l, che collega i punti Mі N. Assumiamo che le funzioni P(x, y)і Q(x, y) potrebbero essere vacanze private ininterrotte nella zona che puoi vedere D. Naturalmente, per tali menti di scrittura un integrale curvilineo non può trovarsi sotto forma di una curva l, e di depositare solo nella posizione della pannocchia e del punto finale Mі N.

Diamo un'occhiata ad altre due curve MPNі MQN, che si trova vicino all'area aperta D e punti di raccordo Mі N. Avanti

(1)

Allora sulla base delle potenze 1 e 4 gli integrali curvilinei possono essere:

tobto. integrale ad anello chiuso l

Nel resto della formula, l'integrale curvilineo degli incassi lungo un contorno chiuso l piegato dalle curve MPNі NQM. Contorno Tsey l puoi, ovviamente, vvazhati dovilnym.

In questa classifica, attenzione:

quindi per due punti qualsiasi M e N l'integrale curvilineo non giace nella forma di una curva, ma solo nella forma di una curva, ma giace solo nella posizione di questi punti, poi, che cosa l'integrale curvilineo dietro qualsiasi contorno chiuso è uguale a zero .

Visnovok giusto e malvagio:

se l'integrale curvilineo dietro ogni anello chiuso è uguale a zero, allora questo integrale curvilineo non può essere trovato sotto forma di una curva, che attraversa due punti, e sdraiati solo nei campi di tsikh punto . È vero, scho of equivalence (2) esuberante equivalenza (1)

Teorema

Siano usate le funzioni P(x, y), Q(x, y) in tutti i punti della regione diaconale D contemporaneamente con il proprio privato e senza interruzioni. Quindi, in modo da avere un integrale curvilineo dietro qualsiasi anello chiuso L, che giace al centro della stanza, arrivando a zero, quindi. shob

(2΄)

equivalenza vikonannya necessaria e sufficiente

in tutti i punti dell'area D.

Portare

Diamo un'occhiata più da vicino al circuito chiuso l nella regione D e per quello nuovo scriviamo la formula di Green:

Se vince la mente (3), allora anche l'integrale sottovalutato, che costa il male, è uguale a zero i, allora,

In modo tale, sufficienza lavare (3) portato.

Portiamolo ora necessità mente, tobto. è possibile che l'uniformità (2) sia vittoriosa per qualsiasi curva chiusa l nella regione D, quindi nel punto cutaneo della regione, la mente è vittoriosa (3).

È accettabile, invece, che la gelosia (2) vinca, tobto.

e Umov (3) non vince, tobto.

bi caldo in un punto. Dai, per esempio, il punto di canto potrebbe essere nervoso

Poiché la parte sinistra del nervosismo ha una funzione ininterrotta, sarà positivo e più di un certo numero in tutti i punti raggiungere una piccola area per vendicare il punto. Vіzmemo podvіyny integra in іy galluzі con raznitsi. Vin matime ha un significato positivo. Vero,

Ale dietro la formula Green, la parte sinistra del resto dell'irregolarità è più vicina all'integrale curvilineo sull'interregione, che, dietro le quote, è più vicino a zero. Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat mind (2), otzhe, pripuschennya, scho on vіdminu vіd zero che vogliono essere a un certo punto, non è così. Suona urlando, cosa

in tutti i punti D.

Otzhe, il teorema è finito di nuovo.

All'ora del matrimonio del differenziale uguale, mi venne in mente

è equivalente al fatto che viraz pdx + Qdiє l'ultimo differenziale della funzione corrente u(x, y), poi.

Ale nel vettore di tsomu vipadku

є funzione gradiente u(x, y);

Funzione u(x, y), il gradiente è simile al vettore potenziale quale vettore.

Facci sapere chi ha un integrale curvilineo Dietro ogni curva L, che collega i punti M e N, la differenza tra i valori della funzione i in questi punti:

Portare

Yakscho Рdx + Qdyє il differenziale superiore della funzione u(x, y), quindi esaminerò l'integrale curvilineo

Per il calcolo di questo integrale scriviamo l'allineamento parametrico della curva l, che collega i punti Mі N:

Viraz, in cosa stare alle tempie, in che funzione t, che è una funzione completamente simile secondo t. Tom

Yak mi bachimo, l'integrale curvilineo sotto forma di differenziale continuo non può trovarsi sotto forma di curva, per la quale è necessaria l'integrazione.

In questo modo:

attenzione all'indipendenza degli integrali curvilinei del secondo tipo formare la via dell'integrazione in questo modo:

Yakshcho in deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) senza interruzioni insieme alla propria i, quindi:

1. nella zona D non mentono nella forma modalità di integrazione, yakscho yogo significa dietro una curva shmatkovo-liscia, scho a mentire a tsіy galuzі e mum zagalny cob in zagalny kіnets però.

2. integrale uzdovzh essere come una curva chiusa l, che si trova nella regione D è uguale a zero.

3. Funzione principale u(x, y), per yakoї viraz pdx+qdyІsnuє povny differenziale, quindi.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

nel punto cutaneo della zona D.

Per il calcolo dell'integrale, per non cadere nel contorno dell'integrazione

quindi scegliere come percorso di integrazione più navigabile del laman, che i punti di collegamento e lanka siano paralleli agli assi Ox e Oy.

Viraz pidintegrale P(x, y)dx + Q(x, y)dy per la nomina delle menti differenziale superiore funzioni di recitazione u = u(x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

funzione u(x, y)(originale) puoi sapere come calcolare l'integrale curvilineo più comune di lamania de - sia esso un punto fisso, B(x, y) – punto di cambio e il punto è la coordinata massima X Quello . Todi vzdovzh maєmo quello dy = 0, e vzdovzh maєmo x = costі dx = 0.

Prendiamo questa formula:

Allo stesso modo, integrando lamanoy de otrimaemo

Applicare

1. Calcolare

Questo integrale dovrebbe essere depositato lungo il contorno dell'integrazione, perché

Scegliamo come modo per integrare il laman, le linee sono parallele agli assi delle coordinate. Sul primo ramo:

In un altro luogo:

Otzhe,

2. Sapere prima tu, piace

Vieni e contorna Primaє lama OMN. Todi

3. Sappi, yakscho

Qui, è impossibile prendere il punto di coordinate della pannocchia, perché a questo punto della funzione P(x, y)і Q(x, y) non assegnato, per questo lo prendiamo per un punto, per esempio. Todi

4. Conosci l'area, circondata da elіps

L'area della figura, arruffata nell'area COME e circondata da una linea chiusa C, è calcolata secondo la formula

de contorno Z viene bypassato in direzione positiva.

Trasformiamo l'integra curvilinea in una canzone, creando un cambiamento

Parametro t passare i valori da 0 a 2?

Un tale grado

3. Integrale curvilineo massimo sulla lunghezza dell'arco l yakscho l– cicloide di cavolfiore

COMPITI SUL TEMA “CURVILINE INTEGRAL”

opzione 1

De L è un triangolo della retta del punto A(0;-2) e B(4;0) giacente sul piano XOY.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

Dietro le coordinate, come L, c'è l'arco dell'ellisse, che giace nel primo quarto.

De L è il contorno di un tricot con i vertici A(1,1), B(2,2), C(1,3). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

e conosci lo yoga.

7. Il campo di forza è creato dalla forza F(x, y), che consente di fissare più punti nella pannocchia di coordinate e diretti alla pannocchia di coordinate. Conoscere al robot l'intensità del campo, applicata allo spostamento del punto materiale di una singola massa lungo l'arco della parabola y2 = 8x dal punto (2; 4) al punto (4; 4).

opzione 2

1. Calcolare l'integrale curvilineo sul bordo dell'arco (coordinate cartesiane).

De L è una contrazione di un punto rettilineo che collega O (0; 0) e A (1; 2).

2. Calcolare l'integrale curvilineo dove L è un arco parabolico dal punto A(-1;1) al punto B(1,1). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

3. Calcolare l'integrale curvilineo yakscho L - picchetto ad arco cosa si trova in 1 e 2 quadrati. Ignora il contorno dietro la freccia dell'anno.

4. La formula di Zastosovuyuchi Green, calcola l'integrale, de L - il contorno, le soluzioni della linea e l'asse opposto OX quando si aggira il contorno della freccia anti-Godinnikov.

5. Stabilire come si calcola l'indipendenza mentale dell'integrale nella direzione di integrazione per l'integrale e conosci lo yoga.

6. Rivisita, chi є compiti con un nuovo differenziale della funzione U(x, y) e conosci її.

7. Nel punto della pelle del campo di forza, la forza può essere direttamente negativa e uguale al quadrato dell'ascissa del punto del programma. Conoscere il campo per il robot quando si sposta una singola massa parabolica dal punto (1,0) al punto (0,1).

Opzione 3

1. Calcolare l'integrale curvilineo sul bordo dell'arco (coordinate cartesiane).

1. de L - l'arco della parabola è visto dalla parabola.

2. Calcolare l'integrale curvilineo yakscho L-wire è una linea retta, che collega i punti A(0,1), B(2,3). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

3. Calcolare l'integrale curvilineo poiché L è l'arco del primo arco della cicloide. Ignora il contorno dietro la freccia dell'anno.

4. La formula di Zastosovuyuchi Green, calcola l'integrale de L – elіps Contorno obkhіd della freccia dell'anti-godinnikov.

5. Stabilire come si calcola l'indipendenza mentale dell'integrale nella direzione di integrazione per l'integrale e conosci lo yoga.

6. Rivisita, chi є compiti con un nuovo differenziale della funzione U(x, y) e conosci її.

7. Calcola la forza del robot e l'ora di movimento del punto materiale della metà superiore dell'ellisse dal punto A (a, 0), punto B (-a, 0).

Opzione 4.

1. Calcolare l'integrale curvilineo sul bordo dell'arco (coordinate cartesiane).

1. de L - contorno di un quadrato

2. Calcolare l'integrale curvilineo dove L è l'arco della parabola del punto À(0,0), fino al punto (1,1). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

3. Calcolare l'integrale curvilineo yakscho L - la metà superiore dell'ellisse Ignora il contorno dietro la freccia dell'anno.

4. Usando la formula di Green, calcola l'integrale de L - il contorno del tricot con i vertici A (1; 0), B (1; 1), C (0.1). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

6. Rivisita, chi є compiti con un nuovo differenziale della funzione U(x, y) e conosci її.

7. Viene applicata una forza sul punto della pelle del paletto, con proiezioni sull'asse delle coordinate є Assegna la forza al robot per l'ora di spostamento del punto materiale lungo il palo. Perché il robot costa zero?

Opzione 5.

1. Calcolare l'integrale curvilineo sul bordo dell'arco (coordinate cartesiane).

De L - una linea retta che collega i punti 0 (0,0), і A (4; 2)

2. Calcolare l'integrale curvilineo in quanto L è l'arco del punto curvo che va da A(0.1) al punto B (-1,e). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

3. Calcolare l'integrale curvilineo come L - 1 quarto della puntata Ignora il contorno dietro la freccia dell'anno.

4. La formula di Zastosovuyuchi Green, calcola l'integrale de L - contorno, dintorni e bypass del contorno della freccia opposta.

5. Stabilire come si calcola l'indipendenza mentale dell'integrale nella direzione di integrazione per l'integrale e conosci lo yoga.

6. Rivisita, chi є compiti con un nuovo differenziale della funzione U(x, y) e conosci її.

7. Il campo viene creato con la forza // = modo retto per impostare il taglio dal raggio della retta - il vettore del punto її zastosuvannya. Conoscere il campo per il robot quando il punto materiale di massa m viene spostato dietro l'arco del picchetto dal punto (a, 0) al punto (0, a).

Opzione 6

1. Calcolare l'integrale curvilineo sul bordo dell'arco (coordinate cartesiane).

De L - un quarto di quota, che sta nel I quadrante.

2. Calcolare l'integrale curvilineo yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

3. Calcolare l'integrale curvilineo poiché L è la metà superiore della puntata Ignora il contorno dietro la freccia dell'anno.

4. La formula di Zastosovuyuchi Green, calcola l'integrale de L - il contorno, l'ambiente circostante, aggirando il contorno della freccia dell'anti-godinnikov.

5. Stabilire come si calcola l'indipendenza mentale dell'integrale nella direzione di integrazione per l'integrale e conosci lo yoga.

6. Rivisita, chi є compiti con un nuovo differenziale della funzione U(x, y) e conosci її.

7. Conoscere il lavoro della forza elastica, direttamente sulla pannocchia delle coordinate, poiché il punto di ristagno della forza descrive la freccia opposta del quarto di ellisse cosa si trova nel quadrante I. L'entità della forza è proporzionale alla distanza del punto dalla pannocchia di coordinate.

Opzione 7.

1. Calcolare l'integrale curvilineo sul bordo dell'arco (coordinate cartesiane).

De L - parte della parabola dal punto (1, 1/4) al punto (2; 1).

2. Calcolare l'integrale curvilineo de L - vertice della retta, che collega i punti B (1; 2) e B (2; 4). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

3. Calcola l'integrale curvilineo come L - il primo arco della cicloide Dal contorno dietro la lancetta dell'anno.

5. Stabilire come si calcola l'indipendenza mentale dell'integrale nella direzione di integrazione per l'integrale e conosci lo yoga.

6. Rivisita, chi є compiti con un nuovo differenziale della funzione U(x, y) e conosci її.

7. Il punto materiale di una singola massa si muove lungo il paletto sotto la direzione della forza, le cui proiezioni sono sull'asse delle coordinate є . Indurre forza sulla pannocchia del paletto della pelle. Conosci il lavoro del contorno.

Opzione 8.

1. Calcolare l'integrale curvilineo sul bordo dell'arco (coordinate cartesiane).

De L - contorno di un rettangolo con vertici nei punti 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Calcolare l'integrale curvilineo, ad esempio L è l'arco della parabola dal punto A (0; 0) al punto B (1; 2). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

3. Calcolare l'integrale curvilineo yakscho L - parte di un palo 1. Bypassare il contorno dietro la freccia annuale.

4. La formula di Zastosovuyuchi Green, calcola l'integrale de L - il contorno del tricot con i vertici A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

5. Installare, chi vykonuetsya mente indipendenza dell'integrale nel modo di integrazione per l'integrale e conoscere lo yoga.

6. Rivisita, chi є compiti con un nuovo differenziale della funzione U(x, y) e conosci її.

7. Il punto materiale si sposta con un'ellisse pіd dієyu force, il cui valore è il punto più costoso al centro dell'ellisse ed è raddrizzato al centro dell'ellisse. Calcola la forza del robot, come punto per bypassare l'intero elіps.

Opzione 9.

1. Calcolare l'integrale curvilineo sul bordo dell'arco (coordinate cartesiane).

De L - l'arco della parabola, che si trova tra i punti

A, (2;2).

2. Calcolare l'integrale curvilineo dove L è una costrizione di una retta, che collega i punti A (5; 0) e B (0,5). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

3. Calcolare l'integrale curvilineo, come L - l'arco dell'ellisse tra i punti, che mostrerà la circonferenza del contorno dietro la freccia dell'anno.

4. La formula di Zastosovuyuchi Green, calcola l'integrale de L - attorno al contorno della controfreccia.

5. Stabilire come si calcola l'indipendenza mentale dell'integrale nella direzione di integrazione per l'integrale e conosci lo yoga.

6. Rivisita, chi є compiti con un nuovo differenziale della funzione U(x, y) e conosci її.

7. In corrispondenza del punto di pelle della curva, viene applicata una forza, le cui proiezioni sugli assi delle coordinate indicano il lavoro della forza quando il punto materiale di una singola massa viene spostato lungo la curva dal punto M (-4; 0) al punto N (0; 2).

Opzione 10.

1. Calcolare l'integrale curvilineo sul bordo dell'arco (coordinate cartesiane).

De L - una linea retta che unisce i punti A

2. Calcolare l'integrale curvilineo, ad esempio L è l'arco della curva dal punto A(1;0) a B(e,5). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

3. Calcolare l'integrale curvilineo poiché L è l'arco del palo cosa si trova a 1U quadrato. Ignora il contorno dietro la freccia dell'anno.

4. Usando la formula di Green, calcola l'integrale de L - il contorno del tricot con i vertici A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Ignora il contorno della freccia anti-anno.

5. Stabilire come si calcola l'indipendenza mentale dell'integrale nella direzione di integrazione per l'integrale e conosci lo yoga.

6. Rivisita, chi є compiti con un nuovo differenziale della funzione U(x, y) e conosci її.

7. Viene applicata una forza al punto skin della linea, le cui proiezioni sono sugli assi delle coordinate Calcolare il robot interessato dalla forza quando il punto materiale viene spostato lungo la linea da M (1; 0) al punto N (0; 3).

Lezione 4

Argomento: La formula di Green. Pulisce l'indipendenza dell'integrale curvilineo nel modo di integrazione.

La formula di Green.

La formula di Green stabilisce una connessione tra un integrale curvilineo su un contorno chiuso Г su un piano e un integrale inferiore su un'area circondata da un contorno.

L'integrale curvilineo su un contorno chiuso Ã è indicato dal simbolo Il contorno chiuso Ã inizia nel punto principale del contorno e termina nel punto B. L'integrale lungo un contorno chiuso non giace se viene selezionato il punto B.

Appuntamento 1. Il bypass del contorno G è considerato positivo, poiché bypassando il contorno G, l'area D diventa sinistrorsa. Il circuito P + - P bypassa la direzione positiva, il circuito P - - bypassa la direzione negativa. nella direzione opposta

G+

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

Diamo un'occhiata all'integrale sottostante

Allo stesso modo si può sostenere che:

Dalle uguaglianze (1) e (2) è necessario:

Otzhe,

La formula di Green per le omissioni schiacciate è stata completata.

Rispetto 1. La formula di Green rimane giusta, in quanto tra la regione G D e le rette reali, parallelo all'asse 0X o 0Y si sposta più in basso in due punti. Krim ts'ogo, la formula di Green è valida per le regioni n-stellari.

Lavare l'indipendenza dell'integrale curvilineo come integrazione sul piano.

In questo paragrafo è facile capire, nelle viconane, ad esempio, l'integrale curvilineo deve cadere nella direzione dell'integrazione e cadere nella forma della pannocchia e dei punti finali dell'integrazione.

Teorema 1. Per avere un integrale curvilineo senza trovarsi nel percorso di integrazione in una regione a collegamento singolo, è necessario e sufficiente, in modo che l'integrale, di portare con sé un contorno chiuso e liscio in questa regione, raggiunga lo zero.

Prova: Necessità. Si dà: depositare in direzione di integrazione. È necessario portare a zero l'integrale curvilineo dietro un contorno chiuso liscio-liscio.

Prendiamo un contorno chiuso G liscio a tratti vicino all'area D. Sul contorno G, prendiamo altri punti B e C.

Oskіlki si trova nel percorso di integrazione, quindi

, poi.

Prosperità. Dato: integrale curvilineo Be-yakim zaknenim shmatkovo-contorno liscio a zero.

Occorre provare che l'integrale deve essere depositato nella direzione dell'integrazione.

Diamo un'occhiata all'integrale curvilineo dietro due contorni lisci e rimescolati che collegano i punti B e C. Dietro la mente:

Totò. curvilineo

integrale da depositare in direzione di integrazione.

Teorema 2. Procedi senza interruzioni contemporaneamente con passeggiate private e in uno spazio a un collegamento D. Per avere un integrale curvilineo è necessario e sufficiente non porsi in basso nel cammino dell'integrazione, perché la divisione D sia vittoriosa

Prova: sufficienza. Dato: . È necessario portare cosa depositare in direzione di integrazione. Per chi è sufficiente portare cosa dovnyuє zero dietro un contorno chiuso e liscio. Secondo la formula di Green, possiamo:

Necessità. Dato: Per il Teorema 1, l'integrale curvilineo depositare in direzione di integrazione. È necessario portare cosa

6. La formula per il valore medio dell'integrale sing.

7. Integrale sul limite superiore mutevole. Yogo bezperervnіst quella differenziazione.

8. Formula di Newton-Leibniz per l'integrale sing.

9. Calcolo del singolo integrale per parti e sostituzione del resto.

10. Cucitura integrale (l'area di una figura piatta, la lunghezza di un arco curvo, il volume della fasciatura del corpo).

11. Comprendere la serie numerica ta yogo sumi. Criteri Koshі zbіzhnostі riga. Intelligenza necessaria.

12. Segni di Delambert e Koshі zbіzhnostі ryadіv con membri di nevid'єmnimi.

13. Segno integrale della serie di numeri Koshі zbіzhnostі.

14. Numero di righe significative. Assolutamente quello zbіzhnist mentale. File di segni. segno Leibniz.

15. Serie funzionali. L'importo è basso. Il valore di un reddito uguale è basso. Criterio Koshі uguale redditività della serie funzionale.

16. Weijerstras segno di anche vivere.

18. Riga di gradini. Il teorema di Abele.

19. Raggio di vita di una fila statica. La formula di Cauchy-Hadamard per il raggio del raggio della serie statica.

21. Funzioni del ricco cambiamento. Comprendere lo spazio euclideo degli n mondi. Un punto impersonale dello spazio euclideo. La sequenza di punti e її confine. Funzioni designate di un piccolo numero di modifiche.

22. Tra le funzioni di una serie di modifiche. Funzione ininterrotta. Vacanze private

23. Designazione della funzione differenziale di un numero di variabili e її differenziale. Pokhіdnі e differenziali di ordini superiori.

24. La formula di Taylor per le ricchezze del cambiamento. L'estremo della funzione di un piccolo numero di variabili. Mente necessaria estrema. Basta con la mente estrema.

25. Integrale sostenuto e yoga del potere. Zvedennya podvіynogo integrale fino a ripetuto.

27. Sostituzione di modifiche nell'integrale terzo. Coordinate cilindriche e sferiche.

28. Calcolo dell'area di una superficie liscia, data parametricamente ed esplicitamente.

29. Nomina di integrali curvilinei del primo e dell'altro genere, loro potenza principale e calcolo.

30. La formula di Green. Pulisce l'indipendenza dell'integrale curvilineo nel modo di integrazione.

31. Integrali superficiali della prima e dell'altra specie, loro potenza principale e calcolo.

32. Teorema di Gaus-Ostrogradsky, notazione її in forma coordinata e vettoriale (invariante).

33. Formula di Stokes, scritta in forma coordinata e vettoriale (invariante).

34. Campi scalari e vettoriali. Gradiente, divergenza, rotore. Campi potentinici e salini.

35. Operatore Hamilton. (Nabla) yogo zastosuvannya (applicare).

36. I principali concetti utilizzati sono le equazioni differenziali del primo ordine (ode) del primo ordine: la soluzione globale, l'integrale globale, la curva integrale. Zavdannya Koshі, її geometricamente significativo.

37. Integrazione di un'ode al primo ordine con le modifiche che sono divise e lo stesso.

38. Integrazione di odi lineari del primo ordine ed equalizzazione di Bernoulli.

39. Integrazione di un'ode al primo tasto nei differenziali polari. Moltiplicatore integrato.

40. Uguaglianze differenziali del primo ordine, invariabilmente simili. Metodo di richiesta dei parametri.

41. Equivalenza dell'n-esimo ordine a coefficienti costanti. Caratteristicamente uguale. Sistema di soluzione fondamentale (FSR) di allineamento omogeneo, soluzione globale di allineamento eterogeneo.

42. Sistema di uguaglianze differenziali lineari del primo ordine. FSR di un sistema omogeneo. Una visione lampante di un sistema omogeneo.

30. La formula di Green. Pulisce l'indipendenza dell'integrale curvilineo nel modo di integrazione.

Formula di Green: se C è chiuso tra l'area D e le funzioni P(x, y) e Q(x, y) insieme ai loro analoghi privati del primo ordine senza interruzione nell'area chiusa D (compreso il cordone C), allora Vale la formula di Green: inoltre si seleziona bypass intorno al contorno C in modo che l'area D sia sinistrorsa.

Tre lezioni: Dare le funzioni date P(x,y) e Q(x,y) come domini D non interrotti contemporaneamente da quelli privati del primo ordine. Integrale sopra il cordone (L), che deve giacere esattamente nella regione D e coprire tutti i punti della regione D: . Positivo direttamente al contorno è tale, se la parte del contorno è circondata da una mano sinistra.

L'indipendenza di Umov dall'integrale curvilineo del 2° tipo di percorso di integrazione. È necessario che basti pensare che l'integrale curvilineo del primo tipo, che collega i punti M1 e M2, non si trova nel percorso di integrazione, ma si trova solo nella pannocchia e nei punti finali, equanimità:.

31. Integrali superficiali della prima e dell'altra specie, loro potenza principale e calcolo.

- Gestore di superficie.

Progettiamo S su un piano xy, prendiamo una tavola D. Disegniamo una tavola D con una griglia sul pezzo, che prendono il nome di Di. Dal punto della pelle della linea della pelle, tracciamo linee parallele z, quindi i S è diviso in Si. Aggiungiamo la somma integrale: . Dirigiamo il massimo del diametro Di a zero:, prendiamo:

Ce integrale di superficie del primo tipo

È così che entra in gioco l'integrale di superficie del primo tipo.

Appuntamento brevemente. Di norma esiste un limite limite della somma integrale, per cui non è possibile mentire nel modo di dividere S sulla trama elementare Si e nella scelta dei punti, vin è chiamato integrale superficiale del primo tipo .

Quando si passa dalla x і y modificata a u e v:

P l'integrale di superficie può avere tutta la potenza dell'integrale stellare. Le dive sono più ricche di cibo.

Lo scopo dell'integrale di superficie è di un tipo diverso, che è la potenza principale di quel calcolo. Collegamento dall'integrale del primo tipo.

Sia data la superficie S, circondato da una linea L (Fig. 3.10). È possibile aggiungere due normali alla superficie S sulla superficie S, che non può essere un doppio punto con il cordone L. Delinea il punto M dietro il contorno L, scegliendo la retta normale.

Se la posizione del punto M ruota lungo questa stessa normale (e non opposta), la superficie S viene chiamata a due lati. Possiamo solo guardare le superfici a due lati. Superficie bilaterale - sia che si tratti di superficie liscia con uguale.

Sia S una superficie aperta a due lati, circondata da una retta L, in modo che non vi sia punto di autoincrocio. Scegliamo lo stesso lato della superficie. Chiamiamo il bypass diretto positivo del contorno L una tale linea retta, con la Russia sull'altro lato della superficie, la superficie stessa è priva di male. Una superficie a due lati che viene installata su di essa in un ordine così positivo da un bypass diretto dei contorni è chiamata superficie orientata.

Passiamo a un integrale di superficie di tipo diverso. Prendiamo una superficie bifacciale S, che è formata dal numero finale di pezzi, cuoio da alcuni compiti pari alla mente o una superficie cilindrica con soddisfacenti assi paralleli Oz.

Sia R (x, y, z) - una funzione, assegnata e senza interruzioni sulla superficie S. Per un numero di linee, S è diviso per un ordine sufficiente in n trame "elementari" ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi , ..., ΔSn, non importa punti interni assonnati. Nello spazio cutaneo ΔSi, selezioniamo il punto Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) in un ordine ragionevole. Sia (ΔSi)xy l'area della proiezione del grafico ΔSi sul piano delle coordinate Oxy, presa con il segno "+", in modo che la normale alla superficie S nel punto Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) imposta il Vіsyu Oz è un taglio ostile e con il segno "-", il che significa che questo taglio è stupido. Aggiungiamo la somma integrale per la funzione R(x,y,z) sulla superficie S dopo aver cambiato x,y: . Sia λ il maggiore dei diametri ΔSi (i = 1, ..., n).

Se esiste un limite finale, in modo da non ostacolare la divisione della superficie S sul grafico "elementare" ΔSi e la scelta di un punto, allora vin è chiamato integrale di superficie lungo il lato scelto della superficie S nella funzione R (x, y, z) per le coordinate x, y (o un integrale superficiale di altro tipo) ed è assegnato .

Allo stesso modo, è possibile indurre integrali di superficie sulle coordinate x, z o y, z lungo il lato opposto della superficie, cioè. і .

Oltre a tutti gli integrali, si può introdurre un integrale "alto" sul lato opposto della superficie: .

Un integrale superficiale di altro tipo può dipendere dalla potenza dell'integrale. È più rispettoso che se un integrale di superficie di altro tipo cambia il segno del cambiamento del lato della superficie.

Legame tra integrali di superficie del primo e dell'altro tipo.

Sia data la superficie S uguale: z \u003d f (x, y), inoltre, f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - funzioni ininterrotte vicino alla regione chiusa τ (la proiezione della superficie S sul piano delle coordinate Oxy), e la funzione R(x,y,z) è continua sui lati della superficie S. della superficie S. Todi.

Per uno zagalny vpadku maєmo: