Ein anderes ist ein ausreichendes Zeichen für die Gründung des Extremums. Das Wachstum und die Veränderung von Funktionen auf Intervallen, Extrema. Genug Zeichen für Extrem

Der Extrempunkt einer Funktion ist der Punkt des Bereichs der Funktionsbezeichnung, in dem der Wert der Funktion auf den minimalen oder maximalen Wert gesetzt wird. Die Werte der Funktion an diesen Punkten werden als Extrema (Minimum und Maximum) der Funktion bezeichnet.

Geplanter Termin. Krapka x1 Bereiche mit zugewiesener Funktion f(x) wird genannt Punkt maximaler Funktion obwohl der Wert der Funktion an diesem Punkt größer ist als der Wert der Funktion an den nahegelegenen Punkten, verteilen sich Rechtshänder und Linkshänder darin (um Ungleichmäßigkeiten zu vermeiden f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maximal.

Geplanter Termin. Krapka x2 Bereiche mit zugewiesener Funktion f(x) wird genannt der Minimalpunkt der Funktion Obwohl der Wert der Funktion an diesem Punkt kleiner ist als der Wert der Funktion an den Punkten in der Nähe davon, sind die Rechtshänder und wütend darin (deshalb die Ungleichmäßigkeit f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Es scheint jedem, dass die Funktion an der Stelle sein kann x2 Minimum.

Lassen Sie uns punktieren x1 - Punkt maximaler Funktion f(x). Todi im Intervall bis zu x1 Funktion wächst Dies ist vergleichbar mit Funktionen größer als Null ( f "(x) > 0 ) und im Intervall danach x1 die Funktion ändert sich jetzt und ähnliche Funktionen weniger als Null ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Es ist auch möglich, dass der Punkt x2 - zeigen auf das Minimum der Funktion f(x). Todi im Intervall bis zu x2 die Funktion ändert sich und die ähnliche Funktion ist kleiner als Null ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 die Funktion wächst, und die ähnliche Funktion ist größer als Null ( f "(x) > 0). Wessen Geist hat den gleichen Punkt x2 Pokhіdna-Funktionen sind gleich Null oder nicht.

Satz von Fermat. Was für ein Punkt x0 - Extrempunkt der Funktion f(x), dann ist die Funktion am n-ten Punkt nullähnlich ( f "(x) = 0) oder nicht.

Geplanter Termin. Punkte, die ähnliche Funktionen gleich Null oder nicht haben, werden aufgerufen kritische Punkte .

Beispiel 1. Schauen wir uns die Funktion an.

Am Punkt x= 0 x= 0 ist der kritische Punkt. Wie auf dem Diagramm der Funktion zu sehen ist, gibt es jedoch eine Zunahme im gesamten Bereich des Termins, das ist der Punkt x= 0 ist kein Extremum der Funktion.

Denken Sie auf diese Weise an diejenigen, die einer Funktion würdig sind, bis sie Null erreichen, oder nicht notwendig sind, oder die notwendigen Köpfe eines Extremums oder nicht ausreichend, Sie können die Scherben und andere Anwendungen von Funktionen für einige zeigen sie, der Geist kann betrogen werden, oder aber die Funktion eines Extremums. Tom Mutter braucht ausreichende Zeichen, mit dem Sie Chi є an einem bestimmten kritischen Punkt des Extremums und Yaky selbst beurteilen können - maximales Chi-Minimum.

Satz (der erste ist ein ausreichendes Zeichen der Basis des Extremums der Funktion). kritischer Punkt x0 f(x), so dass beim Durchlaufen dieses Punktes die Funktion das Vorzeichen wechselt, außerdem, wenn das Vorzeichen von "Plus" auf "Minus" wechselt, dann der Maximalpunkt, und wenn es von "Minus" auf "Plus" wechselt, dann die Mindestpunkt.

Wie nah ist der Punkt x0 , linkshändig und rechtshändig darin, wenn es ein Zeichen annimmt, dann bedeutet dies, dass sich die Funktion entweder ändert oder nur in der Nähe des Punktes wächst x0 . In welche Richtung an der Stelle x0 es gibt kein Extremum.

Otzhe, um dem Extremum der Funktion nach Bedarf Punkte zuzuweisen :

Finden Sie eine passende Funktion.
Gleich Null setzen und kritische Punkte zuweisen.
Gedanken-Chi-Papiere markieren kritische Punkte auf der numerischen Achse und markieren die Zeichen einer ähnlichen Funktion, die Intervalle subtrahiert. Wechselt das Vorzeichen von "Plus" auf "Minus", so ist der kritische Punkt der Maximalpunkt, wechselt es von "Minus" auf "Plus", dann ist der Minimalpunkt.
Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Extrempunkten.

Hintern 2. Extremumfunktionen kennen .

Lösung. Wir kennen folgende Funktionen:

Es ist gleich Null, um die kritischen Punkte zu kennen:

Wenn also für einen Wert von "ix" das Banner nicht gleich Null ist, dann ist die Zahl gleich Null:

Nehmen Sie einen kritischen Punkt weg x= 3. Das Vorzeichen des Gegenteils ist in den durch den Punkt begrenzten Intervallen signifikant:

im Intervall von Minusinkonsistenz bis 3 - Minuszeichen, damit sich die Funktion ändert,

im Intervall von 3 bis plus Inkonsistenzen - ein Pluszeichen, damit die Funktion wächst.

Tobto, Punkt x= 3 - Punkt Minimum.

Wir kennen den Wert der Funktion am Minimalpunkt:

In dieser Reihenfolge wird der Extrempunkt der Funktion gefunden: (3; 0), außerdem ist es der Minimalpunkt.

Theorem (der andere ist genug Zeichen für die Basis des Extremums der Funktion). kritischer Punkt x0 є Extremumpunkt der Funktion f(x); f ""(x) ≠ 0); f ""(x) > 0 ), dann ist der Punkt das Maximum und umgekehrt kleiner als Null ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Anmerkung 1. Worum es geht x0 auf Null drehen und das erste, und das andere tot ist, dann ist es in diesem Punkt unmöglich, die Manifestation eines Extremums auf der Grundlage eines anderen ausreichenden Zeichens zu beurteilen. Es ist notwendig, dass diese Art von Stimmung durch das erste ausreichende Zeichen des Extremums der Funktion beschleunigt wird.

Achtung 2. Ein weiteres ausreichendes Zeichen des Extremums der Funktion reicht nicht aus, und selbst wenn in einem stationären Punkt das erste nicht gut ist (es gibt kein anderes schlecht). Es ist auch notwendig, dass diese Art von Einstellung durch das erste ausreichende Zeichen des Extremums der Funktion beschleunigt wird.

Lokale Natur der Extrema der Funktion

Es ist offensichtlich, dass das Extremum der Funktion einen lokalen Charakter haben kann - der Wert des größten und des kleinsten Wertes der Funktion ist gleich den nächsten Werten.

Nehmen wir an, Sie sehen sich eines Tages Ihre Einnahmen zum Zeitpunkt der Hochzeit an. Wenn Sie 45.000 Rubel mit dem Gras und 42.000 Rubel mit dem Quartal und 39.000 Rubel mit den Roten verdient haben, dann sind die Graseinnahmen das Maximum der Verdienstfunktion in Bezug auf die nächsten Werte. Ale hat 71.000 Rubel mit Gelb, 75.000 Rubel mit Frühling und 74.000 Rubel mit Laubfall verdient, also dasselbe Einkommen - die Mindesteinkommensfunktion entspricht den nächsten Werten. Sie können leicht bachitieren, so dass der maximale Durchschnittswert der Frühlingsgraskirsche geringer ist als das Minimum des Frühlingszhovtnya-Blattfalls.

Apropos Zagalneno, in der Zwischenzeit kann die Funktion die Mutter einer Prise Extreme sein, außerdem kann es scheinen, dass das Minimum der Funktion größer als das Maximum ist. Also, für die dargestellte Funktion etwas mehr, .

Es ist also nicht notwendig zu denken, dass das Maximum und Minimum der Funktion anscheinend die größten und kleinsten Werte auf allen sichtbaren Teilen sind. Am Punkt zum Maximum hat die Funktion den kleinsten Wert im Bereich dieser Werte, wenn es an allen Punkten möglich ist, den Punkt nahe dem Maximum zu erreichen, und am Punkt zum Minimum - den kleinsten Wert in der Bereich dieser Werte, wenn er nahe an den Punkten zum Minimalpunkt liegt.

Daher kann es klargestellt werden, um den Punkt des Extremums der Funktion besser zu verstehen und die Punkte des Minimums die Punkte des lokalen Minimums und die Punkte des Maximums die Punkte des lokalen Maximums zu nennen.

Shukaemo extreme funktioniert sofort

Beispiel 3.

Lösung. Die Funktion wird zugewiesen und ohne Unterbrechung auf dem gesamten Zahlenstrahl. Її pokhіdna іsnuє auch auf der ganzen Zahlenlinie. Tom rein zu dieser besonderen Sorte kritische Punkte є weniger ti, für Yak, Tobto. , Sterne das . Kritische Punkte und teilen Sie den gesamten Bereich der zugewiesenen Funktion in drei Intervalle der Monotonie auf: . Viberemo in der Haut von ihnen an einem Kontrollpunkt und wir kennen das Zeichen des nächsten am zweiten Punkt.

Für ein Intervall kann ein Kontrollpunkt: bekannt sein. Wenn wir einen Punkt im Intervall nehmen, subtrahieren wir, und wenn wir einen Punkt im Intervall nehmen, können wir. Auch in Intervallen i und in Intervallen . Zgіdno mit dem ersten ausreichenden Vorzeichen des Extremums, an dem Punkt gibt es kein Extremum (Scherben nehmen eher das Vorzeichen im Intervall an), und an den Punkten kann die Funktion minimal sein (die Scherben sind beim Durchlaufen des nächsten kleiner Punkt, Vorzeichenwechsel von Minus auf Plus). Wir kennen die relevanten Werte der Funktion: , a . In dem Intervall ändert sich die Funktion, die Spitzen in diesem Intervall, und die Intervalle nehmen zu, die Spitzen in diesem Intervall.

Um die zukünftigen Grafiken zu verdeutlichen, kennen wir die Punkte der Yogalinie mit den Koordinatenachsen. Wenn wir equal nehmen, dessen Wurzel i , dann werden zwei Punkte (0; 0) und (4; 0) des Graphen der Funktion gefunden. Vikoristovuyuchi alle otrimani vіdomosti, budєmo-Zeitplan (div. auf dem Kolbenkolben).

Für die Selbstüberprüfung mit Rozrachunkah können Sie beschleunigen ähnlicher Online-Rechner .

Hintern 4. Kennen Sie die Extrema der Funktion und induzieren Sie den Zeitplan.

Der Geltungsbereich der Funktion ist der ganze Zahlenstrahl, mit Ausnahme der Punkte, tobto. .

Für eine schnelle Nachbereitung können Sie die Funktion des Dampfbades beschleunigen, indem Sie Scherben verwenden . Daher ist der Plan symmetrisch um die Achse Autsch diese Nachverfolgung kann nur für das Intervall verwendet werden.

Wir wissen, dass ich gehen werde und kritische Punkte der Funktion:

1) ;

2) ,

Aber wenn die Funktion den Unterschied in diesem Punkt kennt, dann kann es kein Extremumpunkt sein.

derart, Funktion eingestellt ist maє zwei kritische Punkte: i . Vrahovoyuchi Paarung von Funktionen, perevirim für ein weiteres ausreichendes Zeichen des Extremums ist nur ein Punkt. Für wen wir einen Freund kennen, werde ich sterben Es ist ein bedeutendes Zeichen bei: otrimaєmo. Da i , dann є der Minimalpunkt der Funktion, an dem .

Um weitere Informationen über den Zeitplan der Funktion hinzuzufügen, ist es notwendig, das Verhalten an den Grenzen des ausgewiesenen Bereichs zu verfolgen:

(Hier steht das Symbol für Bewegung x rechtshändig auf Null, außerdem x vom Positiven überwältigt werden; bedeutet in ähnlicher Weise Übung x zu null wütend, außerdem x vom Negativen überwältigt werden). Also in einem solchen Rang, Yakscho. Dali, wir wissen es

Tobto. so wie das.

Der Knickpunkt mit den Achsen der Graphfunktion kann nicht sein. Kleiner - auf dem Kolbenhintern.

Für die Selbstüberprüfung mit Rozrachunkah können Sie beschleunigen ähnlicher Online-Rechner .

Prodovzhuєmo shukati extreme Funktionen auf einmal

Beispiel 8. Extremumfunktionen kennen.

Lösung. Wir kennen den Umfang der übertragenen Funktion. Wenn also die Nervosität siegen kann, dann sind wir besessen.

Lassen Sie uns die ersten Pokhіdnu-Funktionen kennen.

Duje wichtige Informationenüber das Verhalten der Funktion, Perioden des Wachsens und Vergehens hervorrufen. Їхнє perebuvannya є Teil des Prozesses Folgefunktionen und Hinweisgrafiken. Bis dahin werden Extrempunkte, in denen ein Wechsel von Wachstum zu Rückgang oder von einem Wechsel zu Wachstum stattfindet, besonders berücksichtigt Wert des größten und kleinsten Werts der Funktion im aktuellen Intervall.

In diesem Artikel besteht die Notwendigkeit, ein ausreichendes Zeichen für eine Zunahme dieser Funktionsänderung über ein Intervall und einen ausreichenden Grund für ein Extremum zu definieren und zu formulieren. Wir werden die gesamte Theorie perfektionieren, indem wir diese Aufgabe anwenden.

Seitennavigation.

Das Wachstum und die Änderung der Funktion im Intervall.

Ausgewiesene Wachstumsfunktion.

Die Funktion y=f(x) wächst auf dem Intervall X, sowie für was auch immer i nerіvnіst vykonuetsya. Andernfalls, so scheint es, ist der größere Wert des Arguments größer als der Wert der Funktion.

Ausgewiesene Zerfallsfunktion.

Die Funktion y=f(x) ändert sich um das Intervall X, wie für jedes i nervös . Ansonsten ist anscheinend der größere Wert des Arguments durch den kleineren Wert der Funktion gegeben.

ANMERKUNG: Wenn die Funktion zugewiesen wird und ohne Unterbrechung in den Wachstums- oder Verfallsintervallen (a; b), dann bei x = a і x = b, dann werden qi-Punkte in das Wachstums- oder Verfallsintervall aufgenommen. Überschätzen Sie den Zweck der Wachstums- und Zerfallsfunktion für das Intervall X nicht.

Zum Beispiel wissen wir aus den Potenzen der elementaren Grundfunktionen, dass y=sinx zugewiesen ist und von allen effektiven Werten des Arguments nicht unterbrochen wird. Daher können wir aus dem Wachstum der Sinusfunktion in den Intervallen das Wachstum der Sinusfunktion in dem Intervall bestätigen.

Krapki-Extremum, Extremumfunktionen.

Benennen Sie den Punkt Höchstpunkt Funktionen y=f(x) , also ist alles x in der Nachbarschaft fair. Der Wert der Funktion an der Stelle zum Maximum wird aufgerufen Funktion maximal ich meine.

Benennen Sie den Punkt Mindestpunkt Funktionen y=f(x) , also ist alles x in der Nachbarschaft fair. Der Wert der Funktion am Punkt des Minimums wird aufgerufen minimale Funktion ich meine.

Verstehen Sie unter der Peripherie des Punktes das Intervall , de - Beenden Sie eine kleine positive Zahl.

Die Punkte von Minimum und Maximum werden aufgerufen Extrempunkte, und der Wert der Funktion, der den Extrempunkten entspricht, wird aufgerufen Funktion Extrema.

Verwechseln Sie extreme Funktionen nicht mit den größten niedrigsten Wert Funktionen.

Auf der ersten kleinen wird der größte Wert der obersten Funktion am Punkt des Maximums und des nächsten Maximums der Funktion erreicht, und auf der anderen kleinen wird der größte Wert der Funktion am Punkt x = erreicht b, aber nicht am Punkt des Maximums.

Genug, um das Wachstum dieser veränderten Funktion zu verstehen.

Auf der Grundlage ausreichender Gedanken (Zeichen) des Wachstums dieser veränderten Funktion gibt es Wachstumslücken dieser veränderten Funktion.

Die Achse der Formel ist ein Zeichen für das Wachstum und die Änderung der Funktion im Intervall:

wenn eine ähnliche Funktion y=f(x) für irgendein x über das Intervall X positiv ist, dann wächst die Funktion auf X;
Wenn eine ähnliche Funktion y=f(x) negativ ist, unabhängig davon, ob x innerhalb des Intervalls X liegt, ändert sich die Funktion zu X .

In dieser Reihenfolge ist es notwendig, um das Wachstum des Wachstums und die Änderung der Funktion zu bezeichnen:

Betrachten wir zur Erklärung des Algorithmus das Beispiel der Kenntnis des dazwischenliegenden Wachstums und der Änderung der Funktion.

Hintern.

Kennen Sie die Wachstumslücken und Funktionsänderungen.

Lösung.

Bei der ersten Ernte ist es notwendig den Funktionsumfang kennen. Am Hintern des Viraz, am Bannermann, kann es später auf Null gehen.

Kommen wir zur bekannten Funktion:

Für den Zweck von promіzhkіv zrostannya, dass zmenshennya funktії für ein ausreichendes Zeichen vyrishuєmo nerіvієmі auf dem Feld der Ernennung ist. Verwenden Sie schnell die Intervallmethode. Die einzelne Wurzel des Tagebuchs ist є x = 2 und der Znamennik wird bei x = 0 zu Null. Qi-Punkte teilen den Bereich des zugewiesenen Intervalls, für einige andere Funktionen nehmen sie das Vorzeichen. Deutlich Qi zeigt auf dem Zahlenstrahl. Plus und Minus sind mental signifikante Intervalle, für die es positiv und negativ ist. Die Pfeile unten zeigen schematisch die Zunahme oder Änderung der Funktion in einem bestimmten Intervall.

derart, і .

Am Punkt x=2 Die Funktion ist zugewiesen und ununterbrochen, dazu sollte її zum Wachstumsintervall und zum Zerfallsintervall hinzugefügt werden. An der Stelle x=0 ist die Funktion nicht belegt, also ist diese Stelle nicht in den scherzhaften Intervallen enthalten.

Wir zeichnen einen Graphen der Funktion, um daraus Ergebnisse abzuleiten.

Anregung:

Die Funktion wächst an , wechselnd im Intervall (0; 2] .

Man beachte das Extremum der Funktion.

Um das Maximum und Minimum der Funktion zu kennen, kann man koristuvatisya, ob eines der drei ein Zeichen für ein Extremum ist, offensichtlich, da die Funktion Ihren Verstand befriedigt. Die breitesten und handlichsten sind die ersten von ihnen.

Persha ist ausreichend für Umovs Extremum.

Die Funktion y=f(x) soll in der Nähe des Punktes differenziert werden, aber ohne Unterbrechung im Punkt selbst.

Mit anderen Worten:

Algorithmus zum Finden des Punktes zum Extremum nach dem ersten Zeichen des Extremums der Funktion.

Wir kennen den Umfang der übertragenen Funktion.
Wir kennen die Funktionen des zugewiesenen Bereichs.
Signifikant Nullen der Nummernscheibe, Nullen des Banners des entsprechenden Punktes des bezeichneten Bereichs, in dem sich keine befinden mögliche Extrempunkte, Qi-Punkte passierend, ist es möglich, Ihr Vorzeichen zu ändern).
Qi-Punkte teilen den Bereich, der für die Funktion von Promyzhki bestimmt ist, für manche ist es besser, das Zeichen zu nehmen. Wir können die Zeichen eines ähnlichen Skin-Intervalls sehen (z. B. die Berechnung des Werts einer ähnlichen Funktion an einem beliebigen Punkt eines gut belegten Intervalls).
Wir wählen Punkte aus, an denen die Funktion ununterbrochen ist, und beim Passieren von Yaks ändert sie das Vorzeichen - Gestank-Extremum-Punkte.

Zu reiche Worte, die schöner betrachtet wurden, wandten die signifikanten Punkte auf das Extremum und die Extrema der Funktion an, um dem ersten zu helfen Verstand genug Extremum der Funktion.

Hintern.

Extremumfunktionen kennen.

Lösung.

Der Funktionsbereich ist ganz unpersönlich Tageszahlen, Krim x = 2 .

Wir wissen, dass ich gehen werde:

Die Nullstellen des Zählers є Punkte x = -1 і x = 5 znamennik werden bei x = 2 zu Null. Signifikante Anzahl von Punkten auf der numerischen Achse

Es sind Zeichen eines ähnlichen Hautintervalls sichtbar, mit denen der Wert eines ähnlichen Hautintervalls berechnet wird, beispielsweise an den Punkten x = –2, x = 0, x = 3 und x = 6.

Auch im Intervall ist es positiv (ein Pluszeichen wird auf das kleine über dem cim-Intervall gesetzt). Ähnlich

Wir schreiben ein Minus über ein weiteres Intervall, ein Minus über ein drittes Intervall, ein Plus über ein Viertel.

Verloren, um Punkte auszuwählen, für die die Funktion ununterbrochen ist und її pokhіdna das Vorzeichen ändert. Tse i є Extrempunkte.

Am Punkt x=-1 die Funktion ist ununterbrochen und wechselt allmählich das Vorzeichen von Plus nach Minus, dann ist nach dem ersten Vorzeichen zum Extremum x=-1 der Punkt zum Maximum, das zweite das Maximum der Funktion .

Am Punkt x=5 die Funktion ist ununterbrochen und ändert allmählich das Vorzeichen des Minus in ein Plus, dann ist x=-1 der Punkt des Minimums, was das Minimum der Funktion bedeutet .

Grafische Illustrationen.

Anregung:

REVERSE RESPECT: Das erste Zeichen reicht für das Extremum aus, es beeinflusst nicht die differentielle Funktion des Punktes selbst.

Hintern.

Finden Sie Extrempunkte und Extremfunktionen .

Lösung.

Der Umfang der Funktion sind alle unpersönlichen reellen Zahlen. Die Funktion selbst kann in die Ansicht geschrieben werden:

Wir kennen folgende Funktionen:

Am Punkt x=0 ist nicht möglich, die Scherben der Werte einseitiger Inters dürfen bei übertriebener Argumentation nicht Null erreichen:

Zur selben Stunde ist die Ausgangsfunktion am Punkt x=0 (div. split Nachverfolgung der Funktion auf Kontinuität):

Wir kennen die Bedeutung des Arguments, unter dem es sich lohnt, auf Null zu gehen:

Signifikant alle Punkte auf dem Zahlenstrahl und signifikant niedrigere Zeichen auf den Hautintervallen. Dafür ist es beispielsweise möglich, den Wert des Relativen an bestimmten Stellen des Skin-Intervalls mit zu berechnen x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Tobto,

In dieser Reihenfolge nach dem ersten Zeichen des Extremums die Punkte des Minimums , zeigt auf das Maximum є .

Berechnung der Minimumfunktionen

Berechnung der Maxima der Funktion

Grafische Illustrationen.

Anregung:

Ein weiteres Zeichen für das Extremum der Funktion.

Wie bei einer Bachete ist für ein Zeichen eines Extremums einer Funktion ein ähnliches erforderlich, zumindest in einer anderen Reihenfolge in Punkten.

Das erste hinreichende Vorzeichen des Extremums wird mit der Verbesserung des Vorzeichenwechsels der ersten guten Stunde des Übergangs durch den kritischen Punkt formuliert. Über ein weiteres Zeichen des Extremums siehe unten in § 6.4.

Satz (das erste Zeichen des Extremums) : JakschoX 0 - Kritischer Punkt der Funktiony=f(x) und in der realen Umgebung des PunktesX 0 , indem Sie nach rechts zlіva hindurchgehen, ändern Sie dann das Vorzeichen in die VerlängerungX 0 є Extremumpunkt. Außerdem wird dann das Vorzeichen des Gegenteils von „+“ auf „-“ geändertX 0 ist der maximale Punkt, undf(x 0 ) ist das Maximum der Funktion, und es ist ähnlich, das Vorzeichen von „-“ auf „+“ zu ändernX 0 ist der Mindestpunkt, undf(x 0 ) - Minimale Funktion.

Sieht extrem zu tragen aus lokal(Misceviy) Charakter und Anfälligkeit eines kleinen Stadtrandes des kritischen Punktes.

Extrempunkte und Expansionspunkte teilen den Bereich der zugewiesenen Funktion des Intervalls der Monotonie.

Beispiel 6.3. Zum Beispiel 6.1. wir kannten die kritischen Punkte X 1 =0 і X 2 =2.

Was an diesen Stellen natürlich gilt, ist die Funktion y=2x 3 -6x 2 +1 Mai extrem. Stellen Sie sich in її pokhіdnu vor
Bedeutung X, genommen zliva und Rechtshänder an der Stelle X 1 =0 zum Beispiel in der Nähe des Stadtrandes zu dosieren, x=-1і x = 1. vergriffen. Oskіlki pokhіdna ändern Sie dann das Vorzeichen von „+“ in „-“. X 1 =0 - zeigen auf das Maximum und das Maximum der Funktion
. Jetzt nehmen wir zwei Werte x = 1 i x = 3 aus der Nähe eines anderen kritischen Punktes X 2 =2 . Das hat sich schon gezeigt
, a
. Oskіlki pokhіdna ändert dann das Vorzeichen von „-“ in „+“. X 2 =2 - Der Mindestpunkt. Und zumindest funktioniert
.

Um den größten und kleinsten Wert der Funktion zu kennen, ohne den Wind zu unterbrechen
Es ist notwendig, її-Werte an allen kritischen Punkten und Kintsy der Wicklung zu berechnen, die bv am meisten und am wenigsten auswählt.

6.3. Anzeichen von Schwellung und Schrumpfung des Funktionsgraphen. Knickpunkte

Der Graph der differenzierten Funktion wird aufgerufenopuklimin der Pause, wie die Weine des roztashovaniya niedriger, ob es in dieser Pause Ihr dotichnu war;bücken (nach unten beugen)yakscho in raztashovaniya vshee be-yakої dotichї im Intervall.

6.3.1. Notwendige und ausreichende Anzeichen von Quellung und Schrumpfung der Grafik

a) Erforderliche Zeichen

Was ist der Funktionsplany=f(x) Tumor auf dem Intervall(a, b) , dann ist der Freund gut
in welchem Abstand; als ZeitplanEinschüchterung auf der(a, b) , dann
auf der(a, b) .

P st Zeitplanfunktion y=f(x) Tumor (a, b) (Abb.6.3a). Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh geschwollene krumme zlіva nach rechts, її kut ändert sich stark (
), gleichzeitig ändert sich der endgültige Punktkoeffizient, was bedeutet, dass sich das erste Mal ändert
auf der (a, b) . Ale ist jedoch ähnlich wie die erste, da es der rezessiven Funktion ähnlich ist, aber es kann negativ sein, tobto
auf der (a, b) .

Was ist der Funktionsplan Einschüchterung auf der (a, b) , Dass, mirkuyuchi ähnlich, Bachimo, dass beim Schmieden einer dotischen vzdovzh-Kurve (Abb. 6.3b) ein kränkliches dotisches Wachstum geschnitten wird (
); Und selbst wenn es wie eine wachsende Funktion aussieht, kann es positiv sein
auf der (a, b) .

b ) Ausreichende Zeichen

Wie für die Funktiony=f(x) alle Punkte haben das gleiche Intervall
, dann der Graph der FunktionEinschüchterung in welchem abstand, aber wie
, dannTumor .

"Regel Doshu" : Um sich an ein Zeichen eines anderen pokhіdnoї pov'yazuvati z zu erinnern, das geschwollen ist, und welches aus dem gekrümmten Bogen des Diagramms stammt, wird empfohlen, sich daran zu erinnern: plus Wasser in krummen Lunaten "minus Wasser" - in prallen Monden (Abb. 6.4).

Krapka-Grafik ununterbrochene Funktion, bei dem sich die Ausbuchtung in die Ausbuchtung des Chi Navpak ändert, heißtKnickpunkt .

Satz (ausreichend für das Vorzeichen des Wendepunktes).

Jakscho am Punkt Funktion
dvіchі unterschied, dass der Freund in seinem Punkt auf Null ähnlich ist oder nicht, und sogar wenn er durch den Punkt geht guter Freund
Ändere das Vorzeichen, dann den Punkt є Wendepunkt. Knickpunktkoordinaten
.

Punkte, für manche Freunde ist es möglich, auf Null zu gehen oder nicht, werden als kritische Punkte anderer Art bezeichnet.

Beispiel 6.4. Kennen Sie die Wendepunkte und bezeichnen Sie die Intervalle der Schwellung und Einbuchtung der Kurve
(Kurve Gaus).

R Lösung. Wir wissen pershu, dass Freund pokhіdnі:
,. Ein Freund tut dir gut . Gleich Null und Virishima Otrimane gleich
, de
Auch
, Sterne
,
- Kritische Punkte anderer Art. Umkehren des Vorzeichenwechsels einer weiteren guten Stunde zum Überschreiten des kritischen Punktes
. Jakscho
zum Beispiel,
, dann
, aber
zum Beispiel,
, dann
Tobto Freund ändert das Zeichen. Otzhe,
- Abszisse des Knickpunkts, її-Koordinaten
. Durch Paritätsfunktionen
, gesprenkelt
, symmetrischer Punkt
, tezh wird ein Wendepunkt sein.

Satz (der erste genügt für Umovs Extremum). Lassen Sie die Funktion an dem Punkt ununterbrochen sein, aber wenn die Stunde durch den Punkt geht, ändert sich das Vorzeichen. Todi - Extrempunkt: das Maximum, was bedeutet, dass das Vorzeichen von "+" auf "-" wechselt, und auf das Minimum, was "-" auf "+" bedeutet.

Bringen. Komm schon mit i für .

Für den Satz von Lagrange , de .Todі yakshcho, dann; dazu , otsch, , oder . Na dann; dazu , otsch, oder .

Otzhe brachte, scho an beliebigen Punkten in der Nähe, tobto. ist der Maximumpunkt der Funktion.

Der Beweis des Minimumpunktsatzes wird auf ähnliche Weise durchgeführt. Satz beendet.

Sobald die Stunde durch den Punkt geht, ändert sie das Vorzeichen nicht, dann ist der Punkt kein Extremum.

Satz (ein Freund genügt für Umovs Extremum). Der Punkt habe eine ähnliche Funktion, die binär differenzierend ist und 0 () erhält, und die andere ist im aktuellen Punkt ähnlich wie Null () und ohne Unterbrechung in der aktiven Umgebung des Punkts. Todi - Extrempunkt; an welcher Stelle ist das Minimum und an welcher Stelle das Maximum.

Algorithmus zur Extremumfunktionserkennung nach dem ersten hinreichenden Grund zur Lösung des Extremums.

1. Kennen Sie den Trick.

2. Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Funktion.

3. Folgen Sie dem Zeichen des Linkshänders und Rechtshänders am kritischen Punkt der Haut und dem Wachstum des Visnovo über die Manifestation von Extremen.

4. Kennen Sie die Extremwerte der Funktion.

Algorithmus zur Extremumfunktionserkennung mit Hilfe eines weiteren hinreichenden Grundes zur Eliminierung des Extremums.

1. Kennen Sie den Trick.

2. Kennen Sie Freund pokhіdnu.

3. Kenne diese Punkte, du Yakikh.

4. Vergeben Sie an diesen Stellen ein Vorzeichen.

5. Zrobiti vysnovok über die Natur der Extrema.

6. Kennen Sie die Extremwerte der Funktion.

Hintern. Ansehen . Wir wissen . Daly, bei i für . Dolіdzhuєmo kritische Punkte für die Hilfe des ersten ausreichenden Geistesextremums. Vielleicht, was für ich bei , ich bei . An den Punkten i ist es besser, ihr Vorzeichen zu ändern: bei "+" auf "-" und bei "-" auf "+". Tse bedeutet, dass die Punktfunktion ein Maximum und der Punkt ein Minimum hat; . Für den Ausgleich müssen wir den kritischen Punkt mit Hilfe eines anderen ausreichenden Geistes und Extremums erreichen. Lassen Sie uns wissen, dass ein Freund sterben wird. May: , und tse bedeutet, dass der Punkt eine maximale Funktion hat und der Punkt ein Minimum hat.

Verstehen der Asymptotik des Graphen einer Funktion. Horizontale, schwache und vertikale Asymptotik. anwenden.

Geplanter Termin. p align="justify"> Die Asymptote des Graphen der Funktion wird als gerade Linie bezeichnet, die es Ihnen ermöglicht, sich vom Punkt zum Mittelpunkt der geraden Linie zu Null zu bewegen, wenn der Punkt des Graphen nicht weit von der entfernt ist Cob von Koordinaten.

Unterscheiden Sie vertikale (Abb. 6.6 a), horizontale (Abb. 6.6 b) und schwankende (Abb. 6.6 c) Asymptoten.

Auf Abb. 6.6a gezeigt vertikale Asymptote.

In Abbildung 6.6b - horizontale Asymptote.

Auf Abb. 6,6 V - Asymptote.

Satz 1. An den Punkten der vertikalen Asymptoten (z. B. ) kennt die Funktion den Unterschied, zwischen den Geraden und dem rechtshändigen Weg der Punkte liegen:

Satz 2. Lass die Funktion ernannt werden, um das Große zu vollenden und endgültige Grenzen zu setzen

І .

Dann ist es gerade, eine schäbige Asymptote des Graphen der Funktion.

Satz 3. Lassen Sie die Funktion für Dosit Great und іsnuє zwischen den Funktionen ernannt werden. Dann ist die Gerade die horizontale Asymptote des Funktionsgraphen.

Horizontale Asymptote є nennen wir es eine schlechte Asymptote, wenn . Obwohl die Kurve in einer geraden Linie eine horizontale Asymptote hat, gibt es in dieser geraden Linie kein Pech und kein Pech.

Hintern. Kenne die Asymptotik des Graphen der Funktion.

Lösung. An dem Punkt, an dem die Funktion nicht zugewiesen ist, wissen wir zwischen den Funktionen linkshändig und rechtshändig an dem Punkt:

; .

Auch ist eine vertikale Asymptote.

Das Hauptschema für die Nachverfolgung von Funktionen und die Förderung ihrer Zeitpläne. Hintern.

Allgemeines Schema der Folgefunktion diese Aufforderung її Grafik.

1. Kennen Sie das Zielgebiet.

2. Verfolgen Sie die Funktion für Parität - Unparität.

3. Kenne die vertikale Asymptotik des Expansionspunktes (wie є).

4. Verfolge das Verhalten der Funktion bei Inkonsistenz; kennen die horizontalen und kränklichen Asymptoten (wie є).

5. Finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie der Funktion.

6. Finden Sie die Punkte der Linie des Diagramms mit den Koordinatenachsen i, wie es für ein schematisches Diagramm notwendig ist, um die zusätzlichen Punkte zu kennen.

7. Rufen Sie schematisch den Zeitplan auf.

Detailliertes Schema Folgefunktionen die Grafiken fördern .

1. Kennen Sie das Zielgebiet .

a. Yakshcho є znamennik, vin ist in 0 der zratatisya schuldig.

b. Die Unterwurzel der Wurzel der gepaarten Stufe kann nicht negativ sein (größer als oder gleich Null).

c. Sublogarithmische Virase kann positiv sein.

2. Folgen Sie der Funktion für Parität - Unparität.

a. Yakscho , dann ist die Funktion gepaart.

b. Yakshcho , dann ist die Funktion ungepaart.

c. Yakshcho nicht vikonano nein, nein , dann ist die Funktion der globalen Sicht.

3. Kenne die vertikale Asymptotik des Expansionspunktes (wie є).

a. Die vertikale Asymptote kann in den Zwischenregionen der zugewiesenen Funktion weniger ausgeprägt sein.

b. Yakscho (oder ), dann ist die Asymptote des Graphen vertikal.

4. Folgen Sie dem Verhalten der Funktion in Inkonsistenz; kennen die horizontalen und kränklichen Asymptoten (wie є).

a. Yakscho, dann ist die Asymptote des Graphen horizontal.

b. Yakshcho i dann ist die gerade Linie eine schwache Asymptote des Graphen.

c. Was die in den Absätzen a, b bezeichneten Grenzen betrifft, so ist es nur bei einseitiger Übertreibung bis zur Inkonsistenz (oder ) möglich, dann ist die Asymptotik einseitig: linksseitig mit und rechtsseitig mit .

5. Finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie der Funktion.

a. Kenne Pokhidnu.

b. Kennen Sie die kritischen Punkte (Ti-Punkte, de chi de nemaє).

c. Bestimmen Sie auf der numerischen Achse den ausgewiesenen Bereich und die kritischen Punkte.

d. Markieren Sie auf der Haut des Inhalts der numerischen Intervalle das Zeichen des nächsten.

e. Nach den Anzeichen ähnlicher Forschungen von Schnurrhaaren über die Manifestation von Extremen bei diesen Typen.

f. Extremwerte kennen.

g. Nach den Zeichen des marschierenden Wachstums der Schnurrhaare über das Wachstum und die Veränderung.

6. Kenne die Punkte der Linie des Graphen mit den Koordinatenachsen i, da es für ein schematisches Diagramm notwendig ist, die zusätzlichen Punkte zu kennen.

a. Schob, um die Punkte der Linie des Diagramms vom Vіssyu zu kennen, ist es notwendig, die Linie zu trennen. Punkte, de zero, sind die Punkte der Linie des Graphen z vyssyu.

b. Der Punkt der Linie des Diagramms ist von oben zu sehen. Vaughn іsnuє, es ist weniger wie ein Punkt, um den Bereich der bezeichneten Funktion zu betreten.

8. Rufen Sie schematisch den Zeitplan auf.

a. Koordinatensystem und Asymptoten induzieren.

b. Geben Sie Extrempunkte an.

c. Geben Sie die Unterbrechungspunkte des Diagramms mit den Koordinatenachsen an.

d. Induzieren Sie den Graphen schematisch so, dass Sie die bezeichneten Punkte durchlaufen und sich den Asymptoten nähern.

Hintern. Folgen Sie der Funktion und induzieren Sie schematisch den її-Graphen.

2. - die Funktion eines wilden Geistes.

3. Oskіlki i , dann gerade Linien є vertikale Asymptoten; Punkte і є gepunktet. , wenn Sie nicht in den Bereich der zugewiesenen Funktion eintreten