Kennen Sie die Koordinaten der orthogonalen Projektion eines Punktes direkt. Projektion eines Punktes auf eine Gerade Koordinaten einer Projektion eines Punktes auf eine Gerade. Projektion eines Punktes auf eine Gerade - Theorie, wende diese Lösung an

Tsya-Artikel zum Verständnis der Projektion eines Punktes auf einer geraden Linie (alle). Mi damo yoma wurde für die vikoristannya-Kleine ernannt, was ich erkläre; Vivchimo-Methode zur Zuordnung der Koordinaten der Projektion eines Punktes auf einer geraden Linie (auf einem flachen oder trivialen Raum); Probieren wir es aus.

Im Artikel "Projektion eines Punktes auf eine Ebene, Koordinaten" haben wir uns gefragt, ob die Gestaltung einer Figur unter den Begriffen der senkrechten oder orthogonalen Gestaltung zu verstehen ist.

Alle geometrischen Figuren sind in Punkte gefaltet; Um eine Figur auf eine gerade Linie projizieren zu können, ist es daher notwendig, die Fähigkeit zu berücksichtigen, einen Punkt auf eine gerade Linie zu projizieren.

Termin 1

Projektion eines Punktes auf eine Gerade- tse oder der Punkt selbst, wie er auf der gegebenen geraden Linie liegen sollte, oder die Basis der vom Punkt auf der gegebenen geraden Linie fallenden Senkrechten.

Betrachten wir die Kleinen unten: Der Punkt H 1 dient als Projektion des Punktes M 1 auf die Gerade a, und der Punkt M 2, der auf der Geraden liegt, ist die Projektion auf sich selbst.

Richtiger ist die Bezeichnung für das Vipadka an der Oberfläche und im Trivimerraum.

Um die Projektion des Punktes M 1 auf die Gerade a auf die Ebene zu nehmen, zeichne eine Gerade b, so dass sie durch einen gegebenen Punkt M 1 i verläuft und senkrecht zur Geraden a steht. In dieser Reihenfolge ist der Schnittpunkt der Linien a und b die Projektion des Punktes M 1 auf die Linie a.

In einem trivialen Raum dient die Projektion eines Punktes auf eine gerade Linie als Punkt auf die Schnittlinie der geraden Linie a und der Ebene α, die durch den Punkt M 1 senkrecht zur geraden Linie a verläuft.

Der Wert der Koordinaten der Projektion eines Punktes auf eine gerade Linie

Schauen wir uns die Ketten in den Landschaften des Designs auf der Ebene und in der trivialen Weite an.

Geben Sie uns die Aufgabe eines rechtwinkligen Koordinatensystems O x y, Punkt M1 (x1, y1) i Gerade a. Es ist notwendig, die Koordinaten der Projektion des Punktes M1 auf die gerade Linie a zu kennen.

Gehen wir durch den gegebenen Punkt M 1 (x 1, y 1) die Gerade b senkrecht zur Geraden a. Der Haltepunkt ist mit H1 gekennzeichnet. Punkt H 1 wird der Projektionspunkt des Punktes M 1 auf der geraden Linie a sein.

Aus der Beschreibung ist es möglich, einen Algorithmus zu formulieren, mit dem Sie die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 (x 1 y 1) auf der geraden Linie a kennen können:

Falten von geraden Linien (wie es nicht angegeben ist). Für zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya main rivnyan in der Wohnung;

Notieren Sie die Ausrichtung der Geraden b (um durch den Punkt M 1 zu gehen und senkrecht zur Geraden a). Hier wird der Artikel über die Ausrichtung der Geraden, um durch einen gegebenen Punkt senkrecht zur gegebenen Geraden zu verlaufen, ergänzt;

Es ist offensichtlich, dass die Koordinaten der Projektion als die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden a und b genommen werden. Und dazu hat sich das Gleichheitssystem bewährt, Lager wie - Ausgleich der Geraden a und b.

Hintern 1

Auf der Ebene O x y ist der gegebene Punkt M 1 (1, 0) die gerade Linie a (höhere Ausrichtung – 3 x + y + 7 = 0). Es ist notwendig, die Koordinaten der Projektion des Punktes M1 auf die gerade Linie a anzugeben.

Lösung

Die durch die gerade Linie gegebene Ausrichtung, die wir gemäß dem Algorithmus zur kürzesten Aufzeichnung der Ausrichtung der geraden Linie b übergehen. Die Linie b steht senkrecht auf der Linie a, und daher ist der Normalenvektor der Linie a der direkte Vektor der Linie b. Dann kann der direkte Vektor der Linien b geschrieben werden als b → = (3, 1). Schreiben wir die kanonische Ausrichtung der Geraden b auf, aber wir müssen auch die Koordinaten des Punktes M 1 durch den Weg setzen, um die Gerade b zu passieren:

Der Endschnitt zeigt die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden a und b. Lass uns weitermachen kanonischer Rivnyan direkt b zu zagalny її gleich:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Lassen Sie uns ein Ausgleichssystem aus den oberen Ausgleichen der geraden Linien a und b erstellen

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Nun, wir haben die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 (1, 0) auf die gerade Linie 3 x + y + 7 = 0 weggenommen: (- 2 , - 1) .

Anregung: (- 2 , - 1) .

Der Bericht wird überprüft, wenn es erforderlich ist, die Koordinaten der Projektion anzugeben Sollwert auf Koordinatenlinien und zu ihnen parallelen Linien.

Lassen Sie die gegebenen Koordinatenlinien O x і O y sowie den Punkt M 1 (x 1, y 1). Ich erkannte, dass die Projektion eines gegebenen Punktes auf eine gerade Koordinate O x der Form y = 0 ein Punkt mit den Koordinaten (x 1, 0) sein wird. Die Projektion des gegebenen Punktes auf die Linienkoordinate O y ist also die Koordinate 0 , y 1 .

Be-yaku ganz gerade, parallel zur Achse Abszisse, Sie können es falsch setzen wild eifersüchtig B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B und gerade parallel zur y-Achse - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Dann werden die Projektionen des Punktes M 1 (x 1, y 1) auf die gerade Linie y \u003d - C B i x \u003d - CA zu Punkten mit den Koordinaten x 1, - C B i - CA A, y 1.

Hintern 2

Nehmen Sie die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 (7, - 5) auf der Koordinatenlinie O y und auch auf der Linie parallel zur Linie O y 2 y - 3 = 0 .

Lösung

Schreiben wir die Koordinaten der Projektion des gegebenen Punktes auf die Gerade O y: (0 - 5) .

Schreiben wir die Ausrichtung der geraden Linie 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 auf. Es wird deutlich, dass die Projektion des gegebenen Punktes auf die Gerade y = 3 2 mit der Koordinatenmatrix 7 3 2 ist.

Anregung:(0 , - 5) und 7 , 3 2 .

Der triviale Raum habe ein rechteckiges Koordinatensystem O x y z , einen Punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) und eine gerade Linie a . Wir kennen die Koordinaten der Projektion des Punktes M1 auf die Gerade a.

Wir lassen die Ebene α senkrecht zur Geraden a durch den Punkt M1 i gehen. Die Projektion eines gegebenen Punktes auf eine Gerade a wird zu einem Punkt auf einer Geraden a und einer Ebene α. Darauf aufbauend führen wir einen Algorithmus für den Wert der Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 (x 1, y 1, z 1) auf die Gerade a ein:

Wir schreiben die Ausrichtung der Geraden a auf (da sie nicht angegeben ist). Um diese Aufgabe zu verstehen, müssen Sie sich mit diesem Artikel über die Ausrichtung von geraden Linien im Raum vertraut machen.

Können wir die Ebenheit speichern?

Wir kennen die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 (x 1, y 1, z 1) auf der geraden Linie a - es werden die Koordinaten des Punktes der Schnittlinie der geraden Linie α und der Ebene von α sein (zur Hilfe - der Artikel „Koordinaten des Punktes der Kreuzlinie der geraden Linie der Ebene“).

Hintern 3

Bei einem rechtwinkligen Koordinatensystem O x y z , i in nіy - Punkt М 1 (0, 1, - 1) i Gerade a . Die Gerade a entspricht der kanonischen Ausrichtung: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Bestimme die Koordinaten der Projektion des Punktes M1 auf die Gerade a.

Lösung

Vykoristovuёmo vkazyvshee-Algorithmus. Rivnyannya Gerade, der erste Schritt wird vom Algorithmus übersprungen. Schreiben wir die Ausrichtung der Fläche α auf. Für die die Koordinaten des Normalenvektors der Fläche von Bedeutung sind. Aus den gegebenen kanonischen Ausrichtungen der Geraden a können wir die Koordinaten des direkten Vektors der Geraden sehen: (3, - 4, 1), der der Normalenvektor der Fläche α senkrecht zur Geraden sein wird a. Todi n → = (3, - 4, 1) ist der Normalenvektor der Fläche α. In dieser Reihenfolge sah die Ebene der α-Matime gleich aus:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Nun kennen wir die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden und der Ebene α, für die es zwei Möglichkeiten gibt:

1. Die Aufgaben der kanonischen Ausrichtung ermöglichen es Ihnen, die Ausrichtung zweier Ebenen vorzunehmen, die sich überlappen und die die Gerade a darstellen:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Die Punkte der Kreuzlinie der Geraden 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 und Ebenen 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0 zu kennen

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

Bei zu dieser besonderen Sorte vikoristovuєmo Cramers Methode, aber Sie können zasosuvat, ob es Ruchny ist:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

Auf diese Weise ist die Projektion eines gegebenen Punktes auf eine Gerade a ein Punkt mit den Koordinaten (1, 2, 0)

1. Anhand der Aufgaben der kanonischen Ausrichtungen lässt sich die parametrische Ausrichtung der Geraden im Raum leicht aufschreiben:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Stellen wir uns in der Ebene der Ebene vor, die als 3 x - 4 y + z + 5 = 0 statt x , y і z їх Ausdruck durch den Parameter gesehen werden kann:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Berechnen wir die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden a und der Ebene α hinter den parametrischen Ausrichtungen der Geraden a bei λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Somit hat die Projektion eines gegebenen Punktes auf eine Gerade a die Koordinaten (1, 2, 0)

Anregung: (1 , 2 , 0)

Es ist wichtig, dass die Projektionen des Punktes M 1 (x 1 , y 1 , z 1) auf die Koordinatenlinien O x , O y і O z Punkte mit den Koordinaten (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) und (0 , 0 , z 1) gültig ist.

Wie hast du dich an die Entschuldigung im Text erinnert, sei freundlich, sieh es dir an und drücke Strg + Eingabetaste

jemand anderem helfen Online-Rechner Sie können die Projektion eines Punktes auf eine gerade Linie kennen. Wir hoffen, eine Lösung mit Erklärungen melden zu können. Um die Projektion eines Punktes auf eine gerade Linie zu berechnen, stellen Sie den Abstand ein (2- es sieht aus wie eine gerade Linie in der Ebene, 3- es sieht aus wie eine gerade Linie im Raum), geben Sie die Koordinaten des Punktes ein Element der Ausrichtung in das Feld und drücken Sie die Schaltfläche "Verishity".

×

Vorauszahlung

Alle Räume löschen?

Klar schließen

Anleitung zur Dateneingabe. Zahlen werden als ganze Zahlen (gilt: 487, 5, -7623 dünn.), Zehntelzahlen (z. B. 67, 102,54 dünn.) oder Bruchzahlen eingegeben. Der Bruch muss beim Anblick von a / b, de a і b (b> 0) tsіlі oder eingegeben werden zig Zahlen. 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 dünn auftragen.

Projektion eines Punktes auf eine Gerade - Theorie, wende diese Lösung an

Schauen wir uns die Aufgabe in den Zwei-Welten- und Drei-Welten-Ausdehnungen an.

1. Dem Zwei-Welten-Raum sei ein Punkt gegeben M 0 (x 0 , j 0) Ich bin gerade L:

Algorithmus zur Projektion eines Punktes auf eine Gerade L sich so zu rächen:

• direkt auffordern L 1, um den Punkt zu passieren M 0 i senkrecht zur Geraden L,
• Kennen Sie die Spannweite von geraden Linien Lі L 1 Punkt M 1)

Gerade Linie, die durch den Punkt verläuft M 0 (x 0 , j 0) könnte so aussehen:

Vіdkrієmo verbeugt sich

(5)

Nehmen wir den Wert an xі j um 4):

de x 1 =mt"+x", j 1 =pt"+ja".

Beispiel 1. Kennen Sie die Projektion eines Punktes M 0 (1, 3) gerade

Tobto. m=4, p=5. Aus der Ausrichtung der Geraden (6) ist ersichtlich, dass sie durch den Punkt verlaufen wird M" (x", ja")=(2, −3)(was leicht zu ändern ist - das Ersetzen des Werts (6) nimmt die Identität 0=0 an), dann. x"=2, ja"=-3. Nehmen wir den Wert an m, p, x 0 , j 0 ,x", y" um 5"):

2. Lassen Sie dem trivi-weltlichen Raum einen Punkt geben M 0 (x 0 , j 0 , z 0) Ich bin gerade L:

Die Bedeutung der Projektion eines Punktes auf eine gerade Linie L sich so zu rächen:

• fördern die Wohnung α , um den Punkt zu passieren M 0 i senkrecht zur Geraden L,
• kennen den Netzhautbereich α ich gerade L(Fleck M 1)

Ebenheit der Ebene, die durch den Punkt verläuft M 0 (x 0 , j 0 , z 0) könnte so aussehen:

Vіdkrієmo verbeugt sich

Nehmen wir den Wert an xі j etwa 9):

Die Projektion eines Punkts auf eine gerade Linie ist einfach durchzuführen, und für die letzten paar Operationen wird die Nullnähe als Projektion eines Punkts auf eine gepunktete gerade Linie berechnet. Werfen wir einen Blick auf diese Anzahl von Aspekten der gemeinsamen Aufgabe.

Lass es gerade laufen

Ich spucke. Wichtig ist, dass der Vektor von geraden Linien w ziemlich lang sein kann. Die Gerade geht durch den Punkt , wo der Parameter t gleich Null ist und der Vektor w gerade sein kann. Es ist notwendig, die Projektion eines Punktes auf eine gerade Linie zu kennen. Es gibt nur eine Lösung. Wir induzieren einen Vektor von einem Punkt einer Geraden zu einem Punkt und einen berechenbaren skalaren starren Vektor und einen Vektor einer Geraden w. Auf Abb. 4.5.1 zeigt den direkten Vektor der Linien w, gegebener Punkt. Wenn wir diese skalare Erweiterung durch die Länge des Vektors w teilen, nehmen wir die Länge der Projektion des Vektors auf eine gerade Linie ab.

Reis. 4.5.1. Projektion eines Punktes auf eine Gerade

Wenn wir die skalare Ausdehnung durch das Quadrat des Vektors w dividieren, dann nehmen wir die Projektion des Vektors auf die Gerade in Einheiten der Ausdehnung des Vektors w ab, also nehmen wir den Parameter t für die Projektion des Punktes auf die Gerade.

Also der Projektionsparameter eines Punktes auf einer Geraden und der Radius-Vektor der Projektion ; mit Formeln rechnen

(4.5.3)

Wenn die Länge des Vektors w gleich 1 ist, dann (4.5.2) ist es nicht notwendig, vom Punkt zur Projektion auf die Kurve in einem steilen Abhang zu subtrahieren, es wird als die Länge des Vektors berechnet. Sie können den Abstand vom Punkt zur її-Projektion auf einer geraden Linie berechnen, indem Sie nicht die Projektion des Punkts berechnen, sondern die Formel beschleunigen

Okremі fällt.

Die Projektion eines Punktes auf analytische Kurven kann auch ohne Kenntnis numerischer Methoden bekannt sein. Um beispielsweise die Projektion des Punktes auf den Endschnitt zu kennen, ist es notwendig, den projizierten Punkt in das Koordinatensystem des Endschnitts zu verschieben, den Punkt auf die Ebene des Endschnitts zu projizieren und die zu kennen Parameter der zweidimensionalen Projektion des gegebenen Punktes.

Zagalny vpadok.

Es sei notwendig, alle Projektionen eines Punktes auf einer gekrümmten Linie zu kennen.

(4.5.5)

Das Ziel ist es, sich an einem unbekannten Wert zu rächen – dem Parameter t. Wie bereits gesagt wurde, wurde die Ausführung dieser Aufgabe in zwei Phasen unterteilt. Auf der ersten Stufe bezeichnen wir die Nullannäherung der Parameter in den Projektionen des Punktes auf der Kurve, und auf der anderen Stufe kennen wir die genauen Werte der Parameter in der Kurve, die die Projektionen des gegebenen Punktes zuweisen auf der Kurve zur Linie z