Waschen Sie die Rechtwinkligkeit zweier gerader Linien im Raum. Parallele Linien, Zeichen und Köpfe paralleler Linien. Gehen Sie vom Punkt zur geraden Linie

KUT zwischen Wohnungen

Schauen wir uns auf die gleiche Weise zwei Aufgaben der Ebenen α 1 und α 2 an:

Pid Schnitt zwischen zwei Wohnungen ist einer der zweiseitigen kutіv, der aus diesen Wohnungen besteht, verständlich. Es ist offensichtlich, dass zwischen den Normalenvektoren und den Ebenen 1 und 2 eine der Bezeichnungen der Summen-Dieder gleich ist . Tom . Da і , dann

.

Hintern. Bestimmen Sie einen Schnitt zwischen den Wohnungen x+2j-3z+4=0 und 2 x+3j+z+8=0.

Waschen Sie die Parallelität zweier Ebenen.

Zwei Ebenen α 1 und α 2 sind parallel zueinander und nur dann gleich, wenn sie Normalenvektoren und parallel sind, und auch .

Außerdem sind zwei Ebenen parallel zu eins zu demselben und weniger zu demselben, wenn die Koeffizienten für die entsprechenden Koordinaten proportional sind:

oder

Waschen Sie die Rechtwinkligkeit der Ebenen.

Es war klar, dass zwei Ebenen senkrecht und gleich sind, wenn sie Normalenvektoren und auch senkrecht sind.

Derart,

anwenden.

DIREKT IM RAUM.

VECTORNE RIVNYANNYA DIREKT.

PARAMETRISCHE NIVELLIERUNG DIREKT

Die Lage der Geraden im Raum ist völlig abhängig von den gegebenen Daten, da es її Fixpunkte gibt M 1 i Vektor , parallel zur Geraden.

Vektor, parallele Linie, heißt Direkte Der Vektor ist gerade.

Otzhe, hallo gerade l einen Punkt passieren M 1 (x 1 , j 1 , z 1), die auf einer Geraden parallel zum Vektor liegt.

Betrachten wir einen bestimmten Punkt M(x,y,z) auf einer geraden Linie. Das sieht man dem Kleinen an .

Vektoren und kolіnearnі, also gibt es eine solche Zahl t, sho , de Multiplikator t Ob es sich um einen Zahlenwert handelt, können Sie in der Brache an der Position des Punktes ablesen M auf einer geraden Linie. Multiplikator t Parameter genannt. Zuweisung des Radius-Vektor-Punktes M 1 Ta M offensichtlich durch i, otrimuemo. Tse gleich heißt Vektor gerade Linien. Es zeigt der Haut den Wert des Parameters an t den Radius-Vektor des Deakpunktes ändern M, die auf einer Geraden liegen.

Schreiben wir die Reihenfolge der Koordinatenform auf. Hochachtungsvoll, sho, und Sterne

Otrimani Gleichgestellte genannt werden parametrisch gerade.

Beim Ändern des Parameters t Koordinaten ändern x, jі z ich fleckig M auf einer geraden Linie bewegen.

CANONIC RIVNYANNYA DIREKT

Komm schon M 1 (x 1 , j 1 , z 1) - ein Punkt, der auf einer geraden Linie liegt l, і - Її direkter Vektor. Ich bringe es direkt auf den Punkt M(x,y,z) Ich schaue mir den Vektor an.

Es war klar, dass die Vektoren und kollinear, zu denen ihre jeweiligen Koordinaten proportional sein können,

– kanonisch gerade Linien.

Respekt 1. Respektvoll kann die kanonische Ausrichtung der Geraden durch Einschalten des Parameters von den parametrischen genommen werden t. Richtig, von parametrischen Gleichheiten ist es notwendig oder .

Hintern. Schreibe gerade Linien parametrisches Aussehen.

Bedeutend , Sterne x = 2 + 3t, j = –1 + 2t, z = 1 –t.

Anmerkung 2. Die Gerade stehe senkrecht auf einer der Koordinatenachsen, beispielsweise der Achse Ochse. Dann ein direkter Vektor von Linien von Senkrechten Ochse, otsch, m=0. Otzhe, parametrische Entzerrung des direkten Blicks nach vorn

Inklusive Entzerrungsparameter t, Nehmen Sie direkt vom Anblick weg

Prote und lassen Sie uns gleichzeitig die kanonischen Gleichheiten des direkten Yak formell aufschreiben . Wenn in dieser Reihenfolge eine Null im Banner eines der Brüche steht, bedeutet dies, dass die gerade Linie senkrecht zur dualen Koordinatenachse steht.

Ebenso kanonisch gleich Gerade steht senkrecht auf den Achsen Ochseі Autsch oder parallel zur Achse Unze.

anwenden.

ZAHALNI RIVNYANNYA DIREKT, YAK-LINIENUMKEHR VON ZWEI FLUGZEUG

Durch die Haut direkt in den offenen Raum, um einen unpersönlichen Bereich zu passieren. Seien es zwei von ihnen, ineinander verschlungen, bedeuten sie im Raum. Otzhe, wenn es zwei gleiche Ebenen gäbe, die zusammen betrachtet werden, sind sie den geraden Linien gleich.

Vzagali be-wie zwei parallele Ebenen, von glühenden Gleichgestellten gesetzt

eine Gerade bezeichnen. Qi gleich genannt werden wilde Eifersucht gerade.

anwenden.

Direkte Eingabeaufforderung, von Kollegen festgelegt

Um direkt zu ermutigen, reicht es aus zu wissen, ob es її Punkte gibt. Am einfachsten ist es, die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen zu wählen. Zum Beispiel ein Schnittpunkt mit einer Ebene xOy wir nehmen es gerade, vvazhuchi z= 0:

Virishivshi tsyu-System, wir kennen den Punkt M 1 (1;2;0).

Ebenso respektvoll j= 0 xOz:

Von den oberen Ebenen der geraden Linie können Sie zu den kanonischen oder parametrischen Ebenen wechseln. Für wen ist es notwendig, einen Punkt zu wissen M 1 auf einer geraden Linie und ein direkter Vektor ist eine gerade Linie.

Punktkoordinaten M 1 wird von der Mitte des Entzerrungssystems genommen, nachdem eine der Koordinaten auf einen ausreichenden Wert gedrückt wurde. Für die Frage nach einem direkten Vektor muss der Vektor jeweils senkrecht zu beiden Normalenvektoren stehen. і . Dazu der direkte Vektor l kannst du nehmen Vektor-Witwear Normalvektoren:

.

Hintern. Geradeaus führen zum Canon-Look.

Lassen Sie uns einen Punkt finden, der auf einer geraden Linie liegt. Wofür wir beispielsweise nur eine der Koordinaten wählen, j= 0 und splitte das Ausgleichssystem:

Normalenvektoren von Ebenen, die eine Gerade definieren, bestimmen Koordinaten. Daher ist der direkte Vektor direkt

. Otzhe, l: .

KUT MIZH GERADE

Kutom zwischen geraden Linien im Raum, den wir nennen werden, ob einer der zusammenfassenden Kutivs, zwei gerade Linien, die durch einen bestimmten Punkt parallel gezogen werden, wir geben.

Lassen Sie den Raum zwei gerade Linien setzen:

Es ist offensichtlich, dass kut zwischen їх geraden Linien als kut zwischen їх direkten Vektoren i genommen werden kann. Also Yak, dann nehmen wir für die Formel für den Kosinus Kuta zwischen Vektoren

Partition V *. Gleichung von geraden Linien und Ebenen in der Nähe des offenen Raums.

§ 70. Denken Sie an die Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Linien.

Gerade Linien mit direkten Vektoren a і b :

a) parallel gleich und weniger gleich, wenn die Vektoren a і b kollinear;

b) senkrecht auf das gleiche und weniger auf das gleiche, wenn die Vektoren a і b senkrecht, dann wenn a b = 0.

Es ist notwendig, das notwendige und ausreichende Verständnis der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier gerader Linien zu berücksichtigen, die durch kanonische Gleichheiten gegeben sind.

Dafür geradeaus

Boules sind parallel, notwendig und ausreichend, damit der Kopf gewinnt

Haben Sie ein Vipadku, wie einige der Zahlen b 1 , b 2 , b 3 zurück auf Null, dann ist es schuldig, die andere Zahl auf Null zurückzugeben a 1 , a 2 , a 3 .

Für die Rechtwinkligkeit gerader Linien ist es notwendig und ausreichend, damit der Verstand

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. (2)

Aufgabe 1. Zwischen den fortschreitenden Paaren von geraden Linien sind Wetten parallel oder senkrecht zu geraden Linien:

a) Direkte Vektoren a = (2; 4; -13) und b = (3; 5; 2) offensichtlich nicht kollinear. Otzhe, nicht direkt parallel. Lassen Sie uns die Rechtwinkligkeit des Geistes noch einmal Revue passieren lassen

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Gerade senkrecht.

b) Der direkte Vektor der anderen Geraden kann koordiniert werden b = (3; 2; 4). Für einen direkten Vektor kann ich zunächst ein Vektorkomplement normaler Vektoren nehmen
n 1 = (2; -3; 0) und n 2 \u003d (4; -2; -2) Ebenen, wie man qiu gerade stellt:

Umov (1) gewinnt, Scherben 6/3 = 4/2 = 8/4. Direkt parallel.

c) Direkter Vektor der ersten Geraden maє Koordinaten a = (2; 3; 1). Es ist einfach, eine andere gerade Linie zu einem kanonischen Look zu bringen.

Otzhe, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Vektoren a і b nicht parallel. Der Gestank ist nicht senkrecht, die Scherben

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Daten sind gerade, nicht parallel und nicht senkrecht.

Aufgabe 2. Kennen Sie die Ausrichtung der Geraden, die durch den Punkt M 0 (2; -3; 4) senkrecht zur Geraden verläuft

Tsya Artikel über parallele Linien und über parallele Linien. Die Bezeichnung paralleler Linien in der Ebene und in der Nähe des offenen Raums wird auf der Rückseite angegeben, die Bezeichnung wird eingeführt und grafische Illustrationen paralleler Linien werden angewendet. Sie gaben Zeichen und verstanden die Parallelität von geraden Linien. Visnovka zeigt Lösungen charakteristischer Aufgaben zum Beweis der Parallelität von Linien sowie Zuordnungen solcher Gleichheiten einer geraden Linie eines rechteckigen Koordinatensystems in einer Ebene und in einem trivialen Raum.

Seitennavigation.

Parallele direkte Hauptbrücken.

Geplanter Termin.

Zwei gerade Linien in der Ebene werden genannt parallel warum stinkst du nicht Hotspots.

Geplanter Termin.

Zwei gerade Linien im trivi-weltlichen Raum werden genannt parallel wie der Gestank, in einer Wohnung zu liegen und nicht auf Schlafplätzen zu schlafen.

Respektieren Sie, dass der Warnhinweis „dass der Gestank in der gleichen Ebene liegt“ an den dafür vorgesehenen parallelen Linien im Freiraum noch wichtiger ist. Lassen Sie uns diesen Moment erklären: Zwei sind gerade in einem triviweltlichen Raum, so dass sie keine Schlafpunkte haben und nicht in derselben Ebene liegen, nicht parallel, sondern kreuzen.

Lassen Sie uns einige Beispiele für parallele Linien geben. Die protilezhnі-Kanten des Blattes zoshita liegen auf parallelen geraden Linien. Gerade, hinter der die Ebene der Kabinenwand die Ebene der Stele und Unterlagen kreuzt, die parallel sind. Sie können auch sehen, wie parallele gerade Linien gleichberechtigt sind.

Für die Definition paralleler Linien wird das Symbol "" verwendet. Da gerade a und b parallel sind, kannst du kurz a b schreiben.

Zeigen Sie Respekt: ​​Da gerade Linien a und b parallel sind, können Sie sagen, dass Linie a parallel zu Linie b ist, und Sie können sagen, dass Linie b parallel zu Linie a ist.

Solide fest, als ob Sie die wichtige Rolle einiger paralleler Linien in der Ebene spielen würden: Durch einen Punkt, der nicht auf der gegebenen Linie liegt, führen Sie eine gerade Linie parallel zu der gegebenen Linie. Diese Behauptung wird als Tatsache akzeptiert (sie kann nicht auf der Grundlage der Axiome der Planometrie bewiesen werden) und wird Axiom der parallelen Linien genannt.

Für einen Raum im Raum gilt folgender Satz: ob ein Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, durch eine Gerade geht, parallel zu der gegebenen. Das Tsya-Theorem kann leicht zur Einführung der Axiome paralleler Linien herangezogen werden (її Sie können den Beweis aus dem Handbuch der Geometrieklasse 10-11 entnehmen, das im Artikel in der Referenzliste angegeben ist).

Für einen Raum im Raum gilt folgender Satz: ob ein Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, durch eine Gerade geht, parallel zu der gegebenen. Der Tsya-Satz kann leicht zur Hilfe bei der Einführung der Axiome paralleler Linien herangezogen werden.

Parallelität gerader Linien - Zeichen dieser Gedankenparallelität.

Zeichen paralleler Linien Es gibt genug Intelligenz für die Parallelität gerader Linien, also eine Denkweise, die die Parallelität gerader Linien garantiert. Mit anderen Worten, vykonannya tsієї denken genug nach, um die Tatsache paralleler Linien festzustellen.

Außerdem ist es notwendig, die notwendigen und ausreichenden Gedanken der Parallelität von geraden Linien in der Ebene und im trivialen Raum herzustellen.

Es ist verständlich, die Formulierung „dass eine ausreichende gedankliche Parallelität von geraden Linien notwendig ist“ zu ändern.

Mit einer ausreichenden gedanklichen Parallelität von Geraden haben wir schon aussortiert. Und was ist das? notwendigen Verstand Parallelität von Geraden? Hinter dem Namen "notwendig" wurde verstanden, dass der vikonnannya tsієї-Geist für die Parallelität der Linien notwendig ist. Mit anderen Worten, wenn die Parallelität der Linien nicht erforderlich ist, dann sind die Linien nicht parallel. derart, notwendig, dass genügend gedankliche Parallelität von geraden Linien- Tse mind, vykonannya wie es notwendig ist, also ist es ausreichend für die Parallelität von geraden Linien. Das heißt, von einer Seite gibt es ein Zeichen für Parallelität gerader Linien, von der anderen Seite - Integrität, als ob parallele Linien zu sehen wären.

Der erste Schritt besteht darin, die notwendige Parallelität der geraden Linien zu formulieren, die dem Verstand ausreicht, um ein wenig zusätzliche Zeichen zu erraten.

Gerade Linie- Tse ist gerade, als würden wir die Haut in zwei geraden Linien überqueren.

Bei der Pensionierung sind zwei gerade Sichny Utvoryuyuyutsya unverbrannt. Die für die Formelsammlung notwendige und hinreichende Parallelität der Geraden ereilt das Schicksal der sog kopfüber liegend, liegendі einseitige Kuti. Zeigen Sie sie auf dem Sessel.

Satz.

Als zwei gerade Linien auf der Schnittebene der Sichny, dann ist es für ihre Parallelität notwendig und ausreichend, dass die Schnitte sich kreuzten, sie lagen, sie waren gleich, oder die Schnitte waren gleich, oder die Summe von Eins- seitliche Schnitte war 180 Grad.

Lassen Sie uns eine grafische Veranschaulichung der notwendigen und ausreichenden Parallelität von geraden Linien auf einer Ebene zeigen.

Beweise für die Parallelität von Geraden finden Sie bei den Assistenten der Geometrie für die Klassen 7-9.

Es ist wichtig, dass Sie denken, Sie können siegreich sein und in einem trivialen Raum - ein Schmutz, so dass zwei gerade Linien in derselben Ebene liegen.

Lassen Sie uns noch ein paar Sätze einführen, die oft in Frage gestellt werden, um die Parallelität von Linien zu beweisen.

Satz.

Wenn zwei Linien in der Ebene parallel zur dritten Linie verlaufen, dann ist der Gestank parallel. Der Beweis, dass Zeichen aus den Axiomen paralleler Linien ersichtlich sind.

Es ist analog zur Parallelität gerader Linien im trivialen Raum durch den Geist.

Satz.

Wie zwei gerade Linien im Raum parallel zur dritten geraden Linie sind alle Stinks parallel. Beweis, dass Zeichen im Geometrieunterricht in der 10. Klasse gesehen werden.

Lassen Sie uns das Ertönen des Theorems veranschaulichen.

Wir führen noch einen Satz ein, der uns erlaubt, die Parallelität von Linien in die Ebene zu bringen.

Satz.

Wie zwei Geraden auf einer Ebene senkrecht zur dritten Geraden sind sie parallel.

Es gibt einen ähnlichen Satz für Linien im Raum.

Satz.

Wie zwei gerade Linien in einer trivialen Weite, senkrecht zu einer Ebene, ist der Gestank parallel.

Vorstellbar kleine, yakі vіdpovіdat zim Theoreme.

Alle Formulierungen des Theorems, Zeichen und die notwendigen ausreichenden Köpfe sind auf wundersame Weise geeignet, um die Parallelität gerader Linien mit Methoden der Geometrie zu beweisen. Um also die Parallelität zweier Aufgaben gerader Linien zu bringen, ist es notwendig zu zeigen, dass sie parallel zur dritten geraden Linie sind, oder die Ausrichtung der Schnitte zu zeigen, zu liegen und so weiter. Anonym werden ähnliche Aufgaben während der ersten Unterrichtsstunde in Geometrie an einer fremden weiterführenden Schule verletzt. Es sollte jedoch beachtet werden, dass es in reichen Vipads einfach ist, die Koordinatenmethode zu verwenden, um die Parallelität von Linien in der Ebene oder zum trivialen Raum zu beweisen. Das notwendige ausreichende Verständnis der Parallelität von Linien formulieren wir als Aufgabe für ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

In diesem Absatz werden die Statistiken formuliert notwendig und ausreichend, um die Parallelität von Geraden zu verstehen In einem geradlinigen Koordinatensystem ist es brach in Form von rіvnyan, was gerade Linien bedeutet, und wir werden auch Berichte über die Verteilung charakteristischer Aufgaben induzieren.

Erinnern wir uns an die Parallelität zweier Geraden in der Ebene des rechtwinkligen Koordinatensystems Oxy. An der Basis des Yoga erweisen sich Lügen Bezeichnung des direkten Vektors der Linieі der Normalenvektor der Geraden auf der Wohnung.

Satz.

Für die Parallelität zweier nicht einfallender Linien in der Ebene ist es notwendig und ausreichend, dass die direkten Vektoren dieser Linien kollinear sind oder die Normalenvektoren dieser Linien kollinear sind oder der direkte Vektor einer Linie von Senkrechten zur Normalen Vektor der anderen Linie.

Offensichtlich kann die mentale Parallelität zweier Linien in der Ebene auf (direkte Vektoren von Linien oder Normalenvektoren von Linien) oder auf (direkter Vektor einer Linie des Normalenvektors der anderen Linie) reduziert werden. In dieser Reihenfolge als i - direkte Vektoren der Linien a і b und і - Normalenvektoren der Geraden a und b korrekt sind, dann ist es notwendig, dass genügend gedankliche Parallelität der Geraden a und b geschrieben wird als , oder , oder de t ist eine reelle Zahl. Die Koordinaten der Geraden und (oder) Normalenvektoren der Geraden a und b haben einen eigenen Koordinatenbereich hinter den gegebenen Linien der Geraden.

Zokrema, wie eine gerade Linie a im rechtwinkligen Oxy-Koordinatensystem in der Ebene gerade Linie Geist , und Gerade b - dann können die Normalenvektoren von Tsikh-Geraden Koordinaten in vіdpovіdno sein, und Ums Parallelität der Linien a und b wird geschrieben als .

Yakshcho leitet eine vіdpovіdaє Ausrichtung von Geraden mit einem Schnittkoeffizienten mind , und die Linie b - , dann können die Normalenvektoren dieser Linien Koordinaten i haben, und die mentale Parallelität dieser Linien wird sichtbar . Auch wenn die Linien in der Ebene eines rechtwinkligen Koordinatensystems parallel sind und gleich den Linien mit den Scheitelkoeffizienten gesetzt werden können, sind die Scheitelkoeffizienten der Linien gleich. Zunächst einmal: Zwar lassen sich Geraden, die sich nicht krümmen, auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch Geraden mit gleichen Kantenkoeffizienten setzen, aber solche Geraden sind parallel.

Wie Gerade a und Gerade b in einem geradlinigen Koordinatensystem kanonische Ausrichtung von geraden Linien auf der Ebene Geist і , oder parametrische Ausrichtung einer Geraden auf einer Ebene Geist і Offensichtlich können die direkten Vektoren dieser Linien Koordinaten i sein, und die mentale Parallelität der Linien a und b wird als geschrieben.

Werfen wir einen Blick auf eine Reihe von Anwendungen.

Hintern.

Chi-parallele Linien і?

Lösung.

Schreiben wir um Ausrichtung der Geraden an den Wicklungen beim Anblick einer wilden Geraden: . Jetzt können Sie sehen, dass scho ein Normalenvektor von geraden Linien ist , und der Normalenvektor ist eine Gerade. Qi-Vektoren sind nicht kollinear, weil es so etwas nicht gibt Datumsnummer t , für die Gleichheit richtig ist ( ). Daher ist es nicht notwendig, die Notwendigkeit einer ausreichenden mentalen Parallelität von geraden Linien in der Ebene zu überwinden, die Aufgaben von geraden Linien sind nicht parallel dazu.

Anregung:

Nein, nicht direkt parallel.

Hintern.

Sind sie gerade und parallel?

Lösung.

Schiffbar kanonisch gleich gerade bis gleich gerade aus Schnittkoeffizient: . Es ist klar, dass der Ausgleich von geraden Linien und denselben (für verschiedene Aufgaben werden gerade Linien vermieden) und die kutovі-Koeffizienten direkter Gleichheit, auch vihіdnі gerade Linien parallel sind.