Spettro della matrice. Matrix Spectrum "Matrix Spectrum" nei libri

DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2017.4.2

UDC 517.984.3: 519.177 LBC 22.161

LO SPETTRO DELLA MATRICE DEGLI STABILIMENTI DEL MAIŽE DELL'ORGRAFO DI RIPARAZIONE

Sergio Viktorovich Kozlukov

Voronezsky Università Statale [email protetta]

vul. Università, 1, 394000 m Voronezh, Federazione Russa

Astratto. Per l'ausilio del metodo di operatori simili, viene sviluppata la potenza spettrale delle matrici di somma dei grafici, vicine agli orientamenti degli altri (grafici). Vengono fornite le stime dei valori più alti di tali matrici.

Parole chiave: metodo di operatori simili, spettro grafico, localizzazione allo spettro, forma normale di Jordan, allineamento non lineare che spreme l'immaginazione.

1. Introduzione e risultato principale

Diamo un'occhiata alla matrice Ami espansa N x N, piegata con M zeri e N2 - M quelli. Come la matrice di sum_zhnost_ Amm v_dpod_daє al digraph, otrimanomu s povynogo graph con loop su N vertici delle distanze dei bordi deyakih M z M2. Gli atti importanti per la potenza del grafico sono connessi con lo spettro della matrice delle sommatorie. Quindi, ad esempio, viene descritto un modello discreto dell'espansione del virus nella misura, nel raggio spettrale della matrice di somma del grafico della misura è mostrato dai valori di soglia 1/T0 nel rapporto 1 /t = 5/a dell'intensità dell'infezione dei nodi e dell'intensità dell'infezione dei nodi, somma delle infezioni. La posizione 1/t alla soglia 1/T0 determina (endemica o epidemica) la natura dell'infezione. La teoria spettrale dei grafi e її zastosuvannya sono state riviste nella monografia.

Cosa puoi dire del potere delle matrici della mente analizzata?

Matrix AMm può essere inviato a colpo d'occhio

de - matrice, piegata in N x N unità e unità maє esattamente

in luoghi tranquilli, de in Amm stand zero.

Lo spettro a) della matrice è facilmente preso in considerazione:

a(t) = (0, M).

Per dosare piccole matrici di spettri M e Amm saranno "vicini". Utilizzando il metodo di operatori simili (div.: ), che consente, per l'oscurità di un oggetto "ideale", il potere spettrale di una tale specie, di conoscere l'elemento dell'algebra, che si vede, isospettrale per l'ossessionato, ma può essere più conveniente calcolare la struttura, nell'articolo viene riportato il teorema offensivo.

Teorema 1. Sia M< М2, тогда спектр матрицы Амм можно представить в виде объединения а (Амм) = а! и а2 непересекающихся одноэлементного множества а! = = {Л!} и множества а2, удовлетворяющих условиям:

ai C (ce R; | c - N |< 4VМ Ü2 С |ц е C; |ц| < 4у/М

2. Prova

Rimodellamento frontale

La dimostrazione si basa sulla motivazione per la matrice, simile ad Amm, ma il potere è “più semplice”. Le soluzioni per l'allineamento non lineare nell'algebra C di Banach vengono fornite con il metodo delle iterazioni semplici (div., ad esempio, ). La somiglianza delle matrici L!, L2 è intesa nel senso della base della matrice inversa e tale che LS = IL2. Matrici simili sono isospettrali (i loro spettri sono selezionati). Eseguiamo una trasformazione in avanti.

Lemma 1. Matrice di 1s

Simile alla matrice

Più precisamente, la matrice ortogonale principale i è tale che sho = ЫLI-!.

Portare. Valore libero 0 v_dpov_daє N – 1 vettore di potenza indipendente /! = (1, -1, 0, ..., 0), ..., -! = (0,..., 0,1, -1), e il valore libero N della matrice è dato dal vettore di potenza = (1,..., 1). Stabilita l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, togliamo il sistema ortonormale H]_,..., :

= (1,..., 1)

2)(M -1 1) ■1)M

2) (M -1 1) y / (" -1 ■1) M

^(M -2 -2)(M -M 1) ■1)M

In questo modo, la matrice visiva Lmm è simile matrici A-B, de B Data l'ortogonalità della matrice e svolgono un ruolo importante.

Divisione della matrice e risultato

Matrix s Ma^^C può essere scritto nella vista a blocchi X

х11 - numero, Х12 - riga, Х21 - colonna, Х22 - blocco quadrato di spazio N - 1. Tali matrici di blocchi soddisfano di per sé l'algebra, isomorfe all'esterno e їх possono essere moltiplicate per rango naturale per elementi dello spazio С x СМ- 1, isomorfo Сm :

/XtX1 + X12 ^ 2 \ \ X21X1 + X22X2)

In nidificazioni distanti, gli oggetti isomorfi appaiono reciprocamente intercambiabili.

Ereditando lo schema utilizzando il metodo degli operatori simili, matrice più “semplice”, simile a L - B, guardando L - ZX con una matrice di trasformazione di similarità E + GH, de E e C - una sola matrice, Z, G: C ^ C - linea -

nessun operatore che lavora sull'algebra Ma ^ ^ C, che vengono scelti nel corso della decisione, inoltre, З è un proiettore (З2 = З),

soddisfa il livello di LGH - (GH) L \u003d X - ZX. Lemma 2. Operatori З e Р seguiti da formule

(Xt 0 \ ^0 X22),

Lezione 1. Lo spettro della matrice diagonale a blocchi L - JX = ^^ 0Xn x) є

combinando spettri di blocchi diagonali її:

a(A - JX) = (N - xn] U a(X22).

Portare. Sia P dіє per la formula GH \u003d (r11 (^) r12 (v)), quindi

\G21(^) Ã 22))

LGH - (GH) L \u003d (-N YX)

è impostato lo stesso livello per il GC

- - "= - (-gі%) 0 .

nal blocca Khts i X22, è accettabile

Allora, J può azzerare in X ~ (^31 ^12) e MatrNC tutto, tranne due diago-

G L N V-^21 0) ■

Ora scriviamo la somiglianza delle matrici L-B e L-JX:

(L - V) (E + GC) = (E + GC) (L - JX), X e MatrNC. (uno)

Lemma 3

X \u003d VGH + B-(GH) (3 (B (E + GH))), X e MatrNC. (2)

Portare. Braccia storte, l'uniformità (1) può essere modificata a colpo d'occhio

X = VGH + B - (GH) JX. (3)

Sia X viconano (3). Todi, parità vrakhovyuchi J((ГХ)JX) = 0, meno parità

JX \u003d LV + J (VGH) \u003d 3 (V (E + GH)). (quattro)

Inviando questa virasi all'indietro (3), porta via (2). Allo stesso modo, zastosovuyuchi fino a entrambe le parti di uguaglianza (2) operatore J e vrakhovuchi, schcho J((ГХ)3(В(Е + ГХ)))) = 0, è possibile (3).

Viraz vicino alla parte destra del fiume (2) è significativo

F (X) \u003d VGH + B- (GH) (3 (B (E + GH))).

Ora si mostrerà che per le menti che cantano la trasformazione non lineare di F: Ia^mS ^ Ia^mS può essere un invariante impersonale deuce cool P C Ia^mS con il centro a zero (tobto F(P) C P), d'altra parte, sta stringendo.

Prendiamo una norma sottomoltiplicativa in Ia^mC || ■|| (questa è la norma, che soddisfa il nervosismo ||^L2|< ||Д1||||Д2|| при всех А\, Л2 € € Matr мС). Нам нужно найти такой радиус г >0, sì ||X||, ||Y ||< г выполнялись бы неравенства ||Ф(Х)|| < г и ||Ф(Х) - Ф(У)|| < дЦХ - У||, д € (0,1). Обозначим в = ||В||, у = 8ПР||Х || = ! ||ГХ ||. Лемма 4. Пусть ув < 4, тогда шар

P = (X € Ia^mC; | | X | |< Го} ,

0 <Г° =-^-< 4в,

soddisfa la mente F (P) Z P. Dimostrazione. Evidente incoerenza

||F(X)||< вУ2|Х||2 + 2ву|Х|| + в. Значит, если г удовлетворяет неравенству

vv2g2 + (2vv - 1)g + v< 0, (5)

quindi ||Ф(Х)||< г при всех ||Х|| < г. Если ув < то дискриминант А = 1 - 4ув соответствующего уравнения положителен и его корни вещественны. Из знаков коэффициентов возникшего многочлена видно, что оба корня положительны. Следовательно, наименьший положительный г, удовлетворяющий неравенству (5), есть наименьший корень соответствующего уравнения:

1 - 2uv - V! - 4uv

vrakhovuyuchi uv< 4, имеем г° < 4в.

Allo stesso modo, viene ripristinata l'esordio di Lema. Lemma 5< тогда Ф - сжимающее отображение:

||F(X) - F(U)||< дЦХ - У||, Х,У € П,

d \u003d (1 + 2y °) uv< (1 + 8ув)ув < 4.

Portare.

||F(X) - F(U)|| = ||BG(X - Y) + (GH)(VDH + B) - (GU)(BDU + B)\\<

< ву\\Х - У|| + ву2||Х -У||||Х + У|| < < ву|Х - У|| + 2гсву2||Х - У||.

Qui vikoristano la gelosia

(GH)Z(BGH) - (GU)Z(BDU) = 1 [G(X - Y)Z(BG(X + Y)) + G(X + Y)Z(BG(X - Y))]

Zvіdsi i z Il teorema di Banach su un punto non violativo di viplivaє lem. Lemma 6

P = (X e Ma ^ C; | | X | |< Гд}

існує і inoltre, una soluzione X ° uguale (2), che è il confine della sequenza (Fk (0); a e M), de Fk \u003d F su Fk-1 - composizione. Conclusione 2. La matrice L - B è simile alla matrice diagonale a blocchi L - ZX

a chi vincere, pensa:

a (L -B) \u003d (X - w? 1) io a (-X2 ° 2),

x°n e M, |x?1|< Го < 4в, а (-^2°2) С (ц е С; |ж| < го < 4р}.

Portare. La matrice L - B è simile alla diagonale a blocchi L - ZX°, a cui sono portati i loro spettri. Lo spettro della matrice L - ZX è la combinazione di spettri di її blocchi diagonali. Sulla base della sottomoltiplicatività delle norme, c'è molta incoerenza

spr(X°) = massimo |A|< ||Х°|| < гд.

Inoltre, il significato di x^ è pronunciabile, come un confine di una sequenza vocale che scorre.

Torniamo indietro, nareshti, fino alla conferma del teorema principale senza interruzioni.

Dimostrazione del Teorema 1. Per la dimostrazione non era sufficiente scegliere una norma submoltiplicativa. Vale la pena rispettare che la matrice I, che si porta in diagonale, è ortogonale, cioè moltiplicata per TA oppure I-1 è isometrica. Otzhe, ||B|| = CV mi | |. Guarda la norma Frobenius dello spazio aperto

||-||^, è definito dalla formula ||X= ^^^x^^, X = (x^) e Ma^^yC. Vaughn è submoltiplicativo. Con cui Vmi si aggiunge solo z M, a quello

ß = \\in \\F = \\Bmn \\f =

Rispettosamente, anche la gelosia è ovvia

(0 Xi2\ V-^21 0)

Yakscho u/m< , то выполняются условия леммы, причем г° < 4\/~М. Это значит,

che a(Amm) = a! ta a2, de a! = (L C M, |LX - N|!}< 4v/M, а2 С {ц € С; |ц| < 4v/M}, а! П а2 = 0. Теорема доказана.

RIFERIMENTI

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SULLO SPETTRO DI UNA MATRICE DI ADIACENZE DI GRAFICO QUASI COMPLETO

Sergey Victorovich Kozlukov

Università statale di Voronezh [email protetta]

University St., 1, 394000 Voronezh, Federazione Russa

astratto. Sia AMn una matrice N x N è N2 - M unità e M zeri. Preso come una matrice di ammortizzazione, AMn corrisponde a un digrafo completo con anelli su N vertici con alcuni M su N2 bordi rimossi. Alcuni

I poteri importanti del conte sono contrassegnati da uno spettro. Per il calcio di Wang et al. proposto un modello a tempo discreto di propagazione virale in una rete. Nel mio modello il virus si estinguerà o si attarderà a seconda di quale sia il rapporto tra i tassi di guarigione e infezione è inferiore o superiore al valore di soglia. Come Wang e dentro. Posso dire che la terza riga è il raggio spettrale delle adiacenze della matrice del grafo di rete, ad es. il valore esterno massimo dei valori di combattimento dello yoga. Una descrizione più piacevole della teoria dei grafi spettrali e ulteriori ricerche viene effettuata da Cvetkovic et al. .

Questo materiale analizza le proprietà spettrali di tali matrici. La matrice AMN può essere rappresentata nella forma AMn = Jn - BMN, de Jn є N x N Lo spettro di JN può essere facilmente formulato: JN = NJ, quindi L(L - N) è il polinomio annichilante minimo di JN e la base dello spettro Jn è a(JN) = (0,N).

Per piccola amicizia gli autovalori M di AMN saranno "vicini" a quelli di JN. In questo metodo vincono operatori simili, in quanto consentono in presenza di un unico obiettivo (se le singolarità sono significative) per il riconoscimento di un elemento di un'algebra con uno visivamente simile, al punto che si può sviluppare un "più semplice " struttura. Con questo metodo si dimostra il seguente teorema:

Teorema. Lascia che M< N2, then the spectrum of AMN can be represented as a disjoint union a (AMN) = a1 U a2 of a singletone a1 = {Л1} and the set a2, satisfying the following conditions:

CTi (c e R; | c - N |< iVM a2 С |ц e C; |ц| < А^М}.

Parole chiave: metodo dell'operatore simile, spettri dei grafi, localizzazione degli autovalori, forma normale di Jordan, equazioni non lineari, teoria della contrazione.

Sukupnіst її significati potenti. div. anche Caratteristico termine ricco matrici.

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