Matrixspektrum. Matrix Spectrum "Matrix Spectrum" in Büchern

DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2017.4.2

UDC 517.984.3: 519.177 LBC 22.161

DAS SPEKTRUM DER MATRIX DER EINRICHTUNGEN DER MAIŽE DER REPARATUR ORGRAPH

Sergij Viktorowitsch Koslukow

Voronezsky staatliche Universität [E-Mail geschützt]

vul. Universität, 1, 394000 m. Woronesch, Russische Föderation

Abstrakt. Mit Hilfe der Methode ähnlicher Operatoren wird die spektrale Leistung von Summationsmatrizen von Graphen entwickelt, die nahe an den Orientierungen anderer Graphen liegen. Es werden Schätzungen der höchsten Werte solcher Matrizen angegeben.

Schlüsselwörter: Methode ähnlicher Operatoren, Graphenspektrum, Lokalisierung zum Spektrum, Jordan-Normalform, nichtlineare Ausrichtung, die die Vorstellungskraft erschöpft.

1. Einleitung und Hauptergebnis

Werfen wir einen Blick auf die Matrix Ami, erweitert N x N, gefaltet mit M Nullen und N2 - M Einsen. Wie die Matrix von sum_zhnost_ Amm v_dpod_daє zum Digraphen, otrimanomus Povynogo-Graph mit Schleifen auf N Scheitelpunkten der Abstände von deyakih M z M2-Kanten. Handlungen, die für die Kraft des Graphen wichtig sind, sind mit dem Spektrum der Summenmatrix verbunden. So wird beispielsweise ein diskretes Modell der Ausbreitung des Virus in der Maßnahme beschrieben, im Spektralradius der Summenmatrix des Graphen der Maßnahme wird es durch die Schwellwerte 1/T0 im Verhältnis 1 dargestellt /t = 5/y der Intensität der Infektion der Knoten und der Intensität der Infektion der Knoten, der Summe der Infektionen. Die Position 1/t an der Schwelle 1/T0 bestimmt (endemisch oder epidemisch) die Art der Infektion. Die Spektraltheorie der Graphen und її zastosuvannya werden Berichten zufolge in der Monographie besprochen.

Was können Sie über die Kraft der Matrizen des analysierten Geistes sagen?

Matrix AMm kann auf einen Blick eingereicht werden

de - Matrix, gefaltet in N x N Einheiten und maє Einheiten genau

an ruhigen Orten, de in Amm stehen Null.

Das Spektrum a) der Matrix wird einfach berücksichtigt:

a(t) = (0,M).

Für die Dosierung kleiner M-Spektren sind Matrizen und Amm „nah“. Unter Verwendung der Methode ähnlicher Operatoren (div.: ), die für die Verdunkelung eines „idealen“ Objekts die spektrale Kraft einer solchen Art ermöglicht, weiß das Element der Algebra, das betrachtet wird, isospektral zum oburiate, aber es Es ist bequemer, die Struktur zu berechnen, in dem Artikel wird das offensive Theorem gebracht.

Satz 1. Sei M< М2, тогда спектр матрицы Амм можно представить в виде объединения а (Амм) = а! и а2 непересекающихся одноэлементного множества а! = = {Л!} и множества а2, удовлетворяющих условиям:

ai C (ce R; | c - N |< 4VМ Ü2 С |ц е C; |ц| < 4у/М

2. Beweis

Frontumformung

Der Beweis basiert auf der Motivation für die Matrix, ähnlich wie bei Amm, aber die Macht ist „einfacher“. Lösungen zur nichtlinearen Ausrichtung in der Banach-Algebra C werden durch die Methode einfacher Iterationen geliefert (div., zum Beispiel ). Die Ähnlichkeit der Matrizen L!, L2 ist im Sinne der Basis der Umkehrmatrix zu verstehen und zwar so, dass LS = IL2. Ähnliche Matrizen sind isospektral (ihre Spektren werden ausgewählt). Führen wir eine Vorwärtstransformation durch.

Lemma 1. Matrix von Einsen

Ähnlich wie die Matrix

Genauer gesagt ist die orthogonale Hauptmatrix i so beschaffen, dass sho = ´LI-!.

Bringen. Freier Wert 0 v_dpov_daє N – 1 unabhängiger Leistungsvektor /! = (1, -1, 0, ..., 0), ..., -! = (0,..., 0,1, -1), und der freie Wert N der Matrix ist durch den Potenzvektor = (1,..., 1) gegeben. Nachdem wir die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung etabliert haben, entfernen wir das Orthonormalsystem H]_,..., :

= (1,..., 1)

2)(M -1 1) ■1)M

2) (M -1 1) y / (" -1 ■1) M

^(M -2 -2)(M -M 1) ■1)M

Auf diese Weise ist die visuelle Matrix Lmm ähnlich Matrizen A-B, de B Angesichts der Orthogonalität der Matrix und spielen eine wichtige Rolle.

Matrixaufspaltung und Ergebnis

Matrix s Ma^^C kann in Blockansicht X geschrieben werden

х11 - Zahl, Х12 - Zeile, Х21 - Spalte, Х22 - quadratischer Block des Raums N - 1. Solche Blockmatrizen selbst erfüllen die Algebra, isomorph zu extern, und їх kann mit dem natürlichen Rang mit Elementen des Raums С x СМ- multipliziert werden. 1, isomorph Сm :

/ XtX1 + X12 ^ 2 \ \ X21X1 + X22X2)

In entfernten Verschachtelungen erscheinen isomorphe Objekte als gegenseitig austauschbar.

Erben des Schemas mit der Methode ähnlicher Operatoren, einer „einfacheren“ Matrix, ähnlich wie L - B, Betrachtung von L - ZX mit einer Transformationsmatrix der Ähnlichkeit E + GH, de E e C - eine einzelne Matrix, Z, G: C ^ C - Linie -

keine Operatoren, die an der Algebra Ma ^ ^ C arbeiten, die im Laufe der Entscheidung gewählt werden, außerdem ist ‡ ein Projektor (‡2 = ‡),

erfüllt das Niveau von LGH - (GH) L \u003d X - ZX. Lemma 2. Operatoren ‡ und † gefolgt von Formeln

(Xt 0 \ ^0 X22),

Lektion 1. Das Spektrum der Blockdiagonalmatrix L - JX = ^^ 0Xn x) є

Kombinieren von Spektren von її Diagonalblöcken:

a(A - JX) = (N - xn] U a(X22).

Bringen. Lassen Sie P dіє für die Formel GH \u003d (r11 (^) r12 (v)), dann

\G21(^) Ã 22))

LGH - (GH) L \u003d (-N YX)

das gleiche Niveau für den GC eingestellt ist

- - "= - (-gі%) 0 .

nal blockiert Khts i X22, es ist akzeptabel

Dann kann J in X ~ (^31 ^12) e MatrNC alles nullen, außer zwei Diago-

G L N V-^21 0) ■

Nun schreiben wir die Ähnlichkeit der Matrizen L-B und L-JX auf:

(L - V) (E + GC) = (E + GC) (L - JX), X und MatrNC. (eines)

Lemma 3

X \u003d VGH + B-(GH) (3 (B (E + GH))), X e MatrNC. (2)

Bringen. Krumme Arme, Ebenheit (1) auf einen Blick änderbar

X = VGH + B - (GH)JX. (3)

Sei X viconano (3). Todi, vrakhovyuchi Parität J((ГХ)JX) = 0, minus Parität

JX \u003d LV + J (VGH) \u003d 3 (V (E + GH)). (vier)

Diesen Virus rückwärts einreichen (3), wegnehmen (2). Ebenso zastosovuyuchi bis zu beiden Teilen der Gleichheit (2) Operator J und vrakhovuchi, schcho J((ГХ)3(В(Е + ГХ))) = 0, es ist möglich (3).

Viraz in der Nähe des rechten Teils des Flusses (2) ist bedeutend

F (X) \u003d VGH + B- (GH) (3 (B (E + GH))).

Nun wird gezeigt, dass für die singenden Geister die nichtlineare Transformation von F: Ia^mS ^ Ia^mS eine invariante unpersönliche Zweierkälte P C Ia^mS mit dem Zentrum bei Null sein kann (tobto F(P) C P), andererseits drückt es.

Nehmen wir eine submultiplikative Norm in Ia^mC || ■|| (das ist die Norm, die die Nervosität befriedigt ||^L2|< ||Д1||||Д2|| при всех А\, Л2 € € Matr мС). Нам нужно найти такой радиус г >0, zeigt ||X||, ||Y ||< г выполнялись бы неравенства ||Ф(Х)|| < г и ||Ф(Х) - Ф(У)|| < дЦХ - У||, д € (0,1). Обозначим в = ||В||, у = 8ПР||Х || = ! ||ГХ ||. Лемма 4. Пусть ув < 4, тогда шар

P = (X € Ia^mC; | | X | |< Го} ,

0 <Г° =-^-< 4в,

befriedigt den Geist F (P) Z P. Beweis. Offensichtliche Inkonsistenz

||F(X)||< вУ2|Х||2 + 2ву|Х|| + в. Значит, если г удовлетворяет неравенству

vv2g2 + (2vv - 1)g + v< 0, (5)

dann ||Ä(Õ)||< г при всех ||Х|| < г. Если ув < то дискриминант А = 1 - 4ув соответствующего уравнения положителен и его корни вещественны. Из знаков коэффициентов возникшего многочлена видно, что оба корня положительны. Следовательно, наименьший положительный г, удовлетворяющий неравенству (5), есть наименьший корень соответствующего уравнения:

1 - 2uv - V! - 4uv

vrakhovuyuchi uv< 4, имеем г° < 4в.

Ebenso wird der Beginn von Lema wiederhergestellt. Lemma 5< тогда Ф - сжимающее отображение:

||F(X) - F(U)||< дЦХ - У||, Х,У € П,

d \u003d (1 + 2y °) uv< (1 + 8ув)ув < 4.

Bringen.

||F(X) - F(U)|| = ||BG(X - Y) + (GH)(VDH + B) - (GU)(BDU + B)\\<

< ву\\Х - У|| + ву2||Х -У||||Х + У|| < < ву|Х - У|| + 2гсву2||Х - У||.

Hier vikoristano Eifersucht

(GH)Z(BGH) - (GU)Z(BDU) = 1 [G(X - Y)Z(BG(X + Y)) + G(X + Y)Z(BG(X - Y))]

Zvіdsi i z Banachs Satz über einen nicht verletzenden Punkt von viplivaє lem. Lemma 6

P = (X e Ma ^ C; | | X | |< Гд}

існує і außerdem eine Lösung X ° gleich (2), die die Grenze der Sequenz ist (Fk (0); bis e M), de Fk \u003d F über Fk-1 - Zusammensetzung. Schlussfolgerung 2. Die Matrix L - B ist der Blockdiagonalmatrix L - ZX ähnlich

bei wem zu gewinnen, denken Sie:

a (L -B) \u003d (X - w? 1) i a (-X2 ° 2),

x°n e M, |x?1|< Го < 4в, а (-^2°2) С (ц е С; |ж| < го < 4р}.

Bringen. Die Matrix L – B ähnelt der Blockdiagonale L – ZX°, der ihre Spektren entnommen werden. Das Spektrum der Matrix L - ZX ist die Kombination von Spektren von її Diagonalblöcken. Aufgrund der Submultiplikativität der Normen gibt es viele Inkonsistenzen

spr(X°) = max |A|< ||Х°|| < гд.

Außerdem ist die Bedeutung von x^ sprechbar, wie eine Grenze einer Sprachsequenz, die verläuft.

Drehen wir uns um, Nareshti, bis zur Bestätigung des Hauptsatzes ohne Unterbrechung.

Beweis von Satz 1. Für den Beweis reichte es nicht aus, eine submultiplikative Norm zu wählen. Es gilt zu beachten, dass die auf Diagonalblick gebrachte Matrix I orthogonal ist, also mit TA multipliziert oder I-1 isometrisch ist. Otzhe, ||B|| = Lebenslauf mi | |. Betrachten Sie die Freiraum-Frobenius-Norm

||-||^, wird durch die Formel ||X= ^^^x^^, X = (x^) e Ma^^yC definiert. Vaughn ist submultiplikativ. Wobei Vmi allein z M hinzukommt

ß = \\in \\F = \\Bmn \\f =

Bei allem Respekt, die Eifersucht ist auch offensichtlich

(0 Xi2\ V-^21 0)

Yakscho u/m< , то выполняются условия леммы, причем г° < 4\/~М. Это значит,

was für ein (Amm) = ein! ta a2, de a! = (LCM, |LX – N|!}< 4v/M, а2 С {ц € С; |ц| < 4v/M}, а! П а2 = 0. Теорема доказана.

VERWEISE

1. Baskakov, A. G. Harmonische Analyse linearer Operatoren / A. G. Baskakov. - Woronesch: Ansicht von Woronesch. halten un-di, 1987. - 165 p.

2. Baskakov, A. G. Aufspaltung eines gestaffelten Differentialoperators mit nicht aufspaltenden Operatorkoeffizienten / A. G. Baskakov // Fundamental and Applied Mathematics. - 2002. - T. 8, Nr. 1. - C. 1-16.

3. Cvetkovic, D. M. Spectra of Graphs: Theory and Applications (3rd revision) / D. M. Cvetkovic, M. Doob, H. Sachs. - N.Y.: Wiley, 1998. - 368 S.

4. Epidemic development in real life: an eigenvalue viewpoint / Y. Wang, D. Chakrabarti, C. Wang, C. Faloutsos // 22nd International Symposium on Reliable Distributed Systems, Okt. 2003. Verfahren. - 2003. - S. 25-34.

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2. Baskakov A.G. Zerlegung des gestörten Differentialoperators mit unbeschränkten Operatorkoeffizienten. Fundamentalna i prikladna matematika, 2002, vol. 8, Nr. 1, S. 1-16.

3. Cvetkovic D.M., Doob M., Sachs H. Spectra of Graphs: Theory and Applications (3rd revision). N. Y., Wiley, 1998. 368 p.

4. Wang Y., Chakrabarti D., Wang C., Faloutsos C. Ausbreitung der Epidemie in realen Netzwerken: Eigenwert-Sichtweise. 22. Internationales Symposium über zuverlässige verteilte Systeme, 10. 2003. Proceedings, 2003, S. 25-34.

IM SPEKTRUM EINER ADJAZENZENMATRIX VON FAST VOLLSTÄNDIGEM GRAPH

Sergej Viktorowitsch Koslukow

Staatliche Universität Woronesch [E-Mail geschützt]

University St., 1, 394000 Woronesch, Russische Föderation

abstrakt. Sei AMn eine N x N-Matrix ist N2 - M Einheiten und M Nullen. Als Dämpfungsmatrix genommen, entspricht AMn einem vollständigen Digraphen mit Schleifen an N Eckpunkten, wobei einige M von N2 Kanten entfernt sind. Etwas

Die wichtigen Potenzen der Zählung werden durch ein Spektrum gekennzeichnet. Für den Hintern von Wang et al. schlugen ein zeitdiskretes Modell der Virusausbreitung in einem Netzwerk vor. In meinem Modell wird der Virus absterben oder verweilen, je nachdem, wie das Verhältnis von Heilungs- und Infektionsraten unter oder über dem Schwellenwert liegt. Als Wang und rein. Ich kann sagen, dass die dritte Reihe der Spektralradius der Nachbarschaftsmatrix des Netzwerkgraphen ist, d.h. der maximale Außenwert von Yoga-Kampfwerten. Eine angenehmere Beschreibung der Spektralgraphentheorie und weitere Forschungen werden von Cvetkovic et al. .

Dieses Material analysiert spektrale Eigenschaften solcher Matrizen. Die Matrix AMN kann in der Form AMn = Jn - BMN, de Jn є N x N dargestellt werden Das Spektrum von JN lässt sich leicht formulieren: JN = NJ, also ist L(L - N) das minimale Vernichtungspolynom von JN und die Basis des Spektrums Jn ist a(JN) = (0,N).

Für kleine Freundschaften werden die M-Eigenwerte von AMN denen von JN "nahe" sein. Bei dieser Methode sind ähnliche Operatoren siegreich, da sie bei Vorhandensein eines einzigen Ziels (ob Singularitäten signifikant sind) die Erkennung eines Elements in einer Algebra mit einem visuell ähnlichen Element ermöglichen, bis zu dem Punkt, an dem man eines "einfacher" entwickeln kann " Struktur. Mit dieser Methode wird folgender Satz bewiesen:

Satz. Lass M< N2, then the spectrum of AMN can be represented as a disjoint union a (AMN) = a1 U a2 of a singletone a1 = {Л1} and the set a2, satisfying the following conditions:

CTi (c e R; | c - N |< iVM a2 С |ц e C; |ц| < А^М}.

Schlüsselwörter: ähnliche Operatormethode, Graphenspektren, Eigenwertlokalisierung, Jordan-Normalform, nichtlineare Gleichungen, Kontraktionstheorie.

Sukupnіst її mächtige Bedeutungen. Abt. Auch Charakteristischer Begriff Matrizen.

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