Untergruppen zyklischer Gruppen. Zyklische Gruppen. Sumіzhni classi, Satz von Lagrange

Die Gruppe O heißt zyklisch, da alle Elemente Schritte ein und desselben Elements sind. Dieses Element heißt positive zyklische Gruppe O. Ob eine zyklische Gruppe offensichtlich abelsch ist.

Eine zyklische Gruppe ist beispielsweise eine Gruppe ganzer Zahlen für Additionen. Die Qiu-Gruppe mi wird durch das Symbol 2 gekennzeichnet. ї tvirnoy є Nummer 1 (і Navit-Nummer - 1). Eine zyklische Gruppe ist auch eine Gruppe, die nur aus einem Element (single) besteht.

In einer großen Gruppe über den Rippen eines beliebigen Elements g wird eine zyklische Untergruppe mit einem festen g. Die Reihenfolge der Untergruppen, zrozumіlo, zbіgaєtsya mit der Reihenfolge des g-Elements. Die Ergebnisse des Satzes von Lagrange (div. Seite 32) zeigen, dass die Ordnung jedes Elements einer Gruppe geteilt werden sollte, die Ordnung einer Gruppe (respektvoll, dass alle Elemente der letzten Gruppe Elemente der letzten Ordnung sind).

Dazu kann für jedes Element g der letzten Gruppe die Reihenfolge gleich sein

Dieser einfache Respekt ist oft falsch.

Da die Gruppe zyklisch ist und її etabliert, ist die Reihenfolge des Elements offensichtlich korrekt. Zurück, als Gruppe von Volody-Elementen in der Reihenfolge, dann sind die Schritte dieses Elements unterschiedlich, und zu diesem Schritt die gesamte Gruppe Pro.

Mi bachimo, in einem solchen Rang, dass eine zyklische Gruppe eine Dekilka verschiedener Utvoryuyuchih bemuttern kann (selbst ein Element der Ordnung sein є tvernoy).

Manager. Um das zu erreichen, ist eine Gruppe einfacher Ordnung eine zyklische Gruppe.

Manager. Bringen Sie, was eine zyklische Gruppe bestellen kann, eben genehmigen, de - Nummer positive Zahlen, kleiner und gegenseitig einfacher s .

In der Reihenfolge, sei es eine kіntsevіy-Gruppe, können Sie eine Zahl hinzufügen - das niedrigstwertige Vielfache der Reihenfolge aller її-Elemente.

Manager. Um, für was auch immer das Ende der Gruppe ist, die Nummer zu bringen, um die Reihenfolge der Gruppe zu teilen.

Es ist offensichtlich, dass in einer zyklischen Gruppe die Anzahl der Reihe nach ansteigt. Zurück, vzagali scheinbar, nicht wahr. Tim ist nicht weniger, kann sich verhärten, was zyklische Gruppen in der Klasse der endgültigen abelschen Gruppen charakterisiert:

Ende der abelschen Gruppe, für die die Nummer weiter fortgeschritten ist, є zyklische Gruppe.

Richtig, lass uns nicht

Bestellungen aller vіdmіnkh vіd odinі elementі v kіntseї abelії ї ї ї Über die Bestellung, in nehay - ї zumindest zagalne multiple.

Lassen Sie uns die Anzahl der zusätzlichen Schritte verschiedener Primzahlen zerlegen:

Lassen Sie die Oskіlki-Zahl є zu diesem Zweck das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen (1), unter den Zahlen, die Sie haben möchten, um eine Zahl zu haben, die sich genau durch dh teilen lässt. Die Zahl є sei die Ordnung des Elements g. Das gleiche Element ist in Ordnung (div. Sequenz 1) auf Seite 29).

In einem solchen Rang ist es für jeden in der Gruppe Pro nicht erforderlich, ein Element der Reihe nach zu verwenden. Vibrieren für die Haut ist ein solches Element, schauen wir uns Ihr Gesicht an. Zgidno z firmzhennyam, zur Seite bringen. 29-30; Oskіlki, der Rest der Zahl für den Geist ist gut, Tim selbst hat gebracht, dass es in der Gruppe ein Element in der Reihenfolge der Elemente gibt.Otzhe, diese Gruppe ist eine zyklische Gruppe.

Komm schon, O - eine ziemlich zyklische Gruppe mit einer verdrehten und einer H - deak її-Untergruppe. Ob ein Element der Untergruppe H ein Element der Pro-Gruppe ist, können Sie sich ansehen, de d - es kann eine positivere oder negativere Zahl sein (vzagali, sevne ist mehrdeutig). Wir können die Unpersönlichkeit aller positiven Zahlen betrachten, deren Element zur Untergruppe N gehört. Oskilki ce Unpersönlichkeit ist nicht leer (warum?), dann wird die kleinste Zahl angezeigt, ob das Element h der Untergruppe H der Schritt des Elements ist. Tatsächlich gibt es aus Gründen der Argumentation dieselbe Zahl d, die (die Zahl kann negativ sein). Teilen Sie (zu viel) die Zahl d durch die Zahl

Aufgrund der minimalen Anzahl von Überschüssen ist es also schuldig, Null zu erreichen. Derart,

Tim selbst hat ans Licht gebracht, dass das Element eine feste Gruppe H ist, also ist die Gruppe H zyklisch. Otzhe, sei eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe einer zyklischen Gruppe.

Manager. Bringen Sie die Zahl zum Untergruppenindex H und teilen Sie dann die Reihenfolge der Gruppe (wie die Gruppe O Kintsev).

Respektvoll, für jeden Dilnik ist die Reihenfolge der letzten zyklischen Gruppe Q in der Gruppe Pro eine und mehr als eine Untergruppe H in der Reihenfolge (und die Untergruppe selbst ist es

Es ist offensichtlich, dass die endianische zyklische Gruppe einfach ist, dass die Ordnung eine Primzahl (oder Einheit) ist.

Es ist signifikant, ob ein Faktor (eine Gruppe desselben, ob ein homomorphes Bild) einer zyklischen Gruppe Q eine zyklische Gruppe ist.

Um es zu beweisen, denken Sie daran, dass die tvirnoi-Gruppe der intelligenten Klasse dienen sollte, die die tvirno-Gruppe Pro rächt.

Zocrema, ob der Faktor der Gruppe der Gruppe der ganzen Zahlen Z eine zyklische Gruppe ist. Vivchimo tsі tsіchіchіchі grupі prіknіshe.

Da die Gruppe Z abelsch ist, dann ob die Untergruppe Z ein normaler Dilnik ist. Andererseits ist die Untergruppe H unter dem Gesichtspunkt, mehr zu bringen, eine zyklische Gruppe. Da uns der Faktor der Gruppe hinter den trivialen Untergruppen bekannt ist, können wir die Untergruppe H als nichttrivial betrachten. Lassen Sie die Zahl є die Untergruppe N erfüllen. Wir können die Zahl positiv (warum?) і auch größer als eins machen.

Die Untergruppe N. wird offensichtlich aus allen Zahlen gebildet, die unterteilt sind in. Deshalb gehören zwei Zahlen immer noch nur zu einer Summenklasse für die Untergruppe H, wenn die Differenz durch dividiert wird, dann wenn der Stink gleich dem Modul sein kann (div. Kurs, Seite 277). In diesem Rang sind die Summen der Klasse für die Untergruppe H nichts anderes als die Klassen von Zahlen, sodass Sie sich für das Modul gegenseitig gleichstellen können.

Mit anderen Worten, der Faktor der Gruppe der Gruppe Z für die Untergruppe von H ist die Gruppe (für Additionen) der Zahlenklassen, die für den Modul einander gleich sind. Wir werden diese Gruppe durch die Її genehmigende є-Klasse benennen, die die Nummer 1 rächen wird.

Es erscheint, ob die zyklische Gruppe isomorph ist oder die Gruppe Z (da sie nicht beschränkt ist) oder eine der Gruppen (da die Reihenfolge gehäutet ist).

Richtig, sagen Sie mir - ich mache Gruppe O. Bedeutsam ist jedoch der Ausdruck von Gruppe 2 in Gruppe O

Betrachten wir die multiplikative Gruppe aller zwei Schritte der Zwei (2Z, ), wobei 2Z = (2 n | P e Z). Ein Analogon der additiven Gruppe my є ist die additive Gruppe der Zwillingszahlen (2Z, +), 2Z = (2n | Sport Z). Damo zagalne vyznachennya-Gruppen, Okremi-Hintern solcher є danі-Gruppen.

Termin 1.8. Multiplikative Gruppe (G,) (Die additive Gruppe (G, +)) wird aufgerufen zyklisch wie es aus den aufeinanderfolgenden Stufen (aller Vielfachen) eines Elements aufsummiert wird ein e G, Tobto. G=(Ein p | Sport Z) (vіdpovіdno, G - (Pa | Sport Z)). Bezeichnung: (a), muss heißen: zyklische Gruppe, die von Element a erzeugt wird.

Werfen wir einen Blick darauf.

1. Der Fuß einer multiplikativen nicht skalierenden zyklischen Gruppe kann eine Gruppe aller Zyklusschritte einer festen ganzen Zahl sein ein F±1, gewonnen angezeigt und r. derart, und d - (a).
2. Der Fuß der multiplikativen zyklischen Endgruppe ist Gruppe C Wurzel n-te Schritt von allein. Erraten Sie, was Wurzel n-te Schritt von einem zu wissen

hinter der Formel e k= cos---hisin^-, de vorher = 0, 1, ..., P - 1. Folie- p p

wirklich, З „ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Rate mal was komplexe Zahlen e zu, zu = 1, ..., P - 1, werden durch die Spitzen eines einzelnen Pfahls, Yak, dargestellt P gleiche Teile.

3. Ein charakteristisches Beispiel einer additiven nicht skalierenden zyklischen Gruppe ist eine additive Gruppe von ganzen Zahlen Z, die durch die Zahl 1 erzeugt wird, d. h. Z = (1). Geometrisch erscheint es beim Anblick der ganzen Punkte der Zahlenlinie. Tatsächlich wird so die multiplikative Gruppe selbst dargestellt 2 7 - = (2) ein z \u003d (a), Dezil Zahl ein F±1 (div. Abb. 1.3). Die Qualität der Bilder wird in Abschnitt 1.6 besprochen.
4. Vibero in einer großen multiplikativen Gruppe G aktives Element a. Dann erfüllen alle Zyklen der Schritte des Elements die zyklische Untergruppe (a) = (a p p e Z)G.
5. Es kann gezeigt werden, dass die additive Gruppe der rationalen Zahlen Q nicht selbst zyklisch ist, sondern ob zwei Elemente in der zyklischen Untergruppe liegen oder nicht.

A. Wir beweisen, dass die additive Gruppe Q nicht zyklisch ist. Zulässig unzulässig: sei Q = (-). Grundlegende Zielnummer b,

nicht teilen t. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, dann Substantiv-

b t/ (t J

є tsile Nummer gs 0 so sho - \u003d n 0 -. Ale todi m = n 0 kb,

Sterne t:- diyshli Superschärfe.

B. Sagen wir, dass noch zwei Rationale Zahlen -

h „ /1

i - zyklische Untergruppe überlappen (-), de tє finden- d t/

weniger als ein großes Vielfaches von Zahlen bі d. Richtig, lass uns nicht m-bi

, a 1 /1 h Lebenslauf 1/1

ich m = av, u, v e Z, dann i - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b ich t t/ ein dv t t/

Satz 1.3. Die Reihenfolge der zyklischen Gruppe ist dieselbe wie die Reihenfolge des übergeordneten Elements der Gruppe, tobto.|(a)| = | ein |.

Bringen. 1. Komm schon | = ">. Wir wissen, dass alle natürlichen Schritte des Elements a anders. Zulässig inakzeptabel: komm schon ak = ein tі 0 zu Todi t - Vor - natürliche Zahlі ein t ~ bis = e. Ale tse superechit von diesem scho | a = ° °. Auf diese Weise alle natürlichen Schritte des Elements a raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst group (a). Otzhe, | (a)| = ° ° = | ein |.

2. Komm schon | ein | = n. (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). Aus der Bezeichnung der zyklischen Gruppe ergibt sich die Inklusion (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). Schalten wir es ein. Zusätzliches Element der zyklischen Gruppe (a) kann aussehen bei, de ti Z. Schnapsüberschuss teilen: m-nq + r, de 0 S. Oskilki ein n = e, dann bei = ein p ich + g \u003d ein p h? ein r = ein r e(eine 0, eine, eine 2 ,..., a "- 1). Zvіdsi (a) s (a 0, a, a 2, ..., In dieser Reihenfolge, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" -eins).

Es ist notwendig, dass alle Elemente multipliziert werden (a 0, a, eine 2 ,..., und "-1) unterschiedlich. Zulässig nicht akzeptabel: sei 0 i P, ale a" = a). Gleicher Wein - z ta 0 j - i - dіyshli Superschärfe z umovoy | ein | = P. Das Theorem ist abgeschlossen.

Untergruppen zyklischer Gruppen

Es kommt ein Theorem, das die Existenz einer Untergruppe zyklischer Gruppen definiert.

Satz 1.4. Eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch. Yakscho G = (a)uH - nicht alleinstehende Untergruppe der Gruppe G, moH = (and e) de p - die kleinste natürliche Zahl, wie a p e N.

Bringen. Komm schon G = (a) das H- Untergruppe einer Gruppe G. Wie eine Untergruppe H Single also H =(f) – zyklische Gruppe. Komm schon H- nicht alleinstehende Untergruppe. Deutlich durch P kleinste natürliche Zahl, also ein Stift, und lass es uns wissen H \u003d (ein p). Aufnahme ( ein p) h H offensichtlich. Schalten wir es ein. Komm schon er h. Oskilki G = (ein), dann ist es eine echte Show Vor, Na und h = a bis. Lass uns teilen Vor auf der P Es ist zu viel: Vor = nq+ g, de 0 p. gF 0, dann nehmen h = a bis = a pa p h a g, Sterne a r \u003d a ~ p hN e N. Kam mit minimalem Display zur Superlative P. Außerdem ist r = 0 i zu - nq. Zvіdsi h = ein k = ein p h e a"). In diesem Rang H h ( a n), später, H = (ein e). Das Theorem ist abgeschlossen.

Elternelemente der zyklischen Gruppe

Aus welchen Elementen kann eine zyklische Gruppe entstehen? Es gibt zwei Theoreme, die diese beiden Theoreme stützen.

Satz 1.5. Einer zyklischen Gruppe G = (a) sei eine nicht reduzierte Ordnung gegeben. Todi (a) - (a zu) dann, und nur dann, wenn bis zu - ± 1.

Bringen. Komm schon G = (ein),|a| = ° ° ich (a) = (Ach). Tod ist bis zum Tod P, Na und a = ein kp. Zvіdsi a * "-1 \u003d e, und oskolki | ein = dann kp - 1 = 0. Alethodi kp = 1 ich-± 1. Eine ernsthafte Verhärtung ist offensichtlicher.

Satz 1.6. Geben wir eine zyklische Gruppe G = (a) der Ordnung m an. gcd(/s, t) = 1.

Bringen.(=>) Komm schon (a) = (ein vorher), lassen Sie uns wissen, dass GCD(/s, t) - 1. Im Wesentlichen SNDCs, t) – d. Oskilki a e (a) - (a bis), dann a = ein kp mit dem aktuellen Ganzen P. Für die genaue Reihenfolge der Elemente singen die Sterne, scho (1 - kp) : t, Tobto. eines - kp = mt für eine reelle ganze Zahl t. Ale todi 1 = (kp + mt) : d, Sterne d = 1 і GCD(/s, t)= 1.

(Lass uns NID gehen (k, t) = 1. Lassen Sie uns wissen, was (a) = (Ach). Notiz (ein vorher) h (a) ist offensichtlich. Zurück, Achtung GCD-Nr., t) = 1 folgende Zahlen і und v, so Ki + mv= 1. Koristuyuchis tim sho | ein | - t, akzeptabel a = a ku + mv = a ku a mv = a kі e (a to). Otzhe, (a) = (a bis). Das Theorem ist abgeschlossen.

Erraten Sie, was Euler-Funktion f(t) steht für die Anzahl der natürlichen Zahlen, die die natürliche Zahl nicht verändert t und gegenseitig einfach t. Klingt nach einer obsessiven Konsequenz.

Folge. Zyklische Gruppe (a) bestellen t maє f(t) verschiedener Elemente, die erzeugt werden.

Für die gegebene geometrische Genauigkeit von Theorem 1.5 repräsentieren wir die zyklische Gruppe G = (a) bestellen t Einsatzpunkte A 0, A b ..., A t _ b teile es auf t gleiche Teile. Element ein zu gegebene Gruppen, die Punkte zeigen Und davor wird einige und nur einige erzeugen, wenn nacheinander die Punkte A 0, Ak, A2k usw. kommen wir zu Punkt A]. Lassen Sie uns alles wissen Vor bei t= 10 Lassen Sie uns einfach die vipadkіv aufzählen (Abb. 1.5). Als Ergebnis nehmen wir vorher =1,3, 7, 9. Für eine zyklische Gruppe (a) tse bedeutet, dass (a) \u003d (a 3) \u003d (a 7) \u003d (a 9). zurück: wissen Vor, gegenseitig einfach mit der gleichen Nummer t, Sie können gnädigerweise vikreslyuvaty vodpovidnu "zirochka" vikreslyuvaty vodpovidnu "zirochka", fest wissend, dass frühes Chi pizno am Hautpunkt schlürfen, mehr (a) = ( a zu).

Komm schon G– Gruppieren Sie dieses Element a G. Die Ordnung des Elements a (angezeigt durch ׀а׀) wird als kleinste natürliche Zahl bezeichnet nN, was

a n = a . . . . a =1.

Wenn eine solche Nummer nicht bekannt ist, dann scheint es so a- Ein Element inkonsistenter Ordnung.

Lemma 6.2. Jakscho a k= 1, dann k dividiere durch die Elementreihenfolge a.

Geplanter Termin. Komm schon G- diese Gruppe a G. Todi bezlich

H = (ak ׀ k }

є Untergruppe der Gruppe G, wie sie als zyklische Untergruppe bezeichnet wird, die durch das Element a erzeugt wird (angezeigt durch H =< а >).

Lemma 6.3. Zyklische Untergruppe H, erzeugt durch das Element a bestellen n, є Ende der Gruppenreihenfolge n, Außerdem

H = (1 = ein 0, ein, ..., ein n-1).

Lemma 6.4. Komm schon a- Ein Element inkonsistenter Ordnung. Gleiche zyklische Untergruppe H = <a> - unskinned und be-any element s H Melden Sie sich bei der Sehenswürdigkeit an a k , VorZ, außerdem in einem einzigen Rang.

Die Gruppe wird gerufen zyklisch Yakscho gewann zbіgaєtsya z odnієyu zіh svoїkh tsіchnyh Untergruppen.

Hintern 1. Additivgruppe Z aller ganzen Zahlen ist eine unendliche zyklische Gruppe, die von Element 1 erzeugt wird.

Hintern 2. Unpersönliche Wurzeln n-te Stufe aus der 1. zyklischen Gruppenordnung n.

Satz 6.2. Ob eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe zyklisch ist.

Satz 6.3. Ob eine unendlich zyklische Gruppe zu einer additiven Gruppe ganzer Zahlen isomorph ist Z. Ob es sich um ein kіntseva-Zyklussystem handelt n isomorph zur Gruppe aller Wurzeln n-ter Schritt von 1.

Normale Untergruppe. Gruppenfaktor.

Lemma 6.5. Komm schon H- Untergruppe einer Gruppe G, auf der Grundlage aller linken Summenklasse gleichzeitig є i rechte Summe_ Klassen. Todi

aH=Ha, a G.

Geplanter Termin. Untergruppe H Groupie G Normal in genannt G(angegeben HG), weil alle und linken summіzhnі classi richtig sind, also

aH=Ha, aG.

Satz 6.4. Komm schon H
G, G/N– gesichtslos aller summativen Klassen der Gruppe G nach Untergruppe H. Wie man multipliziert G/N Multiplikationsoperation

(aH)(bH) = (ab)H,

dann G/N wird zu einer Gruppe, da der Faktor eine Gruppe Gruppe genannt wird G nach Untergruppe H.

Gruppenhomomorphismus

Geplanter Termin. Komm schon G 1 ich G 2 - Gruppen. Todi-Fermentation f: G 1
G 2 heißt Homomorphismus G 1 in G 2, wie

F(ab) = f(a)f(b) , ein, b G 1 .

Lemma 6.6. Komm schon f– Gruppenhomomorphismus G 1 zur Gruppe G 2. Todi:

1) f(1) - einzelne Gruppe G 2 ;

2) f(a -1) = f(a) -1 ,aG 1 ;

3) f(G 1) - Untergruppe einer Gruppe G 2 ;

Geplanter Termin. Komm schon f– Gruppenhomomorphismus G 1 zur Gruppe G 2. Todi bezlich

Kerf = {aG 1 ׀f(a) = 1G 2 }

heißt der Kern des Homomorphismus f .

Satz 6.5. käh f
G.

Satz 6.6. Seien Sie eine normale Untergruppe einer Gruppe Gє der Kern eines jeden Homomorphismus.

Kiltsja

Geplanter Termin. Leer gesichtslos Vor genannt kіltsem, wie auf der neuen, sind zwei binäre Operationen zugeordnet, wie sie Additionen und Multiplikationen heißen und die fortgeschrittenen Köpfe befriedigen:

Vor- Abels Gruppe für weitere Operationen;

Plural assoziativ;

vikonuyutsya Gesetze der Verteilung

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x, y, zK.

Hintern 1. Bezlich Qі R- Kiltsja.

Kiltse heißt kommutativ, wie

xy=yx, x, yK.

Hintern 2. (Porivnjannia). Komm schon m- feste natürliche Zahl, aі b- Dovіlnі tsіlі Nummer. Selbe Nummer a mit der Nummer abgeglichen b hinter dem Modul m als Einzelhandel a – b geteilt sein in m(geschrieben: ab(Mod m)).

Wertung gleich der Äquivalenzsetzung auf das Unpersönliche Z, was geht kaputt Z In der Klasse rufen Yakі Klassen vіdrahuvan für das Modul an m und bedeuten Z m. Bezlich Z mє kommutativer Ring mit Eins.

Felder

Geplanter Termin. Das Feld heißt leer, unpersönlich R, Um nicht 2 Elemente zu rächen, mit zwei binären Operationen, die sich so falten und multiplizieren, dass:

Hintern 1. Bezlich Qі R unbegrenzte Felder.

Hintern 2. Bezlich Z r- Kіntseve-Feld.

Zwei Elemente aі b Felder R vіdminnі vіd 0 werden Dilers von Null genannt, wie ab = 0.

Lemma 6.7. Das Feld hat keine Anzahl von Nullen.

Sei g ein zusätzliches Element der Gruppe G. Todi unter Annahme der minimalen Untergruppe
, erzeugt von einem Element
.

Geplanter Termin. Minimale Untergruppe
, erzeugt von einem Element g der Gruppe G, heißt zyklische Untergruppe Gruppe g.

Geplanter Termin. Wie die ganze Gruppe wird G aus einem Element geboren, das heißt.
, dann heißt es zyklische Gruppe.

Komm schon Element der multiplikativen Gruppe G, wird dieselbe minimale Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird, aus dem Element im Kopf gebildet

Schauen wir uns den Schritt des Elements an , dann. Elemente

Zwei Möglichkeiten:

1. Verwenden Sie das Schrittelement g raznі, tobto.

, dann hier zu sagen, dass das Element g nicht um reduziert werden kann.

2. Є zbіgi Schritte, tobto. , Ale
.

І hier ist das Element g die letzte Ordnung.

Richtig, sagen Sie mir zum Beispiel,
і
Todi,
, dann. positive Schritte setzen
Element
, gleich einem einzelnen Element.

Lassen Sie d - der am wenigsten positive Indikator für das Niveau des Elements , wofür
. Dann scheint es, dass das Element
Mai letzte Bestellung, gleich d.

Visnowok. Haben Sie eine Art Gruppe G der letzten Ordnung (
) werden alle Elemente in der endgültigen Reihenfolge sein.

Sei g ein Element der multiplikativen Gruppe G oder einer multiplikativen Untergruppe
wird aus allen verschiedenen Schritten des g-Elements aufaddiert. Otzhe, die Anzahl der Elemente in der Untergruppe
zbigaєtsya mit der Ordnung des Elements Tobto.

Anzahl der Elemente in einer Gruppe
Korrigieren Sie die Reihenfolge der Elemente ,

Von der anderen Seite kann die gleiche Härte sein.

Festigkeit. Befehl was auch immer das Element ist
in der Reihenfolge der minimalen Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird
.

Bringen. 1.Yakscho - Element der endgültigen Bestellung , dann

2. Yakscho - Ein Element der inkonsistenten Reihenfolge, bringt dann nichts.

Yakscho-Element bestellen darf , dann zu diesem Zweck alle Elemente

anders und ein Schritt sein zbіgaєtsya mit einem dieser Elemente.

Richtig, lass den demonstrativen Schritt
, dann. - genug Nummer und geh nicht
. Selbe Nummer auf einen Blick ersichtlich
, de
,
. Todі, vikoristuuuuuuuuuuuu Leistungsstufe des g-Elements,

Zokrema, Yakshcho.

Hintern. Komm schon
- Die abelsche Gruppe der ganzen Zahlen ist additiv. Gruppe G wird aus einer minimalen Untergruppe gebildet, die durch eines der Elemente 1 oder –1 erzeugt wird:

och,
- Bezkіnechna tsiklіchna-Gruppe.

Zyklische Gruppen der endgültigen Ordnung

Wie ein Beispiel einer zyklischen Gruppe der endgültigen Ordnung ist es klar eine Gruppe, die das richtige n-kutnik shodo yogo in die Mitte wickelt
.

Groupi-Elemente

є Drehen Sie den n-Kutnik gegen den Godinnikov-Pfeil auf dem Kuti.

Groupi-Elemente
є

und aus der geometrischen Spiegelung ist das klar

Gruppe
die Elemente rächen, tobto.
, sondern das befriedigende Element der Gruppe
є , dann.

Komm schon
todi (div. Abb. 1)

Reis. eines – Gruppe - eine Verpackung des korrekten Trikutnik-ABC-Shodo zum mittleren O.

Algebraische Operation  in einer Gruppe - Die letzte Verpackung gegen den Jahrespfeil, auf dem Kut, mehrfach , dann.

Zvorotny-Element
- Wickeln hinter dem Jahrespfeil auf Kut 1, Tobto.

Tabelle Kechi

Die Analyse von kіntsevyh-Gruppen wird höchstwahrscheinlich im Voraus für die zusätzlichen Tabellen von Keli sowie für die Einführung der "Multiplikationstabelle" verwendet.

Lass Gruppe G sich an den Elementen n rächen.

Meiner Meinung nach ist der Tisch Keli є quadratische Matrix es gibt n Reihen und n Reihen.

Zu der Hautreihe und Hautschicht ein oder mehr als ein Element der Gruppe.

Element Tabelle Kelі, scho, um auf der Netzhaut der i-ten Zeile und der j-ten Spalte zu stehen, zum Ergebnis der Operation der "Multiplikation" des i-ten Elements mit dem j-ten Element der Gruppe.

Hintern. Lass Gruppe G drei Elemente rächen (g1, g2, g3). Operation in der Gruppe "Multiplikation". An diesem Punkt könnte die Keli-Tabelle so aussehen:

Respekt. In der Skin-Zeile und Skin-Spalte des Tisch-Keli sind alle Elemente der Gruppe zu finden und es stinkt nicht. Tabelle Keli, um alle Informationen über die Gruppe zu ersetzen. Was können Sie über die Macht dieser Gruppe sagen?

1. Das einzige Element dieser Gruppe ist g1.

2. Die Gruppe ist abelsch, weil Der Tisch ist entlang der Hauptdiagonale symmetrisch.

3. Für das Skin-Element der Gruppe ist es notwendig

für g 1 Wrap є Element g 1 für g 2 Element g 3 .

Gehen wir für Gruppen Zellentabellen.

Für die Bedeutung des Dreh- und Angelpunkts für das Element gilt beispielsweise , notwendig für eine Zeile, für ein bestimmtes Element kennen stovpets Racheelement . Element vidpovіdny gegeben an stovptsyu i є vorotnym zum Element , Weil
.

So wie der Keli-Tisch symmetrisch ist wie die Kopfdiagonale, bedeutet tse das

- Tobto. die Operation der analysierten Gruppe ist kommutativ. Aus Gründen der Argumentation ist der Keli-Tisch symmetrisch, obwohl die Kopfdiagonale bedeutet, dass die Operation in kommutativ, das heißt.
,

eine Gruppe - Abelova.

Sie können die ganze Gruppe von Transformationen der Symmetrie des richtigen n - Kosinus sehen nachdem der Operation die Verpackung der zusätzlichen Operation einer geräumigen Drehung um die Symmetrieachsen hinzugefügt wurde.