2. Art der Integration

Betrachten wir das krummlinige Integral der 2. Art, wobei L eine Kurve ist, die die Punkte M und N verbindet. Lassen Sie die Funktionen P(x, y) und Q(x, y) ununterbrochen privat im realen Bereich laufen D, in welcher Fläche die Kurve L liegt. Bezeichnenderweise kann bei einigen Analysen das krummlinige Integral nicht in Form der Kurve L abgelegt werden, sondern es werden nur die Punkte M und N erweitert.

Wir zeichnen zwei zusätzliche Kurven MSN und MTN, die im Abstand D liegen und die Punkte M und N verbinden (Abb. 14).

Sagen wir, was, tobto

de L - geschlossene Schleife, Falten von MSN- und NTM-Kurven (es können auch weitere hinzugefügt werden). Auf diese Weise ist die geistige Unabhängigkeit des krummlinigen Integrals 2. Art im Integrationsweg gleichbedeutend damit, dass ein solches Integral hinter jeder geschlossenen Schleife gleich Null ist.

Satz 5 (Theorem von Green). Geben Sie an allen Punkten des reellen Bereichs D die Funktionen P(x, y) und Q(x, y) und ihre privaten Übergänge an. Dann wird damit eine geschlossene Kontur L, die im Bereich D liegt, sein

notwendig und ausreichend für alle Punkte der Region D.

Bringen.

1) Wohlstand: Lassen Sie Ihren Geist gehen = vikonano. Betrachten wir eine geschlossenere Kontur L der Region D, die die Region S umgibt, und schreiben wir die Formel von Green für die neue:

Otzhe, Genugtuung gebracht.

2) Notwendigkeit: Angenommen, der Geist wurde in den Hautpunkt von Bereich D eingeschrieben, aber wenn Sie einen Punkt im Zentrum des Bereichs finden möchten, in dem -? 0. Komm schon, zum Beispiel am Punkt P(x0, y0) vielleicht: - > 0. Also, da der linke Teil der Nervosität eine ununterbrochene Funktion hat, wird er einen Tag lang positiv und größer sein? > 0 in der deakіy kleinen Region D`, um den Punkt P. Otzhe zu rächen,

Die Berücksichtigung der Formel von Green ist dafür unerlässlich

de L` - die Kontur, die den Bereich D` umgibt. Tsey result superchit mind. Auch = an allen Punkten der Region D, die notwendig war, um zu bringen.

Achtung 1. In ähnlicher Weise kann man für einen triviweltlichen Raum die notwendigen und ausreichenden Gedanken der Unabhängigkeit des krummlinigen Integrals mitbringen

in Integrationsrichtung є:

Anmerkung 2. Wenn vykonannі (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є denkt oberes Differenzial eigentliche Funktion. Damit können Sie die Berechnung des krummlinigen Integrals bis zum angegebenen Differenzwert und an den End- und Eckpunkten der Integrationskontur skalieren

Für welche Funktion i ist aus der Formel bekannt

de (x0, y0, z0) - der Punkt der Region D und C - ist genug geworden. Tatsächlich ist es leicht zu verwechseln, dass die durch Formel (53) gegebenen privaten Funktionen gleich P, Q und R sind.

Hintern 10.

Berechnen Sie das krummlinige Integral 2. Art

entlang der vollen Kurve, die die Punkte (1, 1, 1) und (2, 3, 4) verbindet.

Machen wir weiter, was die Vicons denken (52):

Otzhe, die Funktion ist vorhanden. Wir kennen її hinter Formel (53), indem wir x0 = y0 = z0 = 0 setzen. Dann

In diesem Rang wird die Funktion und bis zu einer ausreichenden Buchung dodanku mit Genauigkeit bestimmt. Angenommen Z = 0, dann u = xyz. Otzhe,

Betrachten wir das krummlinige Integral

Nehmen nach einem Deak mit einer flachen Kurve L, die die Punkte verbindet Mі N. Nehmen wir an, die Funktionen P(x,y)і Q(x,y) kann ungestörter privater Urlaub in der Umgebung sein, die Sie sehen können D. Natürlich kann für solche Schreiber ein krummliniges Integral nicht in Form einer Kurve liegen L, und nur in der Position des Kolbens und des Endpunkts abzulegen Mі N.

Betrachten wir zwei weitere Kurven MPNі MQN, die in der Nähe des offenen Bereichs liegt D und Verbindungspunkte Mі N. Komm schon

(1)

Dann können auf der Grundlage der Potenzen 1 und 4 krummlinige Integrale sein:

Tobto. Closed-Loop-Integral L

Im Rest der Formel nimmt das krummlinige Integral eine geschlossene Kontur ein L aus Kurven gefaltet MPNі NQM. Tsey-Kontur L Sie können natürlich vvazhati dovilnym.

In diesem Rang wohlgemerkt:

also liegt für zwei beliebige Punkte M und N das krummlinige Integral nicht in Form einer Kurve, sondern nur in Form einer Kurve, sondern nur in der Position dieser Punkte, als nächstes was Das krummlinige Integral hinter jeder geschlossenen Kontur ist gleich Null .

Fair und böse Visnovok:

wenn das krummlinige Integral hinter irgendeiner geschlossenen Schleife gleich Null ist, dann kann dieses krummlinige Integral nicht in Form einer Kurve liegen, die zwischen zwei Punkten liegt, und lege dich nur in die Lager von Tsikh Punkt . Es ist wahr, scho der Gleichwertigkeit (2) überschwängliche Gleichwertigkeit (1)

Satz

Die Funktionen P(x, y), Q(x, y) seien an allen Punkten des Deaco-Gebiets D auf einmal mit ihrem eigenen Privaten und ohne Unterbrechung verwendet worden. Dann, um ein krummliniges Integral hinter jeder geschlossenen Schleife L zu haben, die in der Mitte des Raums liegt und dann Null erreicht. schob

(2΄)

notwendige und ausreichende Vikonannya-Äquivalenz

an allen Punkten des Bereichs D.

Bringen

Schauen wir uns den geschlossenen Kreislauf genauer an L in der Region D und für die neue schreiben wir die Formel von Green:

Wenn der Verstand gewinnt (3), dann ist auch das unterschätzte Integral, das Böses kostet, gleich Null i, dann

derart, Hinlänglichkeit Wäsche (3) gebracht.

Bringen wir es jetzt Notwendigkeit Verstand, Toto. es ist möglich, dass die Ebenheit (2) für jede geschlossene Kurve siegt L in der Region D, dann ist am Hautpunkt der Region der Geist siegreich (3).

Andererseits ist es akzeptabel, dass Eifersucht (2) gewinnt, tobto.

und Umov (3) gewinnt nicht, tobto.

Hot Bi in einem Punkt. Komm schon, zum Beispiel kann der Gesangspunkt nervös sein

Da der linke Teil der Nervosität eine ununterbrochene Funktion hat, wird es positiv sein und mehr als eine bestimmte Anzahl an allen Punkten erreichen, um einen kleinen Bereich zu erreichen, um den Punkt zu rächen. Vіzmemo podvіyny Integrieren Sie in Galluzі vіd Raznitsi. Vin matime hat eine positive Bedeutung. WAHR,

Ale hinter der Green-Formel liegt der linke Teil des Rests der Unebenheit näher am krummlinigen Integral über die Zwischenregion, das hinter den Zulagen näher bei Null liegt. Otzhe, ostannya nerіvnіst Supercheat Minds (2), otzhe, pripuschennya, scho on vіdminu vіd null, an einem Punkt sein wollen, nicht so. Klingt schreiend, was

an allen Punkten D.

Otzhe, der Satz ist wieder fertig.

Zur Stunde der Hochzeit der unterschiedlichen Gleichen wurde daran erinnert

entspricht der Tatsache, dass viraz pdx + Qdyє das letzte Differential der aktuellen Funktion u(x,y), dann.

Ale im Tsomu Vipadku-Vektor

є Gradientenfunktion u(x,y);

Funktion u(x,y), ist der Gradient ähnlich dem Vektor Potenzial welcher vektor.

Lass es uns wissen der ein krummliniges Integral hat Hinter jeder Kurve L, die die Punkte M und N verbindet, die Differenz zwischen den Werten der Funktion i an diesen Punkten:

Bringen

Jakscho Рdx + Qdyє das obere Differential der Funktion u(x,y), dann schaue ich mir das krummlinige Integral an

Für die Berechnung dieses Integrals schreiben wir die parametrische Ausrichtung der Kurve L, die die Punkte verbindet Mі N:

Viraz, was in den Tempeln steht, funktioniert t, was eine völlig ähnliche Funktion gemäß ist t. Tom

Yak mi bachimo, das krummlinige Integral in Form eines kontinuierlichen Differentials kann nicht in Form einer Kurve liegen, für die eine Integration erforderlich ist.

Auf diese Weise:

man beachte die Unabhängigkeit krummliniger Integrale zweiter Art Form der Integration wie folgt:

Yakshcho in deakіy galuzі P(x,y)і Q(x, y) ohne Unterbrechung zusammen mit ihrem eigenen i, dann:

1. im Bereich D liegen nicht in der Form Wege der Integration, yakscho yogo bedeutet hinter einer shmatkovo-glatten Kurve, scho, um bei tsіy galuzі und Mama zagalny cob in zagalny kіnets zu liegen jedoch.

2. integral uzdovzh sein-wie eine geschlossene Kurve L, die in der Region liegt D ist gleich Null.

3. Hauptfunktion u(x,y), für yakoї viraz pdx+qdyІsnuє povny Differential also.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

5

am Hautpunkt des Bereichs D.

Für die Berechnung des Integrals, um nicht in die Kontur der Integration zu geraten

Als nächstes wähle als navigierendsten Integrationspfad des Laman, dass die Verbindungspunkte und Lankas parallel zu den Achsen Ox und Oy sind.

Pidintegral Viraz P(x,y)dx + Q(x,y)dy für die Ernennung der Köpfe oberes Differenzial handelnde Funktionen u = u(x, y) Tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

Funktion u(x,y)(Original) Sie können wissen, wie man das häufigste krummlinige Integral von Lamania de berechnet - sei es ein Fixpunkt, B(x,y) – Wechselpunkt, und der Punkt ist die maximale Koordinate X das . Todi vzdovzh maєmo das dy = 0, und vzdovzh maєmo x = konstі dx = 0.

Nehmen wir diese Formel:

Ebenso die Integration von Lamanoy de Otrimaemo

Sich bewerben

1. Berechnung

Dieses Integral sollte entlang der Integrationskontur abgelegt werden, weil

Wir wählen als Integrationsweg den Laman, dessen Linien parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Auf dem ersten Ast:

An einem anderen Ort:

Otzhe,

2. Zuerst wissen u, wie

Komm und konturiere Vorє lamana OMN. Todi

3. Wissen Sie, Yakscho

Hier ist es unmöglich, den Cob-Koordinatenpunkt zu nehmen, weil an dieser Stelle der Funktion P(x,y)і Q(x,y) nicht zugeordnet, dafür nehmen wir es zum Beispiel für einen Punkt. Todi

4. Kennen Sie das Gebiet, umgeben von Ellipsen

Die Fläche der Figur, im HOW-Bereich gekräuselt und von einer geschlossenen Linie C umgeben, wird nach der Formel berechnet

,

de Kontur Z wird in positiver Richtung umfahren.

Lassen Sie uns das krummlinige Integra in ein Lied verwandeln und eine Veränderung schaffen

Parameter t Werte von 0 bis 2 übergeben?

So ein Rang

3. Höchstes krummliniges Integral über die Bogenlänge L Jakscho L– Blumenkohl-Zykloide

AUFGABEN ZUM THEMA „CURVILINE INTEGRAL“

Option 1

De L ist ein Dreieck der geraden Linie der Punkte A(0;-2) und B(4;0), die auf der XOY-Ebene liegen.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

Hinter den Koordinaten als L steht der Bogen der Ellipse, der im ersten Viertel liegt.

De L ist die Kontur eines Trikots mit Eckpunkten A(1,1), B(2,2), C(1,3). Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

und Yoga kennen.

7. Das Kraftfeld wird durch die Kraft F(x, y) erzeugt, die es ermöglicht, mehr Punkte im Koordinatenkolben zu fixieren und direkt zum Koordinatenkolben zu führen. Um dem Roboter die Feldstärke zu kennen, angewendet auf die Verschiebung des materiellen Punktes einer einzelnen Masse entlang des Parabelbogens y2 = 8x vom Punkt (2; 4) zum Punkt (4; 4).

Option 2

1. Berechnen Sie das krummlinige Integral über den Rand des Bogens (kartesische Koordinaten).

De L ist eine Kontraktion eines geraden Punktes, der O (0; 0) und A (1; 2) verbindet.

2. Berechnen Sie das krummlinige Integral wobei L ein Parabelbogen von Punkt A(-1;1) zu Punkt B(1,1) ist. Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

3. Berechnen Sie das krummlinige Integral Yakscho L - Bogenpfahl was in 1 und 2 Quadraten liegt. Umgehen Sie die Kontur hinter dem Jahrespfeil.

4. Formel von Zastosovuyuchi Green, berechnen Sie das Integral, de L - die Kontur, die Lösungen der Linie und der gegenüberliegenden Achse OX, wenn Sie die Kontur des Anti-Godinnikov-Pfeils umgehen.

5. Stellen Sie fest, wie die Verstandesunabhängigkeit des Integrals in Richtung der Integration für das Integral berechnet wird und Yoga kennen.

6. Wiederholen Sie die Aufgaben von chi є mit einem neuen Differential der Funktion U(x, y) und kennen Sie її.

7. Am Hautpunkt des Kraftfelds kann die Kraft direkt negativ und gleich dem Quadrat der Abszisse des Programmpunkts sein. Das Feld für den Roboter kennen, wenn er eine einzelne parabolische Masse vom Punkt (1,0) zum Punkt (0,1) bewegt.

Möglichkeit 3

1. Berechnen Sie das krummlinige Integral über den Rand des Bogens (kartesische Koordinaten).

1. de L - der Bogen der Parabel wird von der Parabel gesehen.

2. Berechnen Sie das krummlinige Integral Yakscho L-Draht ist eine gerade Linie, Verbindungspunkte A (0,1), B (2,3). Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

3. Berechnen Sie das krummlinige Integral, da L der Bogen des ersten Bogens der Zykloide ist. Umgehen Sie die Kontur hinter dem Jahrespfeil.

4. Formel von Zastosovuyuchi Green, Berechnung des Integrals de L - eliminiert die Obkhіd-Kontur des Anti-Godinnikov-Pfeils.

5. Stellen Sie fest, wie die Verstandesunabhängigkeit des Integrals in Richtung der Integration für das Integral berechnet wird und Yoga kennen.

6. Wiederholen Sie die Aufgaben von chi є mit einem neuen Differential der Funktion U(x, y) und kennen Sie її.

7. Berechnen Sie die Stärke des Roboters und die Bewegungszeit des materiellen Punktes der oberen Hälfte der Ellipse von Punkt A (a, 0), Punkt B (-a, 0).

Möglichkeit 4.

1. Berechnen Sie das krummlinige Integral über den Rand des Bogens (kartesische Koordinaten).

1. de L - Umriss eines Quadrats

2. Berechnen Sie das krummlinige Integral wobei L der Bogen der Parabel vom Punkt À(0,0) bis zum Punkt (1,1) ist. Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

3. Berechnen Sie das krummlinige Integral Yakscho L - die obere Hälfte der Ellipse Umgehen Sie die Kontur hinter dem Jahrespfeil.

4. Berechnen Sie mit der Green-Formel das Integral de L - die Kontur des Trikots mit den Eckpunkten A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

6. Wiederholen Sie die Aufgaben von chi є mit einem neuen Differential der Funktion U(x, y) und kennen Sie її.

7. Am Hautpunkt des Pfahls wird eine Kraft aufgebracht, mit Projektionen auf der Koordinatenachse є Weisen Sie dem Roboter die Kraft für die Stunde zu, in der der Materialpunkt entlang des Pflocks bewegt wird. Warum kostet der Roboter null?

Möglichkeit 5.

1. Berechnen Sie das krummlinige Integral über den Rand des Bogens (kartesische Koordinaten).

De L - eine gerade Linie, die die Punkte 0 (0,0), і A (4; 2) verbindet

2. Berechnen Sie das krummlinige Integral, da L der Bogen des gekrümmten Punktes ist, der von A(0,1) zu Punkt B (-1,e) geht. Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

3. Berechnen Sie das krummlinige Integral als L – 1 Viertel des Einsatzes Umgehen Sie die Kontur hinter dem Jahrespfeil.

4. Formel von Zastosovuyuchi Green, Berechnung des Integrals de L - Kontur, Umgebung und Umgehung der Kontur des gegenüberliegenden Pfeils.

5. Stellen Sie fest, wie die Verstandesunabhängigkeit des Integrals in Richtung der Integration für das Integral berechnet wird und Yoga kennen.

6. Wiederholen Sie die Aufgaben von chi є mit einem neuen Differential der Funktion U(x, y) und kennen Sie її.

7. Das Feld wird gewaltsam erstellt // = gerader Weg, um den Schnitt vom Radius der geraden Linie festzulegen - dem Vektor des Punktes її zastosuvannya. Das Feld für den Roboter kennen, wenn der materielle Massenpunkt m hinter dem Pfahlbogen vom Punkt (a, 0) zum Punkt (0, a) bewegt wird.

Möglichkeit 6

1. Berechnen Sie das krummlinige Integral über den Rand des Bogens (kartesische Koordinaten).

De L - ein Viertel eines Einsatzes, der im I-Quadranten liegt.

2. Berechnen Sie das krummlinige Integral Yakcho L - Laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

3. Berechnen Sie das krummlinige Integral, da L die obere Hälfte des Einsatzes ist Umgehen Sie die Kontur hinter dem Jahrespfeil.

4. Zastosovuyuchi Greens Formel, berechnen Sie das Integral de L - die Kontur, die Umgebung, unter Umgehung der Kontur des Anti-Godinnikov-Pfeils.

5. Stellen Sie fest, wie die Verstandesunabhängigkeit des Integrals in Richtung der Integration für das Integral berechnet wird und Yoga kennen.

6. Wiederholen Sie die Aufgaben von chi є mit einem neuen Differential der Funktion U(x, y) und kennen Sie її.

7. Kennen Sie die Arbeit der Federkraft, direkt auf dem Koordinatenkolben, da der Staupunkt der Kraft den entgegengesetzten Pfeil des Viertels der Ellipse beschreibt was im I-Quadranten liegt. Die Größe der Kraft ist proportional zum Abstand des Punktes zum Koordinatenkolben.

Möglichkeit 7.

1. Berechnen Sie das krummlinige Integral über den Rand des Bogens (kartesische Koordinaten).

De L - Teil der Parabel vom Punkt (1, 1/4) bis zum Punkt (2; 1).

2. Berechnen Sie das krummlinige Integral de L - Scheitelpunkt der Geraden, die die Punkte B (1; 2) und B (2; 4) verbindet. Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

3. Berechnen Sie das krummlinige Integral als L - der erste Bogen der Zykloide Durch die Kontur hinter dem Jahreszeiger.

5. Stellen Sie fest, wie die Verstandesunabhängigkeit des Integrals in Richtung der Integration für das Integral berechnet wird und Yoga kennen.

6. Wiederholen Sie die Aufgaben von chi є mit einem neuen Differential der Funktion U(x, y) und kennen Sie її.

7. Der materielle Punkt einer einzelnen Masse bewegt sich entlang des Pfahls unter der Kraftrichtung, deren Projektionen auf der Koordinatenachse є liegen . Induzieren Sie Stärke auf dem Kolben des Hautpfahls. Kennen Sie die Arbeit der Kontur.

Möglichkeit 8.

1. Berechnen Sie das krummlinige Integral über den Rand des Bogens (kartesische Koordinaten).

De L - Kontur eines Rechtecks ​​mit Scheitelpunkten an den Punkten 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Berechnen Sie das krummlinige Integral, zum Beispiel ist L der Bogen der Parabel von Punkt A (0; 0) zu Punkt B (1; 2). Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

3. Berechnen Sie das krummlinige Integral Yakscho L - Teil eines Pfahls 1. Umgehen Sie die Kontur hinter dem Jahrespfeil.

4. Formel von Zastosovuyuchi Green, Berechnung des Integrals de L - die Kontur des Trikots mit den Eckpunkten A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

5. Installiere, chi vykonuetsya Geist, Unabhängigkeit des Integrals auf dem Weg der Integration für das Integral und kenne Yoga.

6. Wiederholen Sie die Aufgaben von chi є mit einem neuen Differential der Funktion U(x, y) und kennen Sie її.

7. Der Materialpunkt bewegt sich mit einer Ellipse pіd dієyu Kraft, deren Wert der teuerste Punkt zum Zentrum der Ellipse ist und zum Zentrum der Ellipse begradigt wird. Berechnen Sie die Stärke des Roboters als Punkt, um die gesamten Ellipsen zu umgehen.

Möglichkeit 9.

1. Berechnen Sie das krummlinige Integral über den Rand des Bogens (kartesische Koordinaten).

De L - der Bogen der Parabel, der zwischen den Punkten liegt

A, (2;2).

2. Berechnen Sie das krummlinige Integral wobei L eine Einschnürung einer Geraden ist, die die Punkte A (5; 0) und B (0,5) verbindet. Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

3. Berechnen Sie das krummlinige Integral, z. B. L - den Bogen der Ellipse zwischen den Punkten, der den Umfang der Kontur hinter dem Jahrespfeil anzeigt.

4. Formel von Zastosovuyuchi Green, berechnen Sie das Integral de L - um die Kontur des Gegenpfeils.

5. Stellen Sie fest, wie die Verstandesunabhängigkeit des Integrals in Richtung der Integration für das Integral berechnet wird und Yoga kennen.

6. Wiederholen Sie die Aufgaben von chi є mit einem neuen Differential der Funktion U(x, y) und kennen Sie її.

7. Am Hautpunkt der Kurve wird eine Kraft aufgebracht, deren Projektionen auf die Koordinatenachsen die Arbeit der Kraft anzeigen, wenn der materielle Punkt einer einzelnen Masse entlang der Kurve vom Punkt M (-4; 0) bewegt wird. zum Punkt N (0; 2).

Möglichkeit 10.

1. Berechnen Sie das krummlinige Integral über den Rand des Bogens (kartesische Koordinaten).

De L - eine gerade Linie, die die Punkte A verbindet

2. Berechnen Sie das krummlinige Integral, zum Beispiel ist L der Bogen der Kurve vom Punkt A(1;0) nach B(e,5). Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

3. Berechnen Sie das krummlinige Integral, da L der Bogen des Pfahls ist was liegt bei 1U quadratisch. Umgehen Sie die Kontur hinter dem Jahrespfeil.

4. Berechnen Sie mit der Green-Formel das Integral de L - die Kontur des Trikots mit den Eckpunkten A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Umgehen Sie die Kontur des Anti-Jahres-Pfeils.

5. Stellen Sie fest, wie die Verstandesunabhängigkeit des Integrals in Richtung der Integration für das Integral berechnet wird und Yoga kennen.

6. Wiederholen Sie die Aufgaben von chi є mit einem neuen Differential der Funktion U(x, y) und kennen Sie її.

7. Auf den Hautpunkt der Linie wird eine Kraft ausgeübt, deren Projektionen auf der Koordinatenachse liegen. Berechnen Sie den von der Kraft betroffenen Roboter, wenn der Materialpunkt entlang der Linie von M (1; 0) zum Punkt N bewegt wird (0; 3).

Vortrag 4

Thema: Formel von Green. Reinigen Sie die Unabhängigkeit des krummlinigen Integrals im Wege der Integration.

Formel von Green.

Die Formel von Green stellt eine Verbindung zwischen einem krummlinigen Integral über einer geschlossenen Kontur Г auf einer Ebene und einem niedrigeren Integral über einem von einer Kontur umgebenen Bereich her.

Das krummlinige Integral über eine geschlossene Kontur à wird durch das Symbol Geschlossene Kontur à gekennzeichnet, die am Hauptpunkt der Kontur beginnt und am Punkt B endet. Das Integral entlang einer geschlossenen Kontur liegt nicht, wenn der Punkt B ausgewählt ist.

Termin 1. Die Umgehung der Kontur G wird als positiv angesehen, da beim Umgehen der Kontur G der Bereich D linksgängig wird. P + - Schaltung P überbrückt die positive Richtung, P - - Schaltung überbrückt die negative Richtung. in die entgegengesetzte Richtung

G+

X

Y

c

d

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

a

b

B

C

Y=y2 (x)

Y= y 1 (x)

m

n

Betrachten wir das zugrunde liegende Integral

.

Ebenso lässt sich argumentieren:

Aus den Gleichungen (1) und (2) ist es notwendig:

Otzhe,

Die Formel von Green für zerkleinerte Auslassungen wurde vervollständigt.

Respekt 1. Die Formel von Green bleibt fair, da zwischen der G-Region D und den echten geraden Linien parallel zur Achse 0X oder 0Y verschiebt sich an zwei Punkten weiter nach unten. Die Formel von Krim ts'ogo, Green gilt für n-stellare Regionen.

Waschen Sie die Unabhängigkeit des krummlinigen Integrals als Integration in der Ebene.

In diesem Absatz ist es leicht zu verstehen, dass beispielsweise bei Viconannisten das krummlinige Integral in Richtung der Integration fallen soll und in Form der Pfeiler- und Endpunkte der Integration fallen soll.

Satz 1. Um ein krummliniges Integral zu haben ohne im Integrationspfad in einem Single-Link-Bereich zu liegen, ist es notwendig und ausreichend, damit das Integral entlang einer geschlossenen, shmatkovo-glatten Kontur in diesem Bereich Null erreicht.

Beweis: Notwendigkeit. Es ist gegeben: in Richtung Integration zu deponieren. Es ist darauf zu achten, dass das krummlinige Integral hinter einer geschlossenen, glatt-glatten Kontur gleich Null ist.

Nehmen wir eine stückweise glatte geschlossene Kontur G in der Nähe des Bereichs D. Nehmen Sie auf der Kontur G einige weitere Punkte B und C.

G

D

n

m

B

C

Oskіlki liegt also auf dem Weg der Integration

, dann.

Wohlstand. Gegeben: Krummliniges Integral Be-yakim zaknenim shmatkovo-glatte Kontur auf Null.

Es ist zu beweisen, dass das Integral in Integrationsrichtung abgelegt werden soll.

Schauen wir uns das krummlinige Integral hinter zwei durcheinander geratenen, glatten Konturen an, die die Punkte B und C verbinden. Hinter dem Verstand:

Tobto. krummlinig

integral in Richtung der Integration zu deponieren.

Satz 2. Gehen Sie ohne Unterbrechung gleichzeitig mit privaten Spaziergängen und in einem Ein-Link-Raum D. Um ein krummliniges Integral zu haben es ist notwendig und ausreichend, sich nicht auf dem Weg der Integration zu verstecken, damit die Division D siegreich war

Beweis: Hinlänglichkeit. Gegeben: . Es ist notwendig, was mitzubringen in Richtung Integration zu hinterlegen. Für wen ist es ausreichend, was mitzubringen dovnyuє Null hinter einer geschlossenen, shmatkovo-glatten Kontur. Nach der Formel von Green können wir:

Notwendigkeit. Gegeben: Nach Satz 1 das krummlinige Integral in Richtung Integration zu hinterlegen. Es ist notwendig, was mitzubringen

6. Die Formel für den Mittelwert des Einzelintegrals.

7. Integral über die sich ändernde obere Grenze. Yogo bezperervnіst diese Unterscheidung.

8. Newton-Leibniz-Formel für das singende Integral.

9. Teilweise Berechnung des einzelnen Integrals und Ersatz der Änderung.

10. Nähen des einzelnen Integrals (die Fläche einer flachen Figur, die Länge eines gekrümmten Bogens, das Volumen der Körperumhüllung).

11. Verständnis der Zahlenreihe ta yogo sumi. Kriterien Koshі zbіzhnostі Reihe. Notwendige Intelligenz.

12. Zeichen von Delambert und Koshі zbіzhnostі ryadіv іz nevid'єmnimi-Mitgliedern.

13. Integrales Zeichen der Zahlenreihe Koshі zbіzhnostі.

14. Signifikante Zahlenreihen. Absolut dieser mentale Zbіzhnist. Reihen von Schildern. Leibniz-Zeichen.

15. Funktionsreihe. Der Betrag ist gering. Der Wert gleichen Einkommens ist gering. Kriterium Koshі gleiche Rentabilität der Funktionsserie.

16. Weijerstras Zeichen des gleichmäßigen Lebens.

18. Schrittreihe. Satz von Abel.

19. Lebensradius einer statischen Reihe. Die Cauchy-Hadamard-Formel für den Radius des Radius der statischen Reihe.

21. Funktionen des reichen Wandels. Den euklidischen Raum der n-Welt verstehen. Ein unpersönlicher Punkt des euklidischen Raums. Die Folge von Punkten und її-Grenze. Ausgewiesene Funktionen einer kleinen Anzahl von Änderungen.

22. Zwischen den Funktionen einer Reihe von Änderungen. Ununterbrochene Funktion. Privater Urlaub

23. Bezeichnung der Differentialfunktion einer Reihe von Variablen und її Differential. Pokhіdnі und Differentiale höherer Ordnungen.

24. Taylors Formel für den Reichtum der Veränderung. Das Extremum der Funktion einer kleinen Anzahl von Variablen. Notwendiges Geistesextremum. Genug Verstand Extremum.

25. Anhaltendes Integral und Yoga der Kraft. Zvedennya podvіynogo integral bis wiederholt.

27. Ersetzen von Änderungen im dritten Integral. Zylinder- und Kugelkoordinaten.

28. Berechnung der Fläche einer glatten Oberfläche, parametrisch und explizit gegeben.

29. Bestimmung der krummlinigen Integrale der ersten und anderen Art, ihre Hauptleistung und Berechnung.

30. Formel von Green. Reinigen Sie die Unabhängigkeit des krummlinigen Integrals im Wege der Integration.

31. Oberflächliche Integrale der ersten und anderen Art, ihre Hauptkraft und Berechnung.

32. Satz von Gaus-Ostrogradsky, її-Notation in Koordinaten- und Vektorform (invariant).

33. Stokes-Formel, geschrieben in Koordinaten- und Vektorform (invariant).

34. Skalare und Vektorfelder. Gradient, Divergenz, Rotor. Potentiyne und Salzfelder.

35. Hamilton-Operator. (Nabla) yogo zastosuvannya (anwenden).

36. Die wichtigsten verwendeten Begriffe sind die Differentialgleichungen erster Ordnung (Ode) erster Ordnung: globale und private Lösung, globales Integral, Integralkurve. Zavdannya Koshі, geometrisch bedeutsam.

37. Integration einer Ode an die erste Ordnung mit den Änderungen, die geteilt werden, und das gleiche.

38. Integration linearer Oden erster Ordnung und Bernoulli-Entzerrung.

39. Integration einer Ode an den ersten Bund in polaren Differentialen. Integrierender Multiplikator.

40. Differentialgleichheiten erster Ordnung, immer ähnlich. Parameteranforderungsmethode.

41. Äquivalenz n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Charakteristisch gleich. Grundlegendes Lösungssystem (FSR) der homogenen Ausrichtung, globale Lösung der heterogenen Ausrichtung.

42. System linearer Differentialgleichungen erster Ordnung. FSR eines homogenen Systems. Eine grelle Vision eines homogenen Systems.

30. Formel von Green. Reinigen Sie die Unabhängigkeit des krummlinigen Integrals im Wege der Integration.

Formel von Green: Wenn C zwischen dem Bereich D und den Funktionen P(x, y) und Q(x, y) zusammen mit ihren privaten Analoga erster Ordnung ohne Unterbrechung im geschlossenen Bereich D (einschließlich des Kordons C) geschlossen ist, dann Es gilt die Formel von Green: Außerdem wird der Bypass um die Kontur C so gewählt, dass der Bereich D linkshändig ist.

Drei Vorlesungen: Geben Sie die gegebenen Funktionen P(x,y) und Q(x,y) als nicht unterbrochene Bereiche D gleichzeitig aus den privaten Bereichen erster Ordnung an. Integral über den Kordon (L), der genau im Bereich D liegen und alle Punkte im Bereich D überdecken soll: . Positiv direkt an der Kontur ist eine solche, wenn der Teil der Kontur von einer linken Hand umschlossen ist.

Umovs Unabhängigkeit des krummlinigen Integrals der 2. Art des Integrationsweges. Es ist ausreichend zu beachten, dass das krummlinige Integral erster Art, das die Punkte M1 und M2 verbindet, nicht im Integrationspfad liegt, sondern nur in den Pfeil- und Endpunkten, Gleichmut:.

.

31. Oberflächliche Integrale der ersten und anderen Art, ihre Hauptkraft und Berechnung.

- Oberflächenmanager.

Wir projizieren S auf eine Ebene xy, wir nehmen ein Brett D. Wir zeichnen ein Brett D mit einer Gitterlinie auf das Teil, das Di genannt wird. Vom Hautpunkt der Hautlinie zeichnen wir parallele Linien z, dann wird i S in Si geteilt. Wir addieren die Integralsumme: . Wir richten das Maximum des Durchmessers Di auf Null: Wir nehmen:

Ce Flächenintegral erster Art

So kommt das Oberflächenintegral erster Art ins Spiel.

Termin kurz. In der Regel gibt es eine begrenzende Grenze der Integralsumme, so dass man der Aufspaltung von S auf dem Elementarplot Si nicht im Wege liegen kann und bei der Wahl der Punkte vin als Oberflächenintegral erster Art bezeichnet wird.

Beim Übergang vom geänderten x і y zu u und v:

P Das Oberflächenintegral kann die ganze Kraft des Sternintegrals haben. Divas sind höher im Essen.

Der Zweck des Oberflächenintegrals ist anderer Art, was die Hauptkraft dieser Berechnung ist. Link aus dem Integral erster Art.

Sei die Fläche S gegeben, umgeben von einer Linie L (Abb. 3.10). Es ist möglich, zwei Normalen zur Fläche S auf der Fläche S hinzuzufügen, die mit dem Kordon L kein Doppelpunkt sein kann. Skizzieren Sie den Punkt M hinter der Kontur L, indem Sie die gerade Linie normal wählen.

Wenn sich die Position des Punktes M entlang derselben Normalen dreht (und nicht entgegengesetzt), dann wird die Fläche S zweiseitig genannt. Wir können nur zweiseitige Flächen betrachten. Bilaterale Oberfläche - sei es mit gleicher glatter Oberfläche.

Sei S eine zweiseitig offene Fläche, die von einer Linie L umgeben ist, so dass es keinen Punkt der Selbstkreuzung gibt. Wir wählen die gleiche Seite der Oberfläche. Nennen wir die positive direkte Umgehung der Kontur L eine solche gerade Linie, mit Russland auf der anderen Seite der Oberfläche ist die Oberfläche selbst frei von Übel. Eine zweiseitige Fläche, die in einer solchen positiven Ordnung durch eine direkte Umgehung der Konturen darauf installiert wird, wird als orientierte Fläche bezeichnet.

Kommen wir zu einem Oberflächenintegral anderer Art. Nehmen wir eine doppelseitige Fläche S, die aus der endgültigen Stückzahl gebildet wird, ledert aus einigen Aufgaben gleich den Verstand, oder eine zylindrische Fläche mit befriedigenden parallelen Achsen Oz.

Sei R (x, y, z) - eine Funktion, zugewiesen und ununterbrochen auf der Oberfläche S. Durch eine Reihe von Linien wird S durch eine ausreichende Ordnung in n "elementare" Diagramme ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi unterteilt. ..., ΔSn, egal verschlafene interne Punkte. Auf dem Hautraum ΔSi wählen wir in sinnvoller Reihenfolge den Punkt Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) aus. Sei (ΔSi)xy die Fläche der Projektion des Diagramms ΔSi auf die Koordinatenebene Oxy, genommen mit dem "+"-Zeichen, so dass die Normale zur Oberfläche S am Punkt Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) setzt Vіsyu Oz auf einen feindlichen Schnitt, und zwar mit dem Zeichen „-“, was bedeutet, dass dieser Schnitt dumm ist. Wir addieren die Integralsumme für die Funktion R(x,y,z) über die Fläche S nach Änderung von x,y: . Sei λ der größte der Durchmesser ΔSi (i = 1, ..., n).

Wenn es eine endgültige Grenze gibt, um der Aufteilung der Oberfläche S auf dem "elementaren" Diagramm ΔSi und der Auswahl eines Punktes nicht im Wege zu stehen, wird vin das Oberflächenintegral entlang der ausgewählten Seite der Oberfläche S in der Funktion genannt R (x, y, z) für die Koordinaten x, y (oder ein Oberflächenintegral anderer Art) und zugeordnet .

Ebenso ist es möglich, Flächenintegrale über die Koordinaten x, z oder y, z entlang der gegenüberliegenden Seite der Fläche zu induzieren, also. і .

Neben allen Integralen können Sie auf der gegenüberliegenden Seite der Fläche ein "hohes" Integral einführen: .

Ein oberflächliches Integral anderer Art kann von der Potenz des Integrals abhängen. Es ist respektvoller, dass, wenn irgendein Oberflächenintegral einer anderen Art das Vorzeichen der Änderung der Seite der Oberfläche ändert.

Verbindung zwischen Flächenintegralen erster und anderer Art.

Die Oberfläche S sei gleich gegeben: z \u003d f (x, y), außerdem f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - ununterbrochene Funktionen in der Nähe des geschlossenen Bereichs τ (die Projektion der Oberfläche S auf die Koordinatenebene Oxy), und die Funktion R(x,y,z) ist stetig auf den Seiten der Oberfläche S. der Oberfläche S. Todi.

Für ein zagalny vpadku maєmo:

=