Finden Sie die Koordinaten des Massenmittelpunkts einer homogenen Linie. Wie berechnet man den Schwerpunkt einer flach umschriebenen Figur mit Hilfe eines Bügelintegrals? Die Reihenfolge der Vikonanny eines typischen Rozrahunka

Wir werden den Hintern des Ziels mit der Methode des Podіlu-Yoga an der Grenze des Körpers, dem Massenzentrum der Personen im Haus, zum Massenmittelpunkt des Körpers führen.

Hintern 1. Bezeichnen Sie die Koordinaten des Massenmittelpunkts einer homogenen Platte (Abb. 9). Berechnen Sie die Aufgaben in Millimeter Baby 9.

Lösung: Wir zeigen die Koordinatenachsen i . Wir brechen die Platte in Stücke, die mit drei geraden Schnitten hergestellt wurden. Für den dermalen Rektus werden Diagonalen gezeichnet, deren Querbalken die Position des Zentrums der dermalen Rektusmasse angeben. Im angenommenen Koordinatensystem ist es nicht einfach, die Werte der Koordinaten und Punkte zu berechnen. Und zu sich selbst:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Die Bereiche des Hautkörpers werden moderat verbessert:

; ; .

Die Fläche aller Platten ist gut:

Für die Zuordnung der Koordinaten zum Massenmittelpunkt der gegebenen Platte muss man virasi (21) verwenden. Wir stellen den Wert aller bekannten Größen dar Dieser Mann ist gleich, vergriffen

Vіdpovіdno bis zu otrimanih dem Wert der Koordinaten zum Mittelpunkt der Masse der Platte, Sie können einen Punkt auf dem Kleinen angeben. Wie man sieht, liegt der Schwerpunkt (geometrischer Punkt) der Platte hinter den Begrenzungen.

Additionsmethode. Tsej sposіb є chastkovy vpadkom way podіlu. Vin kann zastosovuvatisya bis, yakі mayut virizi (leer). Darüber hinaus ist ohne vir_zanoї ein Teil der Position des Massenmittelpunkts des Körpers sichtbar. Betrachten wir zum Beispiel zastosuvannya eine solche Methode.

Hintern 2. Bezeichnen Sie die Position des Massenmittelpunkts der Vaga einer runden Platte mit einem Radius R, de є virіz mit einem Radius r (Abb. 10). Komm schon.

Lösung: Wie Bachimo, aus Abb.10 liegt der Schwerpunkt der Platte auf der Symmetrieachse der Platte, dh auf einer geraden Linie, die Scherben sind gerade, alle Symmetrie. Auf diese Weise muss zur Zuordnung der Position zum Massenmittelpunkt der Platte nur eine Koordinate zugeordnet werden, die anderen Koordinaten werden jedoch auf der Symmetrieachse gezeichnet und sind gleich Null. Lassen Sie uns die Koordinatenachsen zeigen. Es wird akzeptiert, dass die Platte in zwei Körper gefaltet wird - von einem neuen Pfahl (ohne Viriz) dieser Körper, wie Nibi Vikonane mit Viriz. Im angenommenen Koordinatensystem sind die Koordinaten für die Bezeichnung von Körpern: .Flächen von Körpern sind: ; . Die Gesamtfläche des gesamten Körpers entspricht eher der Differenz zwischen den Bereichen des ersten und des anderen Körpers und

Berechnen Sie die Werte m, und es ist notwendig, die Formeln (4), (5) und (7) abzugleichen. Als Ergebnis nehmen wir Formeln für Koordinaten zum Massenmittelpunkt der dünnen Platte :

Hintern 4 (Berechnung der Koordinaten zum Massenmittelpunkt eines Uniformkleides)

Finden Sie die Koordinaten des Massenmittelpunkts einer homogenen Figur, umgeben von Linien und .

Nachdem wir die Figur inspiriert haben, stellen wir fest, dass sie geometrisch heraus und symmetrisch wie eine gerade Linie ist. Rechtshändig. Dann legen wir hinter den gegebenen physikalischen Kräften den Schwerpunkt so fest, dass sich die Weine auf der Symmetrieachse befinden, damit

Zur Berechnung das statische Moment addieren und die Formeln (4) und (5) gewinnen:

;

Vorschlag: C.

Additive der dritten Integrale

Programme für zusätzliche Integrationen ähneln Ergänzungen von Subintegralen, jedoch nur für Trivimere.

Wenn Sie eine der Potenzen des dreifachen Integrals gewinnen wollen (ungefähr der gleiche Wert der Funktion, der auch der gleiche Wert von Eins ist), dann gehen Sie Formel zur Berechnung der Verpflichtung zu sein geräumiger Körper :

Schreiben wir die Formel für Obyagu durch drittes Integral und berechenbares Verlustintegral in Zylinderkoordinaten:

Vidpovid: (allein verpflichtet).

Die Formel zur Berechnung der Masse eines Trivimer-Objekts, das Volumen V entlehnt, kann aussehen:

(13)

Hier ist das Volumen von schіlnіst rozpodіlu masi.

Hintern 6

Kennen Sie die Masse des kühlen Radius R wie der Raum proportional zum Würfel in der Mitte und an der einzelnen Wand ist k.

v: Elementarvolumen ta .

Bemerkenswert ist, dass bei der Berechnung des Dreifachintegrals keine Integrale mehr vorhanden waren, die Chips der internen Integrale schienen bei der Änderung der äußeren Integrale brach zu liegen.

Vidpovid: (einzelner Masi).

Mechanische Eigenschaften zum Binden v(Statische Momente, Trägheitsmomente, Koordinaten zum Massenmittelpunkt) werden nach Formeln berechnet, wie z

analog zu Formeln für Zwei-Welten-Körper gefaltet.

Elementare statische Momente und Trägheitsmomente entlang der Koordinatenachsen:

elementare Trägheitsmomente entlang der Koordinatenebenen und Punkte auf dem Koordinatenkreuz:

Dali, um die mechanischen Eigenschaften des gesamten Obyagu zu berechnen v,Es ist notwendig, die elementaren Additionen der Merkmale für alle Teile der Aufschlüsselung zusammenzufassen (die Merkmale mit der größten Additivitätskraft werden gezählt) und dann in der Summe an die Grenze zu gehen, die jenseits des Verstandes war, dass alles die elementaren Teile der Aufschlüsselung werden sich ändern (in Punkte zusammenziehen). Größen werden als Integration eines elementaren Zusatzes mechanischer Eigenschaften beschrieben, die für verbindlich berechnet werden v.

Infolgedessen kommen Formeln zur Berechnung der statischen Momente М und der Trägheitsmomente I trivimer bis :

Wahrlich, sie formulierten die Formeln so siegreich wie bereit und führten sie zu virishuvaniy-Aufgaben.

Apply 7 (Berechnung der mechanischen Eigenschaften dreidimensionaler Körper)

Finden Sie das Trägheitsmoment eines gleichförmigen Zylinders, dessen Höhe h und Basisradius R, wie man Achse, die mit dem Durchmesser der Basis zbіgaєtsya.

Wir wissen d für einen Teilpunkt des Zylinders:

Bewegen Sie sich zu einem Punkt mit Koordinaten zur Achse – die Länge der vom Mittelpunkt des Punktes zur Achse gezogenen Senkrechten . Lassen Sie uns die Ebene senkrecht zur Achse machen, sodass der Punkt auf dieser Ebene liegt. Dann sei gerade, was alles kreuzt und auf dieser Ebene liegt, es wird senkrecht sein . Zokrema, gerade Linie, die einen Punkt und einen Punkt verbindet, wird senkrecht zur Achse sein, und wenn Sie zwischen diesen Punkten stehen, werden Sie ein Shukana sein d. Berechnen Sie Yoga für die angegebene Formel zwischen zwei Punkten.

3 Additionen zugrunde liegender Integrale

3.1 Theoretische Einführung

Werfen wir einen Blick auf die Programme Bügel integriert an die Spitze niedriger geometrischer Aufgaben und Aufgaben der Mechanik.

3.1.1 Berechnung der Flachplattenfläche

Betrachten wir eine dünne Materialplatte D, in der Wohnung ausgebaut Ohu. Bereich S tsієї Platten können mit Hilfe des Unterstromintegrals für die Formel gefunden werden:

3.1.2 Statische Momente. Massezentrum der flachen Platte

statisches Moment M x Shodo-Achse Ochse materieller Punkt P(x;j), die in der Nähe der Wohnung liegen Oxy und maє masu m, Es heißt Dobutok-Massi-Punkte auf der її-Ordinaten, Tobto. M x = mein. Ebenso das statische Moment M j Shodo-Achse Autsch: ­ ­ ­ M j = mx. Statische Momente flache Platten mit einem Oberflächenschlitz γ = γ (x, y) werden nach den Formeln berechnet:

Aus Sicht der Mechanik, Koordinaten x c , ja c Die Massenschwerpunkte eines Flachmaterialsystems sind durch Gleichungen definiert:

de m- Masa-System und M xі M j- Statische Momente des Systems. Flaches Plattengewicht m bestimmt durch Formel (1), können die statischen Momente einer ebenen Platte mit den Formeln (3) und (4) berechnet werden. Todi, zgіdno z Formeln (5), es wird viraz für Koordinaten zum Massenmittelpunkt der flachen Platte genommen:

Typische Rozrahunok rächen zwei Aufgaben. Der Hautarzt erhält einen flachen Teller D, umgeben von Linien, die für den Geist der Aufgabe angezeigt werden. G(x, y) - Oberflächenabstand der Platte D. Um die Anzahl der Platten zu kennen: 1. S- Quadrat; 2. m- Masu; 3. M j , M x- Statische Momente für Achsen Eyі Oh offensichtlich; 4. , - Koordinaten des Schwerpunkts.

3.3 Die Reihenfolge der vykonannya typischen rozrahunku

Bei der Durchführung einer Skin-Aufgabe ist Folgendes erforderlich: 1. Entfernen Sie den Stuhl von einem bestimmten Bereich. Wählen Sie ein Koordinatensystem, für das die Teilintegrale berechnet werden sollen. 2. Zeichnen Sie den Bereich des visuellen Systems von Unregelmäßigkeiten im gewählten Koordinatensystem auf. 3. Berechnen Sie die Fläche S ta masu m Platten nach den Formeln (1) und (2). 4. Berechnen Sie die statischen Momente M j , M x Formeln (3) und (4). 5. Berechnen Sie die Koordinaten der Schwerpunktmasse mit den Formeln (6). Tragen Sie das Zentrum der Masse auf den Sessel auf. Wir beschuldigen die visuelle (yakische) Kontrolle, die Ergebnisse wegzunehmen. Numerische Zahlen können aus dem Zahlentrio herausgenommen werden.

3.4 Lege eine typische Robe an

Aufgabe 1. Teller D umgeben von Linien: j = 4 – x 2 ; X = 0; j = 0 (x ≥ 0; j≥ 0) Oberflächendicke γ 0 = 3. Lösung. Der in der Aufgabe angegebene Bereich ist von einer Parabel umgeben j = 4 – x 2 liegen die Koordinatenachsen i im ersten Viertel (Fig. 1). Die Aufgabe wird im kartesischen Koordinatensystem modifiziert. Dieser Bereich kann durch ein System von Unregelmäßigkeiten beschrieben werden:

Reis. eines

Bereich S Platten sind stabiler (1): Da die Platte gleichmäßig ist, m = γ 0 S= 3 = 16. Hinter den Formeln (3), (4) kennen wir die statischen Momente der Platte: Die Koordinaten des Mittelpunkts mas sind durch Formel (6) gegeben: Anregung: S ≈ 5,33; m = 16; M x = 25,6; M j = 12; = 0,75; = 1,6.

Aufgabe 2. Teller D umgeben von Linien: X 2 + bei 2 = 4; X = 0, bei = X (X ≥ 0, bei≥ 0). Oberflächendicke γ (x, y) = bei. Lösung. Die Platte ist von einem Pfahl und geraden Linien umgeben, die durch den Koordinatenkolben verlaufen (Abb. 2). Daher ist es zur Erledigung der Aufgabe erforderlich, das Polarkoordinatensystem manuell zu transkribieren. polar kut φ von π/4 auf π/2 ändern. Promin, der vom Pol durch die Platte geht, „betritt“ davor bei ρ = ​​0 und „betritt“ den Pfahl, gleich: X 2 + bei 2 = 4 <=>p = 2.

Reis. 2

Auch hier kann ein bestimmter Bereich mit einem System von Unregelmäßigkeiten beschrieben werden: Die Fläche der Platte ist durch die Formel (1) bekannt: Die Masse der Platte ist durch Formel (2) bekannt, die ersetzt wird γ (x, y) = y = ρ Sünde φ :
Für die Berechnung der statischen Momente der Platte können wir die Formeln (3) und (4) verwenden:
Die Koordinaten des Massenschwerpunkts ergeben sich aus den Formeln (6): Anregung: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M x = 2,57; M j = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Klanggestaltung

Die Sterne können eine Darstellung aller Vikonan Rozrahunka haben, ordentliche Vikonan-Sessel. Numerische Zahlen können aus dem Zahlentrio herausgenommen werden.

– Berechnung für den Schwerpunkt ist flach gefranste Figur . Reiche Leser verstehen intuitiv, was der Schwerpunkt ist. Ich empfehle, das Material einer der Lektionen zu wiederholen Analytische Geometrie de ich gelöst zavdannya über den Schwerpunkt von Trikutnik und in zugänglicher Form den physikalischen Begriff entziffern.

Bei unabhängigen und Kontrollaufgaben wird für die Perfektion in der Regel das einfachste Vipadok propagiert - die Wohnung ist umgeben homogen eine Figur, um eine postiynoї körperliche Stärke zu postiynoї - Glas, Derev'yana, Pewter'yana chavunnі іgry, harte Kindlichkeit ist dünn. Dali für umovchannyam mova pіde tіlki über solche Zahlen =)

Die erste Regel ist der einfachste Hintern: obwohl die Figur flach ist Symmetriezentrum, dann vin є der Schwerpunkt tsієї Figur. Zum Beispiel die Mitte einer runden einheitlichen Platte. Es ist logisch und lebensbewusst – die Masse einer solchen Figur ist wie das Zentrum „nach allen Seiten fair verteilt“. Glaube - ich will nicht.

In Wirklichkeit ist es jedoch unwahrscheinlich, dass Sie Lakritze geben Elliptischer Schokoriegel Tom muss sich mit einem ernsthaften Küchenwerkzeug auseinandersetzen:

Die Koordinaten des Schwerpunkts einer einheitlichen flachen umschriebenen Figur werden durch die fortschreitenden Formeln abgedeckt:

, oder:

, de - Bereich der Region (Zahlen); aber lass uns kurz:

, de

Integral wird mental „ixovim“-Integral genannt, und Integral ist „igrom“-Integral.

Abnahme-Abschluss : für flach gefurcht heterogen Figuren, deren Breite durch die Funktion gegeben ist, Faltungsformeln:
, de - Masa-Figuren;In Zeiten einheitlicher Stärke wird der Gestank der Einführung weiterer Formeln verziehen.

Auf Formeln, Vlasne, alle Neuheiten und Enden, Reshta - all Ihre Vminnya Virishuvati-Subvinzialintegrale, bis zur Rede, man hofft sofort auf eine wundersame Fähigkeit, seine Technik zu erarbeiten und zu perfektionieren. Und die Gründlichkeit, wie es scheint, gibt es keinen Unterschied =)

Eine große Portion Parabeln werfen:

Hintern 1

Finden Sie die Koordinaten des Zentrums der Vaga einer einheitlichen flachen Figur, die von Linien umgeben ist.

Lösung: Zeilen hier sind elementar: Stellen Sie die gesamte Abszisse ein und gleich - eine Parabel, damit Sie leicht Hilfe bekommen können geometrische Transformation von Grafiken:

– Parabel, 2 Einheiten nach links und 1 Einheit nach unten geschoben.

Ich nähe den ganzen Sessel mit einem Fixpunkt in die Mitte der Figur:

Beherrsche einen Freund: was hat die figur alles Symmetrie, dann liegt der Schwerpunkt dieser Figur zwangsläufig auf ihrer Achse.

Unsere Figur ist symmetrisch zu Shodo gerade wir kennen also eigentlich schon die „ix“-Koordinate des Punktes „em“.

Es ist auch wichtig zu beachten, dass der Schwerpunkt der Verschiebungen entlang der Vertikalen näher an der Abszissenachse liegt, die Felsen sind dort eine massive Figur.

Vielleicht hat noch nicht jeder herausgefunden, wie das Zentrum der Vaga aussieht: Seien Sie freundlich, heben Sie Ihren Finger bergauf und setzen Sie einen Punkt auf den neuen schattierten „Fuß“. Theoretisch ist die Figur nicht des Sturzes schuldig.

Die Koordinaten des Schwerpunkts der Figur sind durch die Formeln bekannt de .

Die Reihenfolge der Umgehung des Bereichs (Abbildungen) ist hier offensichtlich:

Respekt! Sie wird durch die sinnvollste Bypass-Reihenfolge bestimmt einmal- Ich vikoristovuemo Yoga für alle integriert!

1) Auf der Rückseite berechne ich die Fläche der Figuren. Durch die offensichtliche Einfachheit des Integrals kann die Lösung kompakt gestaltet werden, um nicht in den Berechnungen verloren zu gehen:

Wir bestaunen den Sessel und tun so, als wären wir auf dem Quadrat. Viyshlo bіlya mach es.

2) Die x-Koordinate des Schwerpunkts wurde bereits durch die „grafische Methode“ gefunden, sodass Sie sich auf die Symmetrie beziehen und zum nächsten Punkt gehen können. Es ist jedoch immer noch kein Rajah, so zu arbeiten - es ist großartig zu glauben, dass es eine gute Idee ist, die Formel „Gewinne die Formel“ abzulehnen.

Respektieren Sie, dass hier mit weinroten Rechnungen hantiert werden kann – manchmal ist es nicht zwingend, Brüche mit zweierlei Maß zu messen und einen Taschenrechner zu quälen.

Auf diese Weise:
, Was und müssen Sie nehmen.

3) Wir kennen die Ordinate des Schwerpunkts. Lassen Sie uns das griechische Integral berechnen:

Und die Achse hier ohne Taschenrechner wäre schwer gewesen. Ich werde zu jeder Änderung kommentieren, dass es aufgrund der Vielzahl an reichen Mitgliedern 9 Mitglieder gibt, außerdem sind die Mitglieder ihnen ähnlich. Ähnliche Dodanki habe ich oral geimpft (wie man bei solchen Vipadkas wie ein Robiti klingt) und sofort die Summe der Tüte aufschreiben.

Als Ergebnis:
was der Wahrheit immer ähnlicher wird.

In der Endphase wird es auf dem Fleck des Sessels markiert. Für den Geist war es nicht nötig, einen Sessel zu machen, aber in größerer Zahl möchte ich eine Figur darstellen, auch wenn ich das nicht will. Natomist ist ein wahnsinniges Plus - visuelle und effektive Nachprüfung des Ergebnisses.

Vidpovid:

Kommen zwei Hintern einer unabhängigen Lösung.

Hintern 2

Finden Sie die Koordinaten des Zentrums der Vaga einer einheitlichen flachen Figur, die von Linien umgeben ist

Vor der Rede, wie man sieht, wird wie eine Parabel gekräuselt und die Punkte gedreht, bei der alles umgeworfen wird, dann kann man hier wirklich auf einen Sessel verzichten.

І Falten:

Hintern 3

Finden Sie das Zentrum der Vaga einer einheitlichen flachen Figur, die von Linien umgeben ist

In schwierigen Zeiten aus dem Post-Budget-Zeitplan, Vivchit (Wiederholung) parabolische Lektion bzw. Kolben Nr. 11 statti Abgehängte Integrale für Teekannen.

Srazkovі zrazki Lösung wie eine Lektion.

Darüber hinaus sind in den Archiven auf der Seite etwa ein Dutzend ähnlicher Anwendungen zu finden Fertige Lösungen für Ihre Mathematik.

Nun, ich kann nicht anders, als die Liebhaber zu erfreuen fortgeschrittene Mathematik, Wie oft bitten Sie mich, wichtige Aufgaben zu erledigen:

Hintern 4

Finden Sie das Zentrum der Vaga einer einheitlichen flachen Figur, die von Linien umgeben ist. Die Figur dieses Schwerpunkts ist auf dem Sessel abgebildet.

Lösung: umova tsієї zadachi vzhe kategorisch vmagaє vykonannya Sessel Aje vimoga nicht nastіlki і formell! - Tsyu-Figur zdatna, um eine Person der mittleren Ausbildungsstufe im Kopf zu enthüllen:

Straight roz_kaє kolo auf 2 Teilen und zusätzlicher Wache (Div. lineare Unregelmäßigkeiten) Ich weise diejenigen darauf hin, dass ich mich selbst um einen kleinen schattierenden Shmatochok kümmern kann.

Die Figur ist symmetrisch und optisch gerade (dargestellt durch eine gepunktete Linie), der Schwerpunkt liegt schuld daran, dass er auf dieser Linie liegt. І Es ist offensichtlich, dass die Yogo-Koordinaten gleich sind hinter dem Modul. Eine Leitlinie, die praktisch die Begnadigung umdreht!

Jetzt ist es eine schmutzige Neuheit =) Am Horizont zeichnet sich ein empfangsschwaches Integral von den Root-Webstühlen ab, das wir angeblich aus Applied No. 4 in die Lektion genommen haben Effiziente Methoden zum Lösen von Integrationen. Und wer weiß, was da noch gemalt wird. Es würde gegeben werden, durch die Präsenz Cola Offensichtlich ist nicht alles so einfach. Rivnyannya gerade Linie verwandelt sich auf einen Blick und die Integration darf nicht wahr sein (wenn die Fanatiker wollen trigonometrische Integrale auswerten). Bei zvyazku z tsim gewöhnlich zupinitsya auf kartesischen Koordinaten.

Die Reihenfolge der Umgehung der Figur:

1) Berechnen Sie die Fläche der Figur:

Erstes Integral des rationalen Nehmens p_dvedennyam p_d Vorzeichen des Differentials:

Und in einem weiteren Integral führen wir eine Standardersetzung durch:

Zählen wir die neue Interintegration:

2) Wir wissen es.

Hier beim 2. Integral gibt es eine neue Wendung Methode. Vіdpratsyuyte ta vіzmіt auf ozbroєnnya qі optimal (in meinem Kopf) akzeptieren die Entwicklung typischer Integrale.

Nach dem Schwierigen und Trivialen wieder den tierischen Blick auf den Sessel rechnen (Denken Sie daran, dass die Punkte Wir wissen es immer noch nicht! ) und otrimuemo bis zu einem gewissen Grad an moralischer Befriedigung im Hinblick auf den festgestellten Wert.

3) Vykhodyachi z durchgeführte frühere Analyse, verlorene Versöhnung, scho.

Notiz:

Repräsentativer Punkt auf dem Stuhl. Vіdpovіdno zum Formelverstand, wir werden її als Rest aufschreiben nachweisen:

Ähnliche Aufgabe für eine unabhängige Vision:

Hintern 5

Finden Sie das Zentrum der Vaga einer einheitlichen flachen Figur, die von Linien umgeben ist. Vikonati-Sessel.

Uns interessiert die Tatsache, dass darin die Figur angegeben ist, um kleine Erinnerungen zu machen, und wenn es etwas Zeit für die Entschuldigung gibt, wird das hohe Feuerniveau in der Region „nicht ausgegeben“. Was, bezperechno, gut aus Sicht der Steuerungslösung.

Srazkovy zrazok gestaltet wie eine Unterrichtsstunde.

Іnodi buvaє dotsіlnim Übergang zu Polarkoordinaten bei niedrigeren Integralen. Siehe Abbildung. Shukav-shukav zu Hause weit hintern Wenn Sie es nicht wissen, zeige ich Ihnen die Lösung für die 1. Demoaufgabe der zugewiesenen Lektion:


Ratet mal, was in diesem Hintern wir gegangen sind Polar Koordinaten, erklärte das Verfahren zur Umgehung des Bereichs und virahuvali її Bereich

Lassen Sie uns den Schwerpunkt der Figuren wissen. Das Schema ist das gleiche: . Der Wert ist direkt vom Sessel aus sichtbar, und die „ix“-Koordinate kann etwas näher an die y-Achse verschoben werden, die Scherben dort werden von einem massiven Teil des Bieres verstreut.

Bei Integralen können wir die Standardformeln für den Übergang verwenden:

Ymovirno, besser für alles, sie hatten keine Gnade.