Дії über Matrizen und їх vyzniki. Die Hauptoperationen auf Matrizen (Falten, Multiplizieren, Transponieren) haben dieselbe Potenz. Matrixmultiplikationsoperation

Matrizen. Bewegen Sie sich über Matrizen. Dominanz von Operationen auf Matrizen. Siehe Matrix.

Matrizen kann ein wichtiger Wert in der angewandten Mathematik sein, der in einfacher Form zu einem wesentlichen Teil geschrieben werden darf Mathematische Modelle Objekte und Prozesse. Der Begriff „Matrix“ tauchte 1850 auf. Früher wurden Matrizen im alten China erraten, später bei arabischen Mathematikern.

Matrix A=Amn Reihenfolge m * n aufgerufen wird geradlinige Zahlentafel.

Matrixelemente ai, für die i=j heißen Diagonale i Hauptdiagonale.

Bei einer quadratischen Matrix (m=n) besteht die Kopfdiagonale aus den Elementen a 11 , a 22 , ..., a nn .

Rivnistische Matrizen.

A=B nur die Reihenfolge der Matrizen EINі B jedoch das a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Bewegen Sie sich über Matrizen.

1. Addition von Matrizen - Element-für-Element-Operation

2. Anzeigen von Matrizen - Element-für-Element-Operation

3. Das Hinzufügen einer Matrix zu einer Zahl ist eine Element-für-Element-Operation

4. Mehrere A*B Matrix nach Regel Reihe oben(Die Anzahl der Spalten in Matrix A kann gleich der Anzahl der Zeilen in Matrix B sein)

Amk * Bkn = Cmn warum das Hautelement h ij Matrizen Komm addiere die Summe der Elemente der i-ten Zeile der Matrix A und der anderen Elemente der j-ten Spalte der Matrix B, tobto.

Lassen Sie uns die Operation der Multiplikation von Matrizen am Beispiel zeigen

5. Links an den Füßen

m>1 Zelle Datum. A ist eine quadratische Matrix (m=n) tobto. relevant für quadratische Matrizen

6. Matrixtransposition A. Eine transponierte Matrix wird mit A T oder A bezeichnet

Zeilen und Spalten wurden von Missionen gedacht

Hintern

Potenz von Operationen auf Matrizen

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Vidi-Matrizen

1. Rechteckig: mі n- Ziemlich positive Zahlen

2. Quadrat: m=n

3. Matrixzeile: m=1. Zum Beispiel (1 3 5 7) - für viele praktische Aufgaben wird eine solche Matrix als Vektor bezeichnet

4. Matrixkocher: n=1. Zum Beispiel

5. Diagonalmatrix: m=nі a ij = 0, wie i≠j. Zum Beispiel

6. Alleinmatrix: m=nі

7. Nullmatrix: aij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Trikotmatrix: Alle Elemente unterhalb der Kopfdiagonalen sind gleich 0.

9. Symmetrische Matrix: m=nі ein ij = ein ji(gleiche Elemente auf symmetrischen Kopfdiagonalen stehen) und auch A"=A

Zum Beispiel,

10. Schiefe Matrix: m=nі a ij =-a ji(Deshalb gibt es auf den symmetrischen Hauptdiagonalen Protilenelemente). Auch auf der Kopfdiagonalen stehen Nullen (weil mit ich=j kann sein ein ii =-ein ii)

Ich habe verstanden A"=-A

11. Hermitische Matrix: m=nі ein ii =-ã ii (ã ji- komplex - erhalten bis zu ein Ji, dann. Jakscho A=3+2i, dann komplex - erhalten Ã=3-2i)

Dienstzuweisung. Matrixrechner Zuordnungen zum Beispiel für die Entstehung von Matrixviren wie 3A-CB 2 oder A -1 +B T .

Anweisung. Zum Online-Lösungen Es ist notwendig, die Matrixvariable zu setzen. In einem anderen Stadium wird es notwendig sein, die Größe der Matrizen zu klären. Erlaubte Operationen: Multiplikation (*), addieren (+), addieren (-), Matrix A^(-1) umkehren, Schritt nach unten (A^2, B^3), Matrix transponieren (A^T).

Erlaubte Operationen: Multiplikation (*), addieren (+), addieren (-), Matrix A^(-1) umkehren, Schritt nach unten (A^2, B^3), Matrix transponieren (A^T).
Um die Liste der Operationen anzuzeigen, verwenden Sie den Weidenfleck mit einem Komma (;). Zum Beispiel für vikonannya drei Operationen:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B)-1
du musst es so schreiben: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Die Matrix ist eine rechteckige numerische Tabelle, die m Zeilen und n Spalten hat, sodass die Matrix durch Betrachten eines Rechtecks ​​schematisch dargestellt werden kann.
Nullmatrix (Nullmatrix) Benennen Sie die Matrix, alle Elemente, die gleich Null sind, und setzen Sie sie auf 0.
Allein Matrix heißt quadratische Matrix

Zwei Matrizen A und B gleich Yakscho-Gestank von gleicher Größe und vіdpovіdnі Elementen in vnі.
Virogene Matrix heißt die Matrix, die gleich Null ist (Δ = 0).

Bedeutend grundlegende Operationen auf Matrizen.

Addition von Matrizen

Geplanter Termin. Die Summe zweier Matrizen A = | | ein ich k | | ich B=||b ich k || die gleiche Größe heißt die Matrix C=||c i k || beruhigen Sie sich razmіrіv, Elemente wie perebuvayut für die Formel c i k = a i k + b i k . Dargestellt als C=A+B.

Beispiel 6 . .
Der Betrieb von Faltungsmatrizen erweitert sich mit der Anzahl der Additionen. Offensichtlich ist A+0=A .
Noch einmal, wir empfehlen Ihnen, mehr als eine Matrix der gleichen Größe zu falten; für Matrizen verschiedener Erweiterungen wird die Operation des Addierens nicht zugewiesen.

Visionsmatrix

Geplanter Termin. Einzelhandel B-A eine Matrix B und A gleicher Größe heißt Matrix C, so dass A+C=B.

Reproduktion von Matrizen

Geplanter Termin. Zusätzliche Matrix A=||a i k || die Zahl α heißt Matrix C = | |

Geplanter Termin. Geben Sie zwei Matrizen A=||a i k || an (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) ich B=||b ich k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), außerdem ist die Anzahl der Spalten in A gleich der Anzahl der Zeilen in B . Das Doboot A nach B ist die Matrix C=||c i k ||, deren Elemente hinter der Formel stehen .
Gezeigt als C=A·B.
Schematisch lässt sich die Operation der Multiplikation von Matrizen wie folgt darstellen:

und die Regel zur Berechnung des Elements der Schöpfung:

Pidkremlimo einmal hacken, scho priblut a · b MAє Sens Todi Tilki Todi, wenn die Anzahl der Schritte der ersten Dorivnika Kilkosti die andere ist, unter der Arbeit des Kreativen, die Anzahl der gerollten Rollen Sie können das Ergebnis der Multiplikation mit einem speziellen Online-Rechner überprüfen.

Beispiel 7. Gegeben eine Matrix і . Kenne die Matrizen C = A B und D = B A.
Lösung. Wir respektieren, dass A B verwendet wird, aber die Anzahl der Spalten A ist gleich der Anzahl der Zeilen B.

Bei allem Respekt, das Vipadku hat dann A·B≠B·A . dobutok-Matrizen antikommutativ.
Wir kennen B A (mehrere möglich).

Beispiel 8 . Gegeben eine Matrix . Kennen Sie 3A 2 - 2A.
Lösung.

.
; .
.
Dies ist eine bedeutsame Tatsache.
Wie sich herausstellt, ist die Addition von zwei Doppelnullzahlen nicht gleich Null. Für Matrizen kann die Situation ähnlich sein oder auch nicht, so dass die Erzeugung von Nicht-Null-Matrizen gleich Null-Matrizen erscheinen kann.

Bei allem Respekt, die Elemente einer Matrix können nicht mehr als eine Zahl sein. Lassen Sie mich wissen, dass Sie die Bücher beschreiben, wie Sie auf Ihrer Bücherpolizei stehen. Lass die Polizei Ordnung halten und alle Bücher auf den Singplätzen stehen. Die Tabelle als eigentliche Beschreibung Ihrer Bibliothek (von Polizei und folgenden Büchern über die Polizei) wird auch eine Matrix sein. Ale, eine solche Matrix wird nicht numerisch sein. Zweites Beispiel. Anstelle von Zahlen stehen verschiedene Funktionen, die untereinander von einer Art Brache gefressen werden. Otrimans Tabelle wird auch als Matrix bezeichnet. Mit anderen Worten, die Matrix ist sozusagen ein rechteckiger Tisch, gefaltet ähnlich Elemente. Hier und im Folgenden sprechen wir von aus Zahlen gefalteten Matrizen.

Ersetzen Sie runde Arme für Aufzeichnungsmatrizen durch Platzieren von quadratischen Armen oder geraden vertikalen Linien.

(2.1*)

Termin 2. Wie ein Virazi(1) m = n, dann rede darüber quadratische Matrix, aber yakscho , dann ungefähr rechteckig.

Der Brachwert von m und n wird in spezielle Arten von Matrizen unterteilt:

Das wichtigste Merkmal Quadrat Matrizen є її vyznachnik oder bestimmend, was aus den Elementen der Matrix gebildet und angezeigt wird

Es ist offensichtlich, dass D E = 1; .

Termin 3. Jakscho , dann die Matrix EIN genannt nicht jungfräulich oder nicht speziell.

Termin 4. Jakscho detA = 0, dann die Matrix EIN genannt virogen oder besonders.

Termin 5. Zwei Matrizen EIN і B genannt gleich Sie schreibt A=B als ob der Gestank derselbe wäre, die Unterschiede und die lebensfähigen Elemente gleich sind,.

Zum Beispiel Matrizen und Gleichheit, weil Der Gestank ist näher an der Welt und das Hautelement einer Matrix ist näher am ähnlichen Element einer anderen Matrix. Und die Achse der Matrix i kann nicht als gleich bezeichnet werden, obwohl die Determinanten beider Matrizen gleich sind und die Matrizen gleich sind, aber nicht alle Elemente, die auf denselben Punkten stehen, gleich sind. Matrizen sind anders, so dass eine andere Welt möglich ist. Die erste Matrix ist 2x3 und die andere 3x2. Obwohl die Anzahl der Elemente gleich ist - 6 und die Elemente selbst gleich sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, stinkt Ale, wenn es an verschiedenen Stellen in der Nähe der Hautmatrix steht. Und die Achse der Matrix ist der Fortschritt, zgіdno z vznachennyam 5.

Termin 6. Wie man die Sprotte der Matrix repariert EIN und dies ist die Anzahl seiner Zeilen, dieselben Elemente, die auf der Netzhaut der Bezeichnungen der Spalten und Zeilen stehen, um eine quadratische Matrix zu bilden n- Ordnung, Vorläufer davon genannt unerheblich k- Matrixordnung A.

Hintern. Schreiben Sie drei Minoren in einer anderen Reihenfolge der Matrix

In diesem Thema werden solche Operationen betrachtet, wie das Addieren dieser Eingabematrix, das Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl, das Multiplizieren einer Matrix mit einer Matrix, das Transponieren einer Matrix. Usі znachennya, scho vikoristovuyutsya auf der ts_y-Seite, entnommen aus den vorderen Themen.

Falte diese visuelle Matrix.

Die Summe der $A+B$ Matrizen $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ist die Matrix $C_(m\ mal n) =(c_(ij))$, wobei $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline(1 ,n) $.

Geben Sie für verschiedene Matrizen eine ähnliche Bezeichnung ein:

Die Differenz zwischen $A-B$ Matrizen $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ist die Matrix $C_(m\times n). )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline(1,n )$.

Erklärung vor dem Post $i=\overline(1,m)$: show\hook

Der Eintrag "$i=\overline(1,m)$" bedeutet, dass sich der Parameter $i$ von 1 auf m ändert. Beispielsweise bezieht sich die Notation $i=\overline(1,5)$ darauf, dass der Parameter $i$ die Werte 1, 2, 3, 4, 5 annimmt.

Bitte beachten Sie, dass die Operationen des Addierens und Übens nur für Matrizen gleicher Größe gedacht sind. Vzagali, Hinzufügen und Vіdnіmannya-Matrizen - Operationen, intuitiv klar, gemeinerer Gestank, in der Tat ist es weniger Summierung oder offensichtlichere Elemente.

Hintern Nr. 1

Gegeben sind drei Matrizen:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Chi kannst du die Matrix $A+F$ kennen? Kenne die Matrizen $C$ und $D$, also $C=A+B$ und $D=A-B$.

Die $A$-Matrix soll 2 Zeilen und 3 Spalten durchlaufen (mit anderen Worten, die Erweiterung der $A$-Matrix ist $2\times 3$), und die $F$-Matrix soll 2 durchlaufen Reihen und 2 Reihen. Die Erweiterungen der Matrizen $A$ und $F$ entkommen nicht, also können wir sie addieren. die Operation $A+F$ für diese Matrizen ist nicht belegt.

Die Matrizen $A$ und $B$ seien entwickelt, also. Die Daten der Matrix sollten gleich der Anzahl der Zeilen und stovptsiv sein, die Operation zum Hinzufügen zu ihnen ist erforderlich.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Wir kennen die Matrix $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl.

Die zusätzliche Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ für die Zahl $\alpha$ ist die Matrix $B_(m\times n)=(b_(ij))$, wobei $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline(1,n)$.

Scheinbar einfacher, die Matrix mit der Zahl multiplizieren - bedeutet, das Hautelement der gegebenen Matrix mit der ganzen Zahl zu multiplizieren.

Hintern Nr. 2

Gegeben sei eine Matrix: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Kennen Sie die Matrizen $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array)\right). $$

Die Schreibweise $-A$ ist die Kurzschreibweise für $-1\cdot A$. Um also $-A$ zu kennen, müssen Sie alle Elemente der Matrix $A$ mit (-1) multiplizieren. Im Wesentlichen bedeutet dies, dass das Vorzeichen aller Elemente in der Matrix $A$ in Verlängerung geändert wird:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Vidpovid: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Dobutok zwei Matrizen.

Der Zweck dieser Operationen ist umständlich und auf den ersten Blick unvernünftig. Ich sage Ihnen im Hinterkopf einen ernsteren Termin, und dann werden wir darüber berichten, was er bedeutet und wie man daraus herausarbeitet.

Die Teilmenge der Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ auf die Matrix $B_(n\times k)=(b_(ij))$ ist die Matrix $C_(m\times k )=(c_(ij))$, für ein Skin-Element $c_(ij)$ Elemente i-th Zeilen der Matrix $A$ auf Elementen der j-ten Spalte der Matrix $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Pokrokovs Multiplikation von Matrizen wird aus dem Hintern genommen. Beachten Sie jedoch, dass nicht alle Matrizen multipliziert werden können. Wenn wir die Matrix $A$ mit der Matrix $B$ multiplizieren wollen, müssen wir zurückspulen, damit die Anzahl der Spalten in der Matrix $A$ gleich der Anzahl der Zeilen in der Matrix $B$ ist ( solche Matrizen werden oft genannt bittezhenimi). Beispielsweise kann die Matrix $A_(5\times 4)$ (die Matrix hat 5 Zeilen und 4 Zeilen) nicht mit der Matrix $F_(9\times 8)$ (9 Zeilen und 8 Zeilen), der Zahl, multipliziert werden der Zeilen der $A-Matrix $ ist nicht gleich der Anzahl der Zeilen in der Matrix $ F $, das war's. $4\neq 9$. Und die Multiplikation der $A_(5\times 4)$-Matrix mit der $B_(4\times 9)$-Matrix ist möglich, aber die Anzahl der Spalten in der $A$-Matrix ist größer als die Anzahl von Zeilen in der $B$-Matrix. In diesem Fall ist das Ergebnis der Multiplikation der Matrizen $A_(5\times 4)$ und $B_(4\times 9)$ die Matrix $C_(5\times 9)$, die 5 Zeilen und 9 abdeckt Säulen:

Hintern Nr. 3

Gegeben eine Matrix: $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (array) \right)$ i $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right ) $. Kenne die Matrix $C = A\cdot B$.

Die Größenordnung ist für die Erweiterung der Matrix $C$ von Bedeutung. Wenn Matrix $A$ $3\times 4$ ist und $B$ $4\times 2$ ist, dann ist Matrix $C$ $3\times 2$:

Dann nehmen wir als Ergebnis der Addition der Matrizen $A$ und $B$ abwechselnd die Matrix $C$, die sich aus drei Zeilen und zwei Spalten zusammensetzt: $ C = \ left ( \ begin (array) ( cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Was die Bedeutung der Elemente betrifft, können Sie sich das Titelthema ansehen: "Matrizen. Siehe die Matrix. Grundbegriffe". Auf dem Kolben wird die Bedeutung der Elemente der Matrix erklärt. Unser Meta besteht darin, die Werte aller Elemente in der $C$-Matrix zu kennen.

Schauen wir uns das Element $c_(11)$ an. Um das Element $c_(11)$ zu nehmen, muss man die Summe der Schöpfungen der Elemente der ersten Zeile der Matrix $A$ und der ersten Spalte der Matrix $B$ kennen:

Um das Element $c_(11)$ zu kennen, ist es notwendig, die Elemente der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den zweiten Elementen der ersten Spalte der Matrix $B$ zu multiplizieren. das erste Element ist das erste, das andere ist das andere, das dritte ist das dritte, das vierte ist das vierte. Die Rücknahme der Ergebnisse wird erwartet:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Wir setzen die Lösung fort und kennen $c_(12)$. Dafür multipliziert man zufällig die Elemente der ersten Zeile der Matrix $A$ und der anderen Zeile der Matrix $B$:

Ähnlich wie vorne vielleicht:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Alle Elemente der ersten Zeile der Matrix $C$ werden gefunden. Gehen wir zu einer anderen Zeile über, die das Element $c_(21)$ beginnt. Um dies zu wissen, multiplizieren Sie die Elemente einer anderen Zeile der Matrix $A$ und der ersten Spalte der Matrix $B$:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

Das fortschreitende Element $c_(22)$ ist bekannt, indem die Elemente einer anderen Zeile der Matrix $A$ mit den Elementen der zweiten Zeile einer anderen Zeile der Matrix $B$ multipliziert werden:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

Um $c_(31)$ zu wissen, multiplizieren Sie die Elemente der dritten Zeile der Matrix $A$ mit den Elementen der ersten Spalte der Matrix $B$:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

Zunächst muss der Wert des Elements $c_(32)$ mit den Elementen der dritten Zeile der Matrix $A$ mit den anderen Elementen einer anderen Spalte der Matrix $B$ multipliziert werden:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Alle Elemente der Matrix $C$ werden gefunden, es reicht nicht zu notieren, dass $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( Array) \right)$ . Abo, ich schreibe nochmal mehr:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Vorher macht es oft keinen Sinn, die Bedeutung des Skin-Elements für das Matrix-Ergebnis anzugeben. Für Matrizen, deren Anzahl klein ist, können Sie es so finden:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) ( cc) 6 & 324 \- -56 & -333 \end(array) \right) $$

Bitte beachten Sie, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist. Tse bedeutet, dass im wilden Vapadka $A\cdot B\neq B\cdot A$. Nur für bestimmte Arten von Matrizen, wie zu benennen Permutation(ansonsten pendelnd), gleich $A cdot B = B cdot A $. Gerade die Nicht-Kommutativität der Multiplikation, es ist notwendig zu zeigen, wie wir multiplizieren, indem wir dieses Chi und eine andere Matrix multiplizieren: rechts ist Chi böse. Zum Beispiel bedeutet der Satz „multipliziere den störenden Teil der Parität $3E-F=Y$ mit der Matrix $A$ ist rechtshändig“, dass die folgende Parität genommen werden muss: $(3E-F)\dot A= Y\cdot A$.

Die Matrix $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, für Elemente also $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Scheinbar einfacher, um die transponierte Matrix $A^T$ zu nehmen, ist es für die äußere Matrix $A$ notwendig, die Spalten durch doppelte Zeilen nach diesem Prinzip zu ersetzen: erste Zeile - wird zur ersten Zeile; buv eine andere Reihe - eine andere Reihe stehen; sei die dritte Reihe - werde die dritte Stufe und so weiter. Wir kennen zum Beispiel die transponierte Matrix zur Matrix $A_(3\times 5)$:

Da die Ausgabematrix klein ist $3\times 5$, ist die transponierte Matrix natürlich $5\times 3$.

Tatsächliche Eigenschaften von Operationen auf Matrizen.

Hier wird vermittelt, dass $ alpha $, $ beta $ Dezimalzahlen sind und $ A $, $ B $, $ C $ Matrizen sind. Für die ersten Chotirioh-Autoritäten kann das Reshta nach Angabe des Namens analog zum ersten Chotirma benannt werden.

In diesem Artikel können wir wählen, wie wir die Operation des Addierens von Matrizen derselben Ordnung, die Operation des Multiplizierens einer Matrix mit einer Zahl und die Operation des Multiplizierens von Matrizen in derselben Reihenfolge ausführen, axiomatisch können wir die Potenz angeben Operationen und besprechen Sie auch die Priorität von Operationen auf Matrizen. Parallel zur Theorie leiten wir die Berichtslösungen von Anwendungen an, in denen Operationen auf Matrizen durchgeführt werden.

Es wird hoch respektiert, dass alles, was unten gesagt wurde, durch Elemente wie є dіysnі (oder komplexe) Zahlen auf Matrizen reduziert wird.

Seitennavigation.

Die Operation zum Falten zweier Matrizen.

Ausgewiesene Operation zum Falten zweier Matrizen.

Die Operation des Addierens wurde NUR MATRIXEN EINER ORDNUNG zugewiesen. Mit anderen Worten, es ist unmöglich, die Summe der Matrizen unterschiedlicher Dimensionalität zu kennen, und es ist unmöglich, über die Faltung der Matrix unterschiedlicher Dimensionalität zu sprechen. Sie können also nicht über die Summe der Matrix und der Zahl oder über die Summe der Matrix und eines anderen Elements sprechen.

Geplanter Termin.

Summe zweier Matrizen i - die Matrix, deren Elemente gleich der Summe der entsprechenden Elemente der Matrizen A und B sind, tobto.

Somit ist das Ergebnis der Operation des Faltens zweier Matrizen eine Matrix derselben Ordnung.

Die Macht der Operation von Faltmatrizen.

Welche Leistung kann der Betrieb von Faltmatrizen haben? Auf der Kette ist es einfach, Antworten zu erhalten, abhängig von der Summe zweier Matrizen einer bestimmten Ordnung und dem Erraten der Kraft der Operation zum Falten reeller (überkomplexer) Zahlen.

1. Für Matrizen A, B und C derselben Ordnung ist die Assoziativitätskraft charakteristisch für die Addition von A + (B + C) = (A + B) + C.
2. Bei Matrizen erster Ordnung gibt es nach der Addition ein neutrales Element, das eine Nullmatrix ist. Die Potenz von A+O=A ist also gerecht.
3. Für eine Nicht-Null-Matrix A einer gegebenen Ordnung ist die Matrix (-A) mit ihrer Summe eine Nullmatrix: A + (-A) = O .
4. Für Matrizen A i dieser Ordnung gilt die Kommutativkraft der Faltung A + B = B + A.

Später führen unpersönliche Matrizen einer bestimmten Ordnung zu einer additiven Abel-Gruppe (Abelsche Gruppe wie die Faltungsalgebra-Operation).

Addition von Matrizen - Lösung von Anwendungen.

Schauen wir uns das Beispiel einer gefalteten Matrix an.

Hintern.

Finden Sie die Summe der Matrizen i .

Lösung.

Die Ordnungen der Matrizen A und B werden erhöht und um 4 mal 2 erhöht, sodass wir als Ergebnis die Operation zum Hinzufügen einer Matrix i ausführen können, nehmen wir die Matrix der Ordnung 4 mal 2. Es ist notwendig, den Vorgang des Faltens von zwei Matrizen zu entwerfen, wobei Element für Element mehr hinzugefügt wird:

Hintern.

Finden Sie die Summe zweier Matrizen і Elemente sind komplexe Zahlen.

Lösung.

Oskіlki-Ordnungen von Matrizen sind gleich, wir können vikonat dodavannya.

Hintern.

Vikoite dodavannya drei Matrizen .

Lösung.

Wir stapeln die Matrix A z B, dann entfernen wir die Matrix, dodamo Z:

Nimm die Nullmatrix weg.

Die Operation zum Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl.

Gekennzeichnete Operation zum Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl.

Die Operation des Multiplizierens einer Matrix mit einer Zahl wird für eine Matrix beliebiger Ordnung zugewiesen.

Geplanter Termin.

Addition einer Matrix und einer dezimalen (oder komplexen) Zahl- die gesamte Matrix, deren Elemente scheinbar mit den entsprechenden Elementen der Ausgangsmatrix um die Zahl multipliziert werden, also .

In dieser Reihenfolge ist das Ergebnis der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl є eine Matrix derselben Ordnung.

Die Macht der Operation, eine Matrix mit einer Zahl zu multiplizieren.

Aufgrund der Potenz der Operation zum Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl ist es möglich, dass das Multiplizieren einer Nullmatrix mit einer Zahl Null eine Nullmatrix ergibt und die Addition einer zusätzlichen Zahl und einer Nullmatrix eine Nullmatrix ist.

Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren – wenden Sie diesen Vers an.

Werfen wir einen Blick auf die Operation der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl auf Hintern.

Hintern.

Finden Sie die zusätzliche Zahl 2 und die Matrix .

Lösung.

Um die Matrix mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie das Element mit der ganzen Zahl multiplizieren:

Hintern.

Finde die Multiplikation der Matrix mit der Zahl.

Lösung.

Wir multiplizieren das Hautelement der gegebenen Matrix mit der ganzen Zahl:

Die Operation zum Multiplizieren zweier Matrizen.

Dedizierte Operation zum Multiplizieren zweier Matrizen.

Die Operation der Multiplikation zweier Matrizen A und B ist nur für den Fall anwendbar, wenn die Anzahl der Spalten in Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen in Matrix B ist.

Geplanter Termin.

Starten Sie Matrix A in der Reihenfolge der Matrix In neu- Bei einer solchen Matrix 3. Ordnung ist das Hautelement die wertvollste Summe der Elemente der i-ten Zeile der Matrix auf den ähnlichen Elementen der j-ten Spalte der Matrix B, dann

Somit ist das Ergebnis der Operation des Multiplizierens einer Matrix in der Reihenfolge mit einer Matrix eine Matrix in der Reihenfolge.

Reproduktion einer Matrix durch eine Matrix - Lösung von Anwendungen.

Werfen wir einen Blick auf die Multiplikation von Matrizen auf den Hintern, wonach wir mit dem Überschreiben der Befugnisse der Operation der Multiplikation von Matrizen fortfahren.

Hintern.

Finden Sie alle Elemente der Matrix C, wie man Matrizen multipliziert і .

Lösung.

Die Ordnung der Matrix A wird um p = 3 um n = 2 erhöht, die Ordnung der Matrix wird um n = 2 um q = 4 erhöht, und die Ordnung der Matrix wird um p = 3 um q = 4 erhöht . Beschleunigung mit der Formel

Konsequent nehmen wir den Wert von i in 1 bis 3 (Skalen p=3) für Haut j in 1 bis 4 (Skalen q=4) und in unserem Fall also n=2

Somit werden alle Elemente der Matrix Z berechnet und die Matrix kann, wenn man zwei gegebene Matrizen multipliziert, aussehen .

Hintern.

Digitalisieren Sie die Multiplikatormatrix .

Lösung.

Die Ordnungen der äußeren Matrizen erlauben es uns, die Operation der Multiplikation durchzuführen. Als Ergebnis können wir eine Matrix der Ordnung 2 mal 3 nehmen.

Hintern.

Gegeben eine Matrix . Finden Sie zusätzliche Matrizen A und B sowie Matrizen B und A.

Lösung.

Wenn die Reihenfolge der Matrix 3 mal 1 ist und die Matrix 1 mal 3, dann ist A⋅B die Reihenfolge 3 mal 3, und die zusätzliche Matrix B und A ist die Reihenfolge 1 mal 1.

Yak-Bachit, . Dies ist eine der Stärken der Operation der Multiplikation von Matrizen.

Die Macht der Operation der Multiplikation von Matrizen.

Wenn die Matrizen A, B und C von derselben Ordnung sind, dann gilt Folgendes Macht der Operation der Multiplikation von Matrizen.

Das Folgende ist der Wert, der für verschiedene Ordnungen das Hinzufügen einer Nullmatrix zu Matrix A eine Nullmatrix ergibt. Dobutok A gibt auch eine Nullmatrix an, so dass Größenordnungen die Operation von Multiplikationsmatrizen ermöglichen.

Mittelquadratische Matrizen werden so genannt Permutationsmatrizen, Die Multiplikationsoperation ist kommutativ, also . Der Hintern von Permutationsmatrizen ist ein Paar einzelner Matrizen, sei es eine andere Matrix derselben Ordnung, also ist es fair.

Priorität von Operationen auf Matrizen.

Den Operationen der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl und der Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix wird die gleiche Priorität eingeräumt. Gerade in dieser Stunde der Operation ist die Priorität höher, die niedrigere Operation ist das Falten von zwei Matrizen. In dieser Reihenfolge wird die Multiplikation der Matrix mit der Anzahl dieser Multiplikationen der Matrizen gezählt und dann die Addition der Matrizen durchgeführt. Die Reihenfolge der Operationen über Matrizen kann jedoch explizit für einen zusätzlichen Bogen zugewiesen werden.

Außerdem ist die Priorität von Operationen an Matrizen ähnlich der Priorität, die Operationen zum Addieren und Multiplizieren von reellen Zahlen zugeordnet ist.

Hintern.

Gegeben eine Matrix . Finden Sie es anhand der angegebenen Matrizen heraus, die dії zugewiesen sind .

Lösung.

Wir beginnen damit, Matrix A mit Matrix B zu multiplizieren:

Nun multiplizieren wir eine einzelne Matrix einer anderen Ordnung E mit zwei:

Wir addieren zwei subtrahierte Matrizen:

Die Operation zum Multiplizieren der entfernten Matrix mit der Matrix A ist verloren gegangen:

Bitte beachten Sie, dass die Operationen, die Matrizen derselben Ordnung A und B betrachten, nicht notwendig sind. Die Differenz zwischen zwei Matrizen ist im Wesentlichen die Summe aus Matrix A und Matrizen, vorn mit minus eins multipliziert: .

Die Operation des Aufbaus einer quadratischen Matrix in der natürlichen Welt ist an sich nicht selbstgenügsam, sondern Bruchstücke sukzessiver Multiplikationen von Matrizen.

Bringen wir eine Tasche mit.

Unpersönlichen Matrizen sind drei Operationen zugeordnet: Addition von Matrizen gleicher Ordnung, Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl und Multiplikation von Matrizen gleicher Ordnung. Die Operation des Hinzufügens unpersönlicher Matrizen einer bestimmten Ordnung erzeugt eine Abel-Gruppe.